Bài tập 1(a) Nhận dạng đường conic cho phương trình x y 3xy Bằng cách đổi biến x, y để đường conic dạng chuẩn tìm góc xoay Giải Dạng toàn phương biến x, y f ( x, y ) x y 3xy Ma trận dạng toàn phương �1 A� �3 Xét đa thức đặc trưng A I 3� � 1 � Ta có � 1 A I � � �3 � � 1 � � 1 1 � 2 � �� 2 � �x � 2, xét A I �1 � x2 � � *Với trị riêng �1 �� �3 ��x1 � �� � x2 � 1 �� � � x 3x2 �� � 3x2 3x2 � �x 3x2 � �1 � x2 �� Suy E2 ( x) u1 � 1� 3;1 w1 � ; � �2 � �x � 2, xét A I �1 � x2 � � *Với trị riêng �3 �� �3 ��x1 � �� � x2 � �� � x 3x2 � ��1 � x2 x2 � 3x x �� � x1 �� E2 ( x) u2 1; Đặt P w1 w2 �1 3� w2 � ; � �2 � , ma trận trực giao �3 � P �2 �1 � �2 1 � � � 3� � � Phép biến đổi trực giao Đặt x Py x� x � �� x �� , y �1 � y �� �y1 �, ta có Với � x x1 y1 � � 2 � �y 1 x y 1 � � 2 Ta có phương trình bậc hai hệ trục Ox1 y1 x12 y12 x12 y12 � 1 Hypecbol 1 2 Khi ta có �3 � P �2 �1 � �2 1 � � cos � � � sin 3� � � � sin � cos � � Suy cos Do tan 1 3 ,sin , tan 2 3 300 300 ậy trục quay góc so với trục ban đầu góc V Bài tập 1(b) Nhận dạng đường conic cho phương trình x xy y x y Bằng cách đổi biến x, y để đường conic dạng chuẩn tìm góc xoay Giải Dạng toàn phương biến x, y f ( x, y ) x xy y Ma trận dạng toàn phương � �1 A� 1 � �2 Xét đa thức đặc trưng A I Ta có 1 � � � � A I � � � �1 � �2 � � 1 0 � 2 0 � � �� � � 2 1� 2� � 1� � *Với trị riêng , xét �1 � � �2 1 � �2 � ��x1 � A I � � � x2 � � � �� 1 � x1 � �� �� � x2 � �� 2� �1 x1 x2 � � � �2 �1 x x �2 2 �x x2 � �1 �x2 �� �1 � E ( x ) u1 (1;1) w1 � ; � �2 2� *Với trị riêng , xét 1 � �2 �� 1 � �2 � ��x1 � A I � � � x2 � � � �� 1 � ��x1 � � � x2 � 1 �� � 2� �1 x1 x2 � �2 �� �1 x x �2 2 �x x1 � �2 �x1 �� Suy �1 1 � E ( x) u2 (1; 1) w2 � ; � �2 2� Đặt P w1 w2 , ma trận trực giao �1 �2 P� �1 � �2 � 2� � 1 � 2� � Phép biến đổi trực giao Đặt x Py x� x � �� x �� , y �1 � y �� �y1 �, ta có Với � x � � � �y � � x1 x1 Ta có phương trình bậc hai hệ trục x1 y1 x1 2 � x12 2 x1 y12 x 2 � Khi ta có y12 1 (Elip) y1 y1 �1 �2 P� �1 � �2 � cos 2� � � � 1 � � sin � 2� sin � cos � � Suy cos 1 ,sin , tan 2 1 Do tan 45 450 ậy trục quay góc so với trục ban đầu V Bài tập Cho A ma trận vuông cấp trị riêng A Phương trình x x �� y A �� y �� Biểu diễn đường conic � Tên đường conic viết dạng chuẩn tắc Giải thích câu trả lời bạn Giải Giả sử dạng đường conic ban đầu có dạng ax 2bxy cy (1) Khi phương trình (1) viết x a b ��� x � y � ��� b c ��� y � a b� � A� � b c� � với Gọi P u1 u2 ma trận trực giao chéo hóa A Xét hệ tọa độ Oxy với hai vecto đơn vị e1 (1,0) trục Ox e2 (0,1) trục Oy theo chiều dương Và xét hệ trục tọa độ Ox1 y1 với hai vecto sở đơn vị u1 u2 trục Ox1 Oy1 theo chiều dương Đặt B e1 , e2 , B1 u1 , u2 Ta có B B1 hai sở � Khi điểm Q ( x, y ) � có hai tọa độ tương ứng với hai sở B B1 x �� Q B �� Q B y �� x� � �1 � y1 � � Ta có Q B PB �B Q B 1 x1 � x � �� � �� � �u1 B u2 B � �� y1 � y �� � � x� x � �� � �� u1 u2 �1 � y �� �y1 � Suy x� x � �� P �1 � �� y1 � y �� � Khi x1 �� x1 � � y1 �1 k � � y1 � �0 2 �� � Do A có hai trị riêng nên x1 x� �� � y1 � ��1 � y1 � �� � Do phương trình đường conic hệ trục Ox1 y1 x12 y12 x12 y12 � 1 Vậy đường conic dạng chuẩn tắc Elip ... ? ?1 � �� y1 � y �� � Khi x1 �� x1 � � y1 ? ?1 k � � y1 � �0 2 �� � Do A có hai trị riêng nên x1 x� �� � y1 � �? ?1 � y1 � �� � Do phương trình đường conic hệ trục Ox1 y1 x12 y12 x12... , xét ? ?1 � �2 �� ? ?1 � �2 � ��x1 � A I � � � x2 � � � �� ? ?1 � ��x1 � � � x2 � ? ?1 �� � 2� �? ?1 x1 x2 � �2 �� �? ?1 x x �2 2 �x x1 � �2 �x1 �� Suy ? ?1 ? ?1 � E ( x) u2 (1; ? ?1) w2... y �� �y1 �, ta có Với � x x1 y1 � � 2 � �y ? ?1 x y 1 � � 2 Ta có phương trình bậc hai hệ trục Ox1 y1 x12 y12 x12 y12 � 1? ?? Hypecbol 1 2 Khi ta có �3 � P �2 ? ?1 � �2 ? ?1 � � cos