Huong dan giai bai tap Toan trong SGK 12

Cho phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau, ta có các hệ phương trình ẩn x, y.. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số[r]

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§ Nguyên hàm

Bài tập 1(trang 100 SGK Giải tích 12): Trong cặp hàm số đây, hàm số nguyên hàm hàm số lại?

a) ex ex; b) sin 2x sin2 x; c)

2

1 ex

x

    

 

4 ex

x

       .

Có cách để giải tập 1? Có hai cách :

- Tính nguyên hàm - Đạo hàm

Giải:

a) ex exlà nguyên hàm b) sin2 x nguyên hàm sin 2x

c) ex

x

    

  nguyên hàm

2

1 ex

x

       .

Bài tập ( trang 100, 101 SGK Giải tích 12): Tìm ngun hàm hàm số sau: a)

1

( ) x x

f x

x

  

; b)

2

( ) x

x f x

e

 

; c) 22

1

();

sin.cos

fx

xx



d) f x( ) sin cos3 ; x x

e) f x( ) tan x; h)

1 ( )

(1 )(1 ) f x

x x



 

g) f x( )e3 2 x Giải :

a, Đưa hàm số chứa lũy thừa biến x,

F(x) = x

5/3

+6 7x

7/6

+3 2x

2/3

+C

c,

2 2

1

-2 cot sin cosx xdx  sin 2xdx x  C





b, Biến đổi thành tổng tích phân:

2

1

2

1

2

1

1

1

.

.

2

1

ln

ln

2

ln 1

.

(ln 1)

x x

x

x

x x

x

x

dx

dx

dx

e

e

e

C

e

e

e

e

C

e







 









 







 





 









 









 

















e, Biến đổi

2

2

( ) tan

cos

f x x

x

  

hoặc

2 2

1 1

sin cosx xdx sin x cos x dx

 

   

 





d, Biến đổi thành tổng:





1

( ) sin cos3 sin sin ;

f x  x x x x

F(x) =

−1 (

1

4cos 8x+cos 2x)+C

( ) tan -

F x



x

x



C

g, Biến đổi vi phân, F(x) =

−1 e

3−2x +C

h, 13ln

|

1+x

1− x

|

+C

hướng dẫn câu h:

(1+x)(1−2x)= A

1+x+ B

1−2x ¿ A(1−2x)+B(1− x)

(1− x)(1−2x) =

(A+B)+(−2A+B) (1− x)(1−2x)

{A+B=1

−2A+B=0⇒A=1/3; B=2/3

Bài tập 3( trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính:

a)

9 (1 ) I 



 x dx

;

b)





2

I 



x x dx

; c)

3

cos.sin; Ixxdx





d)

x x

dx I

e e 

 



.

Giải:

a, Đặt

u

 

1

x

I =

1− x¿10 ¿ −¿

¿

b, Đặt

u

 

1

x

2 I =

1+x2¿5/2+C

5¿

c, Đặt t cosx I =

4

cos

4 x C

 

d, Đặt

u e



x



1

I = 1 ex C

 

Bài tập (trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, tính:

a)



xln 1



x x



d ; b)





2 2 1 xd ;

x  x e x



c)



xsin 2



x1 d ;



x

d)





1 x



cos d x x Giải

a,Áp dụng nguyên hàm phần Đặt uln(1x)

2

dv d

1

Kq: ( 1)ln(1 )

2

x x

x

x x x C



    

c, Áp dụng nguyên hàm phần

u=x ,dv=sin(2x+1)dx Kq :− x

2 cos(2x+1)+

4sin(2x+1)+C

b,Áp dụng nguyên hàm phần hai lần

2

2

1,

: (

1)

x x

u x

x

dv e dx

Kq e x

C













d, Áp dụng tích phân phần

u=x ,dv=cos xdx

§ Tích phân

Bài tập (Bài tập 1, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính tích phân sau

a)





2

1 x dx







; b)

2

sin

4 x dx         



; c)





2 1 dx x x



; d)





2 ;

x x dx



e)





2 2 ; x dx x  



g) 2

sin cos5x xdx

  



Giải: a)









1

2 2

3 3

1

2

1 x dx x dx

    













3

1 x

3

5 10 4

3      b)

sin x dx         



2

cosx- sinx dx

2        



2 0 2 cosxdx sinxdx 2   







 .

c) ln 2; d)

34

3 ; e)

3ln

3 ; g)

Bài tập (Bài tập 2, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính tích phân sau

a)

2

1

I 



 xdx

; b)

2 sin I xdx  



; c) ln

1

x x

e

I

dx

e







; d)

sin cos I 



x xdx

Giải: a)

2

I 



1 x dx

1

0

1 x dx x dx 



 













1

0

1 x dx x dx 



 





1.

c)

1 I e ;

d) Ta có





2 1

sin cos sin cos sin sin

2

x x x  x  x x

Bài tập ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính:

a)

x dx x

3

3

0 2

(1 )



; b)

x dx

1

2

1



; c) x

x

e x dx

xe

1

(1 )

 



; d)

a

dx a x

2

2

0

1 



Giải:

a) Đặt t = + x, A =

5

3; b) Đặt x = sint, B = 4



c) Đặt t = + xex, C = ln(1 + e) d) Đặt x = asint, D = 6 

Bài tập ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính tích phân phần, tính:

a)

x xdx

2

( 1)sin







; b)

e

x

2

xdx

1

ln



; c)

x dx

1

ln(1 )



; d)

x

x x e dx

1

( 1) 

 



Giải:

a) Đặt

u x dv sin1xdx

   



 , A = 2 b) Đặt

u x

dv x dx2 ln

  



 , B = e

3

1 (2 1) 

c) Đặt

u x

dv dxln( 1)

  

 

 , C = 2ln2 – d) Đặt x

u x x

dv e dx

2 2 1

 

    

 

 ,D = –1.(từng phần 2

§ Ứng dụng tích phân hình học

Bài tập (trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y x y x 2,  2; b) yln ,x y 1; c) y(x 6) ,2 y6x x Giải:

a) Hoành độ giao điểm: x = –1, x =

S x2 x dx

1

9

2







  

c) Hoành độ giao điểm: x = 3, x =

S x x x dx2

3

( 6) (6 )





  

=

b) Hoành độ giao điểm: x e1 , x e e

e

S x dx

1

ln







=

e

e

x dx x dx

1

1

(1 ln )  (1 ln )





= e e

1 2

 

Bài tập 2: (Trang 121 SGK)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong

2 1

y x  , tiếp tuyến với đường M



2;5



trục Oy.

Giải :

Viết phương trình tiếp tuyến với đường M



2;5



: Phương trình tiếp tuyến:y 4x

Hoành độ giao điểm: x = 0, x =

2

( 1) (4 3) S =

ò

x + - x- dx

2

4

x x dx

=

ò

- +



Bài tập 4: (Trang 121 SGK) Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox:

a) y  1 x y2, 0;

b)

y



cos ,

x y



0,

x



0,

x





;

c)

y

tan ,

x y

0,

x

0,

x

4











Giải :

a) Tìm hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số

y

 

1

x

2 với trục Ox ? Ta có 1 x2 0

1 x

x     

Suy parabol

y

 

1

x

2 cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ -1; Lập cơng thức tính thể tích ?

Khi đó:

1

2

(1 )

V p x dx

-=

ò

- 16

15p

=

b)

V 2xdx

0

cos

2



 







c)

V xdx

0

tan 



  

    

 



Bài tập 5: (Trang 121 SGK) Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trục Ox

Đặt OM = R, POM 3,R 



 

  

 

 .

a) Tính thể tích khối trịn xoay thu quay tam giác quanh trục Ox b) Tìm  cho thể tích lớn nhất.

Viết phương trình OM, toạ độ điểm P? (OM): y = tan.x

Tọa độ P: P = (Rcos; 0)

a V=

os

2

0 tan

Rc

x dx

a

p

ò

a

=

3

3 ( os -cos )

R c p

a a

b Max V(a)=

3

27

R

p Đặt

1

cos ;1

2 t     t  

 

0;    

 

  

 , ta có  

R

V 3(t t3)



;

Có  

R

V' 3( )t t2



;

     

   

t V

t loại

3 '

1 ( )

Vậy

 

 

3

0; ;1

3

1 27

CÑ R

max V maxV t V t



 

           

 

    

  ño cos hay =arccos

3

ù  

 



 

 

Ôn tập chương III

Bài tập 3: (Trang 126 SGK) Tìm nguyên hàm hàm số:

a) f x

  

 x  1 2

 

 x

 

1 ; x



b) f x( ) sin4 cos ; x x c) f x

 

11 ;x2 d)

 





3

x

f x  e 

Giải:

a) Khai triển thành tổng ta có

 

4

3 11 3 ;

F x  x  x  x  x C

b) Phân tích tích thành tổng :

1 cos ( ) sin

2 x

f x  x  1.sin 1sin

2 x x

 

Ta có

1

( ) cos cos8

8 32

F x  x x C

; c) Phân tích thành tổng:

 

1 1 1 ; 1

f x

x x x

 

    

    

Ta có

 

1 1ln ;

x

F x C

x



 



d) Khai triển

 





3 3 2

1 3

x x x x

f x  e  e  e  e 

Ta có

 

3

1 3 .

3

x x x

F x  e  e  e  x C

Bài tập 4: (Trang 126 SGK).Tính:

a/.





2



x



sin d ;

x x

b/



x

1



2

d

x

x





; c/

3

1d ;

1

x x

e

x

e







d/





2

1

d ;

sin

x



cos

x

x



e/

1

d ;

1



x



x

x



g/



 



1

d ;

1



x

2



x

x



Giải:

a) Áp dụng nguyên hàm phần, ta được: F(x) =



x  cos



x  sinx C ; b)



1



2 d 2 1d 32 2 12 21 d 5/ 3/ 2 1/ ;

5

x x x x x x x x x x x x C

x x



 

  

         

 







c)



 







2

2

1

1d d 1 d ;

1

x x x

x

x x x x

x x

e e e

e x x e e x e e x C

e e

  



       

 







d)





2

1

d

1

d

1

tan

;

2

4

sin

cos

2cos

4

x

x

x

C

x

x

x









































e)









3

2

1

d

1

d

2

1

2

;

3

3

1



x



x

x





x



x x





x



x



C





g)



 



1

d

1

1

+

1

d

1 1

ln

.

1

2

3 1

2 -

3 2

x

x

x

C

x

x

x

x

x

































Bài tập 5: Tính: a)



0

3

x

√1+x dx b)

64

1 x dx

x





; c)



2

0 2e dx x x

; d) 2√2

Giải:

a) Đặt : t = √1+x⇒t2=1+x

Ta có: dx= 2tdt.

Đổi cận: x = t =

x = t =



0

x

√1+xdx=



0

(t2−1)2 tdt t



0

2(t2−1)dt=(2 3t

3−2t

)¿02

ĐS: 8/3;

b)

1839 14

c)



0 2e dx x x

Đặt u = x2 dv = e3x

ta du = 2xdx v = 13 e3x



0 2

e

dx

x

x

=

=

13

x

2

e

3x

¿02

-

32



xe3xdx

Đặt u = x dv = e3x

ta du = dx v = 13 e3x



0 2e dx x x

=

3 x2e3x ¿0

2

-2

9 xe3x ¿0

2

+

27



0

2

e3xd(3x)

= 4e6 -

4e6

9 + 2e3x

27 ¿0

2 = 8e6

9 + 2e6

27 -2

27

= 272 (13e6 – 1); d) ĐS: 2√2

Bài tập 6: Tính:

a)

2

2

cos2 sinx xdx;





b)

1

2x d ;x x

 



c)



 

 



2

2

1 d ;

x x x

x x

  

d)

2

1 d ; x

x  x



e)





2

sin x cosx d ;x







g)

x+sinx¿2dx ¿



π ¿ Giải: g)

x+sinx¿2dx ¿



0

π ¿

Ta có: I =

x+sinx¿2dx ¿



π ¿ =



π

(x2+2xsinx+sin2x)dx

=



0

π x2dx

+ 2



0

π

xsin xdx +





0

sin xdx

=

3

x 

0 + 2I

1 +



0

π

(1−cos 2x)dx

= π33 +2I1 + x



0 -

4



0

π

cos xd(2x)

= π

3

3 +2I1 +

π

2 -

4 sin2x



Tính I1 =



0

π

xsin xdx Đặt u = x dv = sinxdx ta có du = dx v = -cosx I1 =



0

π

xsin xdx = -xcosx 0 +



0

π

cos xdx = π + sinx 0 = π

I =

x+sinx¿2dx ¿



π ¿ = π3

3 + 5π

2

Đáp số

Bài / ( Trang 126 , SGK ) a)

4

3 11

3

2x  x  x  x C

b)

1

cos cos8

8 x 32 x C

   c) 1 ln x C x    d) 3 3

x x x

e  e  e  x C

Bài / ( Trang 126 , SGK )

a) ( x – ) cosx – sinx + C b)

5

2 2

2

2 5x 3x  x C

c)

2

1

x x

e  e  x C

d )

1

tan( )

2 x C

   e ) 3 2 2 ( 1)

3 x  3x C Bài / ( Trang 127 , SGK )

a) b) 1839 14

Bài / ( Trang 127 , SGK )

a)

 

b)

c)

6

2

(13 1) 27 e 

d) 2

c)

21

11ln 2 

d)

1 ln



e)

 

Bài / ( Trang 127 , SGK )

a)

 

b)

4



CHƯƠNG IV SỐ PHỨC

§ Số phức

Bài 1(trang 133) Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết:

) ; ) ; ) 2; )

a z  i b z  i c z d z  i

Giải:

Phần thực phần ảo số phức z là: a 1;-π b 2;-1 c 2 2;0 d 0;-7.

Bài 2(trang 133) Tìm số thực x y, biết: a)



3x 2

 

 2y1



i



x1

 

 y ;



i b)



1 2 x



 i 3 ;



 y i



c)



2x y

 

 2y x i







x 2y 3

 

 y2x1



i

Giải:

Cho phần thực phần ảo tương ứng nhau, ta có hệ phương trình ẩn x, y a

3 ;

 

 

 ; b

1

;

2

   

 

 

 ; c.



0;1



.

Bài 4(134) Tính z với:

a) z2i 3; b) z ; i c) z5; d) z i

Đáp số:

a b 11 c d

§ CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC

c) (4+3i) -(5-7i) = -1+10i d) ( 2-3i) -(5-4i) = -3 + i

Bài 2.Tính +, - với

a) = 3, = 2i b) = 1-2i, = 6i

c) = 5i, =- 7i d) = 15, =4-2i

giải

a)+ = 3+2i - = 3-2i;

b)+ = 1+4i - = 1-8i;

c)+ =-2i - = 12i;

d)+ = 19-2i - = 11+2i

Bài 3. Thực phép tính a) (3-2i) (2-3i) = -13i;

b) ( -1+i)(3+7i) = -10-4i ; c) 5(4+3i) = 20+15i; d) ( -2-5i).4i = -8i + 20

Bài 4.Tính i3, i4 i5

Nêu cách tính in với n số tự nhiên tuỳ ý giải

i3=i2.i =-i i4=i2.i 2=-1 i5=i4.i =i

Nếu n = 4q +r,  r < in = ir

Bài 5.Tính

a) (2+3i)2=-5+12i; b) (2+3i)3=-46+9i;

§ PHÉP CHIA SỐ PHỨC Bài Thực phép chia sau: a/

2

i i

  =

4

13 13 i; b/

1

2

i i



 =

2 2

7 i

 



; c/

5

i i

 =

15 10 13 13i

 

; d/ -2 - 5i

Bài Tìm nghịch đảo

1

z số phức z biết:

a) z 1 ;i b) z ; i c) z i; d) z 5 i 3.

Giải:

a/ 1 2 i =

1

5 5 i; b/

1

i i

 



 =

2

c/

1 i

i i

  

; d/

1

25

5

i i

 



 =

5

28 28i. Bài Thực phép tính sau:

a/ (3 )(2 )i i  i ; b/

2

(1 ) (2 )

  

i i

i ; c/3 (6 )(5 ) i i i ; d/ 4-3i+

5

i i

  .

Giải:

a) (3 )(2 ) (2 14 ) - 28 4i i  i  i  i   i; b)

2

(1 ) (2 ) ( )

2

i i i i i i

 



    =

16( ) 32 16

5 5

i

i

 

 

;

c) (6 )(5 ) 29 11 32 13 i i i   i   i   i; d) 4-3i+

5

i i



 = 4-3i +

(5 )(3 ) 45

i i

 

= 4-3i +

39 18 219 153

45 45 i 45  45 i. Bài Giải phưong trình sau:

a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i

(3-2i)z=3 – 2i

z =

3

i i

  =1

b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z

(-1+2i)z=(2+5i)

 z=

2

1 5

i

i i



   

c/

(2 )

3

(3 )(4 ) 15

z

i i

i z

i i

z i i

z i

    

  



   

  

§ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Bài 1(140) Tìm bậc hai phức số sau: -7; -8; -12; -20; -121

a) i ; b) 2 2i ; c)2 3i ; d) 2 5i ; e) 11i.

Bài 2(140) Giải phương trình sau tập số phức:

a) 3z2 2 0;z  b) 7z2 3z 2 0; c) 5z2  11 0.z 

Đáp số: a) 1,2

1

3

i z  

; b) 1,2

3 47

14

i z  

; c) 1,2

7 171

10

i z  

Bài 3(140) Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z4 z2  0; b) z4 7z2 10 0.

Đáp số:

Bài 4(140) Cho a b c, , ,a0, ,z z1 2 hai nghiệm phương trình az2 bz c 0

Hãy tính z z1 2 z z1 theo hệ số a b c, ,

Giải:

Phương trình có nghiệm: ; 2

b i b i

z z

a a

     

 

Ta có: ;

b c z z z z

a a

  

Bài 5(140) Cho z a bi  số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số

thực nhận z z làm nghiệm Giải:

Theo công thức nghiệm ptb2:



x z x z









 0 x2



z z x zz



 0

Nếu z a bi  , phương trình bậc hai : x2  2ax a b2 0.

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

Bài tập 5. (trang 143 SGK) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện :

a) Phần thực z ; b) Phần ảo z -2 ;

c) Phần thực z thuộc đoạn



1;2



, phần ảo z thuộc đoạn



0;1



; d) z 2

Giải :

1/ Số phức z có phần thực a = 1: Là đường thẳng qua hoành độ song song với Oy 2/ Số phức z có phần ảo b = -2: Là đường thẳng qua tung độ -2 song song với Ox 3/ Số phức z có phần thực a [−1,2] ,phần ảo b [0,1] : Là miền hình chữ nhật giới hạn

bởi đường thẳng x = -1; x = 2; y = 0; y = 3/ z 2: Là hình trịn tâm gốc tọa độ O, có R =

Bài tập Tìm số thực x, y cho : b) 2x + y – = (x+2y – 5)i

⇔

2x+y −1=0 x+2y −5=0

⇔

¿x=−1 y=3

¿{

Bài tập Tính : b) (4-3i)+ 12+i

+i = 4- 3i +

(1+i)(2−i)

(2+i)(2−i) = – 3i + 3+i

5 = 23

5 − 14

5 i

b) z4  0 .



2

8   

 

z z



4 1,2

4 3,4

8   

  

z