chuyen de 2 BDHSG lop 9

+ Phñ ®Þnh råi suy ra kÕt luËn.[r]

Chủ đề BUổI A/Mục tiêu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa tính chất bất đẳng thức - Nắm đợc định nghĩa số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh số bất đẳng thức bản. Kĩ

- Rèn luyện kĩ biến đổi rèn luyện khả t tốn học thơng qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- RÌn lun tÝnh cẩn thận xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: Nghiên cứu kĩ giáo án

- HS: Ôn tập lại định nghĩa tớnh cht ca bt ng thc

C/Tiến trình d¹y

I Tỉ chøc

II KiĨm tra bµi cị

- HS1: Thế bất đẳng thức ? Cho ví dụ ?

- HS2: Nêu tính chất bất đẳng thức ? Cho ví dụ minh họa ? III Bài mới

A – LÝ thuyÕt

1) Định nghĩa bất đẳng thc.

a nhỏ b, kí hiệu a < b, nÕu a – b < a lớn b, kí hiệu a > b, nÕu a – b >

a nhá b, kí hiệu a b, nÕu a - b  0.

a lín b, kí hiệu a b, nÕu a - b  0.  VÝ dô:

VD1: 7 5  v× ( 7 5) ( 7  6) 1 VD2:

1 1

3  3 4 v×

1 1

0

3 4

   

    

   

   

VD3: a2 + < a2 + v× (a2 + 1) - (a2 + 2) = -1 < 0

2) C¸c tÝnh chÊt cđa B§T.

+ TÝnh chÊt 1: a > b  b < a

+ TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c  a > c + TÝnh chÊt 3: a > b  a + c > b + c

+ TÝnh chÊt 4: a > b, c > d  a + c > b + d a > b, c < d  a - c > b - d

+ TÝnh chÊt 5: a> b, c > 0 ac > bc ; a> b, <0 ac < bc + TÝnh chÊt 6: a > b 0, c > d0  ac > bd

+ TÝnh chÊt 7: a > b >  an > bn víi mäi n N*; a > b  an > bn (n lỴ)

a  b  an > bn (n ch½n)

3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Cơsi :

Víi sè d¬ng a , b ta cã : a+b

b, Bất đẳng thức Bunhiacơpxki :

Víi mäi sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 (a2 + b2)(x2 + y2)

Dấu đẳng thức xảy <=> a x=

b y c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : |a|+|b|≥|a+b|

Dấu đẳng thức xảy : ab B – Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1 Phơng pháp : Dùng định nghĩa

 Ph¬ng ph¸p chøng minh A > B :

- Bíc 1: XÐt hiƯu A – B

- Bíc 2: Chøng minh A – B >

- Lu ý : A2 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A =

 Bµi tËp:

*) Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:

2 a b

ab



 



 

 

Bài làm : (Bất đẳng thức Côsi)

XÐt hiÖu

2 2 2

a b a 2ab b 4ab

ab

2

   

 

 

 

 

2 a b

0



 

  

 

VËy:

2 a b

ab



 



 

  dÊu “=” x¶y a = b.

*) Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè a, b, x, y ta cã

(a2 b )(x2 2y )2 (axby)2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki)

Bµi lµm :

XÐt hiÖu (a2 b )(x2 2y ) (ax2  by)2

= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - b2y2 – 2byax

= (ay – bx)2  0

VËy: (a2b )(x2 y )2 (axby)2 dÊu “=” x¶y ay = bx hay

a b

x  y

*) Bµi tËp 3: Cho a, b, c, d số thực Chøng minh r»ng : a2b2 c2 d2 e2 a(b c de)

Bµi lµm :

XÐt hiÖu (a2 b2 c2 d2e ) a(b c2   de) =

2 2

2 2

a a a a

ab b ac c ad d ae e

4 4

       

          

       

       

       

=

2 2

a a a a

b c d e

2 2

       

       

       

       

dÊu “=” x¶y

a

b c d e

2    

*) Bµi tËp 4: Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z)

Bµi lµm :

Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)

= x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z

= (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)

= (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2

Do (x - 1)2 víi mäi x

(y - 1)2 víi mäi y

(z - 1)2 víi mäi z

=> H víi mäi x, y, z

Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z

DÊu b»ng x¶y <=> x = y = z =

*) Bài tập 5: Chứng minh với x, y ta có : x4 + y4  xy3 + x3y

Bµi lµm :

XÐt hiÖu : x4 + y4 – ( xy3 + x3y ) = ( x4 – xy3 ) + ( y4 – x3y )

= x( x3 – y3 ) + y( y3 – x3 ) = ( x – y )( x3 – y3 )

= ( x – y )2( x2 + xy + y2 ) = ( x – y )2  

2

2

3

x y y

2

 

 

 

   0

Vậy bất đẳng thức cho Dấu “ = “ xảy x = y *) Bài tập 6:

Cho c¸c số dơng a , b thoả mÃn điều kiện a + b = Chøng minh r»ng : ( +

1

a )( +

b )  (1)

Bµi lµm : Ta cã ( a +

1

a .)( b +

b )   ab + a + b +  ab ( v× a,b > )

 a + b +  ab   ab   ab ( v× a + b = )

 ( a + b )2  ab  ( a – b )2  (2)

Bất đẳng thức (2) đúng, phép biến đổi tơng đơng Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Xảy dấu đẳng thức a = b

IV Hớng dẫn nhà *) Giải tập 7: Chứng minh bất đẳng thức :

a

2

+b2

2 ≥( a+b

2 )

2

Híng dÉn:

XÐt hiƯu : H = a

2

+b2

2 −( a+b

2 )

2

= 2(a

2

+b2)−(a2+2 ab+b2)

4 = a − b

¿2≥0

4(2a

2

+2b2−a2− b2−2 ab)=1

4¿

DÊu '' = '' x¶y a = b

*******************************

Chủ đề BUổI A/Mục tiêu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh đợc củng cố định nghĩa tính chất bất đẳng thức - Nắm đợc định nghĩa số tính chất bất đẳng thức Biết vận dụng tính chất bất đẳng thức để chứng minh s bt ng thc c bn.

Kĩ

- Rèn luyện kĩ biến đổi rèn luyện khả t tốn học thơng qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- Rèn luyện tính cẩn thận xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: Nghiên cøu kÜ gi¸o ¸n

- HS: Ơn tập lại định nghĩa tính chất bất đẳng thức

C/Tiến trình dạy

I Tổ chức

II KiĨm tra bµi cị

- HS1: Viết tính chất bất đẳng thức ? Giải tập 46/SBT - HS2: Giải tập (tiết trớc)

- HS3: Giải tập 45/SBT

2 Phơng pháp : Dùng tính chất bất đẳng thức

*) Bµi tËp : Cho hai số x, y thoả mÃn điều kiện x + y = Chøng minh x4 + y42

Bµi lµm :

- Ta cã: (x2 – y2)2  (víi mäi x, y)

 x4 + y4  2x2y2

 x4 + y4 + x4 + y4  x4 + 2x2y2+ y4

 2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1)

dÊu “=” x¶y x = y hc x = - y

- Mặt khác, ta có: (x y)2 (víi mäi x, y)

 x2 + y2  2xy

 2(x2 + y2) (x + y)2

 x2 + y2 2 (2) (v× x + y = 2)

dÊu “=” x¶y x = y

- Tõ (1) (2) x4+y42 dấu= xảy x = y = 1.

*) Bµi tËp : Chøng minh r»ng

2 2

a b c a b c

4

     

Bµi lµm :

Ta cã:

2

2

1

a a a

2

 

    

 

 

2

2

1

b b b

2

 

    

 

 

2

2

1

c c c

2

 

    

 

 

Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta đợc:

2 2

a b c a b c

4 4

       

2 2

a b c a b c

4

      

dÊu “=” x¶y a = b = c =

1 

*) Bµi tËp : Cho < a, b, c, d < Chøng minh r»ng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Bµi lµm :

Ta cã : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab

Do a, b > nªn ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b

Do c < nªn - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c)  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do < a, b, c, d <1 nªn - d > ; ac + bc > ; ad + bd + cd > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c

=> (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)

*) Bµi tËp : Cho < a, b, c < Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a

Bµi lµm :

Do < a, b < => a3 < a2 < a < ; b3 < b2 < b < ; ta cã :

(1 - a2)(1 - b) > => + a2b > a2 + b

=> + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b

T¬ng tù : b3 + c3 < + b2c ; c3 + a3 < + c2a

=> 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a

*) Bài tập : Từ bất đẳng thức  

2

a b 0

, chứng minh bất đẳng thức sau :

+)  

2

2

a b a b

2

  

+)  

2

ab 4ab

+)  

2

a b ab

2  

+)  

2

1 (a, b 0 )

4ab a b

 

 +) 1a  1b  a4b (a, b0 )

+)

2

ab 2(a b ) (a, b0 ) (BĐT Bu-nhi-a-côp-xki)

+) ab2 ab (a, b0 ) (BĐT cô-si)

*) Học sinh tự luyện lớp tập sau: *) Bài tập : Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m) b) b(b + a) ab

c) a(a – b)  b(a – b) d)

c

c 12

*) Bài tập : Cho số dơng a, b, c có tích Chứng minh (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 *) Bài tập : Chứng minh bất đẳng thức:

a) (x + y + z)2  3(xy + yz + xz)

b) c

2

c

2  

*) Bµi tËp : Cho a, b hai số thoả mÃn điều kiện a + b = Chøng minh r»ng a4 + b4  a3 + b3.

*) Bµi tËp 10 : Cho hai số x, y thoả mÃn điều kiện x + y = Chøng minh: a) x2 + y2

1 

b)

1

8  x4 + y4

IV Hớng dẫn nhà - Xem lại chữa

*******************************

Chủ đề BUổI A/Mục tiêu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức phơng pháp biến đổi tơng đơng dùng bất đẳng thức quen thuộc nh Cô -si, Bu-nhi-a-côp -xki hoặc bất đẳng thức giá trị tuyt i

Kĩ

- Rốn luyện kĩ biến đổi rèn luyện khả t tốn học thơng qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- RÌn lun tính cẩn thận xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I Tổ chức

II Kiểm tra cũ

- HS1: Giải tập 10 câu a - HS2: Giải tập 10 câu b - HS2: Giải tập 9

III Bài mới 3 Phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng

- Quá trình chuyển từ bất đẳng thức sang bất đẳng thức tơng đơng gọi phép biến đổi tơng đơng

- Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đợc chứng minh

- Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , bất đẳng thức bất đẳng thức

Ta có sơ đồ : A > B  A1 > B1  A2 > B2…  An > Bn

*) Bµi tËp :

Cho a, b hai số dơng cã tæng b»ng Chøng minh r»ng :

a+1+

1 b+1≥

4

Gi¶i:

Dùng phép biến đổi tơng đơng

3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1)  4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1)  4ab +  4ab  (a + b)2 4ab

Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh *) Bài tập :

Cho a, b, c số dơng thoả mÃn : a + b + c = Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3

Gi¶i:

Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 =

[(a+b)+c]2≥4(a+b)c

=> a + b abc T¬ng tù : b + c abc c + a abc

=> (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3

*) Bµi tËp :

Chứng minh bất đẳng thức : a

3

+b3

2 ≥( a+b

2 )

3

; a > ; b > Giải :

Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > ; b > => a + b > a

3

+b3

2 ≥( a+b

2 )

3

 (a+2b).(a2−ab+b2)≥(a+b

2 ) ( a+b

2 )

2

 a2 - ab + b2 (a+b

2 )

2

 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2

 3a2 - 6ab + 3b2 = 3(a2 - 2ab + b2)   

2

3 a b 0

Bất đẳng thức cuối ; suy : a

3

+b3

2 ≥( a+b

2 )

3

DÊu “=” x¶y  a = b *) Bµi tËp :

Cho sè a, b tho¶ m·n a + b = CMR a3 + b3 + ab

2

Gi¶i :

Ta cã : a3 + b3 + ab

2 <=> a3 + b3 + ab -

2

<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab -

2

<=> a2 + b2 -

2 V× a + b = <=> 2a2 + 2b2 - 0

<=> 2a2 + 2(1-a)2 - ( v× b = a -1 )

<=> 4a2 - 4a + 0

<=> ( 2a - )2 0

Bất đẳng thức cuối Vậy a3 + b3 + ab

2 DÊu '' = '' x¶y a = b =

2

*) Bµi tËp :

Với a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : a

√b−√a √b −

b

√a Gi¶i :

Dùng phép biến đổi tơng đơng : a

√b−√a √b −

b

√a



√b¿3

√a¿3+¿−√ab(√a+√b)≥0

¿ ¿

 (√a+√b)(a −√ab+b)−√ab(√a+√b)≥0

 (√a+√b)(a −2√ab+b)≥0



2

( a  b )( a  b ) 0

Bất đẳng thức cuối ; suy : a

√b−√a √b −

b

√a *) Bài tập :

Cho số dơng a , b thoả mÃn điều kiện a + b = Chøng minh r»ng : ( +

1

a )( +

b )  (1) Gi¶i:

Ta cã ( a +

1

a .)( b +

b )   ab + a + b +  ab ( v× a,b > )

 a + b +  ab   ab ( v× a + b = )

 ( a + b )2  ab  ( a – b )2  (2)

Bất đẳng thức (2) phép biến đổi tơng đơng bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Xảy dấu đẳng thức  a = b

4 Phơng pháp : Dùng bất đẳng thức quan trọng quen thuộc

- Kiến thức : Dùng bất đẳng thức quen thuộc nh : Cô-si , Bu-nhi-a-côp-xki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi chứng minh ,

- Một số hệ từ bất đẳng thức : x2 + y2 2xy

Víi a, b > , a b+

b a2 *) Bài tập :

Giả sử a, b, c số dơng , chứng minh r»ng: √ a

b+c+√

b c+a+√

c a+b>2

Giải

áp dụng B§T Cauchy , ta cã : a + (b + c) 2√a(b+c)  √ a

b+c≥

2a a+b+c

Tơng tự ta thu đợc : √ b

c+a≥

2b

a+b+c , √

c

a+b≥

2c a+b+c

Dấu ba BĐT đồng thời xảy , có :

a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c số dơng )

Từ suy : √ a b+c+√

b c+a+√

c a+b>2

*) Bµi tËp :

Cho x , y lµ sè thực dơng thoả mÃn :

x2 + y2 = x

√1− y2

+y√1− x2

Chøng minh r»ng : 3x + 4y Gi¶i :

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có :

(x2 + y2)2 = ( x√1− y2+y√1− x2 )2 (0x1 ; 0y 1)

=> x2 + y2 1

Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25

=> 3x + 4y

Đẳng thức xảy

2

x y

0 x 1,0 y y x                {

x=3

5 y=4

5

*) Bµi tËp :

Cho a, b, c ; a + b + c = Chøng minh r»ng : a, √a+b+√b+c+√c+a ≤√6

b, a+1+b+1+c+1<3,5

Giải

a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với số ta cã :

(√a+b 1+√b+c.1+√c+a 1)≤(1+1+1)[(√a+b)2+(√b+c)2+(√c+a)2]

=>  

2

ab  bc  ca 3.(2a2b 2c ) 6

=> √a+b+√b+c+√c+a ≤√6 DÊu '' = '' x¶y : a = b = c =

3 b, áp dụng bất đẳng thức Cơsi , ta có :

  (a 1) a

a a 1

2

 

     

T¬ng tù : √b+1≤b

2+1 ; √c+1≤ c 2+1 Cộng vế bất đẳng thức ta đợc : √a+1+√b+1+√c+1≤a+b+c

2 +3=3,5

Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = Vậy : √a+1+√b+1+√c+1<3,5

*) Bài tập 10 :

Cho số dơng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng :

a+ b+

1 c≥9 Gi¶i :

Theo c« - si ta cã :

a b 2

b  a  víi a , b > 0

Ta cã : a+

1 b+

1

c=¿ ( a+

1 b+

1

c) = ( a+

1 b+

1

c) (a + b + c) = 1+a

b+ a c+

b a+1+

b c+

c a+

c b+1 = 3+(a

b+ b a)+( b c+ c b)+( c a+ a

c)≥ + + + = =>

a+ b+

DÊu ''='' x¶y : a = b = c =

*) Bµi tËp 11:

Cho x , y > Chøng minh r»ng : x+

1 y≥

4

x+y

Gi¶i

áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : x+y ≥2√xy , chia hai vế cho xy >

x+ y

2

xy , nhân hai vế với x + y ta cã => (x + y)( 1x+1

y )

2

√xy (x+y) =

√xy xy =

=> x+

1 y

4 x+y

IV Hớng dẫn nhà - Xem lại tập chữa

- Giải tập từ 12 đến 15 *) Bài tập 12:

Cho a, b  ; c  0; Chøng minh r»ng: A = a + b + a + c + b + c 

c b a

Híng dÉn:

A = a + b + b + c + a + c

c c a a b b

A = ( a + c ) + ( b + c ) + ( a + b ) 

c a c b b a

(Lu ý: a, b  0; c  0; )

 a + c  2; b + c  2;

a

+ b  2;

c a c b b a

*) Bµi tËp 13:

Cho a, b , c  0; Chøng minh r»ng: A = (a + b)

2

+ (a + c)

2

+ (b + c)

2

 4(a + b + c)

c b a

Híng dÉn:

áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có

a b2 a b2

4c .4c 4(a b)

c c

 

   

T¬ng tù: (a + c)2

(b + c)2

+ 4a  (b + c) a

Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh *) Bài tập 14:

Cho a, b , c  0; Chøng minh r»ng:

A = (a + b) + (a + c) + (b + c) 

c b a

Híng dÉn: (a + b)

= (a + b)

c c (a + b)

víi a, b , c  cã c (a + b) 

(a + b + c)

(theo c« - si)

 dÊu "="  c = a + b c (a + b ) a + b + c

a + b

 (a + b) dÊu "="  c = a + b c (a + b ) a + b + c

T¬ng tù:

c + a

 2(c + a) dÊu "="  b = c + a b (c + a ) a + b + c

b + c

 2(b + c) dÊu "="  a = b + c a (b + c ) a + b + c

cộng vế bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh

Chú ý: Trong dấu "=" khơng xảy

a = b + c ; b = c+ a; c = a + b nªn a + b + c = (trái với giả thiết a, b, c > 0) *) Bµi tËp 15:

Cho a, b , c  0; Chøng minh r»ng:

D = (a + b) + (a + c) + (b + c)  





c b a

Híng dÉn: Ta cã:

D2 = (a + b) + (a + c) + (b + c)

c b a

+ 2.( (a+b) (b+c) + (a + b)(b+c) + (c+a)(b + c) )

bc ac ab

áp dụng kết toán 12, ta có a + b

+ a + c + b + c  dÊu "="  a = b = c

c b a

mặt khác ta l¹i cã:

(a + b)(c + a)  a + bc (a + b)(b + c)  b + ac

(b + c)(a + c)  c + ab (theo Bu –nhi – a- c«p – xki)

D2 + 2

(

a + bc

+ b + ac + c + ab )

bc ac ab

 D2 + + +2 + 2( a + b + c )

bc ac ab

mµ a + b + c 

bc ac ab

(theo c« - si)  D2  12 +  D2  18  D  2

DÊu "=" xảy khi: a = b = c

Chủ đề BUổI A/Mục tiêu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức phơng pháp sử dụng bất đẳng thức ba cạnh ca tam giỏc

Kĩ năng

- Rốn luyn kĩ biến đổi rèn luyện khả t tốn học thơng qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- RÌn lun tÝnh cẩn thận xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: Thớc, compa, êke - HS: Thớc, compa, êke

C/Tiến trình dạy

I Tỉ chøc

II KiĨm tra bµi cị

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết bất đẳng thức ba cạnh của tam giác tam giác ABC

- HS2:

Víi x, y > CMR:

1

x  y  xy DÊu “=” x¶y  x = y III Bµi míi

5 Phơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức ba cạnh tam giác a , b, c độ dài ba cạnh tam giác  a < b + c (1) b < a + c (2) c < a + b (3)

Từ bất đẳng thức tổng ba cạnh tam giác ta suy đợc bất đẳng thức hiệu hai cạnh

a < b + c (1) a b c(4) b < a + c (2) b c a(5) c < a + b (3) c a b(6) *) Bµi tËp 1:

Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c độ dài cạnh  )

Chøng minh r»ng :

p − a+ p −b+

1

p − c≥2 ( a+

1 b+

1 c) Gi¶i:

Tríc hÕt ta chứng minh toán : Với x, y > Chøng minh r»ng

1

x  y  xy DÊu “=” x¶y  x = y

T¬ng tù : p - b > ; p - c >

áp dụng toán ta có:

p − a+ p −b≥

4

(p − a)+(p −b)=

4 c T¬ng tù :

p − b+ p −c≥

4 a

p − a+ p −c≥

4 b => 2(

p − a+ p − c+

1

p − c)≥4( a+

1 b+

1 c) => điều phải chứng minh

Du '' = '' xảy : p - a = p - b = p - c  a = b = c Khi tam giác ABC tam giác

*) Bµi tËp 2:

Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CMR: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)  abc

Gi¶i:

Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết

2 2

0 ( )

b c a a  b c a

2 2

0 ( )

c a  b b  c a b

2 2

0 ( )

a b  c c  a b c

Từ      

2 ( )2 ( )2 ( )2 2

      

a b c b c a c a b a b c

 (a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)(c - a + b)(c + a - b) a b c2 2

 (a + b - c)2(b + c - a)2(c + a - b)2a b c2 2

 (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)abc

V× a, b, c, ba cạnh tam giác nên a + b - c >0

b + c - a >0

c + a - b >0 vµ abc >

Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh *) Bài tập 3:

Cho ®iĨm M n»m tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: MA + MB + MC >

 

AB AC BC

2 Gi¶i:

Xét tam giác AMB; tam giác AMC; tam giác BMC Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

MA + MB > AB MA + MC > AC MB + MC > BC

Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải ba bất đẳng thức lại ta có: 2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC

M

C B

MA + MB + MC >

 

AB AC BC

2 ( đpcm) *) Bài tập 4:

Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC Chứng minh: AM < AB+AC

2

Gi¶i:

Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Dễ dàng chứng minh đợc

AMB =DMC (c.g.c)

 CD = AB (hai cạnh tơng ứng) (1) Xét tam giác ACD theo bất đẳng thức ta có: AC + CD > AD = 2AM mà CD = AB ( theo (1) )  AC + AB > 2AM

 AM < AB+AC

2 (điều phải chứng minh)

*) Bài tËp 5:

Cho ®iĨm I n»m tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: BI + IC < BA + AC Giải:

Kéo dài BI cắt AC K

Xột AKB cú BK < AB + AK (Bất đẳng thức tam giác)  BI + IK < AB + AK  BI < AB + AK - IK (1) Xét KIC có IC < IK + KC (Bất đẳng thức tam giác)

 IC < IK + (AC – AK) (2) Cộng vế trái với vế trái, vế phải víi vÕ ph¶i cđa (1) víi (2) ta cã: BI + IC < AB + AK – IK + IK + AC – AK  BI + IC < AB + AC (®pcm)

*)Nhằm khắc sâu bất đẳng thức tam giác q trình bồi dỡng tơi cho em làm tập có tính nâng cao hơn:

*) Bµi tËp 6:

Cho gãc xOy, Oz tia phân giác góc xOy Từ ®iĨm M n»m gãc xOz vÏ MH vu«ng gãc víi Ox ( H thc Ox ), vÏ MK vu«ng gãc víi Oy( K thuéc Oy )

Chøng minh: MH < MK Gi¶i:

Gäi A giao điểm MK với Oz Vẽ AB Ox ( B thuéc Ox ) Nèi B víi M

Xét KOA vuông K BOA vuông B có: OA cạnh chung

BOA KOA (Oz tia phân giác)

Do Δ KOA = Δ BOA( cạnh huyền – góc nhọn )  AK = AB ( hai cạnh tơng ứng )

Xét Δ AMB có BM < AB + AM (Bất đẳng thức tam giác) Do BM < AK + AM (AB = AK ) hay BM < MK

Mặt khác MH < BM (Quan hệ đờng xiên đờng vng góc) Suy MH < MK (Điều phải chứng minh)

*) Bài tập 7:

Cho tam giác ABC có AB > AC, AD tia phân giác BAC ( D BC).M điểm nằm đoạn thẳng AD Chøng minh: MB – MC < AB – AC

Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = AC v× AB > AC nên E nằm A B suy AE + EB = AB

 EB = AB – AE = AB – AC xÐt Δ AEM ACM có: AE = AC (cách vẽ)

EAM CAM (AD tia phân giác Â) AM cạnh chung

Do ú Δ AEM = Δ ACM (c.g.c) Suy ME = MC (hai cạnh tơng ứng)

Xét Δ MEB có MB – ME < EB (Bất đẳng thức tam giác) Vì MC = ME, EB = AB - AC

Do MB – MC < AB – AC (điều phải chứng minh) *) Bài tập 8:

Cho tam giác ABC, gọi a, b, c lần lợt độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Gi¶i:

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a + b - c > => c(a + b - c) > (1) b + c - a > => a(b +c - a) > (2) a + c - b > => b(a + c - b) > (3)

Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải bất đẳng thức (1), (2), (3) ta đợc: c(a + b - c) + a(b +c - a) + b(a + c - b) >

=> ac + bc - c2 + ab + ac - a2 + ab + bc - b2 > 0

=> 2(ab + bc + ca) - (a2 + b2 + c2) > 0

 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 (®iỊu phải chứng minh)

*) Bài tập 9:

Chng minh nếu: a = y + z ; b = z + x ; c = x + y a, b, c độ dài cạnh tam giác ( x, y, z lớn 0)

Giải:

Theo ta có: a = y + z

b = z + x => 2(x + y + z) = a + b + c => x + y + z =

2(a+b+c) c = x + y

Suy x = b+c − a

2 ; y =

a+c −b

2 ; z =

a+b − c

2 V× x, y, z > => b+c − a

2 > ;

a+c −b

2 > ;

a+b − c

2 > => a, b, c thoả mãn độ dài cạnh tam giác

*) Bµi tËp 10:

Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn a + b + c = Chứng minh: ab + bc + ac > abc +

Gi¶i:

Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác Suy : a + b > c

b + c > a a + c > b mµ a + b + c =

suy a < ; b < ; c < => (a - 1)(b - 1)(c - 1) <

=> abc + < ab + ac + bc (điều phải chứng minh) IV Hớng dẫn nhà - Xem lại chữa

- Nếu không làm hết tập lớp GV hớng dẫn để HS về nhà làm

*******************************

Chủ đề BUổI A/Mục tiêu

 Học xong tiết HS cần phải đạt đợc : Kiến thức

- Học sinh biết cách chứng minh bất đẳng thức phơng pháp phản chứng, phơng pháp đổi biến, dùng bất đẳng thức tổng quát chứa lũy thừa các số tự nhiờn, phng phỏp quy np toỏn hc

Kĩ năng

- Rèn luyện kĩ biến đổi rèn luyện khả t tốn học thơng qua chứng minh bất đẳng thức

Thái độ

- Rèn luyện tính cẩn thận xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán.

B/Chuẩn bị thầy trò

- GV: - HS:

C/Tiến trình dạy

I Tổ chøc

II KiĨm tra bµi cị

- HS1: Cho tam giác ABC Hãy viết bất đẳng thức ba cạnh của tam giác tam giác ABC

- HS2: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, thoả mãn: a + b + c = Chứng minh: ab + bc + ac > abc + 1

III Bµi mới 6.Phơng pháp : Chứng minh phản chứng

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để suy điều vô lý

- Điều vơ lý trái với giả thiết , điều trái ngợc , từ suy đẳng thức cần chứng minh

- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức : + Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định suy kết luận *) Bài tập 1:

Cho < a,b,c,d <1 Chứng minh ; có bất đẳng thức sau sai : 2a(1 - b) >

3b(1 - c) > 8c(1 - d) > 32d(1 - a) > Gi¶i:

Giả sử ngợc lại bốn bất đẳng thức Nhân về, ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) >

=>        

1 a(1 a ) b(1 b) c(1 c ) d(1 d )

256

    

(1) Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có :

√a(1−a)≤a+1− a

2 =

1

2 => a(1 - a) T¬ng tù : b(1 - b)

4 c(1 - c)

4 d(1 - d)

Nhân bất đẳng thức ; ta có :

       

1 a(1 a ) b(1 b) c(1 c ) d(1 d )

256

    

(2) Tõ (1) vµ (2) suy v« lý

Điều vơ lý chứng tỏ bất đẳng thức cho đầu sai *) Bài tập 2:

Chứng minh khơng có số dơng a, b, c thoả mãn ba bất đẳng thức sau : a+1

b<2 ; b+

c<2 ; c+ a<2 Gi¶i

Giả sử tồn số dơng a, b, c thoả mãn bất đẳng thức : a+1

b<2 ; b+

c<2 ; c+ a<2

Cộng theo vế bất đẳng thức ta đợc : a+1

b+b+ c+c+

1 a<6  (a+1

a)+(b+ b)+(c+

1

c)<6 (1) V× a, b, c > nªn ta cã :

1

a

a

 

;

1

b

b

 

;

1

c

c

 

(theo c«-si) =>

1 1

a b c

a b c

Điều mâu thuẫn với (1)

*) Bài tËp 3:

Cho a3 + b3 = Chøng minh r»ng : a + b

Gi¶i :

Gi¶ sö : a + b > => (a + b )3 >

=> a3 + b3 + 3ab(a + b) >

=> + 3ab(a + b) > ( V× : a3 + b3 = )

=> ab(a + b) >

=> ab(a + b) > a3 + b3 ( V× : a3 + b3 = )

Chia hai vế cho số dơng a + b ta đợc : ab > a2 - ab + b2 => > (a - b)2 Vô lý

VËy : a + b 7 Phơng pháp : Đổi biến sè

- Kiến thức : Thực phơng pháp đổi biến số nhằm đa toán cho dạng đơn giản , gọn , dạng toán biết cách giải

*) Bµi tËp 1:

Chøng minh r»ng : NÕu a , b , c > th× : a

b+c+

b c+a+

c b+a≥

3

Giải:

Đặt : b + c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = x+y+z

2 => a = y+z − x

2 , b =

z+x − y

2 , c =

x+y − z

2 Khi :

VT = a b+c+

b c+a+

c b+a =

y+z − x

2x +

z+x − y

2y +

x+y − z

2z =

2( y x+

x y)+

1 2(

z x+

x z)+

1 2(

z y+

y z)−

3

2≥1+1+1− 2=

3

*) Bµi tËp 2:

Cho a, b, c > ; a + b + c Chøng minh r»ng :

a2+2 bc+

1 b2+2 ca+

1 c2+2ab9

Giải :

Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z

Khi : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab

= (a + b + c)2 1

Bài toán trở thành : Cho x, y, z > , x + y + z Chøng minh r»ng :

x+

1 y+

1 z≥9

Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( x+

1 y+

1

=>

9

1 1

x  y  z  xyz

Mµ : < x + y + z nªn suy x+

1 y+

1 z≥9

8 Phơng pháp 7: Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa số tự nhiên *) Bài tập : Cho a > b > CMR:

1996 1996 1996 1996 a b a b   > 1995 1995 1995 1995 a b a b   Gi¶i :

Để chứng minh bất đẳng thức , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau: Nếu a > b > m,n hai số tự nhiên mà m>n

m m n n m m n n

a b a b

a b a b

 



  (1)

Thật ta dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh (1) 

2

m m m n n n

m m n n

a b b a b b

a b a b

   



 



1-2 2

1

m n m n

m m n n m m n n

b b b b

a b   a b   a b   a b

m n

m n m n

m m n n m m n n

m m n n

b b

b b b b

a b a b

a b a b

b b b b

        1 1 m n m n a a b b  

  1

m n m n a a b b     ( ) ( ) m n m n m n

a a a a

b b b b

   

(2)

Bất đẳng thức (2) a > b > nên

a

b  vµ m > n

=> bất đẳng thức (1)

áp dụng bất đẳng thức trung gian

m m n n m m n n

a b a b

a b a b

 



  víi a > b > vµ m > n

Nên m =1996, n =1995 bất đẳng thức phải chứng minh ln

1996 1996 1996 1996 a b a b   > 1995 1995 1995 1995 a b a b

9 Phơng pháp 8: Dùng phép quy nạp toán học

- Kin thc : Để chứng minh bất đẳng thức với n n0 bng phng phỏp

quy nạp toán häc , ta tiÕn hµnh :

+ Kiểm tra bất đẳng thức với n = n0

+ Giả sử bất đẳng thức với n = k (k  n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thức với n  n0

*) Bài tập 1: Chứng minh với số nguyên dơng n 2n > 2n + (*)

+ Với n = , ta có : 2n = 23 = ; 2n + = 2.3 + = ; > Vậy đẳng thức (*) đúng

víi n =

+ Giả sử (*) với n = k (k N ; k 3) , tức : 2k > 2k +

+ Ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + (k N ; k 3)

hay : 2k+1 > 2k + (**)

- ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mµ 2k > 2k + ( theo gi¶ thiÕt quy n¹p )

: 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + ( Vì : 2k - > 0)

Vậy (**) với k

+ KÕt luËn : 2n > 2n + víi mäi sè nguyªn dơng n

*) Bài tập 2: Chøng minh r»ng :

2

5

2n −1 2n

1

3n+1 (*) (n số nguyên dơng )

Giải :

+ Với n = , ta cã : VT = VP =

2 Vậy (*) với n = + Giả sử (*) với n = k (kN)ta có :

2

5

2k −1 2k

√3k+1

Ta cần chứng minh (*) với n = k + Tức là:

2

5

2k −1 2k

2k+1

2(k+1)≤

1 √3(k+1)+1

Ta cã:

3

5

2k −1 2k

2k+1

2(k+1)≤

1

√3k+1

2k+1

2(k+1)

Do cần chứng minh :

√3k+1

2k+1

2(k+1)

1

3(k+1)+1 (**) (t/c bắc cầu)

Dựng phộp biến đổi tơng đơng , ta có : (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2

 12k3 + 28k2 + 19k + 12k3 + 28k2 + 20k +4

 k (đúng) => (**) với k Vậy (*) với số nguyên dơng n

IV Hớng dẫn nhà - Xem lại chữa

- GV giới thiệu thêm số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức khác nh phơng pháp làm trội, tam thức bậc hai,… ứng dụng của bất đẳng thức để giải dạng tốn khác Đề nghị học sinh tìm hiểu thêm sách tham khảo sau bồi dỡng tiếp có điều kiện thời gian.