doi xung ham so

- Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứngC. - Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là t[r]

(1)

CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG

TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN :

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C)

1.Nếu f(x) hàm số chẵn : Đồ thị có đối xứng qua trục Oy - Có nghĩa ,trục Oy trục đối xứng

2 Nếu f(x) hàm số lẻ : Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

3 Cho hai điểm A x y 1; 1;B x y 2; 2và đường thẳng d : mx+ny+p=0 Nếu A B đối xứng

nhau qua đường thẳng d phải thỏa mãn hệ sau :

2 AB

2

; i:k êm I d AB d

k k y y

vo

Trungdi x x



 

 

 



4 Cho điểm I(x y0; )0 Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương véc tơ OI cơng

thức chuyển trục :

0

x x X

y y y

  



  

Khi phương trình đồ thị (C) hệ : Y=F(X;y0;x0) B GHI NHỚ :

- Đối với đồ thị hàm phân thức , giao hai tiệm cận tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba tọa độ điểm uốn tọa độ tâm đối xứng

- Đối với hàm số trùng phương trục Oy trục đối xứng đồ thị hàm số

C CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG

CÁCH GIẢI

Có hai cách * Cách

- Giả sử trục đối xứng có phương trình : x x Gọi điểm I x 0;0

- Chuyển    

0

Oxy OI IXY x x X

y Y

  

  

 



- Viết phương trình đường cong (C) tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số chẵn : ( Cho hệ số ẩn bậc lẻ ) - Giải hệ ẩn số bậc lẻ ta suy kết cần tìm

* Cách Nếu với x x trục đối xứng : f(x x 0)f x 0 x với x , ta

cũng thu kết

Ví dụ Cho hàm số y x 4 4x37x2 6x4 C Chứng minh đường thẳng x=1 trục đối xứng đồ thị (C)

( Hoặc : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình trục đối xứng ? )

GIẢI

(2)

- Chuyển :    

0

Oxy OI IXY x x X

y Y

  

  

 



- Phương trình (C) hệ tọa độ :

       

4

0 0

4 2

0 0 0 0 0

4

4 5 7

Y x x x x x x x x

Y X x X x x X x x x X x x x x

        

              

- Để hàm số chẵn hệ số ẩn bậc lẻ số hạng tự không :

0

0 0

4

0 0

4

x

x x x x

  



       



    



Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình trục đối xứng : x=1 Ví dụ Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y x 44x3mx2 Cm có trục đối xứng song song với trục Oy

GIẢI

- Giả sử đường thẳng x=x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I(x0;0)

- Chuyển :    

0

Oxy OI IXY x x X

y Y

  

  

 



- Phương trình (C) hệ tọa độ :

     

4 2

0 0 0 0 0

4 12

Y X  x  X  x  x m X  x  x  mx X x  x mx

- Để hàm số chẵn :

 

3

0 0

4 1

4

4 12

x x

m

x mx

    





 



   

 

II Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng

CÁCH GIẢI Ta có hai cách giải

Cách

- Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng I x y 0; 0

- Chuyển :    

0

Oxy OI IXY x x X

y y Y

  

  

  



- Viết phương trình (C) hệ tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số lẻ : ( Cho hệ số ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số ẩn bậc chẵn ) ta suy kết

Cách 2

Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng :

0 0

( ) ( )

f x x f x  x  y với x

(3)

Ví dụ 1 ( ĐH-QG-98) Cho (C) :

2

1

x y

x

  a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Giả sử (C) có tâm đối xứng II x y 0; 0

- Phương trình (C) viết lại thành dạng :

1

y x x

   

- Chuyển :    

0

Oxy OI IXY x x X

y y Y

  

  

  



- Phương trình (C) hệ :

 

0

1

1 1

1

Y y x X

x X

Y X x y

X x

    

       

 

- Để hàm số lẻ :  

0 0

0

1

1;2

1

x y x

I

x y

   

 

 

 

  

 

Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2)

Ví dụ 2 (ĐH-NNI-99) Cho hàm số  

x

y C

x

  a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Chứng minh giao hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị (C) GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Hàm số viết lại :

1

y x

  

- Giả sử (C) có tâm đối xứng I x y 0; 0

- Chuyển :    

0

Oxy OI IXY x x X

y y Y

  

  

  



- Phương trình (C) hệ :

 

0

1

1 1

1

Y y

x X

Y y

X x

  

     

 

- Để hàm số lẻ :  

0

1

1;1

1

y x

I

x y

  

 

  

 

  

(4)

Nhận xét : Giao hai tiệm cận (-1;1) trùng với I Chứng tỏ giao hai tiệm cận tâm đối xứng (C)

III Tìm tham số m để (Cm): y=f(x;m) nhận điểm I(x y0; )0 tâm đối xứng CÁCH GIẢI

1 Nếu f(x;m) hàm số phân thức hữu tỷ :

- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận J(a;b) - Để I tâm đối xứng buộc J trùng với I ta suy hệ :

0

a x m

b y

 

 

  Nếu f(x;m) hàm số bậc ba

- Tìm tọa độ điểm uốn :  

''( ; )

; ( ; )

y x m x a

J a b

y f x m y b

 

 

    

 

 

- Tương tự , đẻ I tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy hệ :

0

a x m b y

 

 

 

Vídụ 3 Tìm m để đồ thị hàm số  

3

2

3 m;

x

y mx C m

m

   

nhận điểm I(1;0) tâm đối xứng

GIẢI Ta có :

2

3

' x '' x

y mx y m

m m

    

Cho y''=0

2

6

6 0; u

x

m x m x

m

      

- Tính    

6

4 5

; 2 ;2

u u

m

y y x m m m m U m m

m

       

- Để I tâm đối xứng : cho U trùng với I :

2

5

1

2

m m

m



  



     

  

 



- Vậy với m=-1 m=1 I(1;0) tâm đối xứng đồ thị

Ví dụ 4 (ĐH-Luật -99) Cho hàm số

 

2

2 m

x m x m

y C

x

   





Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng GIẢI

- Ta viết lại hàm số ;

1

2

y x m

x

  

 Chứng tỏ với m đồ thị ln có tiệm cận xiên với phương trình : y=2x+m tiệm cận đứng : x=2

- Gọi J giao hai tiệm cận , J(2;m+4)

- Để I làm tâm đối xứng ta buộc J trùng với I , nghĩa ta có hệ : 2

3 m

m

 

  

  

- Vậy với m=-3 I tâm đối xứng đồ thị

(5)

Cho hàm số y x 3 3x23mx3m4 Cm

Tìm m để Cmnhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng GIẢI - Tìm tọa độ điểm uốn :

Ta có : y' 3 x2 6x3 ;m  y'' 6 x y'' 0  6x ; x 1 xu Tính yu y 1  1 3 m3m 4 6m2;U1;6m2

- Để I tâm đối xứng : 1

0 6m 2 m

 

  

  

- Vậy với m=0 , I tâm đối xứng đồ thị

IV TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ

Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm đồ thị cặp điểm M,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )

CÁCH GIẢI

- Giả sử M x y 0; 0( )C  y0 f x   0

- Tìm tọa độ điểm N theo x y0, cho N điểm đối xứng M qua A ( qua d )

Nên ta có : yN f x N  2

- Từ (1) (2) ta tìm tọa độ điểm M,N

Ví dụ 6 ( ĐH-GTVT-97)

Cho hàm số y x 3mx29x4 Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O

GIẢI

Giả sử M x y 0; 0 và N -x ;  y0 cặp điểm đối xứng qua O, nên ta có :

   

3

0 0

3

0 0

9

y x mx x

    

 

     



Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : mx02  4  3

Để (3) có nghiệm m<0 Khi :

4

x

m

  Thay vào (1) ta tìm dược y0 Vậy đáp số : m<

Ví dụ 7 ( ĐH GQTPHCM-97) Cho hàm số  

2 2

1

x x

y C

x

  

 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b Tìm tất cặp điểm đối xứng qua điểm I(0;5/2) GIẢI

(6)

b Giả sử M x y 1; 1;N x y 2; 2 thuộc (C) I trung điểm M N Ta có :

 

1 2

1

1 2

2

;5

2 5

I

x x x x x

N x y

y y y y y

                  

M N thuộc (C) nên ta có hệ :     1 1 1 1 1 x x y x x x y x                

 ; Lấy (1) cộng với (2) ta :

2

1 1

1

2

5

1

x x x x

x x

   

 

 

 12    12    12 

1

5 1 2

9

x x x x x x x

x x               - Với         1 2

3 2; 3; , 3; 7; 3;7 , 3;

x y M N

     

    

Ví dụ 8 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số  

2 x y C x   a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)

b Tìm hai điểm A,B nằm (C) đối xứng qua đường thẳng d : y= x-1 GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Ta có hai cách giải * Cách

- Viết lại phương trình (C)

1 1 y x x   

 Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2   C Nên ta có

-

 

       

2

2 1 2

2

1

1 1

AB

x x

y y

k

x x x x x x x x

 

 

     

 

        ; kd 1

- Nếu A,B đối xứng qua d :  

             2

1 2

1 :1 1; 1 1; (*)

1

2 AB d

k k

x x x x x x

x x I d                     

Nếu I trung điểm AB :

1

1 2 2 ; 2 I I

x x x

I d y y x x

y y y

                     

1 2

1 2 2 1 2 1

4

1

6 (**)

x x x x

x x x x x x x x x x                         

Từ (*) (**) ta có hệ :

1 2

6

; n :

x x

x x l pt X X

(7)

Vậy :

1

3 5, 5

2

X   X    Y    

 Chú ý : Ta có cách giải khác

- Gọi d' đường thẳng vng góc với d suy d': y=-x+m ( m tham số ) - Do A,B thuuộc d' đồng thời thuộc (C) , tọa độ A,B nghiệm hệ :

2

1

x

x m x

y x m



  

 

  

 ( có hai nghiệm khác 1)  

2

( ; ) (1)

g x m x m x m

      ( có nghiệm khác 1)

Điều kiện :

 12 6 1 0 3 2 3 2(*)

(1; ) 1

m m

m m m m

g m m m

     

          

      



Với điều kiện (*) (1) có hai nghiệm khác , hoành độ A B

- Gọi I trung điểm AB tọa độ I :

1 2

1

2 4

2

4

2

I I I

I I

I

x x m m

x x x

x x m m m

y m y

y

  

  

  

  

 

  

    

      

 

  



- Để A B đối xứng qua d I thuộc d :

3 1

1 1; 2;

4

I I

m m

y x   m m

         

Với m=-1 , thỏa mãn (*)

- Khi m=-1 (1) trở thành :

1

2

1 1

1

1 2 2 2

1

2

1 1

1

2 1 2

2

y x

x

x y



   



 

   



 

   

 

     

  

  



Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) Cho hàm số  

2 2 2

1

x x

y C

x

  

 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) hai điểm A,B cho A,B đối xứng qua đường thẳng d': y= x+3

GIẢI A Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Đường thẳng d cắt (C) hai điểm A,B có hồnh độ nghiệm phương trình :

     

2

1 ( ; ) 2

1

x x

x m g x m x m x m

x

 

        

 ( có hai nghiệm khác 1)

3 2 2  2 9 ; 1 10 1 10(*)

(1; )

m m

m m o m m

g m m m

      

           

       

(8)

- Gọi I trung diểm AB :

1

2

3 3

4

I

I I

x x m

x

m m

y x m m

 



 

  

 

      



- Để A,B đối xứng qua d I phải thuộc d : 3

3 3; 18;

4

I I

m m

y x   m m

         

- Với m=9 (2) trở thành :

1

2

6 14 14 12 14

9

2 2

2 12 11

6 14 14 12 14

9

2 2

x y

x x

x y

   

    

 

    

   

    

 

Ví dụ 10. ( ĐH-Huế -2001) Cho hàm số  

3 3

2 m

y x  mx  m C

a Tìm tham số m để đồ thị Cmcó CĐ, CT đồng thời điểm CĐ,CT đối xứng qua đường thẳng d : y=x

b Tìm m để Cmcắt trục OX ba điểm A,B,C cho : AB=BC GIẢI

a Ta có :  

2

' 3 x

y x mx x x m

x m

 

      

  - Để tồn cực đại , cực tiểu : m0(*)

- Gọi A(0;

3

1

2m ) B(m; 0) hai điểm cực trị

- Tính :

3

2

1

0 1

2 ; 1

0

A B

AB d

A B

m

y y

k m k

x x m

 

   

 

- Gọi I trung điểm AB :

3

0

2

1

0 1

2

2 2 4

A B I

I

A B I

I

m m

x x x

x

y y m

y

y m

 

  

 

 

 



 

 

  

 

 



- Để A,B đối xứng qua d :

2

3

1

;

2 1

4

AB d

I I

m

k k m

m m

I d y x m

  

  

  

   

  

 

   

 Thỏa mãn điều kiện (*)

b Nếu Cmcắt Ox ba điểm phân biệt A,B,C :  

3 3 0 1

2

x  mx  m 

, có ba nghiệm Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hồnh độ A,B,C theo thứ tự :

1, ,2

(9)

 

1

1 2 2

2 3

1 2 3 2

1 3

3 2 1 3

1 3

1 2

3 3

1

2 2

2

4

1

2 1 1 1

2

2 2

b

x x x m x x x m

x m x m

a

c x x x x x

x x x x x x

x x x m x

a

d x x x m

x x x m

m m m

a

x x x

x x x x

                                                                   x m m           

Nhưng m=0 ,thì đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Cho nên , không tồn giá trị m để hàm số cắt Ox ba điểm lập thành cấp số cộng

Ví dụ 11 ((HVKTQS-2001) Cho hàm số

 

2 2 1

1 m

x m x m

y C

x

   



 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) m=2

b Tìm m để Cmcó hai điểm A,B cho : 5xA yA 3 0;5xB  yB 3 Tìm m để A,B đối xứng qua đường thẳng x+5y+9=0

GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Từ giả thiết ta thấy tọa độ A,B thỏa mãn phương trình : 5x-y+9=0 Có nghĩa A,B nằm đường thẳng d' : y=5x+9 Nhưng A,B lại nằm Cm, A,B giao d'

với Cm

     

2

2 ( ; ) 4 10 2 0 1

5

x m x m g x m x m x m

x x y x y x                             

2 4 68 0

( 1; ) 10 2

m m

m R

g m m m

    

    

       

 .

- Gọi I trung điểm AB :

1 10

2

10 26

5

8

I

I I

x x m

x m m y x                       

- Nếu A,B đối xứng qua d : x+5y+9=0 , I phải thuộc d ( Thỏa mãn tính chất d' vng góc với d )

 

5 26

10 34

9 0;

8 13

m m m        

Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số  

2 2 3

2 m

x mx m

y C

x

   



a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m=3

b Chứng minh với điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến M cắt (C) hai điểm A,B tạo với I ( giao hai tiệm cận ) tam giác có diện tích khơng đổi ,khơng phụ thuộc vào vị trí M

c Chứng minh hàm số ln có cực đại ,cực tiểu với m Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x+2y+8=0

(10)

a Khi m=3 (C) :

2 3 3 1

1 2 x x y x x x      

  ( Học sinh tự vẽ đồ thị (C) ) b Ta có :  

2 ' y x  

 Gọi  0 0 0

1

; ( ) (*)

2

M x y C y x

x

     

Tiếp tuyến với (C) M  

 0

0

1

: 1

2

y x x x

x x                

- Nếu   x 2 điểm A ,  

 

0

1

2

2 A

x

y x x

x x x                   0 2; x A x         

- Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 điểm B

 2  0 0 0

1

1 1; 2

2

2 xB x x x xB xB x yB xB x

x                          

2 2;2 3

B x x

  

- Nếu I giao hai tiệm cận , I có tọa độ I(-2;-1)

- Gọi H hình chiếu vng góc B tiệm cận đứng : x=-2 suy H(-2;2x03)

- Diện tích tam giác AIB

0

1 1

2

2 A I B H 2

x

S AI BH y y x x x

x             0

.2 2 dvdt

2

S x

x

   



Chứng tỏ S số , khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M c.Ta có :

     

   

2 2

2

2 2

'

3

2

x m x x mx m x x x

y x x x                   

Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với m hàm số ln có hai điểm cực trị - Gọi hai điểm cực trị :M1;m ; N3;m 6

- Tính :

 6  2

2;

3

MN d

m m

k      k 

 

Gọi J trung điểm MN ,

1 2 J J x m m y m                   - Để M,N đối xứng qua d :

 

1

2

2 MN d k k m J d m                          

(11)

V LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG

A BÀI TOÁN :

Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) điểm M x y 0; 0 (cho sẵn)

1.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua điểm M

2 Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua đừng thẳng d: y=kx+m

B.CÁCH GIẢI

1 Gọi N(x;y) thuộc (C) : y=f(x) điểm - Gọi N' điểm đối xứng với N qua M :

     

 

0

'

' '; ' '

' 2

x x x

N x y C

y y y

  

   

  



- Từ (1) (2) ta có :

0

2 '

x x x

y y y

  



 

 , Thay x,y tìm vào : y=f(x) ,ta suy y'=g(x';x0;y0) Đó phương trình đường cong (C')

2 Gọi A x y ;    C  yf x B x y( );  '; '  C'

- Nếu (C) (C') đối xứng qua d A,B đối xứng qua d :  

  '

1

'

' '

2

AB d

y y

k

k k x x

I d y y x x

k b

    

 



 

   

   

    

 

  

  



Ở (1) (2) k,b số biết Ta tìm cách khử x y (1) (2) để phương trình có dạng y'=g(x') Đó phương trình (C') cần tìm

C MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Cho hàm số  

2 3 1

1

2

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1) GIẢI

b Gọi điểm      

1

; ; '; ' '

2

A x x C B x y C

x

 

   

 



 

- Khi A chạy (C) qua điểm I , B chạy (C'), (C') đối xứng với (C) qua I A B đối xứng qua I

2 ' ' 1

2 ' ' ; ' '

2 ' ' ' '

I

x x x x x

y x y x

y y y y y x x

   

 

              

       



Vậy (C') có phương trình :  

5 '

y x C

x

(12)

Ví dụ 2 Cho hàm số  

4

2

3

2

x

y  x  C

b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2) GIẢI

b Gọi        

4

2

; ; '; ' '

2

x

A x y  C  y  x  B x y  C

- Nếu (C') đối xứng với (C) tức A B đối xứng qua I - Do :

 

4 4

2

2.0 ' ' '

4 ' ' ' '

2.2 ' 2 2

x x x x

y x y x

y y

  



         



  

-Kết luận : phương trình (C') :

4

2

3

2

x

y  x 

, đối xứng với (C) qua I

Ví dụ Cho hàm số  

2 3 3 1

1

2

x x

y x C

x x

 

   

 

b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0 GIẢI

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Gọi A(x;y) thuộc (C) B(x';y') thuộc (C')

- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , A B đối xứng qua d

 

        '

' 2 ' ' '

'

1 ' '

' ' ' ' 2

2 2

2

AB d

y y

y y x x

k k x x

I d x x y y x x y y y y x x

   

    

 

    

 

     

       

             

      



 

  



2 ' ' ' ' ; ' ' ' '

y x y x y y x

y x x y x x y

     

 

   

      

 

Từ phương trình hàm số :

10 10

5 5 ' ' 4 ' '

5 10 ' ' 10

y x x y y x

x y x

          

   



Ví dụ 4 (ĐHLâm Ngiệp -2001 ) Cho hàm số  

3

x

y C

x

 

 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0 GIẢI

b Gọi      

10 ; ( ); '; ' ' ;

3

A x y C B x y C y

x

    

(13)

- Gọi I trung điểm AB

'

' I

I

x x x

y y y

 

   

   

 ; Và

'

;

'

AB d

y y

k k

x x



 



- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , A B phải đối xứng qua d :  

'

1

' ' ' ' '

;

' ' ' '

' '

3

2

AB d

y y

k k x x y y x x y x y x

x y x y y x y x

x x y y

I d

 

  

      

    

       

       

 

  

    

 

' 10 10

' 3 '

' ' 3 '

y x

x y

x y y x

  

        

    



- Vậy phương trình (C') đối xứng với (C) : 10

y x



Ví dụ 5 (HVKTQS-99) Cho hàm số  

2 2 4

3

2

x x

y x C

x x

 

   

 

b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2 GIẢI

b Gọi :      

4

; ( ); ' ; ' ' ;

2

A x y C B x x y C y x

x

      



- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , A B phải đối xứng qua d : - Ta có : y'+y=2.2 Suy : y=4-y'

- Do A thuộc (C) , :

4

4 ' ' ; ' '

' '

y x y x

x x

       

 

- Vậy phương trình (C') đối xứng với (C) qua d :

4

2

y x

x

   

Ví dụ 6 Cho hàm số y (4x  x)  C a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox Chứng minh (C) cắt (C') theo E-líp, viết phương trình E-Líp ?

GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Gọi A(x;y) điểm thuộc (C) B(x';y') điểm thuộc (C') đồng thời đối xứng với A qua Ox Khi : x=x' y=-y'

(14)

 

   

 2

2 2

2

4

2 2

2 4 1(*)

4

2 2 8

x

y x x x y

y x x y x x

 

    



             

  

 

  



- Vậy (C) giao với (C') E-Líp :

 22

1

4

x y

 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.( Đề 27) Cho hàm số y x 44ax3 2x212ax Ca

Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy

Bài 2.( Đề 66) Cho hàm số  

2 3 4

2

x x

y C

x

  

 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm A ,B đối xứng qua đường thẳng d : y=x

Bài 3.(Đề 89) Cho hàm số  

2 2 2

1

x x

y H

x

  

 và đường thẳng d' : y=-x+m ( m tham số ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để d cắt (H) hai điểm A,B cho A B đối xứng qua đường thẳng d : y=x+3

Bài 4 ( Đề 142) Cho hàm số y x 4m3x32m1x2 Cm Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ?

Bài 5 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số  

2

1

x

y C

x

  a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm A,B cho A B đối xứng qua đường thẳng d : y=x-1

Bài 6 ( HVKTQS-99) Cho hàm số y x  x2 x  C a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) :

2 2 2

2

x y

x

  

 qua đường thẳng y=2

Bài 7 ( ĐH-Luật -99 ) Cho hàm số

 

2

2 m

x m x m

y C

x

   





a Vẽ đồ thị (C) với m=-3 Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y=x+4

b Tìm tham số m để đồ thị (Cm) nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng

Bài 8 ( ĐH-Thủy Lợi-99) Cho hàm số y x 3 3mx23m21x 1 m2 Cm a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m=2

b Tìm m để đồ thị (Cm) chứa hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O

(15)

a Khỏa sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m=0

b Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ,CT đồng thời hai điểm CĐ,CT đối xứng qua đường thẳng d : x-2y-5=0

Bài 10.( ĐH-PCCC-2001) Cho hàm số y x 3 3x23  C a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình đường thẳng d mà điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua

Bài 11 (ĐH-Thủy sản-2000) Cho hàm số  

2 4 5

2 m

x mx m

y C

x

 



 a Khảo sát biến thiên vẽ dồ thị (C) với m=1

b Tìm m để đồ thị Cmcó hai điểm đối xứng qua O

Bài 12 ( CĐKS-2000) Cho hàm số y x 44x3ax2Ca a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với a=4

b Tìm a để đồ thị Cacó trục đối xứng song song với Oy.Viết phương trình trục đối xứng

Bài 13.(ĐH-YHP-2000) Cho hàm số  

2

1

x

y C

x

  a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d : y=x+1

Bài 14.(ĐH-YHP-2001) Cho hàm số yx33m1x2 2 m1x4 Cm a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m=1

b.Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu đối xứng qua điểm I(0;4)

Bài 15 ( VDDH-Mở-2001) Cho hàm số y mx 3 3mx2 2m1x2 Cm a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) với m=1

(16)