Đang tải... (xem toàn văn)
Vẽ tia đối của một tia Dựng các đường đặc biệt trong tam giác Trung tuyến , trung bình, phân giác , đường cao c Đường phụ là đường tròn: Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa t[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ BUÔN HỒ TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ********* Họ và tên giáo viên: NGUYỄN NGỌC NHỊ Tổ chuyên môn : Toán – Tin *********** (2) Mục lục: Những vấn đề chung Nội dung * A Các bước tiến hành * B Kết Kết luận Tài liệu tham khảo : (3) Toán nâng cao và các chuyên đề hình học – Tác giả : Vũ Dương Thụy và Nguyễn Ngọc Đạm – Nhà xuất Giáo dục Phương pháp suy luận phân tích để giải toán THCS – Tác giả : Nguyễn Văn Ban – Nhà xuất Tổng hợp Thành phỗ Hồ Chí Minh Cách tìm lời giải các bài toán THCS –Tác giả Lê Hải Châu và Nguyễn Xuân Quỳ – Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ I NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG Lý viết sáng kiến kinh nghiệm (4) 1.1- Cơ sở lý luận: Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó với học sinh THCS Bởi vì để giải các bài toán dạng này không yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có kỹ giải toán định, có sáng tạo định Để tạo đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải bài toán phải kẻ thêm đường phụ là sáng tạo nhỏ Kẻ thêm đường phụ để giải bài toán hình mặt phương pháp là biểu mức độ cao kỹ năng, thể các tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ quen Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn Do đó việc học tốt các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ và tư khoa học học sinh 1.2- Cơ sở thực tiễn: Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực nhiều các thao tác tư Vì đòi hỏi học sinh phải rèn luyện mặt tư hình học thuật phát triển Do đó các định lý sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) ít đề cập đến, việc làm các ví dụ bài toán trên lớp có loại toán dạng này Tuy nhiên các bài tập thì SGK đưa khá nhiều dạng toán này và là các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là bài toán giải cần phải kẻ thêm đường phụ Trên thực tế, học sinh giải các bài toán dạng này cần phải có nhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ học sinh còn ít Còn đa số học sinh việc nắm vững mục đích, yêu cầu vẽ các đường kẻ phụ kiến thức số loại đường phụ là còn hạn chế Các tài liệu viết riêng loại toán này cho nên việc tham khảo học sinh còn gặp nhiều khó khăn Vì với trình bày đề tài này là nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên sở cho giáo viên có thể dạy tốt loại toán hình có kẻ thêm đường phụ Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm: Việc gợi mở lại cho học sinh các nội dung kiến thức giải bài toán có kẻ thêm đường phụ là cần thiết, trên sở đó giáo viên cung cấp đầy đủ các kiến (5) thức này cho học sinh Với việc phân dạng các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời sâu vào hướng dẫn số bài toán cụ thể là tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho mình trình độ kiến thức, là góp phần gợi phương pháp giải các bài toán này cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp việc kẻ thêm đường phụ II NỘI DUNG A Các bước tiến hành Điều tra: Trước đưa vào thực sáng kiến này đã tiến hành điều tra hiểu và có kỹ giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ học sinh sau: - Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 8A trường THCS Nguyễn Trường Tộ, năm học 2010-2011 - Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 02/10/2010 - Tổng số học sinh điều tra: 40 em - Thống kê điều tra sau: 01 Số học sinh nắm sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng giải Toán THCS có: 10 em chiếm 25 % 02 Số học sinh nắm các phép dựng hình thường sử dụng giải toán THCS có: 15 em chiếm 37,5% 03 - Số học sinh dựng các đường kẻ phụ hợp lý và giải số bài toán chương trình toán lớp 7, gồm có: 10 em chiếm 25% 04 Số học sinh lúng túng, chưa giải các bài toán hình học có vẽ thêm đường phụ giải Toán THCS có: 30 em chiếm 50 % 05 Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ tốt và giải các bài toán tương đối khó : em chiếm 0% Quá trình thực hiện: Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy và nắm vững các yêu cầu vẽ (dựng) các đường phụ 2.1 Các yêu cầu vẽ các đường phụ (6) 01- Vẽ đường phụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho việc chứng minh bài toán Muốn nó phải là kết phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo mục đích xác định là gắn kết mối quan hệ kiến thức đã có với điều kiện đã cho bài toán và kết luận phải tìm Do đó không vẽ đường phụ cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì đường phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm lời giải đúng Vì vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt mục đích mình muốn không?" Nếu "không" nên loại bỏ 02- Đường phụ phải là đường có phép dựng hình và phải xác định 03 Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ: Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó , việc lựa chọn đường phụ là quan trọng.Tuy cùng là đường phụ vẽ thêm các cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác 04.Một số loại đường phụ thường sử dụng giải toán hình chương trình THCS a) Đường phụ là điểm: Vẽ điểm chia hay chia ngoài đoạn thẳng cho trước theo tỷ số thích hợp Xác định giao điểm các đường thẳng đường thẳng với đường tròn b) Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng: Kéo dài đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý Nối hai điểm cho trước hai điểm đã xác định Từ điểm cho trước dựng đường song song với đường thẳng đã xác định Từ điểm cho trước dựng đường vuông góc với đường thẳng xác định Dựng đường phân giác góc cho trước (7) Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước Từ điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước Hai đường tròn giao thì dựng dây cung chung Hai đường tròn tiếp xúc thì ta có thể kẻ tiếp tuyến chung đường nối tâm Vẽ tia đối tia Dựng các đường đặc biệt tam giác ( Trung tuyến , trung bình, phân giác , đường cao ) c) Đường phụ là đường tròn: Vẽ thêm các đường tròn cung chứa góc dựa trên các điểm đã có Vẽ đường tròn tiếp xúc với đường tròn đường thẳng đã có Vẽ đường tròn nội ngoại tiếp đa giác Trên sở, các yêu cầu vẽ (dựng) các đường phụ, giáo viên cần phân dạng các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ 2.2 Các sở để xác định đường phụ : Ta có thể đưa dựa trên các sở sau để xác định đường phụ vễ là đường gì ? và vẽ từ đâu ? 01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình sử dụng định nghĩa tính chất các hình để giải bài toán 02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình phù hợp với định lý để giải bài toán 03- Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải bài toán 04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng 05 Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương đương để giải bài toán 2.3 Các biện pháp phân tích tìm cách vẽ đường phụ: 01 Dựa vào các bài toán đã biết: (8) Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học , học sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận bài toán, tìm các điểm tương đồng từ đó vẽ đường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải bài toán quen thuộc Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy trên AB kéo dài đoạn BD = AB Gọi CE là trung tuyến tam giác ABC CMR: CE = CD A E B Ta phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ C M D Phân tích: Từ kết luận bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm CD Muốn chứng tỏ đoạn thẳng nửa đoạn thẳng khác thì các cách làm là chia đôi đoạn thẳng và chuyển bài toán chứng minh hai đoạn thẳng Gọi M là trung điểm CD ta có CM = MD, ta phải chứng minh CE=CM CE=DM Chọn CE = CM Từ phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy chứng minh EBC = MBC thì ta có CE=CM là điều phải chứng minh Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh EBC = MBC, hai tam giác này theo trường hợp c.g.c Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào phân tích trên, ta có thể đưa cho học sinh câu hỏi gợi mở, chẳng hạn: - Với M là trung điểm CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh tam giác nào? - Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng minh điều gì? - Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì? (9) 02 Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải bài toán: Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến Ví dụ2: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm cạnh CD và N là điểm trên đường chéo AC cho BNM 90 Gọi F là điểm đối xứng A qua N, chứng minh:FB AC E B C I K M F N A D Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh Phân tích: Ta thấy BFC là góc BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng góc tam giác 180O thì có FBC BCF BFC 180 , ta chưa thể tính FBC BCF bao nhiêu độ nên không thể suy số đo góc BFC Vậy không thể vận dụng định lý trên để chứng minh - Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm đoạn thẳng , ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với để chứng minh bài toán này cách nào? Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt cho học sinh và hướng dẫn các em có thể tự đặt các câu hỏi Liệu BF có là đường cao BNC không? Để chứng minh BF là đường cao tam giác BNC ta phải chứng minh BF qua điểm nào đặc biệt tam giác? Dựa vào đó ta hiểu phải chứng minh BF qua trực tâm BNC Do phân tích - tổng hợp ta đến việc dựng NE BC E (10) Gọi giao điểm NE với BF là I Ta suy chứng minh CI // MN thì suy CI vuông góc với BN (Vì MNBN) tức CI là đường cao BNC Vậy I là trực tâm BNC (Vì I NE CK) Do đó suy điều phải chứng minh là: BF AC Tóm lại việc kể thêm NE BC E là nhằm tạo điểm I NE BF để chứng minh I là trực tâm BNC Từ phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn có thể sử dụng câu hỏi như: - Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đường gì BNC? - Để chứng minh BF qua trực tâm BCN thì ta phải có điểm nào? - Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có điểm là giao BF với đường cao BNC? - Với NE là đường cao BNC và NE BF I, ta phải chứng minh I là điểm có tính chất gì? Ví dụ 3: Cho ABC M là điểm ABC Nối M với các đỉnh A, B, C cắt các cạnh đối diện A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ K và H Chứng minh rằng: MK = MH Đây là bài toán tương đối khó với học sinh ? Sau đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết Ta chú ý đến giả thiết bài toán cho ta các yếu tố đồng quy và song song Giả thiết định lý nào gần với nó nhất? Câu trả lời mong đội đây là định lý Talet - Ở đây KH // BC Đoạn thẳng BC chia thành đoạn nhỏ ? - Thiết lập quan hệ MH, MK với các đoạn BA’ và CA’,BC - Cần phải xác định thêm các điểm nào? - Điểm P và Q là giao KH với AB và AC A (11) Ta có lời giải sau Giả sử HK cắt AB, AC P, Q Theo định lý Talét ta có: MH CA' MP CB MQ BC MK BA' MP BA' MQ CA' MH MQ MP CA' CB BA' MP MK MQ CB BA' CA' MH 1 MH MK MK 03 Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ Ví dụ 4: Cho ABC có A 2B Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB Hướng dẫn: - Các định lý tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ? Câu trả lời đầu tiên là định lý Pitago vì công thức nó gần với công thức này, đây GV cần hướng dẫn học sinh loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo các góc vuông có liên quan đến độ dài ba cạnh - Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không? Câu trả lời mong đợi đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng - Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng (12) BC AC AC AB BC AC AC AB Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa bài toán quen thuộc việc chứng minh hệ thức ab= cd dựa vào tam giác đồng dạng cách tạo đoạn thẳng AB+AC -Từ đó học sinh đưa hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB doạn AC đặt cạnh AC đoạn AB ? Nên đặt dựa trên điểm nào ? Chọn đặt kề cạnh nào đẻ vận dụng giả thiết A 2 B ? Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối tia AC đoạn AB Từ đó ta có lời giải D A Giải: Trên tia đối tia AC lấy D cho AD = AB Khi đó ABC cân A nên: B BAC 2 ABD 2 ADB C 1 BDC ABC BAC Xét ABC và BDC có: C chung nên ABC đồng dạng với BDV (g.g) BC AC BC AC CD AC ( AC AD ) AC ( AC AB ) AC AC AB CD BC Như là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không đơn là đưa số bài giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu vẽ đường phụ, sau đó phân dạng bài toán đưa vào gợi mở học sinh tìm lời giải cho bài toán cụ thể Trong quá trình đó hình thành cho học sinh kỹ vẽ đường phụ giải các bài toán hình học B KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phương pháp dạy vừa trình bày trên (Từ 02/10/2010 đến 4/05/2011) 40 em học sinh lớp 8A7 trường THCS Nguyễn Trường Tộ đã thu kết sau: (13) 01 Số học sinh nắm các loại đường phụ thường sử dụng giải toán THCS có: 43 em chiếm 75% 02 Số học sinh nắm các phép dựng hình thường sử dụng giải toán THCS có: 36 em chiếm 90% 03 Số học sinh vẽ (dựng) các đường phụ hợp lý và giải số bài toán hình chương trình Toán lớp và có: 28 em chiếm 70% 04 Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ tốt và giải các bài toán tương đối khó : em chiếm 10% Trong quá trình dạy học sinh theo phương pháp này , tôi đã thu nhiều kết tốt Bảng kết thi khảo sát sau cho thấy rõ điều đó: Tổng số Đầu năm KH I KHII Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém 40 40 40 10 10 15 23 17 12 11 III KẾT LUẬN KINH NGHIỆM RÚT RA Các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ là bài toán khó lại là bài toán hay, nó giúp cho tư logic học sinh phát triển, giúp rèn luyện cùng lúc nhiều thao tác tư cho học sinh Đây là đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý và đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi các trường THCS Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu vẽ (dựng) các đường phụ sau đó phân dạng bài toán và đưa hướng dẫn số bài toán cụ thể theo dạng đã chia Việc củng cố kỹ cho học sinh phép dựng hình là cần thiết nội dung thực Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu phạm vi rộng và chưa thể trình bày hết các phương pháp dạy các dạng bài toán đã nêu giới hạn đề tài (14) Rất mong các đồng nghiệp có thể nghiên cứu tiếp đề tài này với nội dung phong phú Mong góp ý chân thành bạn đọc./ Buôn Hồ Ngày 25/11/2011 Người viết Nguyễn Ngọc Nhị (15)