Trên đây là một số ví dụ chúng tôi đưa ra nhằm mục đích giúp bạn đọc thấy được những điểm mạnh của từng phương pháp .Qua đó bạn đọc có thể lựa chọn phương pháp giải cho mình khi tiếp c[r]
(1)1
LỜI GIẢI ĐẠI SỐ
TRONG CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH GIẢI TÍCH
Các mơn tốn học ln có mối quan hệ chặt chẽ với Người ta thường dùng công cụ môn để giải tốn thuộc mơn khác cách hiệu Bài viết muốn bàn việc sử dụng Đại số để giải tốn cực trị hình học giải tích Để tiện cho việc theo dõi có so sánh chúng tơi có đưa lời giải hình học cho tốn Mời bạn theo dõi tốn sau
BÀI TỐN 1 Trong khơng gian toạ độ Oxy cho mặt phẳng
:xyz10 điểm A(1;2;1),B(1;0;1),C(2;1;2) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng
cho2
2 MB MC
MA nhỏ
Lời giải hình học
Xét điểm I cho IA IB ICO Giả sử I
x;y;z
Ta có
1 ; ;
,
1 ; ;
,
2 ;1 ;
IA x y z IB x y z IC x y z
Do
0
1 0;1;
0
x
IA IB IC O y I
z
Tacó
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2
MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI IA IB IC MI IA IB IC
MI IA IB IC
Do 2
MC MB
MA nhỏ MI nhỏ MI
Khi MI qua I(0;1;0) có véc tơ phương n (1;1;1) nên có phương trình(t R)
t z
t y
t x
Vậy toạ độ điểm M cần tìm ứng với giá trị t nghiệm phương trình
3
1 )
(
t t t
t
Suy 2
MC MB
MA nhỏ
3 ; ;
M
Lời giải sử dụng kiến thức véc tơ xác định điểm I cố định thuộc mặt phẳng
Đó lời giải hay mang đầy tính hình họcLời giải đại số
(2)2
1 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y x y y x y y y x y y y y x x y x y x x xy y x y x y x y x y x y x y x MC MB MADấu đẳng thức xảy 1, 2; ;
2 3 3
y
x y M
Vậy 2
MC MB
MA nhỏ
; ;
M giá trị nhỏ 1 Lời giải dẫn đến việc tìm GTNN biểu thức bậc hai
1
x y xy Đây toán đơn giải học sinh thành thạo nên mạnh lời giải Đại số
BÀI TOÁN 2. Cho mặt phẳng
:xy2z0 A
1;2;1
,B3;1;2
,C(1;2;1) Tìm điểm
M cho MA MBMC nhỏ
Lời giải hình học
Gọi G điểm thoả mãn GAGBGCO Thế toạ độ G 1; ; 3
G
Ta có MAMBMC
MGGA
MGGB
MGGC
3MG
GAGBGC
3MG.Do MA MBMC 3MG 3MGVậy MA MBMC nhỏ MG nhỏ MG
Đường thẳng MG qua ; ;
G có véc tơ phương n
1;1;2
, phương trìnhMG
( ) 3 R t t z t y t x
Toạ độ M cần tìm ứng với giá trị t nghiệm phương trình ; ; 0 2 3 M t t t t t
Vậy MA MBMC nhỏ ; ; M
Lời giải đại số
Điểm M
nên M
y2z;y;z
Thế
y z y z
(3)3
1
27 36 12 18
1
3
3 2
18
30 72 45 ) ( 36 18
3
1
2
2
2
2
2
2
z z
y z
z z
z y y
z z y z y
z y
z y MC
MB MA
Dấu đẳng thức xảy
3 ; ;
2
2
0
M z
y z
z y
Vậy MA MBMC nhỏ
; ;
M giá trị nhỏ
BÀI TOÁN 3. Cho điểm A
1;4;2
đường thẳng2
2
1
:x y z
d
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn
Lời giải hình học
Gọi H K, hình chiếu vng góc A mặt phẳng(P) đường thẳng d
Ta có AH AK d A P
; ( )
AH lớn AKNhư mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng qua K nhận AK làm véc tơ pháp tuyến
Phương trình đường thẳng
1
:
2
x t
d y t
z t
Vì Kd K
1 t; t; 2t
AK
t t; 6; 2t2
.Véc tơ phương đường thẳng
d u
1;1; 2
.Ta có
1 2
2
AK u t t t t Ta tìm 2; 10; , 5; 13 4;
3 3 3 3
K AK n
n
5;13; 4
Vậy phương trình của(P) :5 13 10
3 3
x y z
hay
P : 5x13y4z210 Đây lời giải hay khai thác chất hình học tốn cực trịLời giải đại số
Gọi n
a;b;c
O véc tơ phát tuyến mặt phẳng (P) Vì (P) chứa d nên (P) qua
1;2;0
có phương trình a
x1
b(y2)cz0axbycza2b0Đường thẳng d có véc tơ phương u
1;1;2
Ta cóc b a c
b a u
n 2 0 2
Do (P):
b2c
xbyczb2c0 khoảng cách từ A
1;4;2
đến (P)
2 2 25
2
2
4 )
( ;
c bc b
c b c
b c b
c b c b c b P A d
Nếu b0
(1) ) ( ; P (4)4
Nếu b0
( )5
6
3
3
2 ) (
: 2
2
2 2
2
2 b
c t t t
t t
b c b c
b c
b c b c b
b c b P
A
d
Xét
5 1
4 6
(*)2
9
6
2
M t M t M
t t
t t M
+) ( )
26 43
1
a t
M
+)
5
M Khi
* có nghiệm
( )6 35
0
2M M M M b
Vậy
(2)6 35 ;
0 35
0M d A P Từ
1
2 suy
6 35 ;
0d A P
c bb c t
P A d
169 52 169
52 169
52
35
; Khi mặt phẳng
P có phương trình0 21 13
5x y z
Nếu so sánh lời giải Đại số với lời giải hình học ta phải tính tốn phức tạp hơn.Tuy nhiên lời giải Đại số có định hướng cụ thể rõ ràng
Trên số ví dụ chúng tơi đưa nhằm mục đích giúp bạn đọc thấy điểm mạnh phương pháp Qua bạn đọc lựa chọn phương pháp giải cho tiếp cận với tốn cực trị hình giải tích
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:Cho mặt phẳng
:xy2z0 điểm A(1;2;1), B(3;1;2),C(1;2;1) Tìm điểm
M cho MA2 MB2MC2 đạt giá trị lớn
Bài 2:Viết phương trình đườnh thẳng qua điểm A
1;1; 1
,nằm mặt phẳng
:xy z cho khoảng cách đường thẳng :1
x y z
d lớn Bài 3:Cho điểm A
2;3;5
đường thẳng :2
x y z
d Viết phương trình mặt phẳng )