Loi giai dai so cho cac bai toan cuc tri hinh giaitich

Trên đây là một số ví dụ chúng tôi đưa ra nhằm mục đích giúp bạn đọc thấy được những điểm mạnh của từng phương pháp .Qua đó bạn đọc có thể lựa chọn phương pháp giải cho mình khi tiếp c[r]

1

LỜI GIẢI ĐẠI SỐ

TRONG CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH GIẢI TÍCH

Các mơn tốn học ln có mối quan hệ chặt chẽ với Người ta thường dùng công cụ môn để giải tốn thuộc mơn khác cách hiệu Bài viết muốn bàn việc sử dụng Đại số để giải tốn cực trị hình học giải tích Để tiện cho việc theo dõi có so sánh chúng tơi có đưa lời giải hình học cho tốn Mời bạn theo dõi tốn sau

BÀI TỐN 1 Trong khơng gian toạ độ Oxy cho mặt phẳng   :xyz10 điểm A(1;2;1),B(1;0;1),C(2;1;2) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng   cho

2

2 MB MC

MA   nhỏ

Lời giải hình học

Xét điểm I cho IA IB    ICO Giả sử Ix;y;z Ta có

1 ; ; , 1 ; ; , 2 ;1 ; 

IA x y  z IB x y  z IC x y  z

  

Do  

0

1 0;1;

0

x

IA IB IC O y I

z

   

      

      

Tacó

  2  2 2  

2 2 2 2

2 2

2

MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI IA IB IC MI IA IB IC

MI IA IB IC

              

   

         

Do 2

MC MB

MA   nhỏ MI nhỏ MI   Khi MI qua I(0;1;0) có véc tơ phương n (1;1;1) nên có phương trình

(t R)

t z

t y

t x

 

   

   

Vậy toạ độ điểm M cần tìm ứng với giá trị t nghiệm phương trình

3

1 )

(      

 t t t

t

Suy 2

MC MB

MA   nhỏ 

  

 

3 ; ;

M

Lời giải sử dụng kiến thức véc tơ xác định điểm I cố định thuộc mặt phẳng   Đó lời giải hay mang đầy tính hình học

Lời giải đại số

2                       1 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                                                                                   y y x y y x y y y x y y y y x x y x y x x xy y x y x y x y x y x y x y x MC MB MA

Dấu đẳng thức xảy 1, 2; ;

2 3 3

y

x  y M 

 

Vậy 2

MC MB

MA   nhỏ 

     ; ;

M giá trị nhỏ 1 Lời giải dẫn đến việc tìm GTNN biểu thức bậc hai  

1

x  y xy Đây toán đơn giải học sinh thành thạo nên mạnh lời giải Đại số

BÀI TOÁN 2. Cho mặt phẳng   :xy2z0 A1;2;1 ,B3;1;2,C(1;2;1) Tìm điểm

  

M cho MA  MBMC nhỏ

Lời giải hình học

Gọi G điểm thoả mãn GAGBGCO Thế toạ độ G 1; ; 3

G  

 

Ta có MAMBMC MGGA  MGGB  MGGC3MGGAGBGC3MG.Do MA  MBMC  3MG 3MG

Vậy MA  MBMC nhỏ MG nhỏ MG  Đường thẳng MG qua 

      ; ;

G có véc tơ phương n 1;1;2, phương trình

MG

( ) 3 R t t z t y t x                 

Toạ độ M cần tìm ứng với giá trị t nghiệm phương trình                                ; ; 0 2 3 M t t t t t

Vậy MA  MBMC nhỏ        ; ; M

Lời giải đại số

Điểm M   nên My2z;y;z Thế

     

 y z y z

3

       

   

 1  27 36 12 18 1 33 2

18

30 72 45 ) ( 36 18

3

1

2

2

2

2

2

2

     

       

  

  

         

z z

y z

z z

z y y

z z y z y

z y

z y MC

MB MA

Dấu đẳng thức xảy

   

 

 

      

    

 

 

  

3 ; ;

2

2

0

M z

y z

z y

Vậy MA  MBMC nhỏ    

 

 ; ;

M giá trị nhỏ

BÀI TOÁN 3. Cho điểm A1;4;2 đường thẳng

2

2

1

:x y z

d   

 

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn

Lời giải hình học

Gọi H K, hình chiếu vng góc A mặt phẳng(P) đường thẳng d

Ta có AH AK d A P ; ( )AH lớn AK

Như mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng qua K nhận AK làm véc tơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

   

   

  

Vì Kd K1  t; t; 2t AKt t; 6; 2t2



.Véc tơ phương đường thẳng

d u1;1; 2.Ta có   1 2 2 AK u     t t t   t  

Ta tìm 2; 10; , 5; 13 4;

3 3 3 3

K   AK   n

   

 

n5;13; 4 

Vậy phương trình của(P) :5 13 10

3 3

x y z

     

     

     

      hay  P : 5x13y4z210 Đây lời giải hay khai thác chất hình học tốn cực trị

Lời giải đại số

Gọi na;b;cO véc tơ phát tuyến mặt phẳng (P) Vì (P) chứa d nên (P) qua

1;2;0 có phương trình ax1b(y2)cz0axbycza2b0

Đường thẳng d có véc tơ phương u1;1;2 Ta có

c b a c

b a u

n   2 0  2

Do (P):b2cxbyczb2c0 khoảng cách từ A1;4;2 đến (P)  

 2 2 2

5

2

2

4 )

( ;

c bc b

c b c

b c b

c b c b c b P A d

 

 

  

     

Nếu b0   (1) ) ( ; P 

4

Nếu b0   ( )

5

6

3

3

2 ) (

: 2

2

2 2

2

2 b

c t t t

t t

b c b c

b c

b c b c b

b c b P

A

d 

 

  

 

     

 

 

 

Xét 5 1 4 6 (*)

2

9

6

2

        

 

 M t M t M

t t

t t M

+) ( )

26 43

1

a t

M   

+)

5 

M Khi  * có nghiệm

     ( )

6 35

0

2M   M  M    M  b

 

Vậy    (2)

6 35 ;

0 35

0M   d A P  Từ  1  2 suy   

6 35 ;

0d A P 

 

  c b

b c t

P A d

169 52 169

52 169

52

35

;        Khi mặt phẳng  P có phương trình

0 21 13

5x y z 

Nếu so sánh lời giải Đại số với lời giải hình học ta phải tính tốn phức tạp hơn.Tuy nhiên lời giải Đại số có định hướng cụ thể rõ ràng

Trên số ví dụ chúng tơi đưa nhằm mục đích giúp bạn đọc thấy điểm mạnh phương pháp Qua bạn đọc lựa chọn phương pháp giải cho tiếp cận với tốn cực trị hình giải tích

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1:Cho mặt phẳng   :xy2z0 điểm A(1;2;1), B(3;1;2),C(1;2;1) Tìm điểm

  

M cho MA2 MB2MC2 đạt giá trị lớn

Bài 2:Viết phương trình đườnh thẳng  qua điểm A1;1; 1 ,nằm mặt phẳng

  :xy  z cho khoảng cách  đường thẳng :

1

x y z

d    lớn Bài 3:Cho điểm A2;3;5 đường thẳng :

2

x y z

d     Viết phương trình mặt phẳng )