Đang tải... (xem toàn văn)
ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán, ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,ôn thi học sinh giỏi toán, bồi dưỡng thi HS giỏi toán, bồi dưỡng thi olympic toán, tài liệu tham khảo thi toán,
Tổ hợp Lý thuyết Các toán tổ hợp đa dạng nội dung, hình thức phương pháp giải Bài toán tổ hợp ẩn chứa đường sau chất đại số, số học, hình học … để giải cần vận dụng kiến thức tổng hợp Có thể chia toán tổ hợp thành loại sau + Bài toán đếm số phần tử tập hợp + Các toán đồ thị, tô màu + Các toán lưới nguyên, bảng vuông + Các toán bất biến, đơn biến + Các toán trò chơi + Các toán hình học tổ hợp + Và số loại toán khác Để giải toán đếm, ta sử dụng kiến thức nâng cao học, quy tắc đếm: quy tắc cộng, quy tắc nhân, quy tắc trừ, nguyên lý bù trừ, số tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị Ngoài ra, sử dụng phương pháp đếm nâng cao Phương pháp song ánh, Phương pháp quan hệ đệ quy, Phương pháp đồ thị, Phương pháp hàm sinh Định lý (Đường lưới nguyên) Số đường ngắn lưới nguyên từ m điểm A(0, 0) đến điểm B(m, n) C m+ n Định lý (Bài toán chia kẹo Euler) Số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + … + xn = k n −1 C k + n −1 Định lý (Nguyên lý bao hàm loại trừ) Với A 1, A2, …, An tập hợp bất kỳ, ta có n n i =1 i =1 | Ai |= ∑ | Ai | − ∑ | Ai ∩ A j | + 1≤i < j ≤ n n ∑ | Ai ∩ A j ∩ Ak | + + (−1) n−1 | Ai | 1≤ i < j < k ≤ n i =1 Các trường hợp đặc biệt 1) |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| 2) |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| +|C| - (|A ∩B| + |B∩C| + |C∩A|) + |A ∩B∩ C| Mệnh đề (Nguyên lý phương pháp song ánh) Hai tập hợp A B có số phần tử tồn song ánh từ A vào B Để giải toán đồ thị, ta sử dụng kiến thức liên quan đến đồ thị đỉnh, cạnh, bậc đỉnh, bổ đề bắt tay, chu trình, đường đi, tính liên thông, khung, đồ thị hai phe, phép thêm đỉnh, bớt đỉnh … Định lý (Bổ đề bắt tay) Với đồ thị đơn vô hướng G = (X, E) ta có ∑ d ( x) = | E | x∈X Định lý (Ore) Cho G đồ thị đơn vô hướng bậc n Nếu với hai đỉnh không kề u, v ta có d(u) + d(v) ≥ n G đồ thị Hamilton Định lý (Euler) Với đa diện lồi ta có M–C+Đ=2 Trong M số mặt, C số cạnh Đ số đỉnh Định lý (Redei) Một tournament có đường Hamilton Nhiều toán trò chơi hay biến đổi trạng thái giải cách hiệu nhờ khái niệm bất biến, đơn biến Định nghĩa Cho tập hợp Ω (tập hợp trạng thái) tập hợp T (tập hợp phép biến đổi) ánh xạ từ Ω Ω Hàm số f: Ω R gọi bất biến cặp (Ω, T) ta có f(t(ω)) = f(ω) với ω thuộc Ω với t thuộc T Nguyên lý bất biến Nếu f bất biến (Ω, T) f(ω’) ≠ f(ω) ω’ thu từ ω thông quan phép biến đổi T Nguyên lý Dirichlet, nguyên lý cực hạn, phép quy nạp toán học công cụ thường sử dụng phép giải toán tổ hợp Mệnh đề (cơ sở nguyên lý cực hạn) a) Nếu A tập hữu hạn R A có phần tử lớn phần tử nhỏ b) Nếu A tập N A có phần tử nhỏ Định lý (Định lý Pick diện tích đa giác lưới nguyên) Cho P đa giác có đỉnh điểm nguyên mặt phẳng, diện tích P tính công thức S(P) = I + B/2 – Trong B số điểm nguyên nằm chu vi đa giác, I số điểm nguyên nằm bên đa giác Một số tập có lời giải Bài toán (PTNK 2009) Cho số nguyên dương n Có số chia hết cho 3, có n chữ số chữ số thuộc {3, 4, 5, 6}? Lời giải Gọi an số số có n chữ số lập từ {3, 4, 5, 6} chia hết cho 3, b n số số có n chữ số lập từ {3, 4, 5, 6} không chia hết cho Khi ta có an = 2an-1 + bn-1 (1) bn = 2an-1 + 3bn-1 (2) (Giải thích rõ!) Từ (1) suy bn-1 = an – 2an-1, thay n n+1 bn = an+1 – 2an Thay vào (2), ta an+1 – 2an = 2an-1 + 3(an – 2an-1) an+1 – 5an + 4an-1 = Giải phương trình sai phân này, với ý a1 = 2, a2 = 6, ta tìm an = 4n + Nhận xét Nếu thay {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} toán giải trực tiếp, sử dụng nguyên lý nhân đáp số 2.6 n-1 Lưu ý lý luận thay đổi chút thay {3, 4, 5, 6} {2, 3, 4, 5, 6} Nếu học sinh chưa học phương trình sai phân cần bổ sung phần kiến thức này, giảng ngắn gọn cách chuyển phương trình sai phân toán cấp số nhân Bài toán Cho X = {1, 2, …, n} Tìm số tất cặp thứ tự (A, B) với A, B tập X cho A tập B B tập A Lời giải Có 2n tập E Từ số tập thứ tự (A, B) tập E 2n x 2n = 4n Ta đếm số (A, B) mà A ⊆ B B ⊆ A Ta có |{(A, B)| A ⊆ B B ⊆ A }| = |{(A, B)| A ⊆ B}| + | (A, B)| B ⊆ A } - |{(A, B)| A ⊆ B B ⊆ A}| Rõ ràng |{(A, B)| A ⊆ B B ⊆ A}| = |{(A, B)| A = B}| = 2n k Để tính |{(A, B)| A ⊆ B}| ta lý luận sau: Nếu |B| = k (k=0, 1, …, n) có C n cách chọn B Sau B chọn, có 2k cách chọn A Từ n | {( A, B ) | A ⊆ B} |= ∑ C nk k = n k =0 Từ đáp số toán 4n – 2.3n + 2n Bài toán (IMOSL 2007) Với số nguyên dương n > xét S = {1, 2, 3, …, n} Tô số S màu, u số màu đỏ v số màu xanh Hãy tìm số (x, y, z) thuộc S3 cho a) x, y, z tô màu; b) x + y + z chia hết cho n Lời giải Cách Gọi R tập số tô màu đỏ B tập số tô màu xanh Nếu x, y, chọn có cách chọn z = z x,y cho x + y + z chia hết cho n Suy có n (x, y, z) với x + y + z chia hết cho n Ta đếm (x, y, z) với x + y + z chia hết cho n số x, y, z xuất hai màu Nếu (x, y, z) hai màu có hai số màu đỏ, số màu xanh ngược lại Trong hai trường hợp, có cặp (x, y), (y, z) (z, x) thuộc tập hợp R x B Ta cho tương ứng cặp với (x, y, z) Ngược lại, với (x, y) thuộc R x B ký hiệu z = z x,y Vì x ≠ y nên (x, y, z), (y, z, x) (z, x, y) khác tương ứng với (x, y) Mặt khác, (x, y) cho tương ứng với ba ba ba nói Như cặp thuộc R x B cho tương ứng lần Từ suy số hai màu 3.u.v đáp số toán n2 – 3uv = (u+v) – 3uv = u2 – uv + v2 Cách Giả sử R = {a1, a2, …, au}, B = {b1, b2, …, bv} tương ứng tập hợp số tô màu đỏ màu xanh R ∪ B = S x a , Q( x ) = ∑ x b xét đa thức H(x) = P3(x) + Q3(x) Để ý Đặt P( x) = ∑ a∈R b∈B P ( x) = ∑x ( a ,b , x )∈R a +b + c , Q ( x) = ∑x ( a ,b , x )∈B a +b+c , Nên số (x, y, z) thuộc S cho x, y, z màu x + y + z chia hết cho n tổng hệ số xn, x2n, x3n H(x) Mặt khác, H(x) = P3(x) + Q3(x) = (P2(x) – P(x)Q(x) + Q2(x))(P(x) + Q(x)) = (P2(x) – P(x)Q(x) + Q2(x))(x + x2 + …+ xn) Giả sử G(x) = P2(x) – P(x)Q(x) + Q2(x) = a0 + a1x + … + amxm Chú ý với số tự nhiên k, tồn suy i thuộc (1, 2, …, n) cho k+i chia hết cho n Do tổng hệ số x n, x2n, x3n H(x) tổng hệ số G(x) G(1) = u2 – uv + v2 Vậy đáp số toán u2 – uv + v2 Bài toán Tại hội nghị có 100 đại biểu Trong số có 15 người Pháp, người quen với 70 đại biểu 85 người Đức, người quen với không 10 đại biểu Họ phân vào 21 phòng Chứng minh có phòng không chứa cặp quen Lời giải Mỗi người Pháp phải quen với 70 – 14 = 56 người Đức Suy số cặp (Pháp, Đức) quen 15 x 56 = 840 Gọi n số người Đức quen ≤ đại biểu người Pháp (gọi Đ1) ta có: 840 ≤ (85-n).10 + n.9 Suy n ≤ 10 Những người Đức lại (Đ 2) quen 10 đại biểu người Pháp, quen với người Đức Vì có 21 phòng có 15 người Pháp nên có phòng có toàn người Đức Vì có nhiều 10 người Đức quen nên theo nguyên lý Dirichlet, phòng có phòng có nhiều người Đức thuộc Đ1 Phòng phòng cần tìm Bài toán Trong buổi gặp mặt có 259 người tham gia Những người quen bắt tay Biết A bắt tay B hai người A B bắt tay không lần Hỏi có nhiều bắt tay? Lời giải: Ta chia tập hợp 259 người thành hai tập con, L N L gồm người bắt tay lần N gồm người bắt tay không lần Theo điều kiện đề người L không bắt tay Ta xét trường hợp sau: 1) Nếu |L| ≥ |N| ≤ 251 Vì người thuộc N bắt tay không lần nên số bắt tay không x 251 = 2008 2) Nếu |L| = k < Vì người thuộc L không bắt tay nên người thuộc L bắt tay không 259 – k Có 259 – k người thuộc N họ bắt tay không cái, suy số bắt tay không [k(259 – k) + (259 – k) x 8]/2 = (259 – k)(8+k)/2 < 259.15/2 < 2008 Vậy số bắt tay không lớn 2008 Mặt khác, ta thấy cách bắt tay thoả mãn yêu cầu toán có 2008 bắt tay: Chọn L N cho |L| = |N| = 251 Cho người thuộc L bắt tay với tất người thuộc N ta tập hợp thoả mãn yêu cầu Vậy 2008 số bắt tay nhiều có Bài toán Chứng minh nhóm có 17 người, người có người quen, tìm người không quen người quen chung Lời giải Ta chuyển sang ngôn ngữ đồ thị, người tương ứng với đỉnh hai người quen nối cạnh Giả sử ngược lại với khẳng định toán, đỉnh X nối với 16 đỉnh lại, trực tiếp, qua đỉnh thứ Vì X nối với đỉnh đỉnh nối với đỉnh khác, đồ thị không đỉnh khác tất đỉnh nhắc đến khác Ngoài cạnh lại đồ thị có số lượng 17.4/2 – 16 = 18 nối đỉnh Mỗi 18 cạnh cho chu trình độ dài qua X Vì X đỉnh bất kỳ, qua 16 đỉnh lại có 18 chu trình Mỗi chu trình qua đỉnh, suy số chu trình 18.17/5, mâu thuẫn Như khẳng định toán chứng minh Bài toán (Thanh Hoá 2009) Cho A tập hợp gồm phần tử Tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Lời giải Giả sử ta tìm n tập hợp thoả mãn yêu cầu đề Ta chứng minh phần tử a thuộc A thuộc không tập hợp số n tập hợp nói Thật vậy, giả sử có tập hợp chứa a {a, a 1, a2}, {a, a3, a4}, {a, a5, a6}, {a, a7, a8} khác a nên phải tồn i ≠ j cho = aj Không tính tổng quát giả sử i = Nếu j = {a, a 1, a2} có phần tử Mâu thuẫn Nếu j > 2, chẳng hạn j = {a, a 1, a2} ∩ {a, a3, a4} = {a, a1}, mâu thuẫn! Như phần tử thuộc không tập hợp Suy số lần xuất tất phần tử A tập chọn không x = 24 lần Vì tập có phần tử nên số tập không 24/3 = Suy n ≤ Ta chứng minh số lớn cách tập Điều làm dễ dàng thông qua bảng sau X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Bài toán (Nghệ An 2009) Gọi S tập hợp số nguyên dương đồng thời thoả mãn điều kiện sau: 1.Tồn phần tử x, y ∈ S cho (x, y) = 2.Với a, b ∈ S a + b ∈ S Gọi T tập hợp tất số nguyên dương không thuộc S Chứng minh số phần tử T hữu hạn không nhỏ s (T ) , s(T) tổng phần tử tập T (nếu T = ∅ s(T) = 0) Bài toán (Thái Lan 2007) 229 học sinh nam 271 học sinh nữ chia thành 10 nhóm, nhóm 50 học sinh đánh số từ đến 50 Người ta muốn chọn nhóm học sinh, số học sinh nữ chọn lẻ thoả mãn điều kiện sau đây: người chọn từ nhóm có cặp học sinh có số thứ tự Chứng minh số cách chọn nhóm số lẻ Lời giải Gọi tập hợp gồm học sinh lấy từ hai nhóm với hai học sinh có số thứ tự đội Giả sử S = {σ |σ đội}, O = {σ ∈ S| σ có số lẻ học sinh nữ} E = {σ ∈ S| σ có số chẵn học sinh nữ} Ta cần chứng minh |O| lẻ Với A ⊂ S, ta định nghĩa f ( A) = ∑ g (σ ) , g(σ) số học sinh nữ σ ∈A σ Vì O ∩ E = ∅ O ∪ E = S, f(S) = f(O) + f(E) Vì f(E) chẵn, f(S) ≡ f(O) (mod 2) f(S) tìm cách xét học sinh nữ bắt cặp với học sinh khác nhóm 50 – cách, sau tìm học sinh khác nhóm khác 10 – cách Suy ra, học sinh nữ thành viên 49.9 đội Có nghĩa học sinh nữ tính 49.9 lần f(S) Vì ta có 271 học sinh nữ, f(S) = 49.9.271 ≡ (mod 2) Vì σ ∈ O chứa số số lẻ học sinh nữ, f(O) ≡ |O| (mod 2) Suy |O| ≡ f(O) ≡ f(S) ≡ (mod 2) số cách chọn đội số lẻ Bài toán 10 Có 20 người xếp thành vòng tròn Hỏi có cách chọn người cho hai người kề chọn Lời giải Ta giải toán tổng quát sau Bài toán 10.1 Có n người xếp thành hàng dọc Có cách chọn k người, cho hai người kề chọn? Cách (Phương pháp song ánh) Đặt En = {1, 2, …, n} Gọi u1< u2 < …< uk số thứ tự người chọn ta có u i+1 – ui ≥ với i=1, …, k-1 Đặt A = {(u1, u2, …, uk) ∈ Ekn | ui+1 – ui ≥ với i=1, …, k-1} Xét ánh xạ f: A B, B = {(v1, v2, …, vk) ∈ Ekn-k+1| v1 < v2 < …< vk} xác định sau f(u1, u2, …, uk) = (v1, v2, …, vk) với vi = ui – (i-1) Ta kiểm tra (v1, v2, …, vk) ∈ B : 1) Rõ ràng vi+1 – vi = (ui+1 – i) – (ui – (i-1)) = ui+1 – ui – ≥ 2) v1 = u1 ≥ 1, vk = uk – (k -1) ≤ n – k + Ta kiểm tra f song ánh Nếu (u 1, u2, …, uk) ≠ (u1’, u2’, …, uk’) rõ ràng ảnh chúng khác Suy f đơn ánh Ngược lại, với (v 1, v2, …, vk) thuộc B, ta chọn ui = vi + i-1 (u 1, u2, …, uk) thuộc A f(u 1, …, uk) = (v1, v2, …, vk) Suy f toàn ánh Vậy |A| = |B| Mà |B| rõ ràng số tập k phần tử E n-k+1, C nk− k +1 Cách (Sử dụng toán chia kẹo Euler) Giả sử ta chọn k người Gọi x1 số người tính người đến trước người thứ chọn, x số người nằm người thứ người thứ hai, …, x k số người nằm người thứ k-1 người thứ k xk+1 số người nằm sau người thứ k đến cuối Khi ta có x1 + x2 + … + xk+1 = n – k (1) x1, xk+1 số nguyên không âm, x2, …, xk số nguyên ≥ Ngược lại, (x1, …, xk+1) nghiệm (1) với x1, xk+1 ≥ 0, x2, …, xk ≥ ta cho tương ứng với cách chọn người thứ 1+x 1, 2+x1+x2, …, k+x1+…+xk rõ ràng (i + x1 + …+ xi) – (i-1 + x1 + …+xi-1) = + xi ≥ nên người liên tiếp chọn Để hoàn tất lời giải toán, ta đặt y = x1, yk+1 = xk+1 yi = xi – với i=2, …, k y1 + y2 + … + yk+1 = n – 2k + (2) với yi số nguyên không âm k Theo kết định lý chia kẹo Euler, ta có số nghiệm (2) C n − k +1 Đó kết toán ban đầu Bài toán 10.2 Có n người xếp thành vòng tròn Có cách chọn k người, cho hai người kề chọn? Bài toán giải kết toán phương pháp « cắt đường tròn » Giả sử n người đánh số 1, 2, …, n Ta xét trường hợp sau : 1) Người số chọn Khi người số số n không chọn Như ta phải chọn thêm k-1 người từ đến n-1 cho hai người kề chọn Vì n-1 không kề nên coi n-3 người xếp theo hàng k −1 dọc Theo kết toán trên, số cách chọn C n − k −1 2) Người số không chọn Khi ta cần chọn k người từ số đến n cho người kề chọn Vì n không kề nên coi n-1 người xếp theo hàng dọc Theo kết toán trên, số cách chọn C nk− k Vậy đáp số toán C nk−−k1−1 + C nk−k = (n − k − 1)! ( n − k )! (n − k − 1)! n + = (k + n − k ) = C nk−−k1−1 (k − 1)!(n − 2k )! k!(n − 2k )! k!(n − 2k )! k Bài tập tự giải Bài Hình vuông chia thành 16 hình vuông nhau, thu tập hợp gồm 25 đỉnh Hỏi cần phải bỏ đỉnh tập hợp để đỉnh tập hợp lại đỉnh hình vuông với cạnh song song với cạnh hình vuông ban đầu? Bài (Nghệ An 2009) Cho n số nguyên dương lớn hay Kí hiệu A = {1, 2, …, n} Tập B tập A gọi tập "tốt" B khác rỗng trung bình cộng phần tử B số nguyên Gọi T n số tập tốt tập A Chứng minh Tn – n số chẵn Bài (Vũng Tàu 2009) Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 chia thành 64 ô vuông đơn vị, người ta bỏ ô vuông đơn vị vị trí hàng thứ m cột thứ n Gọi S(m;n) số hình chữ nhật tạo hay nhiều ô vuông đơn vị bàn cờ cho ô trùng với vị trí ô bị xóa bỏ ban đầu Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn S(m;n) Bài Ba nhóm đường thẳng song song chia mặt phẳng thành N miền Hỏi số đường thẳng nhóm để N > 1981 Bài (Nghệ An 2009) Cho điểm nguyên mặt phẳng tọa độ, điểm thẳng hàng Chứng minh ta chọn điểm thỏa mãn diện tích tam giác tạo chúng số chẵn Bài (Nga 2007, Bắc Ninh 2009) Trong bảng hình vuông gồm 10 x 10 ô vuông (10 hàng, 10 cột), người ta viết vào ô vuông số tự nhiên từ đến 100 theo cách sau: hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết số từ đến 10; hàng thứ hai, từ trái sang phải, viết số từ 11 đến 20; hết hàng thứ 10 Sau cắt bảng hình vuông thành hình chữ nhật cỡ x x Tính tích số hai số hình chữ nhật cộng 50 tích lại Cần phải cắt hình vuông để tổng tìm nhỏ ? Bài (Nhật Bản 2007) Ta có 15 thẻ đánh số 1, 2, …, 15 Có cách chọn số (ít 1) thẻ cho tất số viết thẻ lớn số thẻ chọn Bài Trên đường thẳng nằm ngang, cho 2005 điểm đánh dấu trắng đen Với điểm, xác định tổng tất điểm trắng bên phải điểm đen bên trái Biết rằng, 2005 tổng có số xuất số lẻ lần Hãy tìm tất giá trị có số Bài (Định lý Mantel – Turan) Chứng minh đồ thị đơn bậc n không chứa n2 tam giác có không đỉnh 4 Bài 10 Cho E = {1, 2, …, n} Tìm số tất ba tập (A, B, C) thoả mãn đồng thời điều kiện a) A ∪ B ∪ C = E ; b) A ∩ B ≠ ∅, B ∩ C ≠ ∅ Bài 11 (Bài toán vé hạnh phúc) Vé xe buýt có dạng abcdef a, b, c, d, e, f chữ số thuộc E = {0, 1, 2, …, 9} Vé abcdef gọi vé hạnh phúc a + b + c = d + e + f Hãy tìm số vé hạnh phúc vé từ 000000 đến 999999 theo sơ đồ sau: a) Chứng minh số nghiệm phương trình a+b+c=d+e+f (a, b, c, d, e, f) ∈ E6 (1) số nghiệm phương trình a + b + c + d + e + f = 27 (a, b, c, d, e, f) ∈ E6 (2) b) Chứng minh số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình a + b + c + d + e + f = 27 (a, b, c, d, e, f) ∈ N6 trừ số phần tử N = Na ∪ Nb ∪ Nc ∪ Nd ∪ Ne ∪ Nf, Na = { (a, b, c, d, e, f) ∈ N6, a + b + c + d + e + f = 27, a ≥ 10} (Nb, Nc, Nd, Ne, Nf định nghĩa tương tự) Đáp số, hướng dẫn, lời giải