phương trình vô ty

Tailieumontoan.com  SƯU TẦM CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ TÀI LIỆU SƯU TẦM Website:tailieumontoan.com ∑ xyz CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG HAI HAY NHIỀU ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH • ĐẶT ẨN PHỤ QUY VỀ CƠ BẢN • ĐẶT ẨN PHỤ QUY VỀ HỆ ĐỐI XỨNG – GẦN ĐỐI XỨNG • BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com I KIẾN THỨC – KĨ NĂNG CHUẨN BỊ Nắm vững phép biến đổi đại số (nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số thức) Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích đẳng thức, thêm bớt Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai Nắm vững kiến thức đa thức đồng bậc, thao tác với phương trình ẩn phụ Bước đầu thực hành giải biện luận tốn phương trình bậc hai, bậc cao với tham số, giải hệ phương trình phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2; hệ phương trình đồng bậc; hệ phương trình đa ẩn Sử dụng thành thạo kí hiệu logic phạm vi tốn phổ thơng II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài tốn 1: Giải phương trình x − + x =2 ( x ∈ ) Lời giải: Đặt x − = a , x = b (a ≥ 0; b ≥ 0) = > x − =a ; x = b2 = > a − 2b =−1 Ta có hệ phương trình Mặt khác phương trình cho trở thành a + b = a + b = a= − b a= − b ⇔  ⇔   2 −1 a − 2b = b + 4b − = b − 4b + − 2b =−1 a = a =  (Loại) ⇔  b = −5 b = Điều kiện x ≥ a = 2 x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = ⇔x= Với  ⇔  b = x = Bài toán 2: Giải phương trình x − − x − 1= 1( x ∈  ) Lời giải 1: 3 x − 2= a; x − 1= b ( a ≥ ) ⇒ a =3 x − 2; b =2 x − ⇒ 2a − 3b =−1 Điều kiện x ≥ Đặt Ta có hệ phương trình Mặt khác phương trình tương đương với 2a − b =  2a − b = b = 2a − b = 2a − ⇔ ⇔    2 2 2a − 3b =−1 2a − 3(4 a − 4a + 1) =−1 10a − 12a + =0 b 2a − = ⇔ ⇔ ( a; b= ) (1;1) ,  ; −  5 5 ( a − 1)( 5a − 1) = 1 3 Loại trường hợp ( a;= b )  ; −  Với a = b = ⇔ x − = x − = ⇔ x = 5 5 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Phương trình cho có nghiệm đuy Lời giải 2: Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với 3x − = 2 x − + ⇔ 12 x −= x + 2 x −1 ⇔ 5x −= 2x −1 4   x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔x= 5 25 x − 40 x + +16 =2 x − 25 x − 42 x + 17 =0   Đối chiếu điều kieejn thu nghiệm x = Nhận xét: Bài toán bạn giải đơn giản theo phương pháp biến đổi tương đương – nâng lũy thừa lời giải Với cách nhìn tốn mắt “hệ phương trình”, lời giải độc đáo gọn gàng Các bạn ý đặt ẩn phụ, tìm điều kiện cho ẩn só sánh với điều kiện xác định ban đầu lời giải xác Bài tốn 3: Giải phương trình x + − x + = x − 1( x ∈  ) Lời giải: Điều kiện x ≥ − Đặt x + 1= a; x + 3= b ( a ≥ 0; b > ) suy a − b = x − Mặt khác phương trình cho tương đương với a − b = x − Ta có hệ phương trình  x =   a − b = x − ( x − 1)( a + b ) = ( x − 1) ( x − 1)( a + b − ) = a − b = ⇔ ⇔ ⇔   a + b = a − b = x − a − b = x − a − b = x −   a − b = x − • Xét x = nghiệm phương trình cho  x = − a + b = x ≥ − • Với  ⇒ 2a = x + ⇔ x + = x + ⇔  ⇔ a − b = x − 12 x + = x + x +  x= +  { } Kết luận tập nghiệm phương trình S =1;5 − 7;5 + Bài tốn 4: Giải phương trình x − 1= x + x − 1( x ∈  ) Lời giải: Điều kiện x ≥ Đặt • • Sưu tầm x − 1= a; x= b ( a ≥ 0; b > ) thu hệ phương trình a − b = x − a = b ⇔ a − b = a − b ⇔ ( a − b )( a + b − 1) = ⇔   a + b = a − b = x − 1  x = a − b = x − x ≥ Kết hợp  ⇒ 2a = x ⇔ x − = x ⇔  ⇔ x = a b + =  4 x − x + =   Xét a = b ⇔ x − = x ⇔ x = TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1  Đối chiếu với điệu kiện ta có kết luận nghiệm S =  ;1 4  Nhận xét: Hai toán ngồi lời giải cịn giải phép nhân liên hợp – hệ tạm thời Phần trình bày phía đặc điểm tên gọi “hệ tạm thời” phổ biến nhiều tài liệu tham khảo; tức kết hợp phương pháp hệ thu phương trình ban đầu,sử dụng phép - cộng đại số để làm giảm số lượng biểu thức, giảm thiểu cồng kềnh biến đổi Đới với hai toán toán tương tự, giải đẳng thức liên hợp hay hệ phương trình chung chất làm xuất nhân tử, khác phép đặt ẩn phụ Bài tốn 5: Giải phương trình x2 + 5x + + x2 + 5x − = ( x ∈  ) Lời giải 1: Điều kiện x + x ≥ Phương trình cho tương đương với  x + x − ≤  x + x − ≤ x + x + =5 − x + x − ⇔  ⇔  x + x + = x + x − + 25 − 10 x + x −  x + x − = 2 x = ⇔ x + x − =2 ⇔ x + x − =0 ⇔   x = −6 Thử lại thấy hai giá trị thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S = {−6;1} Lời giải 2: Điều kiện x + x ≥ Đặt x + x + = a; x + x − = b ( a > 0; b ≥ ) ta thu hệ phương trình x+3 +b = a + b = a= a  x + 5= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x + x − = ⇔ x ∈ {−6;1}  2 a b b = − =   a − b =  x + x − = Thử lại thấy hai giá trị thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S = {−6;1} Lời giải 3: Điều kiện x + x ≥ Nhận xét: x + x + ≠ x + x − ∀x ∈  nên phương trình cho tương đương với =5 ⇔ x + x + − x + x − =1 (*) 2 x + 5x + − x + 5x − Kết hợp đẳng thức (*) phương trình cho x2 + 5x + + x2 + 5x − = thu x + x + =6 ⇔ x + x + =3 ⇔ x + x + =9 ⇔ x + x − =0 ⇔ x ∈ {−6;1} Thử lại thấy hai giá trị thỏa mãn phương trình cho Kết luận nghiệm S = {−6;1} Nhận xét: • Ba lời giải khơng thơng qua điều kiện phức tạp mà sử dụng phép thử lại nghiệm Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com • Lời giải sử phép biến đổi tương đương nâng lũy thừa túy, với hệ điều kiện hệ không dược “mượt mà” Bằng cách sử dụng phương châm “khoan thử sức dân, sâu gốc bền rễ”, tạm thời chưa giải điều kiện chi tiết x + x − ≤ ; tránh việc đối chiếu nghiệm phức tạp • Lời giải sử dụng phép đặt ẩn phụ đẳng thức hiệu hai bình phương quen thuộc A− B • Lời giải sử dụng đẳng thức liên hợp, với ý = A = B ( A ≠ B ) , sử A− B dụng hệ phương trình tạm thời thu phương trình f ( x ) = g ( x ) , may mắn g ( x ) lại số Như trình bày trên, chất hai lời giải một, có hình thức khác Bài tốn 6: Giải phương trình x + x + + x + x + 1= x ( x ∈  ) Lời giải: Từ phương trình suy điều kiện có nghiệm x ≥ Đặt x + x + 1= a; x + x + 1= b ( a > 0; b > ) Ta thu hệ phương trình x a + b = ⇔ a − b = a + b ⇔ ( a + b )( a − b − 1) = ⇔ a − b =  2 x a − b = Kết hợp x  x ≥ −1 a + b = −7 + 10 ⇒ 2a = x + ⇔ x + x + = x + ⇔  ⇔x=  a − b = 4 x + 16 x + = x + x + So sánh điều kiện x ≥ , kết luận phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn 7: Giải phương trình x + x + − x + 3x = − x ( x ∈  ) Lời giải: Điều kiện x ≥ ∨ x ≤ −3 Đặt x + x + 3= a; x + x= b ( a > 0; b ≥ ) ta thư hệ phương trình a − b =3 − x a = b ⇒ a − b = a − b ⇔ ( a − b )( a + b − 1) = ⇔   a + b = a − b = − x Xét hai trường hợp xảy ra: • a =b ⇔ x + x + =x + x ⇔ x =3 (thỏa mãn điều kiện x ≥ ∨ x ≤ −3 ) • Kết hợp  −8 + 19 −8 − 19  x ≤ a + b = ; ⇒ 2a = − x ⇔ x + x + = − x ⇔  ⇔ x∈   3 x 16 x + − =   a − b = − x   So sánh với điều kiện x ≥ ∨ x ≤ −3 ; kết luận nghiệm phương trình  −8 + 19 −8 − 19  S = ;3;  3   Bài toán 8: Giải phương trình Sưu tầm x + x − − x − x − = x + TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải: Đặt x + x − = a; x − x − = b ( a ≥ 0; b ≥ ) ⇒ a − b = x + Ta thu hệ phương trình a − b = x + a = b ⇒ a − b = a − b ⇔ ( a − b )( a + b − 1) = ⇔   a + b = a − b = x + Xét hai trường hợp xảy • a = b ⇔ 9x + = ⇔ x = − • Kết hợp (Loại)   a + b = x ≥ − x ≥ − ⇒ 2a = x + ⇔  ⇔  2 a − b = x + 4 ( x + x − 1=  ) 81x + 72 x + 16 65x + 52 x + 20 =  (*) Hệ điều kiện (*) vơ nghiệm phương trình 65 x + 52 x + 20 = vô nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn 9: Giải phương trình x + + x + 10 = x + + x + ( x ∈ ) Lời giải 1: Điều kiện x ≥ −1 Phương trình cho tương đương với x + 11 + x + 11x + 10 = x + + x + x + 10 ⇔ x + 11x + 10 + 2= x + x + 10 ⇔ x + 11x + 14 + x + 11x + 10 = x + x + 10 ⇔ x + 11x + 10 =− x − − x − ≥  x ≤ −1 ⇔ ⇔ ⇔x= −1   x + 11x + 10 = x + x +  x = −1 So sánh với điều kiện x ≥ −1 thu nghiệm S = {−1} Lời giải 2: Điều kiện x ≥ −1 Phương trình cho tương đương với x + 10 − x + = x + − x + Đặt x + 10= a; x + 2= b ( a > 0; b > ) ta thu hệ phương trình ( )  2 = x + + x +1 b a − b = a += + − + x x ⇔ ⇒ 3a − b= x +   a − b = x + − x + 2a − 2b= x + − x +  ⇔ x + 10 = x + + x + ⇔ x + 90 = 17 x + 82 + x + x + 10 x ≤ ⇔ − x + =x + x + 10 ⇔  ⇔x= −1 x x x x 10 − + = + +  So sánh với điều kiện x ≥ −1 thu nghiệm S = {−1} Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Nhận xét: • Lời giải tốn hoàn toàn sử dụng biến đổi tương đương nâng lũy thừa bản, xuất phát bở đặc tính đặc biệt: Sau bình phương cịn thức số, hệ số x hai nên bậc tối đa x sau bình phương • Lời giải sử dụng hệ phương trình tạm thời, khơng khỏi đẳng thức liên hợp ( x + − x +1 )( ) x + + x +1 = • Về bản, lời giải trở nên phức tạp so với lời giải 1, nhiên đổi lại mở hướng nhiều toán khác Bài toán 10: Giải phương trình 2x + − x +1 = x + ( x ∈ ) Lời giải: Điều kiện x ≥ −1 Đặt x + = a; x += b, ( a > 0; b ≥ ) ta có a − b =x + Phương trình cho trở thành a − b = x + Vậy ta thu hệ phương trình ( a + b )( a − b ) =x +  x = −2 ⇒ ( x + )( a + b ) = x + ⇔   a − b = x + a + b =  Dễ thấy x = −2 khơng thỏa mãn phương trình ban đầu a − b = x + ta có  Kết hợp a + b =  x ≥ −3  x ≥ −2  x = −1 2a = x + ⇔ 2 x + = x + ⇔  ⇔ ⇔ x = 8 x + 12 = x + x + x − 2x − = Đối chiếu điều kiện đến đáp số x=3 Bài tốn 11: Giải phương trình x + − x += 2x ( x ∈ ) Lời giải: Điều kiện x ≥ − Đặt x + 1= a; x + 1= b ( a ≥ 0; b > ) ta có a − b = x Phương trình cho trở thành a −b = x Ta thu hệ 2x a − b = 2x x = ( a − b )( a + b ) = ⇔ ⇒ x ( a + b ) = x ⇔ x ( a + b − 1) = ⇔   2x 2x a + b = a − b = a − b = • x = thỏa mãn phương trình ban đầu 2 x + ≥ a + b = ⇒ 2a = x + ⇔ x + = x + ⇔  •  2x a − b = 12 x + 4= x + x +  4+2 x = 2 x + ≥ ⇔ ⇔  4−2 4 x − x − = x =  Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Đối chiếu điều kiện= x 0;= x 4+2 4−2 ;x = 4 Bài tốn 12: Giải phương trình x + − x + = x − 1( x ∈  ) Lời giải: Điều kiện x ≥ − Đặt x += a; x + = b; ( a ≥ 0; b > ) ta có a − b = x − Suy thu hệ  a − b = x − x=  x − ⇔ ( x − 1)( a + b − 1) =⇔ ⇔ ( x − 1)( a + b ) =   a − b = x − 1 a + b = • Rõ ràng x = thỏa mãn phương trình đề • Kết hợp a + b = x ≥ 12 + 61 a − b = x − ⇒ a = x ⇔ x + 1= x ⇔  ⇔ x= 25 25 x − 24 x − = Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = Bài tốn 13: Giải phương trình x + + x += 12 + 61 25 5x −1 + − x ( x ∈  ) Lời giải: ≤ x ≤ 5 Đặt x + = a; x + = b; x − = c; − x = d ⇒ a + b = c + d Phương trình cho trở thành a + b = c + d ⇒ a + 2ab + b = c + 2cd + d ⇒ ab = cd Điều kiện ⇔ x + 10 x + = −5 x + 26 x − ⇔ x − 16 x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = Thử lại nghiệm thấy thỏa mãn, tập nghiệm S = {1} Bài tốn 14: Giải phương trình x + + x += 2x +1 + 2x + ( x ∈ ) Lời giải: Điều kiện x ≥ − Đặt x + = a; x + = b; x + = c; x + = d ⇒ a + b = c + d Phương trình cho trở thành a + b = c + d ⇒ a + 2ab + b = c + 2cd + d ⇒ ab = cd x = ⇔ x + 10 x + = x + x + ⇔ x − x = ⇔  x = Thử lại nghiệm trực tiếp ta có nghiệm= x 0;= x Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài tập tương tự: Giải phương trình sau tập số thực: x + + x − =2 x − − x = x − x + − x = 10 x − + x − = x + x + − x + = x − x + − x = x + x + = x + + 3x + x − − x + = x − x + − x = 6x 10 x + − x − = x + 11 x + = x + + 5x + 12 13 14 15 16 17 x2 + x + − x2 + x + = x − x + = 3x + + x + x + + x += x + − 3x + 3x + − 3x + = 2x + = x + + x + 9x + = x + 8x + 18 x + x + + x + = x + 3x − 19 x + x + − x += ( x + x + 1) 20 x + x + 4= 21 x + x + = x + + x + 3x + 22 x2 + = x + + x2 − x + 23 5x2 + x − 5x2 + x + = x + 24 x2 + x + = x + + x2 + x + 25 x2 + x + = 2x + + x2 − x + 26 x2 + 5x + − x + = x2 + x − 27 x3 + x + − x + x − = 28 x2 + 4x + − x2 + x + = 3x 29 x3 + − x3 + 3x = − 3x 30 x3 + x + x + − x3 + x + = x − 31 x3 + x + = 32 x3 + 3x − − x3 + x + = 3x − x − 33 x3 + x + x + 3= x + x − + x3 + x + 34 x3 + 3x − x3 − x + = x + 3x − x + 3x + x x3 − x + + x + x + 35 + x3 + x + =x + x3 + x − x + Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 121 Website:tailieumontoan.com    x2 + x ≥  x + x ≥  x ( x + 1) ≥ ⇔ ⇔ ⇔   2 2 ( x + x + 1)  4 x + x − x − =  4 x + x += ( x + 1) = ( x + 1)  x ( x + 1) ≥   − − + −  ; ⇔   x − x + − =0 ⇒ x ∈   4      x + x + + =0  − − + −  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S =  ;  4   Bài toán 160: Giải phương trình x ( x + 1) − ( x + 1)( x + ) = x − x + 10 x + x + ( x ∈  ) x ( x + 1) − Lời giải: 2 x − x3 + 10 x + x + ≥ Điều kiện   x + x − ≠ Phương trình cho tương đương với x + x3 − x − x − = (x + x − 1) x − x3 + 10 x + x + ⇔ ( x − x + ) + x − 11x − x − 9= (x + x − 1) (x + x − 1)( x − x + ) − x + 11x + x + Đặt x − x + 2= u; x − x3 + 10 x + x + 7= v ( u > 0; v ≥ ) ta thu hệ phương trình u + x3 − 11x − x − 9= ( x + x − 1) v u = v  ⇒ u − v 2= ( x + x − 1) ( v − u ) ⇔   2 2 u + v + x + x − =0 v + x − 11x − x − 9= ( x + x − 1) u Xét hai trường hợp sau • u + v + x + x − =0 ⇔ v + x =−1 (Vơ nghiệm) • u = v ⇔ x − x + = x − x + 10 x + x + ⇔ x − x3 + x − x + = x − x3 + 10 x + x + ⇔ x − x − 10 x − =⇔ x4 + x2 + = x + 10 x + ⇔ ( x + 1) = ( x + 1) 2  ( x + 1=  − 10 − + 10 −  ) ( x + 1) ; ⇔ ⇔ x∈   ( x + 1) + ( x + 1) = 2 2      − 10 − + 10 −  Đối chiếu điều kiện thu tập nghiệm S =  ;  2 2   x − x − 10 x + =(1 − x ) x − x − x − ( x ∈  ) Bài tốn 161: Giải phương trình x −3 Lời giải: Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 122 Website:tailieumontoan.com 2 x − 3x − x − ≥ Điều kiện  x ≠ Phương trình cho tương đương với −4 x3 + x + 10 x − 1= (x − x + 3) x − x − x − ⇔ ( x − 1) − ( x + x3 − x − 10 x + ) = (x − x + 3) (x − x + 3)( x − 1) + x + x3 − x − 10 x + Đặt x − 1= u; x − x − x − 1= v ( v ≥ ) ta thu hệ phương trình  u − ( x + x − x − 10 x + ) =  v − ( x + x − x − 10 x + ) = (x (x 2 − x + 3) v − x + 3) u ⇒ u − v2 = (x u = v − x + 3) ( v − u ) ⇔  u + v + x − x + = Xét hai trường hợp xảy v = u + v + x − x + = ⇔ v + x − x + = ⇔ v + ( x − 1) = ⇔  (Loại) x =  x − ≥ • u = v ⇔ x − = x − 3x − x − ⇔  4  x − x + 1= x − x − x −  x ≥  x ≥ ⇔ ⇔ ⇒ x ∈ −1;1 + 2 x + x − x − = 0 ( ) ( )  x − x − x − =  • { } { } So sánh điều kiện ta thu tập nghiệm phương trình S =−1;1 + Bài toán 162: Giải phương trình −2 x − x3 + x + x + =( x − ) x + x3 + x − 12 x − ( x ∈  ) x −1 Lời giải: 4 x + x3 + x − 12 x − ≥ Điều kiện  x ≠ Phương trình cho tương đương với −2 x − x3 + x + x + = ( x − x + ) x + x3 + x − 12 x − ⇔ ( x + x + 1) − ( x + x − x − x − ) = ( x − x + ) (x − x + )( x − x + 1) + x + x3 − x − x − Đặt x + x + = u; x + x3 + x − 12 x − 3= v ( u > 0; v ≥ ) ta thu hệ phương trình u − ( x + x3 − x − x − ) =   v − ( x + x − x − x − ) = ⇒ u − v2 = Sưu tầm (x (x (x − 3x + ) v − 3x + ) u u = v − 3x + ) ( v − u ) ⇔  u + v + x − x + = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 123 Website:tailieumontoan.com Xét hai trường hợp xảy • u + v + x − x + = ⇔ v + x − x + = ⇔ v + x + ( x − 1) = −2 (Vơ nghiệm) • u =⇔ v x + x + = x + x3 + x − 12 x − ⇔ x + x3 + x + x + = x + x3 + x − 12 x − 3 x − x − 14 x − = ⇔ ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ⇔ ( x + 1) = ( x + 1) 2  − 21 − + 21 −   3x − x + − = ⇔ ⇒ x∈ ;  2 3  x + x + + =    − 21 − + 21 −  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S =  ;  3   −4 x − x − x − 10 x + = Bài tốn 163: Giải phương trình x − 3x + Lời giải: 6 x + x + x + 12 x − ≥ Điều kiện   x − x + ≠ Phương trình cho tương đương với −4 x − x3 − x − 10 x + 1= (x x + x + x + 12 x − ( x ∈  ) − x + 1) x + x3 + x + 12 x − ⇔ ( x + x ) − ( x + x3 + 13 x + 10 x − 1) = (x − x + 1) (x − x + 1)( x + x ) + x + x3 + 13 x + 10 x − Đật x + x = u; x + x + x + 12 x − = v ( u ≥ −1; v ≥ ) ta thu hệ phương trình u − ( x + x3 + 13 x + 10 x − 1) =   v − ( x + x + 13 x + 10 x − 1) = ⇒ u − v2 = (x (x (x − x + 1) v − x + 1) u u = v − x + 1) ( v − u ) ⇔  u + v + x − x + =0 Xét hai trường hợp sau: • u = v ⇔ x + 2x =  x + x ≥ x + x + x + 12 x − ⇔  4  x + x + x = x + x + x + 12 x − 2  x + x ≥  x + x ≥  x + x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ 2 ) ( x − x + 1) 5 ( x + 1)2 = ( x − 1)2 5 x + x + 12 x − =0 5 ( x + x + 1=  x2 + 2x ≥  − + 30 − 14 ⇔  5x2 − x + + = 0⇒ x =  6 x x + + − =    • 1  u + v + x − x + = ⇔ v + x − x + = ⇔ v +  x −  = − (Vô nghiệm) 4  2 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x = Sưu tầm − + 30 − 14 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 124 Website:tailieumontoan.com Bài tốn 164: Giải phương trình 1   + x =  x − + 1 x x   ( x + 1) + x −1 ( x ∈ ) x2 Lời giải: x −1  ( x + 1) + ≥ Điều kiện  x  x ≠ Phương trình cho tương đương với 1   + x =  x − + 1 x x   ( x + 1) + x −1 x2 1    1   ⇔  x +  + x − x − 2=  x − + 1  x − + 1  x +  − x + x + x x   x  x   x −1 + u; x + x + + = v ta thu hệ phương trình Đặt x = x x2    u = v u + x − x − 2=  x − x + 1 v      2 ⇒ u − v =  x − + 1 ( v − u ) ⇔   u + v + x − + = x   v + x3 − x − 2=  x − + 1 u x     x   Xét trường hợp xảy 1  • u + v + x − + = ⇔ v + x + x + = ⇔ v +  x +  = − (Vô nghiệm) 2 x  x > x −1 • u = v ⇔ x + = x2 + 2x + + ⇔  4 x x x + 2x +1 = x + 2x + x + x −1  x >  x > x > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x=   2 2) − 1) 2 x − x + x − = 2 ( x − 1) − x ( x = ( x − 1) ( x + x += Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài tốn 165: Giải phương trình 2   4 + x3 = x + +  x − +  − + ( + x) ( x ∈ ) x x   x x Lời giải: 4  − + x + 4x + ≥ Điều kiện  x x  x ≠ Phương trình cho tương đương với x2 + 2 2     + + x3 − x − x − 6=  x − +   x − +   x +  − x3 + x + x + x x x x     2 2 2      ⇔  x +  + x3 − x − x − 6=  x − +   x − +   x +  − x3 + x + x + x x x x      Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 125 Website:tailieumontoan.com 4 − + x + x + 4= v ( v ≥ ) ta thu hệ phương trình Đặt x + = u; x x x   2  u = v u + x − x − x − 6=  x − x +  v     2  2 ⇒ u − v =  x − +  (v − u ) ⇔   u + v + x − + = x     v + x3 − x − x − 6= x − + u x     x   Xét trường hợp xảy 2 1  + = ⇔ v + x + x + = ⇔ v +  x +  = − (Vô nghiệm) x 2  x > 4 − + x2 + x + ⇔  • u =v ⇔ x+ = x x x  x + x + =x + x + x + x −  x > x > ⇔ ⇔x=  x x x − + + = ( ) x x + − = ( )   Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x = • u + v + x2 − Bài toán 166: Giải phương trình 1   − x + 2=  x − +  − + 2x − ( x ∈ ) x x   x x Lời giải: 2  − + 2x − ≥ Điều kiện  x x  x ≠ Phương trình cho tương đương với 1    1 − x + 2=  x − +   x − +  + x − 2 x x x    x 1  1 Đặt = u;  x − +  + x − 2= v ( v ≥ ) ta thu hệ phương trình x x  x    u = v u − x + 2=  x − x +  v      2 ⇒ u − v =  x − +  (v − u ) ⇔   u + v + x − + = x   v − x + 2=  x − +  u x     x   Xét hai trường hợp xảy  x > x > • u =v ⇔ = − + 2x − ⇔  ⇔ ⇔ x =1  x x x 1= x − + x − x ( x + 1) ( x − 1) = • u + v + x − + =0 ⇔ v + x =−2 (Vơ nghiệm) x Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài toán 167: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1+ 2x  2  + x =1 +  x − + 1 x + − + ( x ∈  ) x x  x x  Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 126 Website:tailieumontoan.com Lời giải: 2  2 x + − + ≥ Điều kiện  x x  x ≠ Phương trình cho tương đương với      1   x − +   x − +  1 +  − x + 1 +  + x − = x   x  x   x  2 + u; x + − += v ta thu hệ phương trình Đặt 1= x x x2     x2 − +  v u = v u + x −= x      2  ⇒ u − v=  x − +  ( v − u ) ⇔  u + v + x − + = x     v + x −=  2x − +  u x   x   Xét hai trường hợp sau • u + v + x − + =0 ⇔ v + x =−2 (Vô nghiệm) x  1 + x ≥ 2 • u = v ⇔ 1+ = 2x + − + ⇔  x x x 1 + + = x + − +  x x x x2   1 + ≥ 1 + x ≥ ⇔ x ⇔ ( *)   4 x = x + x + ( x − 1) ( x + x + x − 1) = Dễ thấy x + x + x ≥ > với số nguyên dương x nên hệ (*) có nghiệm x = nguyên dương Vậy tốn có nghiệm x = Bài tốn 168: Giải phương trình x + + x −3   3 =  x −  x + 2x2 + x + + ( x ∈  ) x x x  Lời giải:  x + 2x + x +1+ ≥ Điều kiện  x  x ≠ Phương trình cho biến đổi Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 127 Website:tailieumontoan.com x3 + x + x −   x5 + x + x3 + x + = x −  x2 x x2  ⇔ x + x3 + 3x + x + − x − x − − x   x5 + x + x3 − x − x − x + x + x + = + x −  x2 x x2 x2  1  1       ⇔  x + +  −  x2 + + + =   x −   x −   x +1+  + x + + + x  x x x  x  x x x    + u; x + x + x + += v ta thu hệ phương trình Đặt x + = x x2     1 u = v u −  x + x + x + =  x − x  v       1 2 ⇒ u − v =  x −  (v − u ) ⇔   u + v + x − = x      2 v − x + + + = x − u x       x x x    Xét hai trường hợp • u + v + x − =0 ⇔ v + x =−1 (Vô nghiệm) x  x > 3 • u = v ⇔ x +1+ = x + 2x + x +1+ ⇔  2 x x ( x + x + 1) = x + x + x + x +  x >  −1 +  x > ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ 2;    x − x + x − =  x + x − x − x − x + = ( )( )     −1 +   So sánh điều kiện ta thu tập nghiệm phương trình S =  2;    Bài tốn 169: Giải phương trình x − 3x3 + x − x = + 2x2 x − x3 − x − x + ( x ∈  ) Lời giải: Điều kiện x − x3 − x − x + ≥ Phương trình cho tương đương với x − x3 + 3x − x + − ( x3 − x + = 1) ⇔ ( x − x + 1) − ( x3 − x + 1= ) ( 2x ( x + 1) x − x + 3x − x + + x − x + 1) ( x + 1)( x − x + 1) + x − x + 2 3 +1 Đặt x − x + 1= u; x − x − x − x + 2= v ( u > 0; v ≥ ) ta thu hệ phương trình  ) ( x + 1) v 2 u = v u − ( x − x + 1= ⇒ u − v = ( x + 1) ( v − u ) ⇔   2 u + v + x + =0 ) ( x + 1) u v − ( x − x + 1= Xét hai trường hợp xảy • u + v + x + =0 ⇔ u + v + x =−1 (Vô nghiệm) • Sưu tầm u = v ⇔ x − x + = x − x3 − x − x + ⇔ x − x3 + 3x − x + = x − x3 − x − x + TÀI LIỆU TOÁN HỌC 128 Website:tailieumontoan.com  −3 − −3 +  x + x3 − x + x + = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ x ∈  ;1;     −3 − −3 +  ;1; Đối chiều điều kiện ta thu tập nghiệm phương trình S =     x − x3 − x + Bài toán 170: Giải phương trình = x − x + 1( x ∈  ) x + 3x + x + 3x + Lời giải: Điều kiện x + x3 + x + x + > Phương trình cho tương đương với x + x + − ( x3 + x + x + 3) = ( x − x + 1) x + x3 + x + x + ⇔ ( x + ) − ( x + x + x + 3)= (x 2 − x + 1) (x − x + 1)( x + ) + ( x + x + x + 3) Đặt x + 2= u; x + x3 + x + x + 5= v ( u > 0; v ≥ ) ta thu hệ phương trình u − ( x3 + x + x + 3)= ( x − x + 1) v  ⇒ u − v 2=  2 v − ( x + x + x + 3)= ( x − x + 1) u Xét trường hợp xảy (x u = v − x + 1) ( v − u ) ⇔  u + v + x − x + =0 • 1  u + v + x − x + =0 ⇔ u + v +  x −  =− (Vô nghiệm) 2  u =⇔ v x + = x + 3x3 + x + 3x + ⇔ x + x + = x + 3x3 + x + 3x + ⇔ x3 + x + x + =0 ⇔ ( x + 1) =−2 x3 ⇔ x + =− x ⇔ x =− 1+ Vậy phương trình cho có nghiệm x = − 1+ • x − x3 + x − x + Bài toán 171: Giải phương trình x + x + x + 3x = x − x + 1( x ∈  ) Lời giải: Điều kiện x + x3 + x + x ≥ Phương trình cho tương đương với x + x + − ( x + x − x + x − 1)= 2 − x + 1)( x + 1) + x + x − x + x − ⇔ ( x + 1) − ( x + x − x 2 − x + 1)( x + 1) + x + x − x + x − ( x − x + 1) ( x + x − 1)= ( x − x + 1) ( x Đặt x + = u; x + x + x + x= v ( u > 0; v ≥ ) ta thu hệ  u − ( x + x − x + x − 1)=  v − ( x + x − x + x − 1)= (x (x 2 − x + 1) v − x + 1) u ⇒ u − v 2= (x u = v − x + 1) ( v − u ) ⇔  u + v + x − x + =0 Xét hai trường hợp xảy Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 129 Website:tailieumontoan.com 1  u + v + x − x + =0 ⇔ u + v +  x −  =− (Vô nghiệm) 2  4 • u = v ⇔ x + x + = x + x + x + 3x ⇔ x3 − 3x + 3x − = ⇔ x − x + x − =−3 x ⇔ ( x − 1) =−3 x ⇔ x − =− x 3 ⇔ x = 1+ Vậy phương trình có nghiệm x = 1+ 3 • Bài tốn 172: Giải phương trình (x x − x3 − x − x = 1( x ∈  ) − x + 1) x + x3 + x + x + Lời giải:  x + x3 + x + x + > Điều kiện   x − x + ≠ Phương trình cho tương đương với x + x + − ( x + x + x + 1)= ⇔ ( x + 1) − ( x + x 2 ( x − x + 1) x − x + x − x + + ( x + 3x + x + 1) + x + 1) = ( x − x + 1) ( x − x + 1)( x + 1) + ( x + x + x + 1) 2 3 2 u; x + x3 + x + x + 2= v ( u > 0; v > ) ta thu hệ phương trìnhh Đặt x + = u − ( x3 + x + x + 1) = ( x − x + 1) v  ⇒ u − v2 =  2 v − ( x + x + x + 1) = ( x − x + 1) u Xét hai trường hợp xảy • u = v − x + 1) ( v − u ) ⇔  u + v + x − x + =0 x = u + v + x − x + = ⇔ v + x − x + = ⇔ v + ( x − 1) = ⇔  (Loại) v = u = v ⇔ x2 + = • (x x + 3x3 + x + 3x + ⇔ x + x + = x + 3x3 + x + 3x + ⇔ x3 + x + x + =0 ⇔ ( x + 1) =−2 x3 ⇔ x + =− x ⇔ x =− Vậy phương trình cho có nghiệm x = − Bài tốn 173: Giải phương trình 1+ 1+ x + x3 + x + = −2 x3 + x − x − ( x ∈  ) x +1 Lời giải: −2 x3 + x − x − ≥ Điều kiện   x ≠ −1 Phương trình cho biến đổi x − x3 + x − x + + x3 − x + x + =( x + 1) x − x3 + x − x + − x3 + x − x − ⇔ ( x − x + 1) + x3 − x + x + = Sưu tầm ( x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1) − 3x3 + 3x − 3x − TÀI LIỆU TOÁN HỌC 130 Website:tailieumontoan.com Đặt x − x + 1= u; −2 x3 + x − x − 1= v ( u > 0; v ≥ ) ta thu hệ phương trình u + x − x + x + = ( x + 1) v u = v 2 ⇔ u − v = x + v − u ⇔ ( )( )  u + v + x + =  v + x − x + x + = ( x + 1) u Xét hai trường hợp • u + v + x + =0 ⇔ v + x =−2 (Vô nghiệm) • u= v ⇔ x − x3 + 3x − x + = −2 x + x − x − ⇔ x + x + = ⇔ x − x + = ⇔ x − x + + x − x + + = ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) = −6 (Vô nghiệm) 2 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn 174: Giải phương trình x −1 x2 + = ( x ∈ ) x + x − x − 10 x − − x + x + 16 Lời giải: Điều kiện ≤ x + x3 − x − 10 x − ≠ 64 Phương trình cho tương đương với ( x − 1) ( x + x + 16 )= (x + 3) ( x + x3 − x − 10 x − − ) ⇔ x3 + 15 x − 16 + ( x + 3) = ( x + 3) x + x − x − 10 x − ⇔ x + x + x + x + − ( x + x − x − 13 x − ) = + 3) x + x + x + x + + ( x + x3 − x − 13 x − ) ⇔ ( x + x + 1) − ( x + x − x 2 + 3)( x + x + 1) + ( x + x − x − 13 x − ) (x − 13 x − )= ( x + 3) ( x u; x + x − x − 10 x − 4= v ( u > 0; v ≥ ) ta thu hệ Đặt x + x + =  u − ( x + x − x − 13 x − ) =  v − ( x + x − x − 13 x − ) = Xét hai trường hợp • (x (x 2 + 3) v + 3) u ⇒ u − v2 = (x u = v + 3) ( v − u ) ⇔  u + v + x + = u = v ⇔ ( x + x + 1) = x + x − x − 10 x − ⇔ x + x3 + x + x + = x + x3 − x − 10 x − ⇔ x − x − 12 x − =0 ⇔ x + x + =6 x + 12 x + ⇔ ( x + 1) =6 ( x + 1) 2  − + 6 + +   x − x + − =0 ; ⇔ ⇒ x∈  2 6 x x + + + =    u + v + x + =0 ⇔ u + v + x =−3 (Vô nghiệm)  − + 6 + +  ; Vậy phương trình cho có tập nghiệm S =   2   • Bài tốn 175: Giải phương trình x2 + x −1 = ( x ∈ ) x + x3 + 20 x + 11x + + 15 x − x + x − 22 Lời giải: Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 131 Website:tailieumontoan.com  x + x3 + 20 x + 11x + ≥ Điều kiện   x − x + x − 22 ≠ Phương trình cho tương đương với x − x + x − 22 = ( ) x + x + 20 x + 11x + + 15 ( x + x − 1) ⇔ x − x − 15 x − 12 x − 7= (x + x − 1) x + x3 + 20 x + 11x + ⇔ x − x3 + x − x + − ( x3 + 20 x + x + 11) = ⇔ ( x − x + ) − ( x3 + 20 x 2 ( x + x − 1) x + 3x − + ( x + 20 x + 8x + 11) + x + 11)= ( x + x − 1) ( x + x − 1)( x − x + ) + ( x + 20 x + x + 11) 2 Đặt x − x + 2= u; x + x3 + 20 x + 11x + 9= v ( u > 0; v ≥ ) ta thu hệ phương trình 2  u − ( x + 20 x + x + 11)= ( x + x − 1) v ⇒ u − v 2=  2 v − ( x + 20 x + x + 11)= ( x + x − 1) u Xét hai trường hợp xảy • (x u = v + x − 1) ( v − u ) ⇔  u + v + x + x − =0 u = v ⇔ ( x − x + ) = x + x + 11x + ⇔ x − x + x − x + = x + x + 20 x + 11x + ⇔ x3 + 15 x + 15 x + = ⇔ ( x3 + x + x + 1) = x3 ⇔ ( x + 1) = • x ⇔x= 5 2−35 u + v + x + x − =0 ⇔ v + x =−1 (Vô nghiệm) Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x = Bài tốn 176: Giải phương trình 3 2−35 x − 3x3 + x − 11x + 10 x + x − x − − =x + ( x ∈  ) Lời giải: Điều kiện ≤ 11x + 10 x3 + x − x − ≠ 25 Phương trình cho tương đương với x − x + x − 2= (x + 3) ( 11x + 10 x3 + x − x − − ) ⇔ x − x3 + x + x + = ( x + 3) 11x + 10 x3 + x − x − ⇔ x + x + x − ( x + x − x − x − 1) = (x ⇔ ( x + x ) − ( x + x − x − x − 1) = + 3) (x + 3) x + x + x + x + ( x + x − x − x − 1) (x + 3)( x + x ) + ( x + x3 − x − x − 1) Đặt x + x= u; 11x + 10 x3 + x − x − 1= v ( v ≥ ) ta thu hệ phương trình  u − ( x + x − x − x − 1) =  v − ( x + x − x − x − 1) = Xét hai trường hợp Sưu tầm (x (x 2 + 3) v + 3) u ⇒ u − v2 = (x u = v + 3) ( v − u ) ⇔  u + v + x + = TÀI LIỆU TỐN HỌC 132 Website:tailieumontoan.com • 1 47  (Vô nghiệm) u + v + x2 + = ⇔ v + x2 + x + = ⇔ v +  x +  = − 8 16  • u =v ⇔ x + x = 11x + 10 x3 + x − x − ⇔ x + x3 + x =11x + 10 x3 + x − x − ⇔ x + x + x − x − =0 ⇔ ( x + x + x + x + 1) =3 ( x + x + 1) ( ( ) )  2x2 + − x + − = (1) ⇔ ( x + x + 1) = ( x + 1) ⇔   x2 + + x + + = ( 2)  Phương trình ( ) vơ nghiệm; (1) có nghiệm 2 − + −3 = ;x 2 x − − −3 2  − − − 3 − + −  ; Đối chiếu điều kiện thu tập nghiệm S =   2 2   Bài toán 177: Giải phương trình 3x − x − x + x + x + 7x + + x = x + 1( x ∈  ) Lời giải: Điều kiện x5 + x + x + > Phương trình cho tương đương với x − x − x + 5= (x − x + 1) x5 + x + x + ⇔ x + x + + ( x − x − 12 x − ) = ⇔ ( x + 3) + ( x − x − 12 x − ) = (x (x 4 − x + 1) x + x − x + − ( x − x − 12 x − ) − x + 1) (x − x + 1) ( x + 3) − ( x − x − 12 x − ) Đặt x + 3= u; x5 + x + x + 7= v ( v > ) ta thu hệ phương trình u + ( x − x − 12 x − ) = ( x − x + 1) v u = v  ⇒ u − v = ( x − x + 1) ( v − u ) ⇔   4 u + v + x − x + ! =0 v + ( x − x − 12 x − ) = ( x − x + 1) u Xét hai trường hợp xảy • u + v + x − x + =0 ⇔ v + x − x + =0 ⇔ 4v + x − x + 16 =0 ⇔ 4v + x − x + + x − x + + 14 =0 ⇔ 4v + ( x − 1) + ( x − 1) =−14 (Vô nghiệm) 2  x ≥ −3  x ≥ −3 ⇔ x5 + x + x + ⇔  (1)  x + x − = x + 6x + = x + x + 7x + Nếu x > x5 + x > x < x5 + x < Hơn x = (1) nghiệm • u = v ⇔ x+3= Trường hợp có nghiệm x = Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x = Bài tập tương tự: Giải phương trình sau tập hợp số thực: x + x3 + 3x + = x2 + 2x + x + 3x + x + x − Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 133 Website:tailieumontoan.com x4 + 2x2 − x + = + x2 x + 3x + x − x4 + x2 − 5x = x2 − x + x − x + 3x + x + x ( x + x − 19 ) (x − x + 1) x − x3 + x + 16 x + x + x + x − 26 x − x − x − x + 25 x + 9x4 − 6x2 + x + =1 = x2 − x −1 =1 + x + x 3x + 3x + 3x − x − + x + x3 + x − x + = x + x3 + x + 3x − + x2 8x4 − x2 + =1 + x + x 4 x + 3x + x − x − 3x − x − x + x2 + x + = 3x + 3x3 + x + x − 4 x4 − 5x2 + = x + x3 + x − x − x +x+2 x + x3 − x + =1 11 (1 + x ) x + x3 + x2 + x − 10 4x2 + 12 = 2+ x x + x3 + x + x + − 4x4 − 4x2 − x + 13 = x + x3 + x − x +x+2 x3 + x + =1 14 x + x + x + x + x − ( ) 15 16 17 x + x3 + x − x + = + x2 x + x + x + 3x − x4 − x2 − x + (x + x + ) x + x3 + x + x − =1 ( x − 3)( x + 1) = x+2 x + x3 + x + x + − x3 − x + x − = x+2 18 − x + x3 + x + x + 2 x − x3 + x − x + = 1+ x 19 x + x3 + x − 3x − x3 + x − x + = 1+ x 20 x + x3 + x − Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com x − x3 + x − 3x + = x +1 x + x3 + x + x − x − x3 + x − 3x + 22 = x +1 3x + x3 + x + x − 2x4 − x + 3+ x 23 = x + x3 + 3x + − 21 24 25 26 27 28 29 30 31 x + 10 = 3+ x x + x3 + x + x x3 − x + 3x = x+3 − x + x3 + 3x + x + x4 + x+3 = + x + x3 + 3x + 3x + x5 + x − x3 − x + x − + x +1 = x5 + x + x + 11x − x + x3 + 13 x − x − = 2x2 + x + x − x + x + 15 x − x3 − x − x − 16 + x2 + x + = 3 x − x + x − 14 x − x3 − 3x = x + x3 + x + 3x + x2 + x − x3 − x − x − =1 x + x + x + 11 x + x + ( ) x − 3x3 + x − 3x + = + x2 x + 3x − x + 3x x − x − 11x − 33 = x2 + x + x + x + 12 x + x2 + 1 = 34 x + x − x + 12 x − x + x − 11x + 32 x2 + x + x3 + x + 3x + x − x − x − x − 1 x +1 = 36 2 x + x3 + x + x + x + x − ( x − 1) ( x + x + 5) 37 =1 ( x + 1) x + x3 + x − x + 35 38 39 Sưu tầm = x3 + x − x + = + x2 2x + 2x + 6x − x − x3 − x − 18 x − 10 = x2 − x x + x + 13 x + 18 x + 19 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 135 Website:tailieumontoan.com 40 x3 + x − x − = x2 − x 2x + 6x − 2x +1 x3 − x − x − 41 + x ( x − 2) = x + x3 + x − x + −2 x − x − x + x + 42 = x + x3 + x − x + x ( x − 2) 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 Sưu tầm 2 x + x3 − x + x − = x (2 − x) x + x3 + x + x3 − 3x + x − = x2 − x 2 x − 3x + x − 3x + x2 + = x − x3 + x − x + x−x − x − x3 + x + = 3x + x − x + x −x − x − x3 + 3x + x + = x2 − x 3x + 3x − x − −2 x − x3 + x + = x2 − x 4x + 2x − 4x + x + x + x + 13 x + 14 = x+2 x + x − 12 x − 11 x + x3 + 11x + 15 x + = x+2 x + x − 10 x − x + x3 + 11x + 15 x + = x+2 x − x3 + x − 14 x − 2x4 − x2 − 4x + = x4 − x + x + x + 7x x − x3 − x − x + x+ = x4 + x + x + x + 4x + x + x3 − x − x + = x4 − x + x + x + x + 5x −3 x3 + x + x + = x4 − x + x + x + 3x + x − x − x3 − x + = x4 − x + 2 x + x + 3x + x − + TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... bậc cao với tham số, giải hệ phương trình phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2; hệ phương trình đồng bậc; hệ phương trình đa ẩn Sử dụng thành thạo... vơ nghiệm phương trình 65 x + 52 x + 20 = vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn 9: Giải phương trình x + + x + 10 = x + + x + ( x ∈ ) Lời giải 1: Điều kiện x ≥ −1 Phương trình cho... 13) = Phương trình (*) vơ nghiệm nên phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn 26: Giải phương trình 14 x + 10= 5x − + x + ( x ∈  ) Lời giải: Điều kiện x ∈  Rõ ràng x = −2 khơng thỏa mãn phương trình