Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1 2 n n n f x R f x f x f x x x x x f x x x n ′ ′′ = + − + − + + − + L ( ) ( ) ( 1) 1 0 , ( 1) n n n f c x x n R + + = − + f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0 : (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0 ) c nằm giữa x và x0Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1 2 n n n f x R f x f x f x x x x x f x x x n ′ ′′ = + − + − + + − + L ( ) ( ) ( 1) 1 0 , ( 1) n n n f c x x n R + + = − + f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0 : (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0 ) c nằm giữa x và x0Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1 2 n n n f x R f x f x f x x x x x f x x x n ′ ′′ = + − + − + + − + L ( ) ( ) ( 1) 1 0 , ( 1) n n n f c x x n R + + = − + f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0 : (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0 ) c nằm giữa x và x0Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1 2 n n n f x R f x f x f x x x x x f x x x n ′ ′′ = + − + − + + − + L ( ) ( ) ( 1) 1 0 , ( 1) n n n f c x x n R + + = − + f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x0 : (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0 ) c nằm giữa x và x0
KHAI TRIỂN TAYLOR Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange f có đạo hàm cấp n+1 (a, b) chứa x0: f ′ ( x0 ) f ′′ ( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 1! 2! +L + Rn = f ( n +1) f (n) ( x0 ) x − x n + R ( 0) n n! ( c ) x − x n +1 , ( 0) (n + 1)! c nằm x x0 (khai triển Taylor đến cấp n lân cận x 0) Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano f có đạo hàm cấp n x0: f ′ ( x0 ) f ′′ ( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) 1! 2! f ( n ) ( x0 ) n n +L + ( x − x0 ) + o ( x − x0 ) n! ( ) Phần dư Peano x0 = 0: khai triển Maclaurin Ý nghĩa khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp ⇒ cần tìm hàm số đơn giản gần f(x) để thuận tiện tính tốn Hàm đơn giản đa thức f(x) = sinx f(x) = sinx f ( x ) = x + o( x ) f(x) = sinx f ( x ) = x + o( x ) x f ( x) = x − + o( x ) 3! f(x) = sinx n −1 x f ( x) = ∑ ( −1) + o( x ) (2n − 1)! n =1 f ( x ) = x + o( x ) n x f ( x) = x − + o( x ) 3! Ví dụ Tìm khai triển Taylor đến cấp lân cận x = cho f ( x) = x (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa (x – 1) đến (x – 1)3) •Với phần dư Peano, cần tính đến đh cấp •Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp f ( x ) = ⇒ f (1) = x f ′( x) = − 2⇒ f ′(1) = −1 x f ′′( x) = ⇒ f ′′(1) = x 24 (4) f ( x) = f ′′′( x) = − ⇒ f ′′′(1) = −6 x x f ′(1) f ′′(1) f ( x) = f (1) + ( x − 1) + ( x − 1) 1! 2! f ′′′(1) 3 + ( x − 1) + o ( x − 1) 3! ( ) Cách 2: x x x− + + o( x ) sin x 120 tan x = = cos x x2 x4 − + + o( x ) 24 x x x− + 120 x − x 30 + x 15 x x 1− + 24 x + x + x 15 tan x = x + x + x + o( x5 ) 15 Bổ sung: tìm khai triển f(x) = arctan x f ′( x) = = g ( x) 1+ x f ( x) = arctan x Khai triển Maclaurin cho g(x) đến x 2n n 2n g ( x ) = − x + x − x + L + (−1) x f ′′(0) = g ′(0) = + o( x ) f ′′′(0) = g ′′(0) = −1 × 2! f (0) = f ′(0) = g (0) = 2n f (2 k ) f (2 k +1) (0) = g (2 k −1) (0) = g (2 k ) (0) = k (0) = ( −1) (2k )! f ′(0) f ′′(0) f ′′′(0) f ( x) = f (0) + x+ x + x + 1! 2! 3! f (2 n ) (2 n + ) ( (0) n f (0) n +1 n +1 +L + x + x +o x (2n)! (2n +)! ) n −1 x3 x5 x arctan x = x − + − L + (−1) n −1 + o x n −1 2n − ( Cách viết khai triển cho arctan cách viết khai triển cho hàm ngược nói chung ) Các lưu ý viết khai triển Taylor tai x Luôn chuyển khai triển Maclaurin Áp dụng công thức biểu thức u(x) với điều kiện u(x0) = Khai triển cho tổng hiệu: hàm phải khai triển đến bậc yêu cầu Khai triển cho tích: lấy bậc yêu cầu trừ bậc thấp kt hàm để biết bậc kt hàm cịn lại Khai triển cho hàm hợp: tính bậc VCB cho u(x) Áp dụng tính đạo hàm Bài tốn: tìm đạo hàm cấp n f x0 B1: Viết khai triển taylor theo (x – x0) đến cấp n B2: Xác định hệ số (x – x0)n khai triển B3: Giả sử hệ số B2 a f(n)(x0) = a.n! Ví dụ Tìm đh cấp x = 0, với f(x) = ex.sinx Khai triển Maclaurin đến cấp f x x f ( x) = 1 + x + + o( x ) ÷ x − + o( x ) ÷ 2! 3! 3 x x Các số hạng chứa x là: − + 3! 2! 1 ⇒ Hệ số x là: − + = 3! 2! ⇒ f ′′′(0) = ×3! = Tìm đh cấp x = 0, f ( x) = ln(1 + x + x ) Khai triển Maclaurin đến cấp f 2 (x + x ) (x + x ) f ( x) = x + x − + + o( x ) 3 3 Các số hạng chứa x là: − ×2 x + ×x 2 ⇒ Hệ số x3 là: − 2 ⇒ f ′′′(0) = − ×3! = −4 3 Tìm đh cấp 12, 13 x = 0, f ( x) = + x3 Khai triển Maclaurin đến cấp 13 f 1 f ( x) = × x 1+ 3 x x x = × − ÷+ ÷ − ÷ 2 2 4 5 x x + ÷ − ÷ + o( 2 2 x12 13 = ×1 − L + +0+o x 16 ( ) ) x12 13 f ( x) = ×1 − L + +0+o x 16 ( ) ⇒ Hệ số x12 là: 32 Hệ số x13 là: ⇒ f (12) (0) = ×12! , f (13) (0) = ×13! 32 Áp dụng khai triển Taylor tính giới hạn 1.Thơng thường áp dụng kt Tayor để tính gh pp khác (gh bản, VCB, L’Hospital) tính q dài khơng tính 2.Đa số dùng Taylor rơi vào trường hợp thay VCB VCL qua tổng, hiệu gặp triệt tiêu Do biểu thức khai triển đến hết triệt tiêu phần đa thức dừng, phần VCB bậc cao bỏ tính lim Ví dụ 1.Tìm số a,p để VCB α(x) ∼ axp x → a / α ( x) = x − sin x x = x − x − + o( x ) ÷ 3! x = + o( x ) 3! x : 3! ⇒a= ,p=3 b / α ( x) = x − e x + e− x = x − 2sinh x 3 x x = x − x + + o( x ) ÷ : −2 3! c / α ( x) = sin x − x cos x x x = x − + o( x ) − x − + o( x ) ÷ 3 x = + o( x ) 3 x : 2.Tính giới hạn: x a / lim x →0 + x − x − x2 = lim 1 11 x →0 2 + x + − x + o ( x ) − x −1 ÷( ) 2! = lim x →0 x2 −x + o( x ) 2 x = lim = − x →0 − x 2 x tan x e −e b / lim x →0 x + x = lim e tan x e x − tan x −1 x x − tan x = lim1 x →0 x x x − x − + o( x ) = lim =− x →0 x x →0 ... Ví dụ Tìm khai triển Taylor đến cấp lân cận x = cho f ( x) = x (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa (x – 1) đến (x – 1)3) ? ?Với phần dư Peano, cần tính đến đh cấp ? ?Với phần dư Lagrange, phải... Cách viết khai triển cho arctan cách viết khai triển cho hàm ngược nói chung ) Các lưu ý viết khai triển Taylor tai x Luôn chuyển khai triển Maclaurin Áp dụng công thức biểu thức u(x) với điều... R ( 0) n n! ( c ) x − x n +1 , ( 0) (n + 1)! c nằm x x0 (khai triển Taylor đến cấp n lân cận x 0) Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano f có đạo hàm cấp n x0: f ′ ( x0 ) f ′′ ( x0 ) f