c/ Tìm giá trị của m để (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất... Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC.[r]
(1)Đề HD chấm thi chuyên toán THPT Yên Bái năm học 2012 – 2013 Thời gian làm 150 phút không kể giao đề.
Câu (2,5đ)
Cho biểu thức Q =
2
2
1
1
x x x x x x
x x x x
a/ Với giá trị x Q xác định b/ Rút gọn Q
c/ Tìm giá trị x để Q = 2012 x - 2012
a/ Để biểu thức Q xác định, x thỏa mãn điều kiện:
2
0 0
1 1
0
1
1
4
1
x x x x x x x x x x x x
b/ Với x ≥ x 1, dùng phương pháp “hữu tỷ hóa” biểu thức Q cách:
đặt x a x a 2;x2 a4 ta có:
2
2
4
2
4
2
2 2
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1 1
1 1 1
1
a a a a a
Q
a a a a
a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a a a a
a a Q x x
c/ Q = 2012 x - 2012 x x 1 = 2012 x - 2012 x x1 2012 x 1 0
1 2012 1
4048144 2012 x x x x x x
(2)Câu (1,5đ)
Giải hệ phương trình:
2
6
1
x xy x y
x y
Giải hệ phương trình:
2
6 (1)
1 (2)
x xy x y
x y
* (1) 6x2 – 3xy + x + y – = 6x2 – 3xy + 3x – 2x + y – =
3x(2x – y + 1) – (2x – y + 1) = (2x – y + 1)(3x – 1) =
1
3
2
2
x x
x y
y x
* Kết hợp với (2) ta có:
2
1
3
2
3 x
x
x y y
2
( 0; 1)
4
( ; )
1
5
x y
y x
x y
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y)
0;1 ; 4; ; 2; ; 1; 2
5 3 3
Câu (2,0đ)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2(m – 1)x + (m – 2)y = a/ Vẽ (d) với m =
(3)a/ Với m = ta có y = - 4x +
Giao với trục tung Oy điểm (0 ; 2) Giao với trục hoành Ox điểm (0,5 ; 0)
Ta có đồ thị hàm số hình bên y = - 4x + 2
O 1 2 2
y
x
b/ Gọi điểm cố định mà đường thẳng(d) qua M(x0; y0) ta có: 2(m – 1)x0 + (m – 2)y0 = với m (2x0 + y0)m – 2(x0 + y0 + 1) =
0 0
0 0
2
1
x y x
m
x y y
tọa độ điểm cố định M(1; - 2)
Cách khác: Với m = ta có đường thẳng x = 1, với m = ta có đường thẳng y = -2; thay x= 1; y = - vào phương trình ta có:
2(m – 1).1 + (m – 2).(- 2) = 2m – – 2m + – = điều với m
Vậy đường thẳng (d) ln qua điểm cố định có tọa độ (1; - 2) với m
c/ 2(m – 1)x + (m – 2)y =
2
2
m
y x
m m
Vì (d) không qua gốc O(0; 0) Gọi A, B giao (d) với hai trục tọa độ Oy Ox ta có tọa độ giao điểm
A(0;
2
m ) B(
1
m ; 0) Gọi H hình chiếu O AB, xét AOB vng O
có:
2
2
2 2
2
2
1 1 1
1 1 4 1 2
1
1
OH
OH OB OA m m
OB OA
m m
2 2
2 2
5
2
5 5
5
OH
m m
m
; Dấu “=” xảy m = Vậy độ dài OH lớn m =
6
5 , ta có OH = 5 (đv dài)
(4)Cho đường tròn (O; R) điểm M nằm (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (O) tia Mx nằm hai tia MO MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng cắt (O) điểm thứ hai A; AC cắt Mx I Vẽ đường kính BB’, đường cắt MC, B’C K E Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác MOIC nội tiếp b/ OI vng góc với Mx
c/ ME = R
d/ Khi M di động mà OM = 2R K chuyển động đường ? Tại ? a/ Vì MB, MC tiếp tuyến (O) (gt)
OM tia phân giác BOC (t/c…)
1
2
MOC BOC
(1)
Lại có
1
2 BAC BOC
(hệ góc nội tiếp)(2)
Mà BAC MIC (đồng vị MI // BA) (3)
x E
K
B' I
A
O
C B
M
Từ (1), (2), (3) MOC MIC Tứ giác MOIC có đỉnh kề O I nhìn đoạn
thẳng nối đỉnh cịn lại góc nên nội tiếp đường trịn
(theo tính chất quỹ tích cung chứa góc)
b/ Vì tứ giác MOIC nội tiếp (theo trên) MIO MCO 900(hệ góc nội tiếp) OI Mx
c/ Xét MBO vuông B EOB’ vuông O có:
OB = OB’ (= R) và
' ( 1 )
2 MOB EB O BOC
MBO = EOB’ (g.n - c.g.v kề)
MB = OE
Mặt khác lại có MB // OE (cùng vng góc với BB’)
Tứ giác MBOE hình bình hành (dh 3) ME = BO = R
d/ Khi OM = 2R BMC 600 mà MB // OE OKC BMC 600
OKC vuông C có OK =
2 3
0
OC R
cos30 không đổi Khi M di động thỏa
mãn OM = 2R K ln cách O cố định khoảng OK
2 3 R
(5)trên đường trịn tâm O bán kính OK
2 3 R
Câu (1,0đ)
Tìm giá trị x, y để biểu thức:
M = x22y2 6x4y11 x23y22x6y4 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
2 2
2 2 2
2 11
3 1 3 (" " 1)
M x y x y x y x y
x y x y x x y
mà
2
3 x x1 3 x x 1 x x 1
Dấu “=” xảy y = -1 –1 ≤ x ≤ 3; Vậy minM = y = -1 – ≤ x ≤