2 cach giai C5 V2 chuyen HVPhu Tho

[r]

Câu 5:

Cho x.y.z số không âm thỏa mãn

3 x y z  

Tìm giá trị nhỏ S= x3+y3+z3+x2y2z2

Hướng dẫn

Áp dụng BĐT Bunhia cho dãy

Dãy x x y y z z; ; dãy x; y; z Ta có

3 3 2 2 3 2 2

3

( ) ( ) ( ) (*)

2 x y z  x y z  x y z 3 x y z Ta chứng minh BĐT

( )( )( )(*)

xyz x y z x z y y z x     

Vế trái khơng âm vế phải có thừa số thừa số âm BĐT (*) Vế phải có thừa số âm giả sử x y z  0 &x z y   0 2x 0 x0 trái GT Trường hợp ba thừa số đương áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có

2

( )( ) (1)

2

x y z x z y xy z xz y        x

 

tương tự

2

( )( ) (2)

2

z y x x z y z y x x z y           z

 

2

( )( ) (3)

2

x y z y z x

x y z z y x           y

 

Từ (1) (2) (3) BĐT (*) chứng minh Áp dụng BĐT (*) ta có

   

 

2

2 2

2 2 2

3 3

( )( )( ) 2

2 2

27

6

8

27

9 (**)

8

xyz x y z x z y y z x z x y

x y z xy yz xz xyz

x y z xyz x y z x y z

     

                

     

       

   

        

 

Mặt khác Bunhia cho x; y; z 1;1;1; ta có

2 2 ( ) 3(***)

3

x y z t x y z    

Từ (*) , (**) , (***)ta có

2 2 2 2

2

2 7 25 25 25

3 3 64 12 64 64 64

t t t t t t t t

S t             t      

     

25 3 1

( )

64 4 2

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho x, y, z số không âm thoả mãn

3

x y z

2

  

Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x 3y3z3x y z 2

ĐÁP ÁN

Ta có 2x 2y 1        2y 2z 1        2z 2x 1     

Do số 2x 2y 1    , 2y 2z 1    , 2z 2x 1     có số

không âm

Không tính tổng quát, giả sử 2y 2z 1     0

     

1

yz 2y 2z 1 x

4

     

- Nếu x 1 S 1 (do y, z 0 )

- Nếu x 1   

2

2

y z x

4

 

,    

2

2 2

x y z x x

 

Dễ thấy y3z3 yz y z   nên  

3 3

y z x

2 x

 

     

 

Do    

3 3 3

x y z x x

2 x

 

       

 

Khi    

3 2

1

S 4x 2x 5x x 2x x

4

      

 

3

1 17 23 25

2x 2x 5x x

16 4

   

        

 

 

   

2

1 25 25

2x 2x 14 , x

64   64 64

      

 

Dấu “=” xảy

1 x

2

 

Vậy giá trị nhỏ S

25

64

1

x y z

2

  