Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 2.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG ĐỀ Năm học: 2011 - 2012 THI HỌC KỲ II Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu (3,0 điểm). Cho hàm số y x33x2 2
1).Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
2).Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ 2 Câu (3,0 điểm)
1).Giải phương trình: log23x 2 log9x 6 2).Tính tích phân:
0 x
I dx
x
3).Xác định m để đường thẳng d y: x m cắt đồ thị hàm số
2 x y
x hai điểm phân biệt A B, cho độ dài đoạn AB nhỏ
Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 2 ,a
AD a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc cạnh bên SB mặt phẳng đáy 450 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) 1 Theo chương trình Chuẩn (3,0 điểm)
Câu 4.a (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) mặt phẳng ( ) : x 2y 2z 2
1).Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A vng góc với mặt phẳng ( ) 2).Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ( )
Câu 5.a (1,0 điểm). Giải phương trình z2 2z 10 tập số phức 2 Theo chương trình Nâng cao (3,0 điểm)
Câu 4.b (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm B(1; 3;2) đường
thẳng
1
:
2
x y z
d
1).Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d
2).Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm B đồng thời chứa đường thẳng d Câu 5.b (1,0 điểm). Giải phương trình (z 2i1)2 4i3 0 tập số phức
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm
Họ tên thí sinh:… ……….…… ………Số báo danh:………
(2)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC KỲ II Năm học: 2011 - 2012
Mơn: TỐN
(Hướng dẫn chấm gồm:03 trang I Hướng dẫn chung
- Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án cho điểm theo phần hướng dẫn quy định
- Sau cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm)
II Đáp án – thang điểm
Câu Đáp án Điểm
1) ( 2,0 điểm)
a) Tập xác định: D 0,25
b) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y' 3x2 6x, ta có:
0 '
2 x y
x + Hàm số đồng biến khoảng ( ; 2) (0;); + Hàm số nghịch biến khoảng ( 2; 0)
0,5
Cực trị:
+ Hàm số đạt cực đại x 2 yCĐ = y(-2) = 2;
+ Hàm số đạt cực tiểu x yCT = y(0) = -
0,25
Giới hạn:
lim ; lim
x y x y 0,25
Bảng biến thiên:
x -2
'
y + 0 0 +
y
2
-2
0,25
c) Đồ thị (C):
0,5
2) (1,0 điểm) Câu
(3,0 điểm)
Do tung độ tiếp điểm -2 nên hoành độ a tiếp điểm xác
(3)Câu Đáp án Điểm A( 3; 2), (0; 2) B
Phương trình tiếp tuyến (C) A(-3; -2) là: y 9x 25 0,25 Phương trình tiếp tuyến (C) B(0; -2) là: y 2 0,25 Vậy có tiếp tuyến thỏa ycbt: y 9x 25, y 2 0,25 1) (1,0 điểm)
Điều kiện xác định: x > 0,
Với điều kiện phương trình cho tương đương với phương trình: log23x log3x 6
0,5
3
log
log x x
1 / 27 x
x 0,5
2) (1,0 điểm)
Đặt t x 1 x t2 1 dx t dt 0,25 Đổi cận: x 0t 1; x 3 t 2 0,25 Khi đó:
2
2
2
1 1
8 ( 1)
3
t
I t dt t 0,5
3) (1,0 điểm)
PT hoành độ giao điểm (C) d:
2
2
x x m
x
2
( ) (4 ) (1)
x
f x x m x m
0,25
Do (1) có m2 0 f( 2) 3 0, m nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B
0,25 Ta có: yA m x A; yB m x B
nên AB2 (xB xA)2 (yB yA)2 2(m212) 24
AB 24
0,25 Câu
(3,0 điểm)
Suy AB nhỏ m Khi đó: AB 24 0,25
D C
B A
S - Do SA (ABCD) nên AB
hình chiếu vng góc SB (ABCD)
SBA góc SB mp(ABCD) SBA 450
0,5 Câu
(1,0 điểm)
- Do SA (ABCD) nên SA đường cao hình chóp Theo
(4)Khi đó:
1
.2
3 3
S ABCD ABCD
a
V SAS a a (đvtt) 0,25
1) (1 điểm)
Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến
(1; 2;2)
n
Vì d ( ) , nên d có vectơ phương
(1; 2;2)
u n 0,5
Đường thẳng d qua A(1; - 2; 3) có vtcp
(1; 2;2)
u , có
phương trình tham số là:
2 x t y t z t 0,5
2) (1,0 điểm)
Gọi H hình chiếu vng góc điểm A mp ( ) A'
điểm đối xứng với A qua ( ) H trung điểm AA' 0,25 H giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng ( )
Tham số t ứng với tọa độ H nghiệm phương trình:
1 t 2( 2 ) 2(3 ) 2t t t H(0; 0;1)
0,5 Câu 4.a
(2,0 điểm)
Từ suy A' ( 1;2; 1) 0,25
Ta có ' (3 )i 2nên phương trình có nghiệm phức 0,5 Câu 5.a
(1,0 điểm) 1 ,
z i z i 0,5
1) (1,0 điểm)
Đường thẳng d qua điểm M(1; - 2; 3) có vtcp
(2;1; 2)
u 0,25
Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là:
, MB u h u 0,25
Ta có:
(0;5; 2)
MB ,
, ( 8; 4; 10) MB u
, 5,
MB u u 0,25
Vậy , MB u h u 0,25
2) (1,0 điểm)
Do vectơ
, ( 8; 4; 10) 2(4;2;5)
MB u vng góc với mặt
phẳng ( ) , nên ( ) có vectơ pháp tuyến (4;2;5) n 0,5 Câu 4.b (2,0 điểm)
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là: 4x 2y 5z 15 0 0,5 Câu 5.b Ta có: (z 2i1)2 4i 3 (z 2i1)2 (2i1)2
(5)Câu Đáp án Điểm
(1,0 điểm)
2
2 2
z i i z i
z i i z 0,5