Boi duong TOAN 9

O vµ I lÇn lît t©m ®êng trßn néi tiÕp vµ bµng tiÕp trong gãc A cña ABC.. Chøng minh M lµ trung ®iÓm cña HK.[r]

(1)

Căn thức - Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa

Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau).

¿ 1√3x−1 8¿ √x2+3¿2¿ √5−2x 9¿ √x2−2¿3¿

√7x−14 10¿ √x

2−3x+7

¿4¿ √2x−1 11¿ √2x2−5x+3¿5¿ √3− x

√7x+2 12¿

√x2−5x+6¿6¿ √ x+3

7− x 13¿ √x −3+

3x

√5− x¿7¿

√2x− x2 14¿ √6x−1+√x+3¿ Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức.

Bµi 1: Đa thừa số vào dấu căn.

a 5√

5

3; b¿ x√

x(víi x>0); c¿ x√

2

5; d¿ (x −5)√

x

25− x2; e¿ x√

7

x2

Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.

¿ 0,4

√2−3√¿

a(√28−2√14+√7)⋅√7+7√8; d¿ √6+2√5+√6−2√5;¿b¿ (√8−3√2+√10)(¿; e) √11+6√2−√11−6√2¿c¿ (15√50+5√200−3√450):√10 ; f¿ √35√2+7−√3 5√2−7¿g¿ √3 20+14√2+3;√20−14√2 ; h¿ √326+15√3−√326−15√3¿ Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.

a¿ (2√3−√6 √8−2 −

√216 )⋅

1

√6 b¿

√14−√7 1−√2 +

√15−√5 1−√3 ¿:

1

√7−√5 c¿

√5−2√6+√8−2√15

√7+2√10 Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.

¿ √10−√¿

5 3−√¿

¿ 3+√¿

a(4+√15)(¿√4−√15 b) (¿√3+√5+(√3−√5¿c) √3+√5−√3−√5−√2 d) √4−√7−√4+√7+√7¿e¿ 6,5+12+6,512+26 Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:

¿

a

√7−√24+1−

√7+√24+1 b¿

√3

√√3+1−1−

√3

√√3−1+1¿c¿ √

5+2√6 5−√6 +√

5−2√6

5+√6 d¿ √ 3+√5 3−√5+√

3−√5 3+√5 ¿ Bµi 6: Rót gän biĨu thøc:

¿

a6+2√5−√13+√48 b¿√4+√5√3+5√48−10√7+4√3¿ c¿ 1+√2+

1 √2+√3+

1

√3+√4+ + √99+√100¿ Bµi 7: Rót gän biÓu thøc sau:

¿ aa√b+b√a

√ab :

√a −√b, víi a>0, b>0 vµ a≠ b.¿b¿ (1+ a+√a √a+1)(1−

a −√a

√a −1), víi a>0 vµ a≠1 ¿c¿

a√a −8+2a−4√a

a −4 ;¿d¿

2a−1⋅√5a

(1−4a+4a2)¿e¿ x2− y2⋅√

3x2

+6xy+3y2

4 ¿

Bµi 8: Tính giá trị biểu thức

a=x23xy+2y, x=

√5−2;y=

9+4√5¿b¿ B=x

+12x−8 víi x=√34(√5+1)−√34(√5−1);¿c¿ C=x+y , biÕt (x+√x2+3)(y+√y2+3)=0;¿d¿ D=√16−2x+x2+√9−2x+x2 , biÕt 162x+x292x+x2=1 e E=x1+y2+y1+x2 , biết xy+(1+x2)(1+y2)=a. Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán.

Bµi 1: Cho biĨu thøc P= x −3 √x −1−√2 a) Rót gän P

(2)

Bµi 2: XÐt biÓu thøc A= a

+√a a −√a+1−

2a+√a √a +1 a) Rót gän A

b) Biết a > 1, so sánh A với |A| c) Tìm a để A =

d) Tìm giá trị nhỏ A Bµi 3: Cho biĨu thøc C=

2√x −2− 2√x+2+

√x 1− x a) Rót gän biĨu thøc C

b) Tính giá trị C với x=4 c) Tính giá trị x để |C|=1

3 Bµi 4: Cho biĨu thøc M= a

√a2− b2−(1+ a √a2− b2):

b a −√a2−b2 a) Rót gän M

b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu a b=

3 c) Tìm điều kiện a, b để M <

Bµi 5: XÐt biĨu thøc

1− x¿2 ¿ ¿ P=(√x −2

x −1 − √ x+2 x+2√x+1)⋅¿ a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) Tìm giá trị lơn P

Bài 6: XÐt biÓu thøc Q= 2√x −9 x −5√x+6−

√x+3 √x −2−

2√x+1 3−√x a) Rót gän Q

b) Tìm giá trị x để Q <

c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên Bài 7: Xét biểu thức H=( x − y

√x −√y−

√x3−√y3 x − y ):

(√x −√y)2+√xy √x+√y a) Rót gän H

b) Chøng minh H ≥ c) So s¸nh H víi √H Bµi 8: XÐt biĨu thøc A=(1+ √a

a+1):( √a −1−

2√a

a√a+√a −a −1) a) Rót gän A

b) T×m giá trị a cho A >

c) Tính giá trị A a=200722006 Bµi 9: XÐt biĨu thøc M=3x+√9x−3

x+√x −2 − √x+1 √x+2+

√x −2 1−√x a) Rót gän M

b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P=15√x −11

x+2√x −3+

3√x −2 1−√x −

(3)

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho P=1 c) So sánh P víi

3

Bài 11: Tính giá trị biểu thức:

2

7 5  5

1.1 Cho biểu thức:  

2

1 :

1

x x x x

B x

x x

      

     

 

   

a) Rút gọn B

b) Tính B x 4

c) Tìm giá trị nhỏ B với x  0; x 

Bài 12:

1.1 Tính giá trị biểu thức:

3

3 1   1 

1.2 Cho biểu thức:

x x y y x y

M

x y x y xy

 

 

  

a) Rút gọn M

b) Với điều kiện x y M = Bài 13:

3 5

 



 

2 1

:

1 1

x x x

N

x x x x x

   

   

   

 

a) Rút gọn N b) Chứng minh rằng: N > với x  0; x 

Bài 14:

1.1 Tính giá trị biểu thức: 2 3 2 1.2 Cho biểu thức:

1

1 1

x x x P

x x x x x



  

    

a) Rút gọn P b) Tính P

53 x

 c) Tìm x để P = 16.

Bài 15:

2( 6) 3

 

3

2

x+ 9x x x

K

x x x x

  

  

   

(4)

c) Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên Bài 16:

1

4,5 50 :

2 2 15

 

  

 

 

1

1 :

1 1

x x

A

x x x x x x

   

     

    

   

a) Rút gọn A b) Tính A x 4 c) Tìm x để A > Bài 17: Tính giá trị biểu thức: 3 

2 2

1

x x x+ x

B

x x x



  

 

a) Rút gọn B b) Tìm x để B = c) Tìm giá trị nhỏ B Bài 18:

1

2 32

2

1

x+ x x x x x x x

C

x x x x

     

   

  

 

a) Rút gọn C b) Cho

6

C 

 Tìm x ?. c) Chứng minh:

2 C 

Bài 19:

1.1 Tính giá trị biểu thức: (2 2 5 18)( 50 5)

5 25

1 :

25 15

x x x x x

D

x x x x x

       

      

    

   

a) Rút gọn D b) Với giá trị x D < Bài 20:

2

2 3  

1 1 1

1

x x x x x x

E x

x x x x x x x

        

      

     

   

a) Rút gọn E b) Tìm x để E = Bài 21:

1.1 So sánh hai số: 2005 2004 2004 2003 1.2 Cho biểu thức:

2 2 2( 1)

1

x x x+ x x

P

x x x x

 

  

(5)

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để biểu thức

2 x Q

P



nhận giá trị số nguyên Bài 22: Tìm giá trị biểu thức sau:

a)

1

11 30 10

A  

   . d) D 2 2  

b)

1 1

1 2 99 100

B   

   .

c)

1 1

2 1 2 100 99 99 100

C    

   .

Bài 23: Rút gọn biểu thức sau:

a)

4 1

:

4

2

x x x

A

x x

  

   

 

 

 

b)

 x y3 2x x y y 3 xy y

B

x y x x y y

   

 

 

c)

1

1 1

C

x x x x x

  

   

d)

 

2 ( )

x x y y xy x y y

D

x y

x y x y

  

 



 

Bài 24: Cho abc = Tính:

1 1

S

a ab b bc c ac

  

      .

đề thi học sinh giỏi lớp 9

Bµi 1(1.0 điểm): Tìm số tự nhiên m n thoả m·n: ( + √2 )m = ( + 3

2 )n

Bài 2: (1.0 điểm): Cho a, b > vµ 6a2 + ab = 35b2

Tính giá trị M = 3a 2+5b2

+ab 2a23ab+4b2

Bài 3: (1.0 điểm): Cho phơng trình : ax2 + bx + c = (1)

cx2 + bx + a = (2)

(a, b, c 0)

Chøng minh r»ng nÕu PT (1) cã nghiệm dơng x1 x2 PT (2) có nghiƯm d¬ng x3

và x4 Khi chứng minh x1 + x2 + x3 + x4

Bài 4: (1.0 điểm) : Tìm a b cho hệ phơng trình sau có nghiệm nhất:

(6)

¿ xyz+y=a xy2z+y=b x2

+y2+z2=4 { {

Bài 5: (1.0 điểm) : Giải phơng trình: 134x4 - 2

5x24 =

Bài 6(1.0 điểm): Tìm đờng thẳng 8x – 13y + = điểm có toạ độ nguyên nằm hai đ-ờng thẳng x= -15 v x = 55

Bài 7: (1.0 điểm): Tìm giá trị lớn nhỏ S = x + y biÕt:

x2 + 3y2 + 2xy - 10x – 14y + 18 = 0

Bài 8(1.0 điểm) : Cho hình vuông ABCD Điểm M thuộc cạnh AB ( M khác A B) §êng th¼ng DM

cắt đờng thẳng CB N Đờng thẳng CM cắt AN P Chứng minh PB  DN

Bài 9(1.0 điểm): Cho Tam giác ABC O I lần lợt tâm đờng trịn nội tiếp bàng tiếp góc A ABC Hạ OHBC IKBC M trung điểm ca BC

a Chứng minh M trung điểm cđa HK b Chøng minh MO ®i qua trung ®iĨm cña AH

Bài 10: (1,0 điểm): Cho Δ ABC có cạnh Lấy D cạnh BC Gọi r1 , r2 lần lợt

là bán kính đờng trịn nội tiếp Δ ABD Δ ACD Xác định vị trí điểm D cạnh BC để tích r1r2 đạt giá trị lớn nht Tớnh giỏ tr ln nht ú

Đáp án

Bài 1(1 điểm): Tìm số tự nhiên m n thoả mÃn: ( + 2 )m = ( + 3

√2 )n (1) Giải:

Nhận thấy: với m= n = VËy víi m = vµ n = thoả mÃn (1) Với m > n > Ta cã: ( + √2 )m khai triĨn cã d¹ng A + B

√2 , Khi đó: ( - √2 )m khai triển có dạng A - B

√2 Vµ ( + √2 )n khai triĨn cã d¹ng C + D

√2 , Khi đó: ( - √2 )n khai triển có dạng C - D

√2 ( Trong A,B,C,D N )

Theo gi¶ thiÕt ta cã: A + B √2 = C + D √2 ⇒ A – C = (D - B) √2 (2) Do A,B,C,D N 2 I nên từ (2) ta suy A – C = vµ D – B =

⇒ A = C vµ B = D ⇒ A - B √2 = C - D √2 ⇒ ( - √2 )m = ( - 3

√2 )n (3)

Tõ (1) vµ (3) ta cã: ( + √2 )m ( - 5

√2 )m = ( + 3

√2 )n ( - 3

√2 )n

⇒ (9 – 50)m = (25 - 18)n ⇒ (- 41)m = 7n (4)

Do vµ 41 số nguyên tố nên theo (4) ta suy ⋮ 41 (V« lý)

VËy chØ cã m = vµ n = lµ thoả mÃn

Bài 2: (2.0 điểm): 6a2 + ab = 35b2 ⇒ (3a – 7b)(2a + 5b) = ⇒ a =

3b

⇒ M = 3a

+5b2+ab 2a2−3ab+4b2 =

71 b

2

71 b

2 =

Bài 3: (2.0 điểm): Vì PT (1) có phân biệt x1 x2 nên 1 = b2 - 4ac >

XÐt PT (2) ta cã Δ2 = b2 - 4ac ⇒ Δ

2 > ⇒ PT (2) cịng cã nghiƯm ph©n biƯt x3 x4

Mặt khác theo viét ta có: x1x2 = c

a vµ x1 + x2 = − b

a x3x4 =

a

c vµ x3 + x4 =

(7)

Do x1 , x2 > nªn x1x2 = c

a > vµ x1 + x2 = − b

a >0 ⇒ a, c, -b cïng dÊu ⇒ x3x4 = a

c > vµ x3 + x4 = − b

c > ⇒ x3 , x4 > Ta l¹i cã x1 , x2 nghiệm PT (1) nên ax12 + bx1 + c = (3)

vµ ax22 + bx2 + c = (4)

Suy a + b x1 + c

1 x1¿

2

¿

= vµ a + b x2 + c

1 x2¿

2

= ( lần lợt chia vế (3) (4)

cho x12 vµ x22 ) ⇒

1 x1 vµ

1

x2 chÝnh lµ nghiƯm cđa PT (2)

⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = x1 + x2 +

1 x1 +

1

x2 = (x1 +

1

x1 ) + ( x2 +

1

x2 ) +

⇒ x1 + x2 + x3 + x4

Bài 4: (2.0 điểm): Nhận thấy (x0 , y0 , z0) lµ mét nghiƯm cđa hƯ PT (-x0 , y0 , -z0)

một nghiệm hệ Do để hệ có nghiệm x0 = - x0 z0 = - z0 suy x0 = z0 =

Thay giá trị vào hệ ta đợc y0 = a ; y0 = b y02 =

V× vËy suy a = b = ±

- NÕu a = b = -2 th× ta cã hƯ

¿ xyz+y=−2 xy2z+y=−2 x2+y2+z2=4

¿{ { ¿

Lấy vế trừ vế PT đầu cho ta đợc: xyz(y - 1) = Từ ta thấy hệ có nghiệm x = z = ; y = -2

- NÕu a = b = th× ta cã hƯ

¿ xyz+y=2 xy2z+y=2 x2

+y2+z2=4 { {

Làm tơng tù nh trªn ta cịng cã : xyz(y - 1) = nhận thấy hệ không nghiệm lµ : x = z = , y = mà có nghiệm khác, chẳng hạn nh

x = √5−1

2 , y = , z =

√5+1

2 nghiệm, nên với a = b = không thỏa mãn Vậy có a = b = -2 tha bi

Bài 5(2.0 điểm) : Giải phơng trình: 134x4 - 2

5x24 = Giải : Ta có: Nếu |x| >1 x2 > x4 >1

Nếu |x| <1 x2 < vµ x4 <1

- XÐt |x| >1 ta cã 13 - 4x4 < ⇒

√13−4x4 < 5x2 - > ⇒ 2 √35x2−4 > 2

⇒ √13−4x4 - 2

√5x2−4 < ⇒ Phơng trình cho vơ nghiệm - Xét |x| <1 ta có 13 - 4x4 > ⇒ √13−4x4 > 3

5x2 - < ⇒ 2

√5x2−4 <

⇒ √13−4x4 - √35x2−4 > ⇒ Phơng trình cho vơ nghiệm - Xét |x| =1 ⇒ x2 = x4 = ⇔ x= ± 1

Với x= ± thỏa mãn phơng trình cho

(8)

Bài 6(2.0 điểm): Tìm đờng thẳng 8x – 13y + = điểm có toạ độ nguyên nằm hai đ-ờng thẳng x= -15 x= 55

Giải: Giả sử A(a, b) điểm có toạ độ nguyên thuộc đờng thẳng nằm đờng thẳng x = -15 x =55 Ta có: 8a – 13b + = -15 a 55 (a, b Z)

Từ 8a – 13b + = ⇒ b ⋮ đặt b = 2k (k Z) suy ra: a = 13b −6

8 =

26k −6

8 = 3k – + k+1

4 để a Z k + ⋮ hay k + = 4t (t Z) hay k = 4t – từ suy a = 13t – b = 8t –

Do -15 a 55 nªn -15 13t - 55 ⇒ −11

13 t

59

13 mµ t Z suy ra: t = ; ; ; ;

- NÕu t = ⇒ a = - ; b = - - NÕu t = ⇒ a = ; b = - NÕu t = ⇒ a = 22 ; b = 14 - NÕu t = ⇒ a = 35 ; b = 22 - NÕu t = ⇒ a = 48 ; b = 30

Vậy điểm có toạ độ nguyên thoả mãn đề là: (- ; -2) ; (9 ; 6) ; (22 ; 14) ; (35 ; 22) (48 ; 30)

Bài 7:(2.0 điểm): x2 + 3y2 + 2xy - 10x – 14y + 18 =

⇒ (x + y - 5)2 = - 2(y - 1)2 ⇒ -3 x + y – 3

⇒ S = x + y

S = x = y = S = x = vµ y =

Bài 8: (2.0 điểm): Trên tia đối tia AB lấy điểm K cho AK = BN Gọi H giao đờng thẳng AN CK Ta có : Δ ABN = Δ DAK (c.g.c) ⇒ ∠ BAN = ∠ ADK

mµ ∠ BAN = ∠ KAH vµ ∠ KAH + ∠ HAD = 900 ⇒ ∠ ADK + ∠ HAD = 900 ⇒ AH KD hay NA KD (1)

T¬ng tù ta còng cã Δ BCK = Δ CDN ⇒ ∠ BCK = ∠ CDN ⇒ ND KC (2)

Tõu (1) Và (2) suy H trực tâm Δ NKD ⇒ DH KN (3) L¹i cã: KB NC , Kết hợp với (2) M trực tâm cña Δ NKC ⇒ CM KN ⇒ MP KN (4)

Tõ (3) vµ (4) ⇒ MP//DH ⇒ NP NH =

NM ND (5) L¹i cã: MB//DC ⇒ NB

NC = NM

ND (6)

P

N I

K

M B

A H

(9)

Tõ (5) vµ (6) ⇒ NP NH =

NB

NC PB//CH mà CH ND PB ND (đpcm)

Bài 9(2.0 điểm):

a.(1.0 điểm): Hạ IS AB IL AC Ta cã: BH= AB+BC−AC

2 (1) ; CK= CL = AL-AC AL=AS = AB + BS = AB + BK = AB + (BC - CK)

⇒ CK = AL-AC=AB+(BC-CK) - AC

⇒ CK = AB + BC – AC

⇒ CK= AB+BC−AC

2 (2)

Tõ (1) (2) BH = CK

Lại có: BM = CM ⇒ MH = MK

b.(1.0 ®iĨm): Nèi AK cắt (O) N ta có: OP//IL

OP

IL = AO

AI mµ OP=ON ; IL=IK nªn ON

IK = AO

AI ⇒ ON//IK

Lại có OH//IK nên H ; O ; N thẳng hàng Trong HNK có ON=OH ; MH=MK nªnMO//NK hay MO//AK

Trong Δ AHK cã:

MH=MK MO//AK nên MO qua trung điểm AH

Bài 10: 2,0 điểm:

Hạ DE AB Đặt BD = x ta có : CD = – x ; BE = x

2 ; DE = x√3

2

AD2 =

x√3 ¿

2

1−x

2¿

+¿ ¿

= x2 – x + ⇒ AD =

√x2− x+1

SABD= r1 AB+AD+BD

2 =

DE AB =

x√3

4 ⇒

r1(1+x+√x2− x+1)

2 =

x√3

A

N

I

B

S

B

L

B M

O

B

C

B

H

K

P

B

A

B C

(10)

⇒ r1 = √

3

x

1+x+√x2− x+1 C/m t¬ng tù: r2= √3

2

1− x 2− x+√x2− x+1 ⇒ r1r2=3

4

x(1− x)

(1+x+√x2− x+1)(2− x+√x2− x+1)

=3

4

x(1− x)

3(1+√x2− x+1)

=

x −1 2¿

2 +3

4 (¿)≤1

4(1− √3

2 ) 1−√¿

4(1−√x

− x+1)=1 4¿

= 2−√3

DÊu “ = “ x¶y x =

2 D trung điểm BC Vậy giá trị lớn r1r2 2−√3

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	98,5 KB