Chuyen de Day so toan 6

Các bạn đã được giới thiệu các phương pháp chứng minh một số không phải là số chính phương trong TTT2 số 9. Bài viết này, tôi muốn giới thiệu với các bạn bài toán chứng minh một số là [r]

Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi D y số viết theo qui luậtã

VÝ dơ : TÝnh tỉng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 =

S2 = + =22

S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dự đoán Sn = n2

Vi n = 1;2;3 ta thấy kết

gi¶ sư víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k 2 (2) ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) 2 ( 3) ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)

vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức Sk+1 = ( k +1) 2 theo nguyên lý quy nạp toán đợc chứng minh

vËy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2

Tơng tự ta chứng minh kết sau phơng pháp quy nạp toán học

1, + 2+3 + + n = n(n+1)

2, 12 + 2 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1)

3, 13+23 + + n3 =

[n(n+1) ]

2

4, 15 + 25 + + n5 =

12 n2 (n + 1) ( 2n2 + 2n – ) VÝ dơ : tÝnh tỉng :

S = 10 111 +11.121 +12 131 + +99 1001 Ta cã :

10 11= 10 −

1

11 , 11.12=

1 11 −

1

12 , 99 100=

1 99 −

1 100 Do :

S = 10 − 11+ 11−

12+ .+ 99− 100= 10 − 100= 100 Dạng tổng quát

Sn = 1 21 +

2 3+ .+

n(n+1) ( n > )

= 1- n+1=

n n+1

VÝ dô : tÝnh tæng Sn =

1 3+ 4+

1

3 5+ +

Ta cã Sn = 2(

1 2−

1 3)+

1 2(

1 3−

1

3 4)+ + 2(

1 n(n+1)−

1 (n+1)(n+2))

Sn = 2(

1 2−

1 3+

1 3−

1

3 4+ + n(n+1)−

1 (n+1)(n+2))

Sn = 2(

1 2−

1

(n+1)(n+2))=

n(n+3) 4(n+1)(n+2)

VÝ dơ : tÝnh tỉng

Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1!

2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3!

n.n! = (n + 1) –n!

VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! -

VÝ dô : tÝnh tæng

Sn =

1 2¿2 ¿

2 3¿2 ¿ ¿ ¿

3

¿

Ta cã :

i+1¿2 ¿ ¿ 2i+1 [i(i+1)]2=

1 i2−

1 ¿

i = ; ; 3; ; n

Do Sn = ( 1-

n+1¿2

(¿¿) n2−

1

¿

1 22¿+(

1 22−

1

32)+ +¿ = 1-

n+1¿2 ¿

n+1¿2 ¿ ¿

1

III > Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn tổng cần tính:

S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh sau :

S = 1+2 (1+2+22 + + 299 )

S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 2 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)

Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2101

 S = 2101-1 VÝ dơ : tÝnh tỉng

Sn = 1+ p + p 2 + p3 + + pn ( p 1) Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau :

Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 )

Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n )

 Sn = 1+p ( Sn –pn )

 Sn = +p.Sn –p n+1

 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1

 Sn = P n+1

−1 p −1 VÝ dơ : TÝnh tỉng

Sn = 1+ 2p +3p 2 + + ( n+1 ) pn , ( p 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1

= 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1

= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1 p.Sn=Sn- Pn+1−1

P −1 +(n+1)P

n+1 ( theo VD )

L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - pn+1−1 P −1  Sn =

P −1¿2 ¿

(n+1)Pn+1

p −1 −

pn+1−1 ¿

VÝ dô : TÝnh tæng :

Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) VÝ dô 10 : TÝnh tæng :

Sn =1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1) ta cã : Sn = ∑

i=1

n

i(3i−1)=∑

i=1

n

(3i2− i)

= 3∑ i=1

n

i2−∑ i==

Sn = 3n(n+1)(2n+1)

6 −

n(n+1) =n

2 (n+1)

VÝ dô 11 TÝnh tæng

Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta cã :

Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 )

Sn =

2n+2¿2 ¿

n+1¿2 ¿

8n2¿

2n+1¿2¿ ¿ ¿

( theo (I) – )

=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1)

V/ Vận dụng trực tiếp cơng thức tính tổng số hạng dãy số cách ( Học sinh lớp )

 C¬ së lý thuyÕt :

+ để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng công thức:

Sè sè hạng = ( số cuối số đầu : ( khoảng cách ) +

+ tớnh tổng số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị , ta dùng cơng thức:

Tỉng = ( số đầu số cuối ) ( số sè h¹ng ) :2 VÝ dơ 12 :

TÝnh tæng A = 19 +20 +21 + + 132

Số số hạng A : ( 132 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607

VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng

B = +5 +9 + + 2005 +2009

số số hạng B ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515

VI / Vân dụng số công thức chứng minh đợc vào làm tốn

Ví dụ 14 : Chứng minh : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ tính tổng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)

Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) [(k+2)−(k −1)]

C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1) (k+2)−(k −1) = k(k+1)(k+2)

3 −

k(k+1)(k −1)

3 *

 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) => 1.2 =

1.2.3 0.1.2 

2.3.4 1.2.3 2.3

3

( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)

3

n n n n n n n n

 

   

  

S =

1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)

3 3

n n n n n n

    

 

VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :

k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)

Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [(k+3)−(k −1)]

= k( k+1) ( k +2 ) Rót : k(k+1) (k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3)

4 −

(k −1)k(k+1)(k+2)

¸p dơng : 1.2.3 =

4 −

0 2.3.4 =

4 −

1 4

n(n+1) (n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)

4 −

(n −1)n(n+1)(n+2)

Cộng vế với vế ta đợc S = n(n+1)(n+2)(n+3)

* Bài tập đề nghị :

TÝnh c¸c tỉng sau

1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2 b, S = + 52 + 53 + + 5 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76

3, D = 49 +64 + 81+ + 169

4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 5, S =

1 2+ 3+

1

6, S = 7+

4

7 9+ + 59 61 7, A =

11.16+ 16 21+

5

21 26+ + 61 66 8, M =

30+ 31+

1

32+ .+ 32005 9, Sn =

1 +

2 4+ +

1 n(n+1)(n+2)

10, Sn = 3+

2

2 4+ + 98 99 100 11, Sn = 1 41 +

2 5+ .+

1

n(n+1)(n+2)(n+3)

12, M = + 99 + 999 + + 99

50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9

S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =?

Trong q trình bồi dỡng học sinh giỏi , tơi kết hợp dạng tốn có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng tốn tìm x :

14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820

c, + 3+

1 6+

1

10+ .+ x(x+1)=1

1989 1991

Hay toán chứng minh chia hết liªn quan

15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ luü thõa cña b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60 ⋮ ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991 ⋮ 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 ⋮ Cho häc sinh chøng minh hai c«ng thøc: m

b(b+m)= b−

1 b+m

2m

b(b+m)(b+2m)= b(b+m)−

1

(b+m)(b+2m)

Hớng dẫn: Biến đổi vế phải vế trái II áp dụng làm tập:

Bµi 1: TÝnh tổng sau phơng pháp hợp lí nhất: a, A=

1 2+ 3+

1

3 4+ .+ 49 50 ; b, B=

3 5+ 7+

2

7 9+ + 37 39 c, C=

4 7+ 10+

3

10 13+ + 73 76 Hớng dẫn: áp dụng công thức Bài 2: Tính c¸c tỉng sau:

a, C= 10 11+

7 11.12+

7

b, D = 15 18+

6 18 21+

6

21 24 + + 87 90 c, E = 32

8 11+ 32 11.14 +

32

14 17+ + 32 197 200 Híng dẫn: áp dụng công thức

Bài 3: Tính c¸c tỉng sau: a, F =

25 27+ 27 29+

1

29 31+ + 73 75 b, G = 15

90 94+ 15 94 98+

15

98 102+ + 15

146 150 c, H = 10

56+ 10 140+

10

260+ + 10 1400 Híng dÉn: áp dụng công thức

Bài 4: Chứng minh r»ng víi mäi n N ta lu«n cã:

1 6+ 11+

1

11.16+ +

1

(5n+1)(5n+6)=

n+1 5n+6

Hớng dẫn: Biến đổi vế trái vế phải Vế trái =

5.( 6+

5 11+

5

11.16+ +

5

(5n+1).(5n+6))

( áp dụng cơng thức để tính ngoặc ) Bài 5:Tìm x N biết:

x- 2011.1320 13 15

−20

15 17 − − 20 53 55=

3 11 Hớng dẫn:

Bài 6: Tìm x N biết:

21+ 28+

1 36 + +

2 x(x+1)=

2 Híng dÉn:

Bµi 7: Chøng minh r»ng: a, A =

1 3+ 4+

1

3 5+ .+

18 19 20 < b, B = 36

1 5+ 36 7+

36

5 9+ .+ 36

25 27 29 <3 Hớng dẫn: áp dụng công thức

Bµi 8: Chøng minh r»ng: a, M=

22+ 32+

1 42+ +

1

n2 <1 ( n N; n 2)

b, N=

2n¿2 ¿ ¿

42+ 62+

1 82+ +

1 ¿

(n N;n 2)

c, P= 2! 3!+

2! 4!+

2! 5!+ +

2!

n!<1 ( n N;n 3) Híng dÉn: a, M<

1 2+ 3+

1 4+ .+

1 (n −1).n

b, N = 22.(

1 22+

1 32+

1 42+ +

1

n2) (áp dụng phần a làm tiếp) c, P = 2!

1 3+

1 4+

1

4 5+ + (n −1).n

3!+ 4!+

1 5!+ +

1 n !≤2 ¿

26+

1 27+

1 28+ +

1 50=1−

1 2+

1 3−

1 4+ +

1 49− 50 Híng dÉn: 26+ 27 + 28+ +

1 50 = 1+

2+ 3+ .+

1 50 −(1+

1 2+

1 3+ +

1 25) = 1+

2+ 3+ .+

1 50 −2(

1 2+

1 4+

1 6+ +

1 50) đpcm

Bài 1: Tính:

A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 HD:

3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)

3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101

Bµi 2: TÝnh:

A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 HD:

A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) Bµi 3: TÝnh:

A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 HD:

A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) Bµi 4: TÝnh:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 HD:

4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101

Bµi 5: TÝnh:

A = 12+22+32+ +992+1002 HD:

A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) Bµi 6: TÝnh:

A = 22+42+62+ +982+1002 HD:

A = 22(12+22+32+ +492+502) Bµi 7: TÝnh:

A = 12+32+52+ +972+992 HD:

A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bµi 8: TÝnh:

A = 12-22+32-42+ +992-1002 HD:

A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bµi 9: TÝnh:

A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 HD:

A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99

Bµi : CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Trong chương trình Tốn lớp 6, em học toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên cho số tự nhiên khác đặc biệt giới thiệu số phương, số tự nhiên bình phương số tự nhiên (chẳng hạn : ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …)

Kết hợp kiến thức trên, em giải toán : Chứng minh số khơng phải số phương Đây cách củng cố kiến thức mà em học Những toán làm tăng thêm lịng say mê mơn tốn cho em

1 Nhìn chữ số tận cùng

Vì số phương bình phương số tự nhiên nên thấy số

chính phương phải có chữ số tận chữ số ; ; ; ; ; 9.

Từ em giải toán kiểu sau :

Bài toán : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 khơng phải số phương

Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 ; ; ; Do số n có chữ số tận nên n khơng phải số phương

Chú ý : Nhiều số cho có chữ số tận số ; ; ; ; ; khơng phải số phương Khi bạn phải lưu ý thêm chút :

Nếu số phương chia hết cho số nguyên tố p phải chia hết cho p2.

Bài tốn : Chứng minh số 1234567890 khơng phải số phương

Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0) khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 khơng phải số phương

Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), khơng chia hết cho (vì hai chữ số tận 90) nên 1234567890 khơng số phương

Bài tốn : Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phương

Lời giải : Ta thấy tổng chữ số số 2004 nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, số khơng phải số phương

2 Dùng tính chất số dư

Chẳng hạn em gặp toán sau :

Bài tốn : Chứng minh số có tổng chữ số 2006 số phương

Chắc chắn em dễ bị “choáng” Vậy toán ta phải nghĩ tới điều ? Vì cho giả thiết tổng chữ số nên chắn em phải nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng lại khơng gặp điều “kì diệu” tốn Thế ta nói điều số ? Chắc chắn số chia cho phải dư Từ ta có lời giải

Lời giải : Vì số phương chia cho có số dư 1 mà (coi tập để em tự chứng minh !) Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho dư Chứng tỏ số cho khơng phải số phương

Tương tự em tự giải toán :

Bài toán : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 khơng số phương

Bây em theo dõi toán sau để nghĩ tới “tình huống”

Bài tốn : Chứng minh số :

n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không số phương.

Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, em thấy số dư phép chia 1, không “bắt chước” cách giải toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận em thấy chữ số tận n nên không làm “tương tự”

các toán ; Số dư phép chia n cho dễ thấy nhất, Một số

chính phương chia cho cho số dư ? Các em tự

chứng minh kết : số dư là 1 Như em

giải xong toán

3 “Kẹp” số hai số phương “liên tiếp”

Các em thấy : Nếu n số tự nhiên số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k

< (n + 1)2 k khơng số phương Từ em xét toán

sau :

Bài tốn : Chứng minh số 4014025 khơng số phương

Nhận xét : Số có hai chữ số tận 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế tất cách làm trước không vận dụng Các em thấy lời giải theo hướng khác

Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 <

20042 Chứng tỏ 4014025 khơng số phương

Bài toán : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không số phương với số tự nhiên n khác

Nhận xét : Đối với em làm quen với dạng biểu thức nhận A + số phương (đây toán quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp chịu khó đọc lời giải

Lời giải : Ta có :

A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 +

3n) +1 = (n2 + 3n +1)2

Mặt khác :

(n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A

Điều hiển nhiên n ≥ Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 =>

A khơng số phương

Các em rèn luyện cách thử giải toán sau :

Bài tốn 10 : Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n số phương

Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2

Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 khơng số phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho

Bài tốn 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh bìa ghi số số từ đến 1001 cho khơng có hai mảnh ghi số giống Chứng minh : Không thể ghép tất mảnh bìa liền để số phương

Bài toán 13 : Chứng minh : Tổng bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương

Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho

Bài toán 14 : Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 khơng số phương

Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … chục (?)

Để kết thúc viết này, tơi muốn chúc em học thật giỏi mơn tốn từ đầu bậc THCS cho tơi nói riêng với quý thầy cô : nguyên tắc chung để chứng minh số tự nhiên không số phương, dựa vào điều kiện cần để số số phương (mà quý thầy cô biết : điều kiện cần đời dùng để … phủ định !) Từ q thầy sáng tạo thêm nhiều tốn thú vị khác

Bµi : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Các bạn giới thiệu phương pháp chứng minh số khơng phải số phương TTT2 số Bài viết này, muốn giới thiệu với bạn toán chứng minh số số phương

Phương pháp : Dựa vào định nghĩa

Ta biết rằng, số phương bình phương số tự nhiên Dựa vào định nghĩa này, ta định hướng giải toán

Bài toán : Chứng minh : Với số tự nhiên n an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương

Lời giải : Ta có :

an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) +

= (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) +

= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1

= (n2 + 3n + 1)2

Với n số tự nhiên n2 + 3n + số tự nhiên, theo định nghĩa, a

n số

phương

Bài tốn : Chứng minh số : số phương

Lời giải :

Ta có :

Phương pháp : Dựa vào tính chất đặc biệt.

Ta chứng minh tính chất đặc biệt : “Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố a.b số phương a b số phương”

Bài tốn : Chứng minh : Nếu m, n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m =

4n2 + n m - n 4m + 4n + số phương.

Lời giải :

Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n

tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2

hay (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)

Gọi d ước chung lớn m - n 4m + 4n + (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chí hết cho d

Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d

Từ 8m + chia hết cho d m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d =

Vậy m - n 4m + 4n + số tự nhiên nguyên tố nhau, thỏa mãn (*) nên chúng số phương Cuối xin gửi tới bạn số toán thú vị số phương :

1) Chứng minh số sau số phương :

2) Cho số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b có số phương hay không ?

3) Chứng minh rằng, với số tự nhiên n 3n + khơng số phương

4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 số phương.

5) Chứng minh : Nếu : n hai số tự nhiên a số phương

Bµi : TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG

Tìm chữ số tận số tự nhiên dạng toán hay Đa số tài liệu dạng toán sử dụng khái niệm đồng dư, khái niệm trừu tượng khơng có chương trình Vì có khơng học sinh, đặc biệt bạn lớp lớp khó hiểu tiếp thu

Qua viết này, tơi xin trình bày với bạn số tính chất phương pháp giải tốn “tìm chữ số tận cùng”, sử dụng kiến thức THCS

Chúng ta xuất phát từ tính chất sau :

Tính chất :

a) Các số có chữ số tận 0, 1, 5, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận không thay đổi

b) Các số có chữ số tận 4, nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận cùng không thay đổi

c) Các số có chữ số tận 3, 7, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận

d) Các số có chữ số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận 6.

Việc chứng minh tính chất khơng khó, xin dành cho bạn đọc Như vậy, muốn tìm

chữ số tận số tự nhiên x = am, trước hết ta xác định chữ số tận a

- Nếu chữ số tận a 0, 1, 5, x có chữ số tận 0, 1, 5,

- Nếu chữ số tận a 3, 7, 9, am = a4n + r = a4n.ar với r = 0, 1, 2, nên từ tính

- Nếu chữ số tận a 2, 4, 8, trường hợp trên, từ tính chất 1d =>

chữ số tận x chữ số tận 6.ar

Bài toán : Tìm chữ số tận số : a) 799 b) 141414 c) 4567

Lời giải :

a) Trước hết, ta tìm số dư phép chia 99 cho :

99 - = (9 - 1)(98 + 97 + … + + 1) chia hết cho

=> 99 = 4k + (k thuộc N) => 799 = 74k + 1 = 74k.7

Do 74k có chữ số tận (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận 7.

b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d 141414 = 144k có chữ số tận cùng

là

c) Ta có 567 - chia hết cho => 567 = 4k + (k thuộc N)

=> 4567 = 44k + 1 = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận nên 4567 có chữ số

tận

Tính chất sau => từ tính chất

Tính chất : Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) thì chữ số tận khơng thay đổi.

Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng

Bài tốn : Tìm chữ số tận tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009

Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa

có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004})

Theo tính chất 2, lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng :

(2 + + … + 9) + 199.(1 + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009

Vậy chữ số tận tổng S Từ tính chất tiếp tục => tính chất

Tính chất :

a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận cùng ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận

b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận cùng ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận

c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + sẽ không thay đổi chữ số tận

Bài tốn : Tìm chữ số tận tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011

Lời giải :

Nhận xét : Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa

có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004})

Theo tính chất 23 có chữ số tận ; 37 có chữ số tận ; 411 có chữ

số tận ; …

Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng : (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019

Vậy chữ số tận tổng T

* Trong số tốn khác, việc tìm chữ số tận dẫn đến lời giải độc đáo

Bài tốn : Tồn hay khơng số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho

19952000

Lời giải : 19952000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn đề

Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận n2 +

n ; ; => n2 + n + tận ; ; => n2 + n + không

chia hết cho

Vậy không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “một số phương tận chữ số ; ; ; ;

6 ; 9”, ta giải tốn sau :

Bài toán : Chứng minh tổng sau khơng thể số phương :

a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn)

b) N = 20042004k + 2003

Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn tận chữ số ; ;

7 ; 9”, ta tiếp tục giải toán :

Bài toán : Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh : p8n +3.p4n - chia hết cho

* Các bạn giải tập sau :

Bài : Tìm số dư phép chia :

a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho

b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho

Bài : Tìm chữ số tận X, Y :

X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010

Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016

Bài : Chứng minh chữ số tận hai tổng sau giống :

U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013

V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015

Bài : Chứng minh không tồn số tự nhiên x, y, z thỏa mãn :

19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004

* Các bạn thử nghiên cứu tính chất phương pháp tìm nhiều chữ số tận số tự nhiên, tiếp tục trao đổi vấn đề

* Tìm hai chữ số tận

Nhận xét : Nếu x Є N x = 100k + y, k ; y Є N hai chữ số tận x hai chữ số tận y

Hiển nhiên y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn)

Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x =

am sau :

Trường hợp : Nếu a chẵn x = am∶ 2m Gọi n số tự nhiên cho an - 1∶ 25.

Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq∶ ta có :

x = am = aq(apn - 1) + aq

Vì an - 1∶ 25 => apn - ∶ 25 Mặt khác, (4, 25) = nên aq(apn - 1) ∶ 100

Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận aq Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq

Trường hợp : Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - 1∶ 100

Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có :

x = am = av(aun - 1) + av

Vì an - ∶ 100 => aun - ∶ 100

Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận av Tiếp

theo, ta tìm hai chữ số tận av

Trong hai trường hợp trên, chìa khóa để giải tốn phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ

số tận aq av

Bài toán :

Lời giải : a) Do 22003 số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ nhất

sao cho 2n - ∶ 25

Ta có 210 = 1024 => 210 + = 1025 ∶ 25 => 220 - = (210 + 1)(210 - 1) ∶ 25 => 23(220

- 1) ∶ 100 Mặt khác :

22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + (k Є N)

Vậy hai chữ số tận 22003 08

b) Do 799 số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé cho 7n -

∶ 100

Ta có 74 = 2401 => 74 - ∶ 100

Mặt khác : 99 - ∶ => 99 = 4k + (k Є N)

Vậy 799 = 74k + 1 = 7(74k - 1) + = 100q + (q Є N) tận hai chữ số 07

Bài tốn :

Tìm số dư phép chia 3517 cho 25

Lời giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận 3517 Do số lẻ nên theo

trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ cho 3n - ∶ 100

Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + ∶ 50 => 320 - = (310 + 1) (310 - 1) ∶ 100 Mặt khác : 516 - ∶ => 5(516 - 1) ∶ 20

=> 517 = 5(516 - 1) + = 20k + =>3517 = 320k + 5 = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận 43

Vậy số dư phép chia 3517 cho 25 18

Trong trường hợp số cho chia hết cho ta tìm theo cách gián tiếp

Trước tiên, ta tìm số dư phép chia số cho 25, từ suy khả hai chữ số tận Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị Các thí dụ cho thấy rằng, a = a = n = 20 ; a = n = Một câu hỏi đặt : Nếu a n nhỏ ? Ta có tính chất sau (bạn đọc tự chứng minh)

Tính chất : Nếu a Є N (a, 5) = a20 - ∶ 25

Bài tốn : Tìm hai chữ số tận tổng : a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002

b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003

Lời giải :

a) Dễ thấy, a chẵn a2 chia hết cho ; a lẻ a100 - chia hết cho ; a

chia hết cho a2 chia hết cho 25

Mặt khác, từ tính chất ta suy với a Є N (a, 5) = ta có a100 - ∶ 25

Vậy với a Є N ta có a2(a100 - 1) ∶ 100

Do S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042

Vì hai chữ số tận tổng S1 hai chữ số tận tổng 12 +

22 + 32 + + 20042 áp dụng công thức :

12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

=>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận 30

Vậy hai chữ số tận tổng S1 30

b) Hoàn toàn tương tự câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) + 23

+ 33 + 20043 Vì thế, hai chữ số tận tổng S

2 hai chữ số tận

của 13 + 23 + 33 + + 20043

áp dụng công thức :

=> 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận 00

Vậy hai chữ số tận tổng S2 00

Trở lại toán (TTT2 số 15), ta thấy sử dụng việc tìm chữ số tận để nhận biết số số phương Ta nhận biết điều thơng qua việc tìm hai chữ số tận

Tính chất : Số tự nhiên A khơng phải số phương : + A có chữ số tận 2, 3, 7, ;

+ A có chữ số tận mà chữ số hàng chục chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ ; + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác ; + A có hai chữ số tận lẻ

Bài toán 10 : Cho n Є N n - không chia hết cho Chứng minh 7n + khơng thể số phương

Lời giải : Do n - không chia hết n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}) Ta có 74 -

= 2400 ∶ 100 Ta viết 7n + = 74k + r + = 7r(74k - 1) + 7r +

Vậy hai chữ số tận 7n + hai chữ số tận 7r + (r = 0,

2, 3) nên 03, 51, 45 Theo tính chất rõ ràng 7n + số

chính phương n khơng chia hết cho

* Tìm ba chữ số tận cùng

Nhận xét : Tương tự trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000

Nếu x = 1000k + y, k ; y Є N ba chữ số tận x ba chữ số tận y (y ≤ x)

Do 1000 = x 125 mà (8, 125) = nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận

của số tự nhiên x = am sau :

Trường hợp : Nếu a chẵn x = am chia hết cho 2m Gọi n số tự nhiên

cho an - chia hết cho 125

Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq chia hết cho ta có :

x = am = aq(apn - 1) + aq

Vì an - chia hết cho 125 => apn - chia hết cho 125 Mặt khác, (8, 125) = nên

aq(apn - 1) chia hết cho 1000

Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận aq Tiếp theo, ta

tìm ba chữ số tận aq

Trường hợp : Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - chia hết cho 1000

Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có :

x = am = av(aun - 1) + av

Vì an - chia hết cho 1000 => aun - chia hết cho 1000

Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận av Tiếp theo, ta

tìm ba chữ số tận av

Tính chất sau suy từ tính chất

Tính chất :

Nếu a Є N (a, 5) = a100 - chia hết cho 125

Chứng minh : Do a20 - chia hết cho 25 nên a20, a40, a60, a80 chia cho 25 có số dư

=> a20 + a40 + a60 + a80 + chia hết cho Vậy a100 - = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 +

a20 + 1) chia hết cho 125

Bài tốn 11 :

Tìm ba chữ số tận 123101

Lời giải : Theo tính chất 6, (123, 5) = => 123100 - chia hết cho 125 (1) Mặt khác :

123100 - = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - chia hết cho (2)

Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy : 123100 - chi hết cho 1000

=> 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N)

Vậy 123101 có ba chữ số tận 123

Bài toán 12 :

Tìm ba chữ số tận 3399 98

Lời giải : Theo tính chất 6, (9, 5) = => 9100 - chi hết cho 125 (1)

Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy : 9100 - chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 9 = 9100p +

99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N)

Vậy ba chữ số tận 3399 98 ba chữ số tận 999

Lại 9100 - chia hết cho 1000 => ba chữ số tận 9100 001 mà 999 = 9100 :

=> ba chữ số tận 999 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 999 9, sau

dựa vào phép nhân để xác định )

Vậy ba chữ số tận 3399 98 889

Nếu số cho chia hết cho ta tìm ba chữ số tận cách gián bước : Tìm dư phép chia số cho 125, từ suy khả ba chữ số tận cùng, cuối kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị

Bài toán 13 :

Tìm ba chữ số tận 2004200

Lời giải : (2004, 5) = (tính chất 6)

=> 2004100 chia cho 125 dư

=> 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư

=> 2004200 tận 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200

chia hết tận 376

Từ phương pháp tìm hai ba chữ số tận trình bày, mở rộng để tìm nhiều ba chữ số tận số tự nhiên

Sau số tập vận dụng :

Bài : Chứng minh 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho n không chia hết cho

Bài : Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận giống

Bài : Tìm hai chữ số tận : a) 3999 b) 111213

Bài : Tìm hai chữ số tận : S = 23 + 223 + + 240023

Bài : Tìm ba chữ số tận :

S = 12004 + 22004 + + 20032004

Bài : Cho (a, 10) = Chứng minh ba chữ số tận a101 ba chữ số tận a

Bài : Cho A số chẵn không chia hết cho 10 Hãy tìm ba chữ số tận

của A200

Bài : Tìm ba chữ số tận số : 199319941995 2000

Bài : Tìm sáu chữ số tận 521

Bµi : MỘT DẠNG TỐN VỀ ƯCLN VÀ BCNN

Trong chương trình số học lớp 6, sau học khái niệm ước chung lớn (ƯCLN) bội chung nhỏ (BCNN), bạn gặp dạng tốn tìm hai số ngun dương biết số yếu tố có kiện ƯCLN BCNN

Phương pháp chung để giải :

1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với yếu tố cho để tìm hai số

2/ Trong số trường hợp, sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN

và tích hai số ngun dương a, b, : ab = (a, b).[a, b], (a, b) ƯCLN

và [a, b] BCNN a b Việc chứng minh hệ thức không khó :

Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =

Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd

=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab

=> ab = (a, b).[a, b] (**)

Chúng ta xét số ví dụ minh họa.

Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16 Lời giải : Do vai trò a, b nhau, khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b

Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =

1

Theo định nghĩa BCNN :

[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80

Chú ý : Ta áp dụng cơng thức (**) để giải toán : ab = (a, b).[a, b]

=> mn.162 = 240.16 suyy mn = 15

Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết ab = 216 (a, b) =

Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b

Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n

Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc a = 12, b = 18

Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60

Lời giải :

Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 =

Tìm (a, b) = 3, tốn đưa dạng toán Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15

Chú ý : Ta tính (a, b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN :

Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) =

Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết a/b = 2,6 (a, b) =

Lời giải : Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Vì : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 n = hay a = 65 b = 25

Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn phân số tối giản (m, n) =

Bài tốn : Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140

Lời giải : Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35

Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16

Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b

Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n

Vì : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n =

Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80

Bài tốn : Tìm a, b biết a + b = 42 [a, b] = 72

Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b => m ≤ n

Do : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2)

=> d ước chung 42 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6}

Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24

Bài toán : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140

Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) =

Do : a - b = d(m - n) = (1’) [a, b] = mnd = 140 (2’)

=> d ước chung 140 => d thuộc {1 ; 7}

d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n = Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28

Bài tập tự giải :

1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b (a, b) = 45

2/ Tìm hai số biết tổng chúng 448, ƯCLN chúng 16 chúng có chữ số hàng đơn vị giống

3/ Cho hai số tự nhiên a b Tìm tất số tự nhiên c cho ba số, tích hai số ln chia hết cho số cịn lại

Bµi : NGUN LÍ ĐI - RÍCH - LÊ

Ngun lí Đi-rích-lê phát biểu sau : “Nếu có m vật đặt vào n ngăn kéo m > n có ngăn kéo chứa hai vật” Nguyên lí Đi-rích-lê giúp ta chứng minh tồn “ngăn kéo” chứa hai vật mà khơng “ngăn kéo” Các bạn làm quen việc vận dụng nguyên lí qua toán sau

Bài toán : Chứng minh 11 số tự nhiên tồn số có hiệu chia hết cho 10

Lời giải :

Với 11 số tự nhiên chia cho 10 ta 11 số dư, mà số tự nhiên chia cho 10 có 10 khả dư ; ; ; ; ;

Vì có 11 số dư mà có 10 khả dư, theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn số chia cho 10 có số dư hiệu chúng chia hết cho 10 (đpcm)

Bài toán : Chứng minh tồn số có dạng 19941994 199400 chia hết cho 1995

Lời giải :

Xét 1995 số có dạng : 1994 ; 19941994 ; ;

Nếu số chia hết cho 1995 dễ dàng có đpcm

Nếu số khơng chia hết cho 1995 chia số cho 1995 có 1994 khả dư ; ; ; ; 1994

Vì có 1995 số dư mà có 1994 khả dư, theo ngun lí Đi-rích-lê tồn số chia cho 1995 có số dư, hiệu chúng chia hết cho 1995 Giả sử hai số :

Khi : = 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm)

Bài toán : Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (1999^k - 1) chia hết cho104

Lời giải : Xét 104 + số có dạng :

19991 ; 19992 ; ; 1999104 + Lập luận tương tự toán ta :

(1999m - 1999n) chia hết cho 104 (m > n) hay 1999n (1999m-n - 1) chia hết cho 104

Vì 1999n 104 nguyên tố nhau, (1999m-n - 1) chia hết cho 104 Đặt m - n = k => 1999^k - chia hết cho 104 (đpcm)

Bài toán : Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho 2003

Lời giải : Xét 2004 số có dạng ; 11 ; 111 ; ; Lập luận tương tự toán ta :

Bài toán : Chứng minh số ngun tố p ta tìm số viết hai chữ số chia hết cho p

Bài toán : Chứng minh số tự nhiên không chia hết cho tồn bội có dạng : 111

Bài toán : Chứng minh tồn số có dạng 1997k (k thuộc N) có tận 0001

Bài toán : Chứng minh số nguyên m n nguyên tố tìm số tự nhiên k cho mk - chia hết cho n

Các bạn đón đọc số sau : Ngun lí Đi-rích-lê với tốn hình học thú vị

Bµi : NGUYÊN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ

& NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC THÚ VỊ

Ngun lí mở rộng sau : Nếu có m vật đặt vào n ngăn kéo m > k.n có ngăn kéo chứa k + vật Với mở rộng này, ta cịn giải thêm nhiều toán khác Sau xin giới thiệu để bạn đọc làm quen việc vận dụng ngun lí Đi-rích-lê với số tốn hình học

Bài toán : Trong tam giác có cạnh (đơn vị độ dài, hiểu đến cuối viết) lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có hai điểm mà khoảng cách chúng không vượt

Lời giải : Chia tam giác có cạnh thành 16 tam giác có cạnh (hình 1) Vì 17 > 16, theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn tam giác cạnh có chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách hai điểm ln khơng vượt (đpcm)

Bài toán : Trong hình vng cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có điểm 51 điểm cho nằm hình trịn có bán kính

Lời giải : Chia hình vng cạnh thành 25 hình vng nhau, cạnh

của hình vng nhỏ 5/7 (hình 2)

Vậy tốn chứng minh Hình trịn hình trịn bán kính 1, chứa hình vng ta

Bài toán : Trong mặt phẳng cho 2003 điểm cho điểm có điểm cách khoảng không vượt Chứng minh : tồn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm

Lời giải : Lấy điểm A 2003 điểm cho, vẽ đường trịn C1 tâm A bán kính

+ Nếu tất điểm nằm hình trịn C1 hiển nhiên có đpcm

+ Nếu tồn điểm B mà khoảng cách A B lớn ta vẽ đường

trịn C2 tâm B bán kính

Khi đó, xét điểm C số 2001 điểm lại Xét điểm A, B, C, AB >

nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1

C2 => 2001 điểm khác B A phải nằm C1 C2 Theo nguyên lí Đi-rích-lê ta

có hình trịn chứa 1001 điểm Tính thêm tâm hình trịn hình trịn hình trịn bán kính chứa 1002 điểm 2003 điểm cho

Bài tốn : Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minh rằng, 17 đường thẳng có đường thẳng đồng quy

Lời giải : Gọi M, Q, N, P trung điểm AB, BC, CD, DA (hình 3). Vì ABCD hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD

Gọi d 17 đường thẳng cho Nếu d cắt AB E ; CD F ; PQ L LP, LQ đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có :

S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 LQ / LP = 1/3

Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thỏa mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 L trùng

với L1 L trùng với L2 Nghĩa d cắt AB CD d phải qua L1 L2

Tương tự, MN lấy hai điểm K1, K2 thỏa mãn điều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3

khi d cắt AD BC d phải qua K1 K2

Tóm lại, đường thẳng số 17 đường thẳng cho phải qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2

Vì 17 > 4.4 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê, 17 đường thẳng có

đường thẳng (5 = + 1) qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 đường thẳng

đồng quy, đpcm)

Bài : Trong hình chữ nhật có kích thước x 5, lấy điểm Chứng minh có hai điểm cách khoảng khơng vượt

Bài : Trong mặt phẳng tọa độ, cho ngũ giác lồi có tất đỉnh điểm ngun (có hồnh độ tung độ số nguyên) Chứng minh cạnh bên ngũ giác cịn điểm ngun khác

Bài : Tờ giấy hình vng có cạnh bé để cắt hình trịn có bán kính

Bài : Trên tờ giấy kẻ ô vuông, chọn 101 Chứng minh 101 có 26 khơng có điểm chung

Bµi : BÀN LUẬN VỀ BÀI TỐN "BA VỊ THẦN" Chúng ta biết toán thú vị : “Ba vị thần” sau :

Ngày xưa, ngơi đền cổ có vị thần giống hệt Thần thật (TT) ln ln nói thật, thần dối trá (DT) ln ln nói dối thần khơn ngoan (KN) lúc nói thật lúc nói dối Các vị thần trả lời câu hỏi khách đến lễ đền khơng xác định xác vị thần Một hơm có nhà hiền triết từ xa đến thăm đền Để xác định vị thần, ông hỏi thần bên trái :

- Ai ngồi cạnh ngài ? - Đó thần TT (1) Ông hỏi thần ngồi : - Ngài ?

- Ta thần KN (2)

Sau ông hỏi thần bên phải : - Ai ngồi cạnh ngài ?

- Đó thần DT (3) Nhà hiền triết lên :

- Tôi xác định vị thần

Hỏi nhà hiền triết suy luận ?

Lời giải : Gọi vị thần theo thứ tự từ trái sang phải : A, B, C Từ câu trả lời (1) => A thần TT

Từ câu trả lời (2) => B thần TT

Vậy C thần TT Theo (3) đ B thần DT đ A thần KN

Nhận xét : Cả câu hỏi tập trung xác định thần B, phải cách hỏi “thơng minh” nhà hiền triết để tìm vị thần ? Câu trả lời không phải, mà nhà hiền triết gặp may vị thần trả lời câu hỏi không “khôn ngoan” !

Nếu vị thần trả lời “khôn ngoan” mà đảm bảo tính chất vị thần sau câu hỏi, nhà hiền triết xác định vị thần Ta thấy rõ qua phân tích sau cách hỏi nhà hiền triết :

1 Hỏi thần X : - Ngài ?

Có khả trả lời sau :

- Ta thần TT => không xác định X (Cách trả lời khôn nhất) - Ta thần KN => X thần KN DT

- Ta thần DT => X KN Hỏi thần X :

- Ai ngồi cạnh ngài ?

Cũng có khả trả lời sau :

- Đó thần TT => thần X khác thần TT

- Đó thần KN => khơng xác định X (cách trả lời khơn nhất) - Đó thần DT => không xác định X (cách trả lời khôn nhất)

gặp may (do trả lời ngờ nghệch) cần sau câu hỏi nhà hiền triết đủ để xác định vị thần Các bạn tự tìm xem trường hợp câu trả lời vị thần

Bài toán cổ thật hay dí dỏm, vị thần trả lời theo phương án “khơn ngoan” có cách để xác định vị thần sau số câu hỏi khơng ?

Rõ ràng đặt câu hỏi nhà hiền triết Phải hỏi để thu nhiều thông tin ? Bây ta đặt vấn đề sau :

Mỗi lần hỏi hỏi vị thần vị trả lời Cần hỏi để sau số câu hỏi ta xác định vị thần Bài tốn rõ ràng khơng dễ chút nào, tơi tin bạn tìm nhiều phương án tối ưu ! Sau phương án

Hỏi thần A :

- Ngài thần KN ? - Nhận câu trả lời Hỏi thần B :

- Ngài thần KN ? - Nhận câu trả lời

Sau tơi cần hỏi thêm câu xác định xác vị thần Như số câu hỏi nhiều Các bạn rút số câu hỏi xuống

không ?

Xin mời bạn giải trí tốn phương án tuyệt vời (Nhớ hỏi thần vị trả lời)

Chuyên đề 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VAØ BỘI

Tiết 13: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI

A KIẾN THỨC CƠ BẢN :

1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a b (b 0).

a b q  a b  a bội b  b ước a.

2) Tính chất: 1/ Bất số khác chia hết cho

2/ Nếu a b vaøb c  a c

3/ Số chia hết cho số b khác 4/ Bất số củng chia hết cho 5/ Nếu a  m b  m a b m  vàa b m 

6/ Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m

số lại chia hết cho m

7/ Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m

a +b không chia hết cho m a - b không chia hết cho m

8/ Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m

9/ Neáu a m b n ,   ab mn Hệ Quả: Nếu a b  anbn

Nếu a m a n m n ,  ,( , ) 1  a mn B.Ví dụ: Ví dụ 1:Chứng minh rằng:

a) ab ba chia heát cho 11

b) ab ba Chia hết cho với a > b Giải:

a) Ta coù ab ba= (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)  11

Vaäy ab ba  11.

b) Ta coù : ab ba= (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = (a – b) 

Chú ý : Nếu ab cd 11 abcd 11 Ví dụ 2: Tìm n N để:

a) n +  n b) 3n +  n

Giaûi:

a) n +  n , n  n =>  n => n Ö(4) = 1;2; 4 b) 3n +  n; 3n  n =>  n => n Ư(7) = 1;7 C/ BÀI TẬP:

1) Cho abc deg 7. Cmr abcdeg 7

3) Cho số abc27Chứng minh số bca27 Giải:

: deg 1000 deg 1001 ( deg ) 7.143 ( deg )

abc abc abc abc abc abc

    

  

1)Tacó

Mà : 7.143abc7 abc deg 7. Vaäy abcdeg 7

2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab.( < a  9,  b  9, a,b

N)

Khi viết thêm số có hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta số: abba

1000 100 10

1001 110 7.11.13 11.10 11

: 11

abba a b b a

a b a b

abba

   

    

 Vaäy

3) abc27

0 27

1000 27

999 27

27.37 27

27 ( 27.37 27)

abc

a bc a a bc

a bca bca Do a



 

  

 



 

 

 

1) CMR tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, cịn tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 2) CMR Tổng số chẳn liên tiếp chia hết cho 10, cịn tổng số lẽ liên tiếp khơng chia hết cho 10

3) Tìm n N để:

a) 27 – 5n  n b) n +  n + 2 c) 2n +  n – d) 3n +  11 – 2n 4) Cmr ab cd eg  11thì abcdeg 11

5) Cho abc deg 37. Cmr abcdeg 37

6) Cho 10 k –  19 với k > CMR: 102k –  19

7) Cho n số tự nhiên CMR:

a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heát cho

b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 8) Chứng minh ab 2cd  abcd67

Giaûi:

1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2)  3

Thật ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 

Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n +

Ta coù: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + không chia hết cho 4n chia hết cho không chia heát cho

Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, cịn tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho 2) Gọi số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + với n số tự nhiên

Ta coù: 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10(n + 2) 10

Gọi số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + với n số tự nhiên

Ta coù: 2n + + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 25 = 10(n + 2) +  10.

3) a) 27 – 5n  n ; 5n  n => 27  n => n Ư(27) = 1;3;9; 27 5n < 27 nên n <

Vậy n  1;3

b) n +  n + => n + +  n + 2, maø n +2  n + =>  n + => n

+ 1; 2; 4 => n 0; 2

c) 2n +  n – => 2(n – 2) +  n -2 =>  n - => n – 1;7 => n

3;9



d*) 3n +  11 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 2n) – –  11 – 2n => 35 

11 – 2n

=> 11 – 2n 1;5;7;35 n < nên n 5;3; 2

4) : deg 10000 100 9999 99 ( )

9999 11; 99 11;( ) 11

Ta abc ab cd eg ab cd ab cd eg

Do ab cd eg

       

 

  

có

Vậy : abcdeg 11

5) : deg 1000 deg 999 ( deg) 27.37 ( deg)

27.37 37; ( deg) 37; : deg 37

Ta abc abc abc abc

abc abc

Do abc abc abc

    

  



  

có

Vậy

6) Ta có: 102k = 10– 2k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1)

Do 10k - 1 19 neân 10k(10k – 1) + (10k – 1)  19

Vaây 102k –  19

7) a/ (n + 10 ) (n + 15 )

Khi n chaün => n = 2k (k N).

Ta coù: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho

Khi n lẽ => n = 2k + (k N).

Ta coù: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16)

= 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia heát cho

b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2)

+ Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẳn số lẽ, số chẳn chia hết A chia hết cho

+ Trường hợp: n = 3k (k N) n chia hết A chia hết cho (1)

Trường hợp: n không chia hết cho n = 3k + n = 3k +

Khi n = 3k + => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết A chia heát cho

(2)

Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1) (3k + 4) chia hết A chia heát cho

(3)

Từ (1), (2) (3) suy ra: A chia hết cho Vậy A chia hết cho

8) Ta có abcd 100ab cd Mà: ab 2cd

Tiết 15: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT A/ LÝ THUYẾT:

1

0

1

2 1 1

:

2 2, 5

4 4, 25 25

8 8, 125 125

3

9

n

n n

n n

a a a a

A a A a

A a a A a a A a a a A a a a A a a a a a A a a a a a



 

 

 

 

     

     

   

   

   

 

 

n

Gọi A = a Tacó

+ chia hÕt cho b víi b lµ sè tự nhiên khác + a chia hết cho a với a số tự nhiên khác + NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho a th× a = b

+ NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho c th× a chia hÕt cho c

+ NÕu a chia hÕt cho b vµ a chia hÕt cho c mà (b,c) = a chia hết cho (b.c) + NÕu a.b chia hÕt cho c vµ (b,c) = th× a chia hÕt cho c

+ NÕu a chia hÕt cho m th× k.a chia hÕt cho m với k số tự nhiên +Nếu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho m th× (a ± b) chia hÕt cho m + NÕu a chia hÕt cho m, b kh«ng chia hÕt cho m (a b) không chia hết cho m + NÕu a chia hÕt cho m vµ b chia hÕt cho n th× (a.b) chia hÕt cho (m.n)

+ NÕu (a.b) chia hÕt cho m vµ m lµ sè nguyên tố a chia hết cho m b chia hÕt cho m

+ NÕu a chia hÕt cho m th× an chia hÕt cho m víi n số tự nhiên. + Nếu a chia hết cho b th× an chia hÕt cho

bn với n số tự nhiên

II Khi hc sinh nắm vấn đề nêu giáo viên đa ra một vài phơng pháp thơngf dùng để giải toán chia hết:

Ph

ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.

Để chứng minh a chia hết cho b( b  0) ta biểu diễn số a dới dạng tích thừa số, có thừa số b( chia hết cho b)

VÝ dô 1: Chøng minh r»ng (3n)100 chia hết cho 81 với số tự nhiên n. Giải: Ta cã (3n)100 = 31000 n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000

Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3996.n1000 chia hÕt cho 81.

⇒ (3n)1000 chia hÕt cho 81.

Ta có : 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215(25+1) = 215 33 Vì 33 chia hết cho 33  215 33 chia hết cho 33

Vậy 165 + 215 chia hết cho 33. Ph

ơng pháp 2: Dựa vào tính chất quan hÖ chia hÕt.

* Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, hiƯu:

- Để chứng minh a chia hết cho b(b  0) ta biểu diễn số a dới dạng tổng nhiều số hạng chứng minh tất số hạng đeèu chia hết cho b

- Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng số hạng chứng minh số hạng khơng chia hết cho b cịn tất số hạng lại chia hết cho b

Ví dụ : Khi chia số cho 255 ta đợc số d 170 Hỏi số có chia hết cho 85 khơng? Vì sao?

Giải: Gọi số a (a số tự nhiên)

Vì a chia cho 255 có số d 170 nên a = 255.k + 170 (k số tù nhiªn) Ta cã: 255 chia hÕt cho 85 nªn 255.k chia hÕt cho 85

170 chia hÕt cho 85

⇒ (255.k + 170) chia hÕt cho 85 (TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng) Do vËy a chia hÕt cho 85

VÝ dô 4: Chøng minh r»ng tỉng cđa ba sè tù nhiªn liên tiếp chia hết cho 3. Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a +

Tỉng cđa ba sè tù nhiên liên tiếp a + a + + a + = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hÕt cho (TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng) Từ tập, giáo viên đa học sinh vào tình : Có phải tổng n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay kh«ng?

Qua gợi trí tị mị, đa học sinh vào tình có vấn đề cần phải giải Sau giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, em cần làm tập sau:

VÝ dơ 5: Tỉng cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho hay không ? Giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + 3.

Tỉng cđa sè tù nhiên liên tiếp là:

a + a + + a + + a + = (a + a + a + a) + (1 + + 3) = (4a + 6)

Do chia hết 4a chia hết cho mà không chia hết (4a + 6) kh«ng chia hÕt cho

⇒ Tỉng cđa số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho

* Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tÝch:

§Ĩ chøng minh a chia hÕt cho b (b 0) ta cã thÓ chøng minh b»ng mét c¸c c¸ch sau:

+ Biểu diễn b = m.n với (m, n) = Sau chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n

+ BiĨu diƠn a = a1.a2 , b = b1.b2 , råi chøng minh a1 chia hÕt cho b1 ; a2 chia hÕt cho b2

VÝ dô 6: Chøng minh (495a + 1035b) chia hÕt cho 45 với a , b số tự nhiên. Giải:

Vì 495 chia hết 1980.a chia hÕt cho víi mäi a V× 1035 chia hÕt cho nªn 1035.b chia hÕt cho víi mäi b Nªn: (495a + 1035b) chia hÕt cho

Chøng minh t¬ng tù ta cã: (1980a + 1995b) chia hÕt cho víi mäi a, b Mµ (9, 5) =

⇒ (495a + 1035b) chia hÕt cho 45

VÝ dô 7: Chøng minh r»ng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải:

Gọi hai số chẵn liên tiÕp lµ 2n, 2n +

TÝch cđa hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1)

Vì n, n + không tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho Mà chia hết 4n.(n + 1) chia hÕt cho (4.2)

⇒ 4n.(n + 1) chia hÕt cho

⇒ 2n.(2n + 2) chia hÕt cho Ph

ơng pháp 3: Dùng định lý chia có d.

§Ĩ chøng minh n chia hÕt cho p, ta xÐt mäi trêng hỵp vÒ sè d chia n cho p VÝ dô 8: Chøng minh r»ng:

a TÝch ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b TÝch cđa sè tù nhiªn liên tiếp chia hết cho Giải:

a Gäi ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n +1, n + TÝch cđa ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2)

Mét sè tù nhiªn chia cho cã thĨ nhËn mét c¸c sè d 0; 1; - NÕu r = th× n chia hÕt cho ⇒ n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho - NÕu r = thf n = 3k + (k lµ sè tù nhiªn)

- NÕu r = n = 3k + (k sè tù nhiªn) ⇒ n + = 3k + + = (3k +3) chia hÕt cho ⇒ n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho

Tãm l¹i: n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho với n số tự nhiên

b Chøng minh t¬ng tù ta cã n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hÕt cho víi mäi n lµ sè tự nhiên

Sau giải tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu tập dạng tổng quát

Giáo viên khắc sâu cho häc sinh: TÝch cđa n sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho n

III Khi học sinh nắm vững phơng pháp thờng dùng để chứng minh chia hết, giáo viên số toán chia hết nhằm giúp học sinh nắm cách có hệ thống, đợc đào sâu kiến thức phép chia hết

Bài 1: Tìm tất số x, y để có số 34x5y chia ht cho 36

Giải: Vì (4, 9) = nªn 34x5y chia hÕt cho 36 ⇔ 34x5y chia hÕt cho vµ

34x5y chia hÕt cho

Ta cã: 34x5y chia hÕt cho ⇔ 5y chia hÕt cho ⇔ y  {2;6} 34x5y chia hÕt cho ⇔ (3 + + x + + y) chia hÕt cho

⇔ (9 + 13 + x + y) chia hÕt cho  (3 + x + y) chia hÕt cho V× x, y  N x; y Nên x + y thuéc {6;15}

NÕu y = x = x = 13 ( > - Loại ) Nếu y = x = hc x =

VËy số phải tìm là: 34452; 34056; 34956

Bài 2: Cho chữ số 0, a, b Hãy viết tất số có ba chữ số tạo ba số Chứng minh tổng tất số chia hết cho 211

Gi¶i:

Tất số có ba chữ số tạo ba chữ 0, a, b là: a0b ;ab 0;ba 0;b0a T số là:

a0b+ab 0+ba 0+b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a

= 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2)

Gi¶i:

Ta cã 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mµ 5.(n +2) chia hÕt cho (n +2)

Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) ớc

⇔ (n +2)  {1;2;4}

⇒ n  {0;2}

Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n+15

n+3 số tự nhiên

Giải: Để n+15

n+3 số tự nhiên (n + 15) chia hÕt cho (n + 3)

⇒ [(n + 15) - (n + 3)] chia hÕt cho (n + 3) ⇔ 12 chia hÕt cho (n +3)

⇔ (n + 3) Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 ⇔ n  0; 1; 3; 9

VËy với n 0; 1; 3; 9thì n+15

n+3 sè tù nhiªn

Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số để đợc số chia hết cho 5; 7;

Giải:

Giả sử ba số viết thêm abc

Ta cã: 579 abc⋮5;7;9⇒579 abc chia hÕt cho 5.7.9 = 315

Mặt khác: 579 abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hÕt cho 315

Mµ 315.1838 chia hÕt cho 315 ⇒ (30 + abc ) chia hÕt cho 315  30 + abc 

(315)

Do 100  abc  999  130  30 + abc  1029

 30 + abc  315; 630; 945

⇒ abc∈{285;600;915}

VËy ba sè cã thÓ viết thêm vào 285; 600; 915 B/ Vớ du:

Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có chữ số, chia hết cho cho 27 biết hai chữ số 97

Giải: Gọi n số phải tìm Vì n chia hết cho cho 27 nên n phải tận chia hết cho 9, ta có số n =

*975 Hoặc số n*970.

Khi: n = *975 => (* + + + 5)  => * = Thử lại 6975 không chia hết cho 27

Khi: n = *970 => (* + + + 0)  => * = Thử lại 2970 chia hết cho 27 Vây số 2970 số phải tìm

Ví dụ 2: Cho số tự nhiên ab ba lần tích chữ số nó. a) CMR: b chia hết cho a

Giải: a) Theo đề ta có: ab = 3ab

=> 10a + b = 3ab (1) => 10a + b  a

=> b a

b) Do b = ka neân k < 10 Thay b = ka vaøo (1), ta coù: 10a + ka = 3a.ka

=> a(10 + k) = 3ak a => 10 + k = 3ak

=> 10 + k  k

=> 10  k Vậy k ước 10

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n  N số 92n – chia hết cho

Giải: Có: 92n – = (92)n – = 81n - = ….1 - = …0

Số có chữ số tận nên chia hết cho

C/ BÀI TẬP:

1) Thay chữ x, y chữ số thích hợp để cho: a/ Số 275x chia hết cho 5; cho 25; cho125

b/ Số 4xy chia hết cho 2, cho4, cho

Giaûi: 1) a/ 275x   x0;5 ; 275x  25  x 0 ; 275x  125  x 0

b/ 2xy   x y, 0;1; 2; ;9 ; 4xy   x0;1; 2; ;9 , y0, 2, 4,6,8 8xy   x0; 2; 4;6;8 ; y2;6 hoặc x1;3;5;7;9;y0; 4;8

Tiết 16: LUYỆN TẬP

1) Cho n N, chứng minh rằng:

a/ 5n – 1

b/ n2 + n + khoâng chia heát cho 4. c/ 10n -  9

d/ 10n +  2) Chứng minh rằng:

a/ 1028 +  72 b/ 88 + 220  17

3/ CMR với số tự nhiên n n 2 + n + không chia hết cho 5. 4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5.

b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia heát cho 5.

Giải:

1) a/ + Với n = 0, ta có: 50 – = – = 0 4 + Với n = 1, ta có: 51 -1 = – =  4.

b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, n2 + n + số lẽ nên không chia hết cho 4.

c/ Ta coù 10n - = 100…0 – = 99… 

n chữ số n chữ số

d/ Ta có: 10n + = 100…0 + = 100…08 9 n chữ số n-1 chữ số

2) a/ Ta có: 1028 + = 100…0 + = 100……08  (1) 28 chữ số 27 chữ số

Số 1028 + có tận 008 nên chia hết cho (2) Mặt khác (8;9) = Vậy 1028 + chia heát cho 72

b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 20 = 220(24 + 1) = 220 17  17 vaây 88 + 220 chia heát cho 17.

3) Với số tự nhiên n n 2 + n = n(n + 1) tích hai số tự

nhiên liên tiếp nên tận 0; 2; 6. Do n 2 + n + tận 6; 8; nên không chia hết cho

4) a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5  5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - … =….0

Số có chữ số tận nên chia hết cho

Tiết 17: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ

17.18.19.20

PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

A/ LYÙ THUYEÁT:

+ Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước

+ Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a

Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n

n chữ số

M = ax.by….cz ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1)

+ Nếu ab Pvới P số nguyên tố a P b P. Đặc biệt: Nếu an P a P

B/ VÍ DỤ:

Ví duï 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100

a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương khơng?

Giải: a) Có A > 5; A  ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A

hợp số

b) Có 52  25, 53  25;… ;5100 25, 5 25 nên A  25 Số A  A  25 nên A không số phương

Ví dụ 2: Số 54 có ước

Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước. Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = 1;2;3;6;9;18; 27;54

Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p cho p + , p + số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên

Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố

Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề

Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề

Vaäy p = số nguyên tố cần tìm

C/ BÀI TẬP:

1) Tổng số ngun tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó?

2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay không?

3) Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố

a) p + p + 10

b) P + 10 vaø p + 20

4) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho

5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số

6) Cho a, n N*, biết an Chứng minh: a2 + 150  25

Giaûi:

1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn

số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số

3) a/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên

Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố

Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề

Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề

Vaäy p = số nguyên tố cần tìm

b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên

Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố

Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề

Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề

Vaäy p = số nguyên tố cần tìm

4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + 1 (1)

p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k N)

Daïng p = 3k + không xãy

Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + 3 (2)

Từ (1) (2) suy p + 

5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k N)

Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết hợp số, trái với đề

Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số

6) Coù an mà số nguyên tố nên a  => a2  25. Mặt khác 15025 nên a2 + 150 25

A Ôn tập bổ túc lũy thừa với số mũ tự nhiên: *

n

a    a.a.a a

( a 0, n  N*)

( n thừa số a)  ao = 1

 Lũy thừa tầng : n

m

a = a(m )n

B Tìm chữ số tận lũy thừa:

1.Chữ số tận số tự nhiên có tận 0;1;5;6 nâng lên lũy thừa:

- Cho HS tính lũy thừa sau ( Sử dụng máy tính)

2

2

2

2

10 0;10 0;10 0; 11 1;11 1;11 1; 15 5;15 5;15 5; 16 6;16 6;16 6;



  



   



   



     Các số tự nhiên có chữ số tận 0;1;5;6 nâng lên lũy thừa bất kì( 0) giữ

nguyên chữ số tận

Ví dụ: Tìm chữ số tận lũy thừa sau: a) 156 7 ; b)1061 9

c) 156 + 1061 9 d) 156 1061 9

 Giáo Viên hướng dẫn Học Sinh áp dụng tính chất trên:

a) 156 7 có chữ số tận 6

b) 1061 9 có chữ số tận 1

c) Theo câu a) b)  Chữ số tận lũy thừa :156 7 + 1061 9

là

d) Theo kết câu a) b)  Chữ số tận lũy thừa :156

1061 9 6.

Các tập tương tự:

a) 7130 ;b) 26 35 ; c) 86 33

d) 71 30 + 26 35;

7

5

e)231 ;f) 675

425 g) 71 30 + 26 35 ; h ) 86 33 71 30 ; k)

7

5

231 + 425675

2.Chữ số tận số tự nhiên có tận 2; 4;8 nâng lên lũy thừa 4n (n # 0) có chữ số tận 6

* Cho Học Sinh tính:

2 = …6 ; 8 = …6 ; 2 12 = …6

8 = …6; 8 = …6; 8 12 = …6

 Các số tự nhiên có chữ số tận 2;4;8 nâng lên lũy thừa 4n ( n # 0) có chữ số tận

* Tương tự cho Học Sinh tính : ( Vận dụng chữ số tận tích)

34 =…1 ; 38 = …1; 3 12 = …1

74 = …1; 78 = …1 ; 7 12 = …1

94 = …1 ; 8 = …1 ; 12 = …1

 Các số tự nhiên có chữ số tận 3; 7; nâng lên lũy thừa 4n (n # 0) có chữ số tận

* Chú ý:

- Riêng số tự nhiên có chữ số tận :

+ Nếu nâng lên lũy thừa lẽ có chữ số tận + Nếu nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận

- Một số phương khơng có chữ số tận 2; 3; 7;

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tìm chữ số tận lũy thừa sau: 74 30 ; 49 31 ;87 31 ; 58 33 ; 23 35

Bài : Tìm chữ số tận lũy thừa tầng sau:

7

234 ; 579675

Bài 3: Chứng tỏ tổng sau chia hết cho 10

a) 51 n + 47 102 (n  N)

Bài : Cho S = + 31 + 3 2 + 3 + …+ 30

ĐỀ KIỂM TA 15 PHÚT

Bài 1: Tìm chữ số tận lũy thừa sau: a)

7

345 b)78941

c) 87 32 d) 87 32 + 789 41

Bài : Chứng tỏ tổng sau không chia hết cho 10 A = 405 n + 405 + m ( n,m  N , n # 0)

Bài : Tính :

P = 2.2 2 3 10 .5 2 5 3 5 4 5 5…5 10 có chữ số

0?

ĐÁP ÁN: Bài 1:

 a) Số 345 có tận 5, nâng lên lũy thừa bất kì( # 0) có chữ số tận

 b)Có: 78941 = 789 4.10.789 = (…1).789 = …9  c)Có: 8732 = 87 4.8 =…1

 d) Từ kết câu b) c) có chữ số tận tổng

 87 32 + 789 41 = (…1) +(…9) = …0

Bài 2:

 405 = …5

 2405 = 404 = 4.101 = (…6).2 = …2

 m2 (số phương )có chữ số tận khác

 Vậy A có chữ số tận khác

0 

Bài 3:

 2.22.23…210 = 21+2+3+…+10 = 255  52.54.56…514 = 52+4+6+…+14 = 556

 A = 255 556 = 255 255 = 1055

Tiết 5: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ

NHIEÂN

A/ KIE N THƯ C CƠ BA NÁ Ù Û :

Định nghóa: an  a.a……….a ( n  N*)

n thừa số Quy ước: a1 = a ; a0 = ( a  0)

3 Nhân, chia hai lũy thừa số:

( , *)

: ( , *, , 0)

m n m n

m n m n

a a a m n N

a a a m n N m n a





 

   

4.Lũy thừa tích: (a.b)n = an bn

5 Lũy thừa lũy thừa: ( am )n = am.n

6 Lũy thừa tầng: ( )

n n

m m

a a

7 Số phương số mà bình phương số tự nhiên

Ví dụ: số 0; 1; 4; 9; 16; 25;… số phương

B/

Ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm x biết: 2.3x = 162 Giải: 2.3x = 162 => 3x = 162 :2 3x = 81= 34 => x =

Ví dụ 2: Viết tích sau dạng lũy thừa: 25 84 Giải: 25 84 = 25 (23)4 = 25 212 = 217

C/ Bài tập:

1) Tìm x  N bieát:

a/ 2x – 15 = 17 b/ (7x -11 )3 = 25.52 + 200

2) Trong số sau, số nhau, số nhỏ nhất, số lớn nhất?

24 ; 34 ; 42 ; 43 ; 990 ; 099 ; 1n ( n số tự nhiên khác 0) 3) Viết số 729 dạng lũy thừa với số khác số mũ lớn

4) Chứng tỏ tổng hiệu sau số phương:

a) 32 + 42 b) 132 – 52

c) 13 + 23 + 33 + 43 Giaûi:

1) a/ 2x – 15 = 17

=> 2x = 32 => 2x = 25 => x =

b/ (7x -11 )3 = 25.52 + 200 (7x -11 )3 =1000

(7x -11 )3 = 103 7x – 11 = 10 x = 2) HS tự giải

3) 729 = 272 = 93 = 36 4) Ta coù:

a) 32 + 42 = + 16 = 25 = 52.

Vậy tổng 32 + 42 số phương. b) 132 – 52 = 169 - 25 = 144 = 122

Vậy hiệu 132 - 52 số phương. c) 13 + 23 + 33 + 43 = + + 27 + 64 = 100 = 102.

Tiết 6: LUYỆN TẬP

1) Viết tổng hiệu sau dạng lũy thừa với số mũ lớn

a/ 172 -152 b/ 43 – 23 + 52

2) Viết dạng lũy thừa số: a/ 256 1253 b/ 6255 : 257 c/ 123 33 3) Tìm x  N biết:

a) (2x + 1)3 = 125 b) (x – 5)4 = (x - 5) 6 c) x15 = x

d/ x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3. 4) Tính

3

3

2

)2 , )6 , )

a b c

5) Tính giá trị biểu thức: A =

2 15 14

11.3 (2.3 )



Giaûi:

1/ a) 172 -152 = 64 = 82 = 43 = 26 b) 43 – 23 + 52 = 81 = 92 = 34

2) a/ 256 1253 = (52)6.(53)3 = 512.59 = 521 b/ 6255 : 257 = 56

c/ 123 33 = 66 3)

a) (2x + 1)3 = 125 (2x + 1)3 = 5 2x + = 2x = x =

b) (x – 5)4 = (x - 5) 6 (x – 5)6 - (x - 5) 4 = 0 (x – 5)4

2

(x - 5)

  

  =

0

…………

x = x =

c) x15 = x x15 – x = x(x14 – 1) = 0 x = x =

d/ x10 = x x10 – x = x( x9 – 1) = 0

x = x9 - = 0 x = x =

e/ (2x -15)5 = (2x -15)3 (2x -15)5 - (2x -15)3 = 0 (2x -15)3

2

(2x -15)

  

  = 0

(2x -15)3 = (2x -15)3 – =

3

3 8

3

1 1

4) ) 2 256 ) 6 216

) 7 7

a b c

 

 

  

5) Coù: A =

22 15 29 15 28

14 2 28 28

11.3 11.3 (3 ) (11.3 ) 24

(2.3 ) 4.3

  

   

Tiết SO SÁNH HAILŨY THỪA

A) KIE N THƯ C CƠ BA N:Á Ù Û

1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng dạng hai lũy thừa

có số (lớn 1) số mũ (lớn 0) so sánh

Nếu am = an m = n, an = b n

thì a = b

Nếu m > n am > an (a> 1)

Nếu a > b an > b n (n > 0)

2) Tính chất đơn điệu phép nhân: Nếu a < b a.c < b.c (với c > 0)

B) Ví dụ:

Ví dụ1: So sánh: a/ 27 11 vaø 818 b/ 6255 vaø 1257

Giải: a/ Có 2711 = (33)11 = 333; 818 = (34)8 = 332 Do 333 > 3 32 neân 27 11 > 818.

b/ Coù 625 5 = (54)5 = 520 ; 1257 = (53)7 = 521 Do 521 > 520 neân 1257 > 6255.

Ví dụ 2: So sánh: 7300 3500 Giải:

3500 = (35)100 = 243100 ;

7300 = (73)100 = 343100 Vì 343100 > 243100 Vậy 7300 > 3500 C) Bài tập:

1) So sánh:

a/ 536 vaø 11 24 b/ 523 vaø 6.522. c/ 3111 vaø 1714 d/ 7245 – 72 44 vaø 7244 – 72 43.

2) Tìm x N bieát: a/ 16x < 1284

b/ 5x 5x + 5x +  100………0 : 218.

18 chữ số Giải:

1) a/ 536 > 11 24

b/ 523 = 5.522 < 6.522 vaäy 5 23 < 6.522

c/ 3111 < 3211 = (25)11 = 255 ;

1714 > 1614 = (24)14 = 2 56 Vaäy 1714 > 3111 d/ 7245 – 72 44 = 7244(72 – 1) = 7244 71 7244 – 72 43.= 72 43( 72 -1) = 7243 71.

Do 7244 71 > 7243 71 vaäy: 7245 – 72 44 > 7244 – 72 43 2) a/ Coù 16x = (24)x = 2 4x, 1284 = (27)4 = 228.

Do 16x < 1284 neân 2 4x < 228 suy ra: 4x < 28 Suy x < 7. Vì xN x < Vaäy x 0;1;2;3; 4;5;6

18 chữ số Suy 3x + 3  10 18 : 2 18

3x + 3  518 3x +  18

x 

Vì xN x x 0;1;2;3;4;5

Tiết 8: LUYỆN TẬP

1) So sánh: a) 7.213 vaø 216 b/ 19920 vaø 200315 c/ 32n vaø 23n (n N*)

2) So sánh hai biểu thức:

10 10 10 10

9

3 11 13 65 ,

3 2 104

B  C 

3) Cho A = + 32 + 33 + …….+3100.

Tìm số tự nhiên n, biết 2A + = 3n.

4) Cho S = + + 22 + 23 + … + 29 Hãy so sánh S với 28. Giải:

1) a/ Coù: 216= 23.213 = 213 Do 7.213 < 213 Vaäy 7.213 < 216 b/ 19920 < 20020 = (8.25)20= (23.52)20 = 260.540

200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53)15 = 260.545 Vì 260.545 > 260.540 Vậy 200315 > 19920. c/ Có 32n = 9n ; 23n = 8n => 9n > 8n (n N*) Suy 32n > 23n (n N*)

2)

10 10 10

9

10 10 10

8

3 11 (11 5) 3 16

2 13 65 (13 65) 78 104 104 104

B

C

 

  

 

   

Vậy B = C

3) Có A = + 32 + 33 + …….+3100 3A = 32 + 33 + 34 +…….+3101 Suy ra: 3A – A = 3101 – 3

Hay: 2A = 3101 – => 2A + = 3101 , mà theo đề ta có: 2A + = 3n.

Suy ra: 3101 = 3n => n = 101.

4) Coù: S = + + 22 + 23 + … + 29 Suy ra: S = + 22 + 23 + 24 + … + 210. 2S – S = 210 – Hay S = 210 – < 210

Mà 210 = 22 28 < 28 Do đó: S < 210 < 5.28. Vậy S < 28.

CHUYÊN ĐỀ CHỮ SỐ TÂN CÙNG.

Tiết 9: TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN :

1) Tìm chữ số tận tích: + Tích số lẽ số lẽ

+ Tích số chẳn với số tự nhiên số chẳn + Tích số tận với số tự nhiên tận

2) Tìm chữ số tận lũy thừa:

a) Tìm chữ số tân cùng:

+ Các số tự nhiên có tận 0; 1; 5; Khi nâng lên lũy thừa bất kỳ( khác 0) có tận 0; 1; ;

+ Các số tự nhiên có tận 3; 7; nâng lên lũy thừa 4n có tận

…34n = ….1; … 74n = ….1; …94n = …1

+ Các số tự nhiên có tận 2; 4; nâng lên lũy thừa 4n (n0)

có tận

…24n = ….6; … 44n = ….6; …84n = …6.

+ Các số tự nhiên có tận nâng lên lũy thừa lẽ có chữ số tận

B/ Ví dụ : Tìm chữ số tân cùng:

1) Tìm chữ số tận số sau: 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335

2) CMR 8102 – 2 102 Chia hết cho 10.

Giải:

1) Coù : 7430 = 744.7.742 = (…6) (…6) = (…6);

4931 = (….9);

8732 = 874.8 = (…1);

5833 = 5832 58 = 584.8 58 = (…6) 58 = (…8);

2335 = 2332 233 = (…1) (…7) = (…7).

2) 8102 = 8100.82 = 84.25.82 = (…6) 64 = ….4

102 = 2100.22 = 24.25.22 = (…6) = ….4.

Vaäy 8102 – 2 102 có tận nên chia hết cho 10

C/ Bài Tập:

1) CMR A = 51n + 47102 (n N) Chia heát cho 10.

2) Chứng tỏ 175 + 244 – 1321 chia hết cho 10.

Giaûi:

1) 51n = ….1

47102 = 47100.472 = 474.25.472 = (….1).( …9) = …9

Vaäy A = ….1 + ….9 = ….0 nên chia hết cho 10

= (…7) + (…6) – ( 1) 13 = (…7) + (…6) – ( 3) = (…3) + (… 3) = (…0)

Vậy số 175 + 244 – 1321 chia heát cho 10.

Tiết 10: LUYÊN TẬP

1) Chứng minh với số tự nhiên n: a) 74n - chia hết cho 10.

b) 34n+1 + chia heát cho 5.

c) 24n+1 + chia heát cho 5

d) 24n+2 + chia heát cho 5

e) 92n+1 + chia heát cho 5.

2) Tìm số tự nhiên n để n10 + chia hết cho 10.

3) Biết số tự nhiên n chia hết cho n2 - n chia hết cho Tìm chữ số tận n?

Giải:

1) a/ Coù 74n - = (…1) – = (…0) nên chia hết cho 10.

b/ 34n+1 + = 34n.3 + = (…1) + = (…3) + = …5 nên chia hết cho 5.

c/ 24n+1 + = 24n + = (…6) + = (…2) + = (…5) neân chia heát cho 5.

d/ 24n+2 + = 24n.22 + = (…6) + = (…4) + = ( 5) nên chia hết cho 5.

e/ 92n+1 + = (…9) + = (…0) nên chia hết cho 10 ( 2n + số lẽ).

2) Có n10 + chia hết cho 10 => n10= n5.2= (n5)2 có tận baèng 9.

=> n5 tận => n tận

3) Có n2 – n = n.(n – 1) chia hết n n – chia hết cho

Do n tận ; n – tận ; => n tận ; 1;

Tiết 11: TÌM HAI CHỮ SỐ TÂN CÙNG TRỞ LÊN A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN :

1) Tìm hai chữ số tân cùng:

+ Các số có tận 01; 25; 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 01; 25; 76

+ Các số 320 (hoặc số 815); 74; 512; 992 có tận 01.

+ Các số 220; 65; 184; 242; 742 ; 684 có tận 76

+ Số 26n ( n > 1) có tận 76.

2) Tìm ba chữ số tân trở lên:

+ Các số có tận 001; 376; 625 nâng lên lũy thừa khác tận 001; 376; 625

+ Số có tận 0625 nâng lên lũy thừa khác tận 0625

+ Một số phương tận 2; 3; 7;

B/ Ví dụ: Tìm hai chữ số tân cùng:

a) Tìm hai chữ số tân 2100.

b) Tìm hai chữ số tân 71991.

Giải: a) Ta có: 210 = 1024 Bình phương số có tận 24 tận

cùng 76

Do 2100 = (210)10 = 102410 = (10242)5 = (…76)5 = …76

b) 74 = 2401 Số có tận 01 nâng lên lũy thừa (khác 0)

tận 01 Do đó: 1991 = 71998.73 = (74)497 343 = ( …01)497 343

= (…01) 343 = …43

Vậy 71991 có tận 43.

C/ Bài Tập:

1) Tìm hai chữ số tận của:

a) 5151 ; b) 6666 ; c) 14101 16101; d) 9999

99 ; e) 5n, với n > 1

Giaûi:

1) a) 5151 = (512)25 51 =    

25

01 51 01 51 51

; b) 6666 = (65)133 = ( 76)133 = (…76) = …56

c) 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 = (…76)50 224 = (…76)

224 = …24;

d) 999999 992k1 (99 ) 99 ( 01) 99 ( 01).99 992 k k

     ;

e) 5n =….25 (n > 1).

Chuyên đề 1

So s¸nh hai luü thõa

A Mơc tiªu.

- Khi häc kiÕn thøc vỊ l thõa víi sè mị tù nhiªn tõ loại tập mà em thờng gặp so sánh hai luỹ thừa

- Giỏo viờn cần bổ sung cho học sinh kiến thức so sánh hai luỹ thừa - Từ học sinh vận dụng linh hoạt vào giải tập

B Nội dung chuyn t.

I Kiến thức bản.

1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa so sánh hai luỹ thừa số cïng sè mò

+ NÕu hai luü thõa cã số (lớn 1) luỹu thừa cã sè mị lín h¬n sÏ lín h¬n

+ NÕu hai l thõa cã cïng sè mị (>0) th× luỹ thừa có số lớn lớn h¬n

2 Ngồi hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta cịn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân

(a<b th× a.c<b.c với c>0)

Ví dụ: So sánh 3210 1615, số lớn hơn. Hớng dẫn:

Nếu m>n th× am>an (a>1).

Các số 32 16 khác nhng luỹ thừa lên ta tìm cách đa 3210 1615 luỹ thừa số 2.

3210 = (25)10 = 250 1615 = (24)15 = 260

V× 250 < 260 suy 3210 < 1615.

II áp dụng làm tập.

Bài 1: So sánh số sau, số lớn hơn? a) 2711 vµ 818 b) 6255 vµ 1257

c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n (n  N* ) Híng dÉn:

a) §a vỊ cïng c¬ sè b) §a vỊ cïng số c) Đa số mũ 12 d) Đa số mũ n

Bài 2: So sánh số sau, số lớn hơn? a) 523 vµ 6.522

b) 7.213 vµ 216 c) 2115 vµ 275.498 Híng dÉn:

a) Đa hai số dạng tích có thừa số giống 522. b) Đa hai số dạng tích có thừa số giống 213. c) Đa hai số dạng tích luỹ thừa số

Bµi 3: So sánh số sau, số lớn hơn. a) 19920 vµ 200315.

b) 339 vµ 1121. Híng dÉn :

a) 19920 < 20020 = (23 52)20 = 260 540.

200315 > 200015 = (2.103)15 = (24 53)15 = 260.545 b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121.

Bài4: So sánh hiệu,hiệu lớn hơn? 72 45-7244vµ 72 44-7243.

Híng dÉn:

7245-7244=7245(72-1)=7245.71. 7244-7244=7244(72-1)=7244.71. Bài5:Tìm x N biÕt:

a, 16x<1284

b, 5x.5x+1.5x+2 100 0:218 Híng dÉn:

a, §a 2vÕ vỊ cïng c¬ sè

⇒ luỹ thừa nhỏ ⇒ số mũ nhỏ Từ tìm x

b, §a 2vÕ vỊ số x Bài6:Cho S=1+2+22+23+ +29. H·y so s¸nh S víi 5.28.

Híng dÉn: 2S=2+22+23+24+ +210.

⇒ 2S-S=210-1(210=22.28=4.28<5.28).

Bµi7: Gäi m số có 9chữ số mà cách ghi chữ số HÃy so sánh m với 10.98.

Hớng dẫn:Có cách chọn chữ số hàng trăm triệu Có cách chọn chữ số hàng chục triệu m=9.9.9.9.9.9.9.9.9=99.

Mµ 99 = 9.98 < 10.98. VËy: m < 10.98.

Bµi8: H·y viÕt sè lín cách dùng3 chữ số1,2,3với điều kiện chữ số dùng lần chỉ1 lần

Hng dn:Vit tất đợc bao nhiêu: +Trờng hợp khơng có luỹ thừa +Có dùng luỹ thừa

2chữ số Hãy so sánh số

Sè lín nhÊt lµ 321.

Bài9: So sánh a) 3131 1739 b)

221 vµ

535 Híng dÉn: a) 3131<3231=2155; 1739>1639 = 2156.

b) So s¸nh 221 víi 535

Chun đề 2:

Chữ số tận tích,một luỹ thừa I.Đặt vấn đề.

- Trong thực tế nhiều ta không cần biết giá trị số mà cần biết hay nhiều chữ số tận nó.Chẳng hạn, so số muốn biết có trúng giải cuối hay khơng ta cần so chữ số cuối cùng.Trong toán học,khi xét số có chia hết cho 2;4;8 chia hết cho 5;25;125 hay không ta cần xét 1,2,3 chữ số tận số

- Trang bÞ cho học sinh kiến thức tìm chữ số tận cïng cña mét tÝch, mét luü thõa

- Học sinh nắm vững kiến thức để áp dụng giải tập có liên quan II Nội dung cần truyn t.

I.Kiến thức

1.Tìm chữ số tận tích - Tích số lẻ số lẻ

Đặc biệt tích số lẻ có tận với số lẻ có chữ số tận

- Tích số chẵn với số tự nhiên số chẵn

Đặc biệt, tích số chẵn có tận với số tự nhiên có chữ số tận

Tìm chữ số tận luỹ thừa:chú ý đến số đặc biệt a,Tìm chữ số tận cựng

-Các số có tận 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào(khác0) tận cung ; ; ;

- Các số có tận ; ; nâng lên luỹ thừa đợc có số tận

- Các số có tận ; 7; nâng lên luỹ thừa đợc số có tận

b Tìm hai chữ số tận

- Các số có tận 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa ( kh¸c ) cịng tËn cïng b»ng 01 ; 25 ; 76

c Tìm ba chữ số tận trở lên

- Các số có tận 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa ( khác 0) tận 001 ; 376 ; 625

- Sè cã ch÷ số tận 0625 nâng lên luỹ thừa ( kh¸c 0) cịng tËn cïng b»ng 0625

Một số phơng tận b»ng ; ; ; II ¸p dơng lµm bµi tËp

Bµi1 : Chøng tá r»ng c¸c tỉng sau chia hÕt cho 10 a) 175 + 244 - 1321

b) 51n + 47102

Híng dÉn: Chøng tá ch÷ sè tËn cïng cđa tỉng b»ng 0. Bµi2 : Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n :

a) 74n - chia hÕt cho 5. b) 34n+1 + chia hÕt cho 5.

c) 24n+1 + chia hÕt cho 5. d) 24n+2 + chia hÕt cho 5. e) 92n+1 + chia hÕt cho 10.

Chứng tỏ tổng e) có chữ số tận Baì4: Tìm chữ số tận sô sau:

a) 2345 b) 5796

Híng dÉn:

56 số lẻ có dạng 2n + (n N*)

67 lµ mét số chẵn có dạng 2n ( n N*) Bài5 : Tìm hai chữ số tận

99

a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101 16101

Hớng dẫn : đa dạng (an)m , an có hai chữ số tận 01 76 Bài 6: Tích số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thừa số ?

* Hớng dẫn : Dùng P2 để loại trừ.

- Nếu tích thừa số lẻ liên tiếp trở lên có thừa số có chữ số tận tích phải có tận , trái đề ,vậy thừa số tích nhỏ

- Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận tận , trái đề

- Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận hoặc trái đề

Vậy tích có thừa số ví dụ: ( ) ( ) ( ) =

Bµi 7: TÝch A = 2.22 23 210x 52 54 56 .5 14 tËn cïng lµ chữ số 0. Hớng dẫn: Tích thõa sè vµ thõa sè cã tËn chữ số

Bài 8: Cho S = + 31 +32+ 33 + + 330.

Tìm chữ số tận S, từ suy S khơng phải số phơng Hớng dẫn: 2S = 3S - S =331 -1 =328 33 -1.

= ( 34 )7 27 -1 = 27 -1 = 6. ⇒ 2S = ⇒ S =

Số phơng tận ⇒ ®pcm

Bài 9: Trong số tự nhiên từ đến 10 000, có chữ số tận mà viết đợc dới dạng 8m +5n (m,n N*)?

Híng dÉn: 5n cã tËn lµ víi n N*.

⇒ 8m cã tËn cïng lµ ⇒ m = 4k (k N*). V× 85 > 10 000 ⇒ m = 4.

⇒ số phải đếm có dạng 84 + 5n với n = , , , , có số. Bài10: Có số tự nhiên n thoả mãn:

n2 = 20072007 2007kh«ng? Híng dÉn: n2 = 20072007 2006.

n2 số phơng có tận lµ ⋮ 2.

⇒ n2 Mà 20072007 2006 không chia hết cho ( 06 không chia hết cho 4)

VËy kh«ng cã sè tù nhiên Bài 11: Tìm chữ số tận cđa sè: A = 51994.

HíngdÉn: 54 = 0625 tËn cïng lµ 0625

55 = 3125 tËn cïng lµ 3125 56 tËn cïng lµ 5625

Chu kì tợng lặp lại

Suy 54m tËn cïng lµ 0625 ⇒ 54m+2 tËn cïnglµ 5625 Mà 1994 có dạng 4m+2 51994 tận cïng lµ 5625

Bµi 12: Chøng minh r»ng chữ số tận số tự nhiên n n5 nh nhau. Hớng dẫn: Cách 1: XÐt ch÷ sè tËn cïng cđa n ⇒ ch÷ sè tËn cïng t¬ng øng cđa n5.

Cách2: Đa chứng minh ( n5 - n ) ⋮ 10 Biến đổi n5 - n = n.(n-1).(n +1).(n2+1).

Bài tập giải tơng tự tập trên: Bài 13:Tìm chữ số cuối cïng cña sè:

a) A = 99

b) B = 23 Bài14: Tìm hai chữ tËn cïng cña sè : a) M = 2999 b) N = 3999

Bài 15: Cho số tự nhiên n Chứng minh r»ng :

Chuyên đễ 3

Ngun lí điriclê tốn chia hết. A Đặt vấn đề:

Sau học xong phép chia ngồi việc rèn luyện kĩ tính toán thành thạo phép chia giáo viên cần phải mở rộng kiến thức liên quan đến phép chia nh phép đồng d, mối liên hệ nguyên lí điriclê toán chia hết giúp học sinh rèn khả t sáng tạo để làm đợc tập nâng cao

B.Nội dung cần truyền đạt B Kiến thức bản.

NÕu nhèt a thỏ vào b lồng mà a = b.q + r (0< r <q ) th× Ýt nhÊt cịng cã mét lång nhèt tõ q+1 thá trë lªn

* Chú ý cho học sinh: Khi giải tốn vận dụng ngun lí điriclê cần suy nghĩ để làm xuất " thỏ" "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" nhng trình bày lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngơn ngữ tốn học thông thờng

VÝ dô: Cho sè tự nhiên Chứng minh chọn sè mµ hiƯu cđa chóng chia hÕt cho

Phân tích: Coi số thỏ Chín thỏ đợc nhốt lồng ? Ta biết chia số cho số d trong8 số:0 ; ; ; ; ; ; ; Có số tự nhiên chia cho mà có số d nên theo ngun lí điriclê có số chia cho có số d Hiệu số chia hết cho

Trình bày lời giải:

Khi chia số tự nhiên cho sè d r chØ cã thÓ lÊy mét giá trị là:0 ; ; ; ; ; ; ; mµ cã số tự nhiên chia cho mà có số d nên theo nguyên lí điriclê còng cã sè chia cho cã cïng sè d.HiƯu sè nµy chia hÕt cho

§a cho häc sinh nhËn xÐt n + sè tù nhiªn , bao giê cịng cã thĨ chän hai sè mµ hiƯu cđa chóng chia hÕt cho n ( n N* ).

C.Bài tập áp dụng:

Bµi 1:Chøng minh r»ng 11 sè tù nhiên có hai sè cã ch÷ sè tËn cïng gièng

Híng dÉn:

C¸ch 1: XÐt phÐp chia cho 10

Cã 11 sè chia cho 10 cã Ýt nhÊt hai sè cã cïng sè d ⇒ hiƯu hai sè nµy chia hÕt cho 10 Hay hiƯu hai số có chữ số tận hai số có chữ số tận giống

Cách 2: Có 11 số mà số tự nhiên có chữ số tận 10 số là: ; ; ; ; ; ; ; ; ;

⇒ đpcm

Bài 2: Chứng minh tồn bội 13 gồm toàn chữ số Híng dÉn: XÐt d·y sè gåm 14 sè h¹ng:

; 22 ; 222 ; 2222 ; ; 22 2⏟ ❑ 14 ch÷ sè

Cã 14 sè xÐt , phÐp chia cho 13 → cã hiÖu hai sè chia hÕt cho 13 Mµ hiƯu hai sè ( sè lín trõ sè nhá ) cã d¹ng:

22 2000 = 22 10n.

⇒ 22 10n ⋮ 13 mµ ( 10n , 13 ) =1. ⇒ 22 ⋮ 13 ( ®pcm )

Bµi 3: Cho d·y sè : 10 ; 102 ; 103 ; ;1020.

Chøng minh r»ng tån t¹i mét sè chia cho 19 d Híng dÉn:

D·y sè cã 20 sè, xÐt phÐp chia cho 19 ⇒ cã Ýt nhÊt hai sè cã cïng sè d ⇒ hiƯu hai sè chia hÕt cho 19 Mµ hiƯu hai sè cã d¹ng:

10m -10n = 10n ( 10m-n -1 ).

⇒ 10n (10m-n -1 ) ⋮ 19 mµ (10n, 19 ) =1. ⇒ 10m-n -1 ⋮ 19.

Bài 4: cho số lẻ Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hÕt cho Híng dÉn:

Mét số lẻ chia cho số d có thĨ lµ mét sè ; ; ; Ta chia sè d nµy lµm nhãm ( hai lång )

Nhãm d hc d Nhãm d hc d

Cã ba sè lẻ ( ba "thỏ" ) mà có hai nhóm số d ( hai "lồng" ) nên tồn hai số thuộc nhóm đpcm

Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hÕt cho 12

Híng dÉn: Mét sè nguyên tố lớn hơ chia cho 12 số d chØ cã thĨ lµ mét sè ; ; ; 11 chia thµnh nhãm: nhãm d hc d 11; nhãm d hc d

⇒ ®pcm

Bài 6: Chứng minh ba số tự nhiên ln chọn đợc hai số có tổng chia hết cho

Híng dÉn: Cã lång chẵn - lẻ Và có ba thỏ lµ ba sè

Bài 7: Cho bảy số tự nhiên Chứng minh ta ln chọn đợc số có tổng chia hết cho

Hớng dẫn: Gọi số a ❑1 , a ❑2 , a ❑3 , a ❑4 , a ❑5 , a ❑6 , a ❑7 Theo tập ta chọn đợc số có tổng chia hết cho Chẳng hạn a ❑1 + a ❑2 = 2k ❑1 .Còn số lại chọn đợc hai số chia hết cho hai, chẳng hạn

a ❑3 + a ❑4 = 2k ❑2 Còn ba số , lại chọn đợc số, chẳng hạn chia hết cho 2, chẳng hạn a5+ a6 = 2k3 Xét ba số k1, k2,k3 ta chọn đợc số chia hết cho chẳng hạn k1+k2=2m nh vậy:

2k1+2k2 = 4m

Hay a1+a2+a3+a4=4m chia hÕt cho

Bài 8: Chứng minh số tự nhiên chọn đợc ba số có tổng chia hết cho

Híng dÉn: Bất kỳ số tự nhiên có ba d¹ng 3k, 3k+1, 3k+2 ( kN)

Trêng hợp 1: Có số dạng  Tỉng cđa sè nµy chia hÕt cho

Trờng hợp 2: Có số thuộc dạng suy dạng có số  Tổng số dạng có số  Tổng số dạng chia hết cho

Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ Chứng minh ln chọn đợc số có tổng chia hết cho

Híng dÉn: Mét sè lỴ chia hÕt cho số d Tức số lẻ có dạng 4k+1 hc 4k+2

Nếu có bốn số thuộc dạng tổng số chia hết cho Nếu khơng nh dạng có số, ta chọn số dạng số dạng tổng số chia hết cho

Bài 10: Viết số tự nhiên vào mặt súc sắc Chứng minh ta gieo súc sắc xuống bàn mặt nhìn thấy cúng tìm đợc hay nhiều mặt để tổng số chia hết cho

Hớng dẫn: Gọi số mặt a1, a2, a3, a4, a5 XÐt tæng:

S1= a1 S2= a1+a2 S3=a1+a2+a3 S4=a1+a2+a3+a4 S4=a1+a2+a3+a4+a5

- Nêu có tổng chia hết cho tốn giải song

Bµi 11 Có tồn hay không số có dạng

20072007 200700 chia hÕt cho 2005 Híng dÉn:

XÐt d·y sè 2007, 20072007, 200720072007, , 20072007 2007⏟

2006so 2007

trong phÐp chia cho 2005 cã it nhÊt hiÖu hai sè chia hÕt cho 2005 HiƯu hai sè nµy ( sè lín trõ sè nhá ) cã d¹ng 20072007 200700

Bai 12: Chứng minh tồn số tự nhiên x < 17 cho 25x -1 ⋮ 17

Híng dÉn : XÐt d·y sè gåm 17 sè h¹ng sau :

25 ; 252 ; 253 ; ; 2517 Chia sè h¹ng cđa d·y (1) cho 17

Vì (25,17) =1 nên (25n ,1) = ∀ n N vµ n XÐt phÐp chia cho 17 d·y sè trªn cã Ýt nhÊt hai sè chia cho 17 cã cïng sè d

Gọi số 25m 25n với m , n N 1 m <n 17 ⇒ 25n - 25m ⋮ 17

⇔ 25m ( 25n - m -1 ) ⋮ 17 ( 25m , 17 ) = 1 ⇒ đpcm. Chuyên đề 4

Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số

A Đặt vấn đề:

Để so sánh hai phân số cách quy đồng mẫu tử (các so sánh "hai tích chéo" thực chất quy đồng mẫu số), số trờng hợp cụ thể, tuỳ theo đặc điểm phân số, ta cịn so sánh số phơng pháp khác Tính chất bắc cầu thứ tự thờng đợc sử dụng, phát phân số trung gian để làm cầu nối vấn đề quan trọng

B Nội dung cần truyền đạt. I Kiến thức

1 Dïng sè lµm trung gian a) NÕu a

b > vµ c

d < th× a b >

c

d b) NÕu a

b = + M ; c

d = +N mµ M>N th× a

b> c d

M N theo thứ tự gọi "phần thừa" so với hai phân số cho

* NÕu hai phân số có "phần thừa" so với khác nhau, phân số có "phần thừa" lớn lớn h¬n.

VÝ dơ: 199

198 = +

198 ;

200

199 = + 199 V×

198 >

199 nªn 199 198 >

200 199 c) NÕu a

b = 1- M ; c

d = + N nÕu M > N th× a b <

c d

M N theo thứ tự gọi "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị hai phân số cho

* Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số có "phần bù" lớn phần số nhỏ hơn.

VÝ dơ: 2005

2006 = -

2006 ; 2006

2007 = + 2007 Vì

2006 >

2007 nên 2005 2006 <

VÝ dô : So sánh 18

31 15 37 Giải: Xét phân số trung gian 18

37 ( Phân số có tử tử phân số thứ nhất, có mẫu mẫu phân số thứ 2) Ta thấy:

18 31 >

18 37 vµ

18 37 >

15

31 suy 18 31 >

15

37 ( tính chất bắc cầu) (Ta cịng cã thĨ lÊy ph©n sè 15

31 làm phân số trung gian) b) Ví dụ : So sánh 12

47 19 17 Giải: hai phân số 12

47 19

77 u xp x

4 nên ta dùng phân số

4 lµm trung gian Ta cã: 12

47 > 12 48 =

1 19

77 < 19 76 =

1 Suy 12

47 > 19 77 II Bài tập áp dụng:

Bài 1: So sánh a) 64

85 vµ 73

81 b) n+1

n+2 vµ

n

n+3 ( n N*)

Híng dÉn: b) Dïng ph©n sè 64

81 (hoặc 73

85 ) làm phân số trung gian b) dïng ph©n sè n+1

n+3 (hoặc

n

n+2 ) làm phân số trung gian

Bài 2: So sánh a) 67

77 vµ 73

83 b) 456

461 vµ 123

128 c)

2003 2004−1 2003 2004 vµ 2004 2005−1

2004 2005

Hớng dẫn: Mẫu hai phân số tử số đơn vị nên ta sử dụng so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị

Bµi 3: So sánh: a) 11

12 16

49 b) 58

89 vµ 36 53 Híng dẫn: a) Hai phân số 11

32 16

49 xấp xỉ

3 nªn ta dùng phân số

3 làm trung gian

b) Hai phân số 58 89

36

53 xấp xỉ

3 nên ta dùng phân số

3 làm phân số trung gian Baì 4: So sánh phân sè A = 2535 232323

353535 2323 ; B = 3535

3534 ; C = 2323 2322 Híng dÉn : Rót gän A = =

C = + 2322 Từ suy : A < B < C

Bµi 5: So s¸nh :

A = (11 13−22 26)

22 26−44 52 vµ B =

1382−690 1372−548

Híng dÉn : Rót gän A = =

4 = +

4 B = = 138

137 = + 137 V×

4 >

137 nªn A > B Bài 6: So sánh

a) 53 57 vµ

531

571 ; b) 25

26 vµ

25251 26261 Híng dÉn :

a) 53 57 =

530

570 = - 40

570 ; 531

571 = - 40 571 b) 25

26 = +

26 = + 1010

26260 ;

25251

26261 = + 1010 26261 Bµi 7: Cho a , b , m N*

H·y so s¸nh a+m

b+m víi

a b Híng dÉn : Ta xÐt ba trêng hỵp a

b =1 ; a

b < ; a

b > a) Trêng hỵp : a

b = ⇔ a = b th× a+m

b+m =

a b = b) Trêng hỵp : a

b < ⇔ a < b ⇔ a + m = b + m a+m

b+m = -

b −a

b+m ;

a

b = - b− a

b c) Trêng hỵp : a

b > ⇔ a > b ⇔ a+m > b + m ⇒ Bµi 8: Cho A = 10

11−1 1012−1 ; B=

1010 +1 1011

+1

H·y so s¸nh A víi B

Híng dÉn: DƠ thÊy A<1 ¸p dơng kÕt a

b<1 a+m

b+m>

a

b víi m>o

Bµi 9:So sánh phân số sau mà không cần thực c¸c phÐp tÝnh ë mÉu A = 54 107−53

53 107+54 B =

135 269−133 134 269+135

Híng dÉn: Tư cđa ph©n sè A

54.107-53 = (53 +1).107 - 53 = Tư cđa ph©n sè B

135.269-133= (134+1).269 - 133= Bµi 10: So s¸nh:

a, (

80 )7 víi (

243 )6 b, (

a =( 81 ¿ = 328 80 ¿ >¿

( 2431 ¿6= 330 b, 8¿ =243 215 ¿ 243¿ =243 315 ¿ Chän ph©n sè 243

315 làm phân số trung gian để so sánh Bài 11: Chứng tỏ rằng:

15+ 16+

1 17+ +

1 43+

1 44 >¿

5 Híng dÉn:

Tõ 6= 6+ 6= 15 30+ 15 45 = (

30+ + 30)+(

1 45+ +

1 45) Từ ta thấy:

¿

15+ 16+ +

1 29>

1 30+

1 30 + +

1

30 ¿ Cã 15 ph©n sè)

30+ 31+ +

1 44>

1 45+

1 45+ +

1

Chuyên đề 5

Tổng phân số viết theo quy luật.

A.Đặt vấn đề:

Khi học phép cộng phân số dạng tập mà em gặp tốn tính tổng phân số mà tử mẫu chúng đợc viết theo quy luật Loại tập coi khó so với học sinh đại trà phải tìm quy luật từ tìm cách giải

- Vì giáo viên cần bổ sung cho học sinh kiến thức để phát quy luật từ đa cách giải

B Nội dung cần truyền đạt: I Kiến thức bản:

Cho häc sinh chøng minh hai c«ng thøc: m b(b+m)=

1 b−

1 b+m

2m

b(b+m)(b+2m)= b(b+m)−

1

(b+m)(b+2m)

Hớng dẫn: Biến đổi vế phải vế trái II áp dụng làm tập:

Bµi 1: Tính tổng sau phơng pháp hợp lí nhất: a, A=

1 2+ 3+

1

3 4+ .+ 49 50 ; b, B=

3 5+ 7+

2

7 9+ + 37 39 c, C=

4 7+ 10+

3

10 13+ + 73 76 Hớng dẫn: áp dụng công thức Bài 2: TÝnh c¸c tỉng sau:

a, C= 10 11+

7 11.12+

7

12 13 + + 69 70 b, D =

15 18+ 18 21+

6

21 24 + + 87 90 c, E =

2 11+

32 11.14 +

32

14 17+ + 32 197 200 Híng dÉn: ¸p dơng công thức

Bài 3: Tính tổng sau: a, F =

25 27+ 27 29+

1

29 31+ + 73 75 b, G = 15

90 94+ 15 94 98+

15

98 102+ + 15

146 150 c, H = 10

56+ 10 140+

10

260+ + 10 1400 Hớng dẫn: áp dụng công thøc

Bµi 4: Chøng minh r»ng víi mäi n N ta lu«n cã:

1 6+ 11+

1

11.16+ +

1

(5n+1)(5n+6)=

n+1 5n+6

Hớng dẫn: Biến đổi vế trái vế phải Vế trái =

5.( 6+

5 11+

5

11.16+ +

5

(5n+1).(5n+6))

( áp dụng cơng thức để tính ngoặc ) Bài 5:Tìm x N biết:

x- 2011.1320 13 15

−20

15 17 − − 20 53 55=

3 11 Híng dÉn:

21+

1 28+

1 36 + +

2 x(x+1)=

2 Híng dÉn:

Bµi 7: Chøng minh r»ng: a, A =

1 3+ 4+

1

3 5+ .+

18 19 20 < b, B = 36

1 5+ 36 7+

36

5 9+ .+ 36

25 27 29 <3 Híng dÉn: áp dụng công thức

Bài 8: Chứng minh r»ng: a, M=

22+ 32+

1 42+ +

1

n2 <1 ( n N; n 2) b, N=

2n¿2 ¿ ¿

1 42+

1 62+

1 82+ +

1

¿

(n N;n 2)

c, P= 2! 3!+

2! 4!+

2! 5!+ +

2!

n!<1 ( n N;n 3) Híng dÉn: a, M< 1 21 +

2 3+ 4+ .+

1 (n −1).n

b, N = 22.(

1 22+

1 32+

1 42+ +

1

n2) (¸p dơng phần a làm tiếp) c, P = 2!

1 3+

1 4+

1

4 5+ + (n −1).n

3!+ 4!+

1 5!+ +

1 n !≤2 ¿

.) Bµi 9: Chøng minh r»ng:

26+

1 27+

1 28+ +

1 50=1−

1 2+

1 3−

1 4+ +

1 49− 50 Híng dÉn: 26+ 27 + 28+ +

1 50 = 1+

2+ 3+ .+

1 50 −(1+

1 2+

1 3+ +

1 25) = 1+

2+ 3+ .+

1 50 −2(

1 2+

1 4+

1 6+ +

1 50) ⇒ ®pcm