Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập: Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng. 1.[r]
(1)BÀI TẬP GIẢI TÍCH (Dành cho SV Kiến trúc)
CHƯƠNG 2: HÀM SỐ Bài 1: Tính giới hạn
1 lim x→+∞
√
x2+ 2x+ 5−x
2 lim x→−∞
√
x2−5x−1−√x2+ 3x+ 3
3 lim x→1
3 1−√x −
2 1−√3 x
4 lim x→0
1 x
1
x−1 +
x+
5 lim x→+∞
p
x+√x
√
x+
6 lim
x→1(1 + sinπx) cotπx
7 lim x→∞x
2
1−cos1
x
8 lim x→0
√
1 + 2x2−cosx
x2 lim
x→∞
3x2+ 3x2+ 5
2x2+x
10 lim x→0
√
5−√4 + cosx x2
11 lim x→0+
x
p
cos√x
12 lim x→2
2x−x2 x−2
13 lim x→0
ex3
−1 +x2
x.tanx
14 lim x→0
4 arctan (1 +x)−π x
15 lim x→0
arctanx−x x3 16 lim
x→+∞
ln3x x
17 lim x→0
sinx x
1
x2
18 lim
x→+∞x(π−2 arctanx)
19 lim x→0
x−sinx
√
1 + 2x−ex 20 lim
x→0+x
2.lnx
21 lim x→+∞
x2020 ex 22 lim
x→0
1
x2 − sin2x
Bài 2: Xét tính liên tục
1 f(x) =
2x
e2x−e−2x với x6=
a với x=
2 f(x) =
arctan
|x| với x6=
a với x=
3 f(x) =
3
√
1 + 2x−1
x với x >0 a+x2 với x≤0
4 f(x) =
1−cos√x
x với x >0 a với x≤0
5 f(x) =
1−esinx
x−π với x > π a+x2 với x≤π Bài 3: Tính đạo hàm
1 Tính đạo hàm hàm số sau: a f(x) = (x−1)
2
(x+ 1)
b f(x) = |π2−x2|sin2x c f(x) =
arctanx với x≥0
x2+x với x <0 d f(x) =
x2−2x với x <2 2x−4 với x≥2 Tính y0(0) định nghĩa, biết:
(2)3 Tính f+0 (0), f−0 (0) hàm số
f(x) =
( x
1 +e1x
với x6=
0 với x=
4 Tính y0(x), y00(x) hàm số cho dạng tham số
a
x=etcost y=etsint
b
x=a(t−sint)
y=a(1−cost) ; a=const
c
x=t+et
y=t2+ 2t3
Bài 4: Xét tính khả vi
1 Xét tính khả vi hàm số a f(x) = (x+ 2)|x−1| b f(x) =
√
x−1 √
x−1 x >1 sin (x−1) x≤1 c f(x) =
1−cosx x≤0 ln (x+ 1)−x x >0 d f(x) =
( x−1
4 (x+ 1)
nếu |x| ≥1 |x| −1 x
<1
2 Xét tính khả vi x= hàm số
f(x) =
(
x2.e1−x2
nếu x≤1
x x >1
3 Xét tính khả vi x= hàm số
f(x) =
x2 nếu x≤0
ln (1 +x)−x x >0 Tìma, b để hàm số sau khả vi R
a f(x) =
x2−3x+ 4 nếu x <2
ax+b x≥2 b f(x) =
1−x2 x≥1
ax+b x <1 Bài 5: Đạo hàm cấp cao
1 Tính đạo hàm cấp n hàm số sau
a f(x) = x−1
x2+ 5x+ 6 b f(x) = ln√3
1−4x
c f(x) = cos4x+ sin4x d f(x) = e2x(x2+ 3x+ 5)
e f(x) = x3sinx
2 Cho hàm số f(x) = ln (1−3x), tínhf(n)(0). Cho hàm số f(x) = x3sin 3x, tính f(100)(0) Choy = x
4
2−x, tínhd
4y. CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN Bài 1: Tích phân bất định
1
Z x+x3 +x2 −x4
2
Z x6
x2+x−2
3
Z x2+ 1 (x+ 1)2(x−1)
4
Z
2x x4+ 3x2+ 2
5
Z
x3+
x3−5x2+ 6x
6
Z x x8−1
7
Z x x3−1
8
Z
x x3−3x+ 2
9
Z
x4
x4+ 5x2+ 4
10
Z (x+ 1)dx
√
x2+x+ 1
11
Z
(2x−1)dx
√
x2+ 3x+ 3
12
Z xdx
√
x2+ 2x−5
13
Z x.arctanx
√
(3)14
Z x.ln +√1 +x2
√
1 +x2 dx
15
Z
dx x√1−x3
16
Z
dx e2x+ex−2
17
Z
arctanex
ex dx 18
Z
dx
(1 +ex)2
19
Z x.earctanxdx (1 +x2)32
20
Z dx
x√3
1 +x
21
Z
dx
√
x−√3x
22
Z
sin4x·cos5xdx
23
Z
sin4x
cos6xdx
24
Z sinx
sin3x+ cos3xdx
25
Z
sinx
sin4x+ cos4xdx
26
Z dx
5−4 sinx+ cosx
27
Z
dx
sin2x.cosx
28
Z dx
sinx.cos3x
Bài 2: Tích phân xác định
1 ln
Z
0
dx
√ +ex
2
Z
0
q
(1−x2)3dx
3 a
Z
0
dx x+√a2−x2
4
Z
0
dx
(3 +x2)52
5
Z
√
2
dx x5√x2−1
6
Z
0
√
ex √
ex+e−xdx
7
5π
Z
π
sin 2x
sin4x+ cos4xdx
CHƯƠNG 4: CHUỖI
Bài 1: Xét hội tụ chuỗi số
1 +∞ X
n=1
lnn n3+n2+ 2
2 +∞ X
n=1
n·lnn n2−1
3 +∞ X
n=1
nn
(n+ 1)n·2n−1
4 +∞ X
n=1
n·√nn
5 +∞ X
n=1
3.5.7 .(2n+ 1) 2.5.8 .(3n−1)
6 +∞ X
n=1 3n.n!
nn
7 +∞ X
n=1 2n
1 +
n+
n2
8 +∞ X
n=1
ln (n5+n) √
n5+n
9 +∞ X
n=1
tan
3n −sin
1 3n
(4)10 +∞ X
n=1
(n+ 1)n2
nn2
.3n
11 +∞ X
n=1
lnn
√
2n5+ 3n
12 +∞ X
n=1
(−1)n n
n2 −1
13 +∞ X
n=1 (−1)n
3n+ 2n+
n
14 +∞ X
n=1 (−1)n
n n+
n
15 +∞ X
n=1 (−1)n
1 +n n2
16 +∞ X
n=1
(−1)n−12 n
n!
17 +∞ X
n=1
(−1)n
n.ln (n2+ 1)
18 +∞ X
n=1
(−1)n ln (n+ 1)
19 +∞ X
n=1
(−1)n√n+ 1−√n−1
Bài 2: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm
1 +∞ X
n=1
n.2n
x x+
n
2 +∞ X
n=1
(−1)nn 2.enx
3n
3 +∞ X
n=1
n n+
x
2x+
n
4 +∞ X
n=1
2n.sinnx (n+ 1)2
5 +∞ X
n=1
2n.sinnx n
6 +∞ X
n=1 2n
2x+
x+
n
7 +∞ X
n=1
(−1)n 2n+
1−x
1 +x n
8 +∞ X
n=1
(−1)n
n(2x−3)n
9 +∞ X
n=1
(x−1)2n
n.4n
10 +∞ X
n=1
(−1)n.x2n
n(2n−1)
11 +∞ X
n=1
xn.tan
n
12 +∞ X
n=1
(−1)nn+
n2 x n
13 +∞ X
n=1
(x+ 1)n 2n(2n+ 1)
14 +∞ X
n=1
(−1)n(x+ 2) n √
n2+ 1
15 +∞ X
n=1
(−1)n x n
n(2n+ 1)
CHƯƠNG 5:PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A Phương trình vi phân cấp
Bài 1: Giải phương trình vi phân có biến phân ly
1 xp1−y2dx+y√1−x2dy= 0 y0 =x2+xy+y
2
4 −1 y0 = (x+y+ 1)2 y0 = cos (x−y−1)
Bài 2: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp
1 y0−
x+ 1y= (x+ 1)
2 y0+y=
(5)3 y0+ 2xy=xe−x2
4 (x2+y)dx=xdy
5 (y+ lnx)dx−xdy= y0cosy+ siny=x
Bài 3: Giải phương trình Becnoulli y0−2xy= 3x3y2
2 2y0 − x
y = xy x2−1 y0+ 2y=y2ex
4 xy0+y=y2lnx; y(1) = 1 xy0−2xcosx√y =−2y
6 ydx−(x2y2+x)dy =
B Phương trình vi phân cấp
Bài tập: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số
1 y00−2y0+y= 2e2x y00−6y0+ 9y= cos 3x
3 2y00+ 3y0 +y =xe−x
4 y00+ 2y0 + 2y =x2−4x+ 3
5 y00−4y0 = 4x2+ 3x+ ; y(0) = ;y0(2) = 0 y00+ 4y0 + 4y = 3e−2x ; y(2) = y0(2) = 0 4y00−4y0 +y=xex2
8 y00+ 2y0 + 2y =ex.sinx y00+ 9y= cos 3x+ex
10 y00+y= 4xex
11 y00+y= sinx