De Toan thi THPT Chuyen YB nam hoc 20122013

c/ Tìm giá trị của m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất... Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC.[r]

(1)

Đề HD chấm thi chuyên toán THPT Yên Bái năm học 2012 – 2013 Thời gian làm 150 phút không kể giao đề.

Câu (2,5đ)

Cho biểu thức Q =









2

1

x x x x x x

x x x x

 

    

  

     

 

a/ Với giá trị x Q xác định b/ Rút gọn Q

c/ Tìm giá trị x để Q = 2012 x - 2012

a/ Để biểu thức Q xác định, x thỏa mãn điều kiện:

2

0 0

1 1

0

1

4

1

x x x x x x x x x x x x                                       

b/ Với x ≥ x  1, dùng phương pháp “hữu tỷ hóa” biểu thức Q cách:

đặt x   a x a 2;x2 a4 ta có:











 









 





 

































 











2

4

2

4

2

2 2

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1 1 1

1

a a a a a

Q

a a a a

a a a a a

a a a a a a

a a a

a a a a a a

a a Q x x

                                                                         

c/ Q = 2012 x - 2012  x



x



x



x





x





 



4048144 2012 x x x x x x                   

(2)

Câu (1,5đ)

Giải hệ phương trình:

2

6

1

x xy x y

x y

    

 

 

 

Giải hệ phương trình:

2

6 (1)

1 (2)

x xy x y

x y

    

 

 

 

* (1)  6x2 – 3xy + x + y – =  6x2 – 3xy + 3x – 2x + y – =

 3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) =  (2x – y + 1)(3x – 1) =



1

3

2

x x

x y

y x



  

 



 

  

   

 * Kết hợp với (2) ta có:

2

1

3

2

3 x

x

x y y

 

 



 



 

    

 



2

( 0; 1)

4

( ; )

1

5

x y

y x

x y

 



 

 



 

 

 

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) 





5 3 3

    

   

      

   

 

    

 

Câu (2,0đ)

Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m – 1)x + (m – 2)y = a/ Vẽ (d) với m =

(3)

a/ Với m = ta có y = - 4x +

Giao với trục tung Oy điểm (0 ; 2) Giao với trục hoành Ox điểm (0,5 ; 0)

Ta có đồ thị hàm số hình bên y = - 4x + 2

O 1 2 2

y

x

b/ Gọi điểm cố định mà đường thẳng(d) qua M(x0; y0) ta có: 2(m – 1)x0 + (m – 2)y0 = với m  (2x0 + y0)m – 2(x0 + y0 + 1) =

0 0

2

1

x y x

m

x y y

  

 

    

   

  tọa độ điểm cố định M(1; - 2)

Cách khác: Với m = ta có đường thẳng x = 1, với m = ta có đường thẳng y = -2; thay x= 1; y = - vào phương trình ta có:

2(m – 1).1 + (m – 2).(- 2) =  2m – – 2m + – = điều với m

Vậy đường thẳng (d) ln qua điểm cố định có tọa độ (1; - 2) với m

c/ 2(m – 1)x + (m – 2)y = 





2

m

y x

m m

 

  

  Vì (d) không qua gốc O(0; 0) Gọi A, B giao (d) với hai trục tọa độ Oy Ox ta có tọa độ giao điểm

A(0;

2

m ) B(

1

m ; 0) Gọi H hình chiếu O AB, xét AOB vng O

có:









2

2 2

2

1 1 1

1 1 4 1 2

1

OH

OH OB OA m m

OB OA

m m

     

  

 

   

   

 

   









2 2

5

2

5 5

5

OH

m m

m

    

    

 

 

  ; Dấu “=” xảy  m = Vậy độ dài OH lớn  m =

6

5 , ta có OH = 5 (đv dài)

(4)

Cho đường tròn (O; R) điểm M nằm (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (O) tia Mx nằm hai tia MO MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng cắt (O) điểm thứ hai A; AC cắt Mx I Vẽ đường kính BB’, đường cắt MC, B’C K E Chứng minh rằng:

a/ Tứ giác MOIC nội tiếp b/ OI vng góc với Mx

c/ ME = R

d/ Khi M di động mà OM = 2R K chuyển động đường ? Tại ? a/ Vì MB, MC tiếp tuyến (O) (gt)

 OM tia phân giác BOC (t/c…)



 1

2

MOC  BOC

(1)

Lại có

 1

2 BAC BOC

(hệ góc nội tiếp)(2)

Mà BAC MIC (đồng vị MI // BA) (3)

x E

K

B' I

A

O

C B

M

Từ (1), (2), (3) MOC MIC  Tứ giác MOIC có đỉnh kề O I nhìn đoạn

thẳng nối đỉnh cịn lại góc nên nội tiếp đường trịn

(theo tính chất quỹ tích cung chứa góc)

b/ Vì tứ giác MOIC nội tiếp (theo trên)  MIO MCO  900(hệ góc nội tiếp)  OI  Mx

c/ Xét MBO vuông B EOB’ vuông O có:

OB = OB’ (= R) và

  ' ( 1 )

2 MOB EB O  BOC

MBO = EOB’ (g.n - c.g.v kề)

 MB = OE

Mặt khác lại có MB // OE (cùng vng góc với BB’)

 Tứ giác MBOE hình bình hành (dh 3) ME = BO = R

d/ Khi OM = 2R  BMC 600 mà MB // OE  OKC BMC 600

 OKC vuông C có OK =

2 3

0

OC R

cos30  không đổi  Khi M di động thỏa

mãn OM = 2R K ln cách O cố định khoảng OK

2 3 R 

(5)

trên đường trịn tâm O bán kính OK

2 3 R 

Câu (1,0đ)

Tìm giá trị x, y để biểu thức:

M = x22y2 6x4y11 x23y22x6y4 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ

























2 2

2 2 2

2 11

3 1 3 (" " 1)

M x y x y x y x y

x y x y x x y

         

              

mà









2

3 x  x1  3 x  x  1 x x  1

Dấu “=” xảy  y = -1 –1 ≤ x ≤ 3; Vậy minM =  y = -1 – ≤ x ≤