T«i cho r»ng ngêi thÇy cÇn n©ng cao chÊt lîng ngay tõ giê lªn líp , chó träng ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc, tÝch cùc kiÓm tra vµ theo dâi s¸t xao viÖc häc tËp cña häc sinh.. V× vËy ®Ò tµi [r]
(1)Phô lôc
Stt Néi dung trang
Lời cảm ơn
Phần I: Mở ®Çu
1 Lý chọn đề tài
2 Mục đích nghiên cứu
3 NhiƯm vơ nghiªn cøu
4 Phạm vi đối tng nghiờn cu
5 Phơng pháp nghiên cứu
PhÇn II: Néi dung
Chơng 1: Cơ sơ lý luận thực tiễn đề tài
1 C¬ sá lý luËn
2 C¬ së thùc tiƠn:
Chơng II: số vấn đề dạy học nội dung quỹ tích
1 Kh¸i niƯm vỊ q tÝch
2 Bài toán quỹ tích có dạng chứng minh
3 Bài toán tìm quỹ tích
4 Một số quỹ tích
5 Đoán nhận hình dạng quỹ tích 11
6 Các bớc giải toán quỹ tích 13
7 Chú ý 15
8 Các ví dụ 16
Chơng III Bài soạn mẫu 23
Chơng IV Kết thực hiện 26
Phần III Kết luận 28
Tài liệu tham khảo 29
Lời cảm ơn
Có thể nói, dạy Tốn góp phần khơng nhỏ việc phát triển t cho học sinh, học sinh có suy nghĩ sáng tạo, xem xét vấn đề nhanh xác Hơn tốn học cịn sở nhiều ngành khoa học khác, địi hỏi giáo viên dạy tốn nói riêng phải có lịng u nghề sâu sắc, làm việc nghiên cứu nghiêm túc Bài tốn Qũy tích thuận lợi để rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh nh phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái qt hóa, nhìn nhận vấn đề theo nhiều phơng diện khác Hơn nữa, cần thấy rằng, điều mà học sinh học đợc thầy không giải quyết, mà quan trọng cách suy nghĩ để giải vấn đề
Tác giả thực đề tài mong góp thêm tiếng nói, khơi gợi khiêm tốn, để học sinh thêm hứng thú học toán nói chung học quỹ tích nói riêng Trong trình thực đề tài, tác giả đợc giúp đỡ Giáo s, Phó giáo s, Tiến sỹ, thạc sỹ giảng viên công tác Khoa Toán - Tin, Trờng Đại học s phạm Hà Nội, đặc biệt hớng dẫn tận tình có nhiều ý kiến quý báu GS TSKH: Đỗ Đức Thái - Cán khoa Toán - Tin, Trờng ĐHSP Hà Nội, thầy trực tiếp hớng dẫn tác giả thực đề tài
(2)mong thầy giáo, cô giáo tận tình dạy, đồng nghiệp góp ý để đề tài ngày hoàn thiện
Em xin chân thành cảm ơn
Phần I: Mở đầu
1 Lý chn tài:
- Nh bạn biết tốn học mơn khoa học nói chung, nhng lại giữ vai trò chủ đạo nhà trờng nh ngành khoa học khỏc
- Hiện đầu t sâu cho môn toán mục tiêu nhiều ngành giáo dục nớc giới nh ngành giáo dục Việt Nam ta
- Toỏn học nh kho tàng tài nguyên vô phong phú quí sâu tìm hiểu, khai thác thấy mê say ham muốn khám phá hiểu biết ngày nhiều môn
- Là giáo viên tham gia giảng dạy mơn tốn trờng THCS Minh Lơng - Đoan Hùng - Phú Thọ, trăn trở làm để nâng cao chất lợng môn Tôi cho ngời thầy cần nâng cao chất lợng từ lên lớp , trọng đổi phơng pháp dạy học, tích cực kiểm tra theo dõi sát xao việc học tập học sinh Từ ngời thầy uốn nắn, giải đáp vớng mắc cho em điều chỉnh ph-ơng pháp giảng dạy cho phù hợp Đồng thời ngời thầy thờng xuyên ôn tập , hệ thống kiến thức, phân loại tập, hình thành phơng pháp kỹ giải toán cho học sinh
- Một vấn đề Toán học đợc nhiều học sinh nh thầy cô giáo quan tâm “Quỹ Tích (Tập hợp điểm)” phần có vai trị quan trọng chơng trình tốn phổ thơng Quỹ tích vấn đề thờng gặp đề thi chọn học sinh giỏi toán 9, thi tuyển vào lớp 10 Vì đề tài “ Tìm lời giải tốn quỹ tích hình học THCS” kinh nghiệm thân với mong muốn giúp em học sinh bổ sung thêm vốn liếng việc giải tốn quỹ tích hình học
(3)Toán tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp, phụ huynh học sinh
2 Mục đích nghiên cứu:
- Góp phần quan trọng việc giảng dạy toán học nói chung quỹ tích nói riêng nâng cao chất lợng dạy học bậc THCS
- Giúp học sinh biết phân loại vận dụng phơng pháp tìm quỹ tích cách nhanh chóng hiệu Phát huy đợc tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh trình học tập Tạo cho học sinh có kiến thức vững vàng, có ý thức tự học, tự nghiên cứu
3 NhiƯm vơ nghiªn cøu:
- Tìm hiểu nội dung dạy học quỹ tích nội dung chơng trình toán lớp 7, lớp lớp
- Tìm hiểu mạch kiến thức quỹ tích chơng trình THCS - Điều tra thực trạng thông qua:
+Thờng xuyên nghiên cứu phơng pháp tìm quỹ tích SGK, SBT, Sách nâng cao
+ Thờng xuyên kiểm tra, khảo sát việc tiếp thu, vận dụng kiến thức học sinh để tìm giải pháp phù hợp nhằm nâng cao chất lợng dạy học
4 Phạm vi đối tợng nghiên cứu:
- Khi nghiên cứu đề tài nghiên cứu thực nghiệm Trờng THCS Minh Lơng - Đoan Hùng - Phú Thọ trao đổi với đồng nghiệp có chun mơn
- Ph¹m vi: Häc sinh líp Trờng THCS Minh Lơng
5 Phơng pháp nghiên cứu:
- Nghiªn cøu qua thùc nghiƯm, rót học kinh nghiệm phơng pháp
- Nghiên cứu thông qua phơng pháp tìm quỹ tích
- Thông qua nội dung phơng pháp tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết phát triển t cho học sinh
- Rèn kỹ cho học sinh thơng qua tập đề nghị
PhÇn II: néi dung
Chơng 1: Cơ sơ lý luận thực tiễn đề tài 1 Cơ sở lý luận:
(4)của ngời học Từng bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến phơng tiện đại vào dạy học”
- Trong luật giáo dục khẳng định: “ Phơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo học sinh phù hợp với đặc điểm lớp học, mơn học” Nói cách khác dạy học theo chơng trình nhằm mục tiêu đào tạo ngời thích ứng với phát triển nhanh mạnh ngày, khoa học kỹ thuật Nhận thức đợc tầm trọng việc đổi phơng pháp giảng dạy nói chung, giảng dạy mơn tốn nói riêng nên tơi mạnh dạn áp dụng số phơng pháp tìm quỹ tích vào hệ thống tập có tính lơgíc
2 C¬ së thùc tiÔn:
- Muốn đổi phơng pháp dạy học phù hợp với mục tiêu chơng trình cải cách nội dung sách giáo khoa giáo viên trớc hết phải dạy cho học sinh tri thức phơng pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suy luận, biết cách tìm lại quên phát kiến thức Bên cạnh địi hỏi học sinh phải cố gắng trí tuệ nghị lực cao trình nghiên cứu kiến thức Muốn dạy cho học sinh nắm đợc tri thức phơng pháp ngời giáo viên phải thờng xuyên suy nghĩ dạy vấn đề, đơn vị kiến thức đặt trớc mắt theo cách để học sinh hiểu vận dụng đạt hiệu tốt
- Trong chơng trình tốn THCS, ta thấy xuất nhiều tốn liên quan đến quỹ tích (tập hợp điểm) nhiên thời gian chơng trình dành cho học vận dụng quỹ tích khơng nhiều Vì muốn học sinh đọc hiểu có khả vận dụng kiến thức nói chung hay quỹ tích nói riêng vào giải tập có liên quan phụ thuộc khơng nhỏ vào lịng say mê cơng việc, không ngừng suy nghĩ khai thác đơn vị kiến thức thành hệ thống dạng tập để học sinh nhận diện phơng pháp giải rèn kỹ vận dụng kiến thức vào giải dạng tập
(5)Chơng II: số vấn đề dạy học nội dung quỹ tích
1 Kh¸i niƯm vỊ q tÝch:
Ta biết hình tập hợp điểm Để cho tập hợp, ta có nhiều cách Một cách cách cụ thể tập hợp gồm điểm Chẳng hạn ta nói tập hợp đỉnh đa giác cho
Có thể cho tập hợp điểm cách tính chất đặc trng cho điểm Chẳng hạn ta nói tập hợp điểm cách hai điểm A, B cho trớc
Khi hình X đợc xác định nh tập hợp tất điểm có tính chất , ta nói “X quỹ tích điểm có tính chất ” hay “quỹ tích điểm có tính chất hình X” Theo lý thuyết tập hợp điều có nghĩa là:
- Nếu điểm M có tính chất M X.
- NÕu M X điểm M có tính chất .
Ví dụ: Khi ta nói “quỹ tích điểm M mặt phẳng cách hai điểm A, B đờng trung trực đoạn thẳng AB” tính chất điểm M MAMB, hình X đờng trung trực đoạn thẳng AB Mệnh đề có nghĩa là:
X M /MAMA
Nh vËy cã nghÜa lµ: 1) NÕu MA = MB th× M X
(6)2 Bài toán quỹ tích có dạng chứng minh.
Tổng quát :"Tập hợp điểm có tính chất hình F "
- Để chứng minh hình F tập điểm có tính chất (nghĩa chứng minh tập hợp điểm thuộc hình F tập hợp điểm có tính chất hai tập hợp ) ta chøng minh:
Víi M, M(α) M(F) M(α) : " M cã tÝnh chÊt α "
- Nh vËy, ta chøng minh phần: a)Phần thuận:
- Lấy điểm M bÊy kú cã tÝnh chÊt α, chøng minh M thuéc h×nh ( F ): M(α) M(F)
b)Phần đảo:
- Lấy điểm Mbất kỳ thuộc hình ( F ) , chøng minh M’cã tÝnh chÊt α: M’ ( F ) M’(α )
Chú ý: Đơi để đỡ phải vẽ nhiều hình, phần đảo ngời ta lấy điểm M
( F ) thay cho M’ ( F ).
Có thể thay phần thuận 1) mệnh đề tơng đơng: 1’ ) Nếu M X M khơng có tính chất .
Có thể thay phần đảo 2) mệnh đề tơng đơng: 2’ ) Nếu M khơng có tính chất M X 3 Bài tốn tìm quỹ tích
Bài tốn tìm quỹ tích có dạng sau đây: “Tìm quỹ tích điểm M có tính chất ” Trong tốn dạng này, ngời ta cha biết quỹ tích M hình Chúng ta phải tìm hình H chứng minh quỹ tích điểm M hình H
Để tìm hình H ta phải biến đổi tính chất điểm M thành tính chất tơng đơng với Có nghĩa “điểm M có tính chất điểm M có tính chất ” Nếu quỹ tích điểm M có tính chất toán đơn giản (ta thờng gọi quỹ tích bản) tốn giải trớc tốn đặt ban đầu giải xong
Nh để giải tốn tìm quỹ tích ta phải có hai bớc:
Phần thuận: Chứng minh điểm M có tính chất có tính chất thuộc hình H (do tốn quỹ tích bản).
(7)Cố nhiên hai phần gộp lại làm dùng lập luận tơng đ-ơng
4 Một số quỹ tích bản
Sau nêu lên số quỹ tích hình học phẳng th-ờng thấy sách giáo khoa phổ thông:
a)ng trũn: Quỹ tích tất điểm cách điểm cố định cho trớc khoảng cho trớc đờng tròn tâm điểm cố định cho trớc bán kính khoảng cách cho trớc
b)Đờng trung trực: Quỹ tích tất điểm cách hai điểm cố định cho trớc đ-ờng trung trực đoạn thẳng nối liền hai điểm
c)Đờng phân giác: Quỹ tích điểm cách hai đờng thẳng c ho trớc là:
- Hai đờng phân giác góc tạo hai đờng thẳng hai đờng thẳng cho trớc cắt
- Đờng thẳng song song cách với hai đờng thẳn cho trớc hai đờng thẳng cho trớc song song
d)Đờng thẳng song song: Quỹ tích điểm cách đờng thẳng cho trớc khoảng cho trớc hai đờng thẳng song song với đờng thẳng cho cách đờng thẳng cho khoảng cho
e)Cung chứa góc: Quỹ tích điểm từ nhìn thấy đoạn thẳng AB cho trớc dới góc α cho trớc hai cung chứa góc α vẽ đoạn AB
f) Đờng trịn Apơloniút: Quỹ tích điểm M cho tỷ số khoảng cách từ đến hai điểm cố định A, B cho trớc tỷ số k không đổi ( k 1) đờng trịn có đ-ờng kính đoạn thẳng IJ I J điểm chia chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k
g) Tổng bình phơng: Quỹ tích điểm có tổng bình phơng hai khoảng cách từ đến hai điểm A B cho trớc, có giá trị không đổi k2 với k độ
dài cho trớc đờng trịn có tâm trung điểm AB bán kính
2 √2k2− a2 víi ( a = AB; k
a√2 )
h) Hiệu bình phơng: Quỹ tích điểm mà hiệu bình phơng hai khoảng cách từ đến hai điểm A,B cho trớc có giá trị không đổi k với k độ dài cho trớc đờng thẳng vng góc với đờng thẳng AB điểm H cho OH = k
2
2 AB O trung im ca on thng AB
Khi giải to¸n q tÝch, ta thêng quy vỊ mét c¸c quỹ tích
5 Đoán nhận hình dạng quỹ tích:
(8)- Các tốn tìm tập hợp điểm thờng cho dới dạng“Tìm tập hợp điểm có tính chất α”.Nh địi hỏi ta trớc hết phải dự đốn hình ( F ) , phải tìm hình phải chng minh M() M(F)
Sau vài cách đoán nhận: a)Dựa vào thực nghiệm:
Hình dạng : Dựa vào điều kiện tốn, tìm số phần tử cần thiết ( ) thuộc tập hợp điểm có tính chất α vào mà đốn nhận hình dạng tập hợp thuộc loại thẳng hay trịn
Lấy điểm, ý điểm đặc biệt điểm đẻ biết sơ hình dạng
*Ví dụ1: Cho nửa đờng trịn (O), đờng kính AB Mlà điểm chuyển động
nửa đờng trịn, H hình chiếu M AB Trên đoạn thẳng OM lấy N cho ON = MH Tìm tập hợp điểm N
Dự đoán : Khi M trùng A B th× N trïng O
Khi M điểm cung AB N ≡ I lấy thêm điểm M thuộc nửa đờng trịn có điểm N
Ta thấy O, N, I khơng thẳng hàng dự đốn tập hợp phải tìm thuộc loại đờng trịn qua N, I O
* Ví dụ2: Cho góc xOy = 1V, A điểm cố định nm gúc ú im B
chạy ox, điểm C chạy Oy cho AB AC Tìm tập hợp hình chiếu A cạnh BC
Dự đốn: B O Q thuộc tập hợp phải tìm, C O P thuộc tập hợp phải tìm, Δ ABC vị trí thoả mãn điều kiện đầu hình chiếu A H,cùng P Q có khả thẳng hàng Vậy tập hợp thuộc loại đờng thẳng qua P,Q
b)Dựa vào vị trí
- Xột liờn h phần tử tập hợp ( chuyển động ) với phần tử cho ( cố định , khơng đổi ) để tìm đợc phần tử cố định thuộc tập hợp phần tử cố định , không đổi cần thiết để xác định hình chứa tập hợp điểm có tính chất α
*Ví dụ3: Cho góc xAy B,C lần lợt thay đổi tia Ax, Ay cho: AB + AC
=1
Tìm tập hợp giao điểm M đờng tròn ngoại tiếp Δ ABC với đờng thẳng song song với BC đợc kẻ từ A
Dự đoán: Dễ thấy A, B1, C1 thuộc tập hợp, B1 Ax cho AB1=1,
C1 Ay cho AC1=1 Vậy tập hợp đờng tròn qua A, B1, C1
(9)c) Dựa vào xác định số giao điểm tập hợp điểm có tính chất đặc tr ng với hình cố định đó:
Trên đờng thẳng cố định có hai điểm tập hợp đờng thẳng đó khơng thuộc tập hợp điểm nói chung thuộc loại đờng trịn Đặc biệt hai đờng thẳng qua hai điểm ấy.
* Ví dụ4:Tìm tập hợp điểm M cho MA2 + MB2 = k2 A, B cố
định k độ dài cho trớc
Dự đốn: Ta thấy đờng thẳng AB có hai điểm thuộc tập hợp và điểm lại đờng thẳng AB khơng thuộc tập hợp phải tìm Do tập hợp xét thuộc loại trịn hai đờng thẳng qua hai điểm nói
* Ví dụ5: Cho điểm A, B, C cố định khơng thẳng hàng Tìm tập hợp
điểm M cho khoảng cách từ B đến AM khoảng cách từ C đến AM
Dự đoán: Ta thấy A trung điểm I BC thuộc tập hợp Vậy tập hợp xét hai đờng thẳng qua hai điểm
Nếu đờng thẳng cố định có điểm thuộc trờng hợp xét tập hợp nói chung thuộc loại thẳng cung trịn.
* Ví dụ6:Tìm tập hợp điểm M cho MA2 - MB2 = k2 A, B cố
định k độ dài cho trớc
Dự đốn: Ta thấy có điểm M thuộc đờng thẳng AM có MA2 - MB2 = k2
do tập hợp điểm thuộc loại thẳng
c)Dựa vào tính đối xứng ( trục, tâm ) tập hợp điểm đặc trng
- Thuộc loại thẳng mà có trục đối xứng vng góc với trục đối xứng - Thuộc loại trịn mà có trục đối xứng tâm nằm trục đối xứng
* Ví dụ7: Tìm tập hợp điểm M cho MA2 + MB2 = k2 A, B
cố định k độ dài cho trớc
Dự đốn: Dễ thấy tập hợp có trục đối xứng: đthẳng AB đờng trung trực AB Do quỹ tích đtrịn ( giao trục đxứng tâm )
e)Dùa vµo phần tử vô tận
Cú mt im vơ tận tập hợp thể đờng thẳng hay nửa đờng thẳng
* Ví dụ8: Cho góc xOy Trong góc xOy có tam giác biến thiên mà
đỉnh điểm A cố định nằm Oy đỉnh thứ hai B di động Ox Tìm tập hợp đỉnh thứ ba C
Dự đốn: Vì B chạy Ox nên B điểm vơ tận, C là điểm vơ tận Vậy tập hợp đờng thẳng hay nửa đờng thẳng
Khơng có điểm vơ tận tập hợp thuộc loại trịn hay đoạn thẳng Nếu đờng thẳng tập hợp có chung với đờng thẳng cố định Δ điểm vô tận song song với Δ
* Ví dụ9: Tìm tập hợp trung điểm đoạn thẳng AM A cố định M di
động đờng thẳng cho trớc Δ ( không qua A )
(10)N
0 I
A B
M
H
Chú ý: Thơng thờng để dự đốn chi tiết tập hợp cho tính chất đặc trng điểm, ngời ta phối hợp phơng pháp với nhau.
* Ví dụ10 Tìm tập hợp điểm M cho MA2 + MB2 = k2 đố A, B
những điểm cố định k độ dài cho trớc Dự đốn: Hình F khơng có điểm vơ tận.
Hình F giao với đờng thẳng AB hai điểm Hình F có trục đối xứng đờng thẳng AB
Hình F có trục đối xứng đờng trung trực AB Hình F có tâm đối xứng trung điểm AB
⇒ Vậy hình F đờng trịn tâm trung điểm đoạn thẳng AB
6 C¸c bíc giải toán quỹ tích:
*)B c 1:Phõn tớch đề bài : Đọc kỹ đầu , phân biệt yếu tố cố định, yếu tố không đổi( số đo góc, số đo cung, độ dài đoạn thẳng ), yếu tố thay đổi( đặc biệt điểm mà ta cần tìm tập hợp)
*)B ớc 2: Dự đốn quỹ tích: Dự đốn tập hợp ? Khi tìm vị trí điểm mà ta cần xét tập hợp , nên xét thêm số trờng hợp riêng gọi trờng hợp giới hạn việc khơng làm cho việc tìm vị trí đợc đơn giản mà cịn có tác dụng quan trọng cho cho biết điểm cần xét thay đổi giới hạn
*)B ớc 3: Chứng minh mệnh đề thuận: Sau dự đốn tập hợp hình ? Cần liên hệ đến tập hợp học để nối điểm mà ta cần tìm tập hợp vào yếu tố thích hợp tìm cách chứng minh mệnh đề thuận Cần ý vẽ hình trờng hợp tổng quát nêu giới hạn ( có ) thay đổi điểm mà ta cần tìm tập hợp
*)B ớc 4: Chứng minh mệnh đề đảo: Sau chứng minh mệnh đề thuận , cần chứng minh mệnh đề đảo Cần ý chứng minh trờng hợp tổng quát Thông thờng ngời ta lấy M’ F dựng cho M’thoả mãn gần hết tính chất α sau chứng minh thoả mãn tính chất cịn lại
*)B íc 5: KÕt luËn:
Trớc kết luận quỹ tích hình gì, số toán cần biện luận Ta thờng biện luận việc chứng minh thực trờng hợp khơng có khả đại diện cho tất trờng hợp, điều kiện thay không tơng đơng với điều kiện ban đầu, tích chất điểm M đợc cho cách tổng quát bao gồm nhiều trờng hợp riêng
Trong làm học sinh, yêu cầu trình bày hai bớc: chứng minh thuận đảo kết luận
Chó ý: Trong bµi lµm häc sinh cần trình bày bớc 3;4;5.
* Ví dụ: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB M điểm thay đổi nửa đờng tròn Kẻ MH AB Trên tia OM lấy điểm N cho ON= MH Tìm tập hợp điểm N M thay đổi nửa đờng tròn
Gi¶i: *)ThuËn
(11)⇒ OI AB
mµ MH AB (gt) ⇒ MH // OI Ta cã : OI= OM (bkÝnh)
O1= M ( s.l.trong)
ON= MH (gt )
⇒ Δ ONI= Δ MHO ⇒ N= H= 1v ONH= 1v => O,I cố định ⇒ N ( O; OI
2 )
*) Đảo: Lấy N ( O; OI
2 ) ONcắt (O) M
Kẻ MH AB Cần cminh ON’= M’H’ Ta cã OI= OM’=R (1)
OI AB
M’H’ AB ⇒ OI // M’H’ ⇒ O2=M (2)
N’ ( J, IO2 ) ⇒ N’= 1v ; H’= 1v (3) Tõ (1); (2); (3)
⇒ Δ N’OI= Δ HM’O (c.hun- g.nhän) ⇒ ON’= M’H’
7 Chó ý.
Chú ý : Khi làm tốn tìm tập hợp điểm có phần tính tốn chung cho hai phần ( thuận đảo ) tiến hành trớc đã, sau tách riêng hai phần (thuận, đảo ) để tránh lặp lại
Chú ý : Khi đa tốn tìm tập hợp điểm M có tính chất α tr-ờng hợp tìm tập hợp điểm M có tính chất β mà tính chất β một tính chất đặc trng việc chứng minh thuận đảo tiến hành nh sau.
+ Thuận: Giả sử M( α ) tính chất α tốn, M( β ) β tính chất đặc trng
+ Đảo ta chứng minh M( β ) M( α ) Và kết luận tập hợp biết tập hợp toán Nh trờng hợp việc chứng minh đảo cần tiến hành từ tập hợp có tính chất để tập trở
* VÝ dô1
Cho điểm cố định A B Tìm tập hợp tâm đờng trịn qua hai điểm cố định
+ ThuËn: A (O;R) ⇒ OA= R B (O;R) ⇒ OB= R
⇒ OA= OB ⇒ O Δ ( Trung trực đoạn AB ) + §¶o: LÊy O’ Δ ⇒ O’A= O’B ⇒ A, B (O’; O’A)
(12)M
B A
z
M1
M B
A O
y
x
*)ThuËn: M( α ) M F
Hạn chế: Tìm F F cho M F’ th× M( α ) ⇒ M F *)Đảo : M F M( α )
Chú ý 4: Tập hợp phải tìm hữa hạn điểm( chí ỉ, điểm) là vơ hạn điểm ( đờng thẳng, đoạn thẳng, tia, đờng tròn, cung tròn, một phần mặt phẳng bị giới hạn đờng trên).
* VÝ dô 2:
+ Tập hợp ỉ : Cho hai điểm A, B, tìm điểm M cho tam giác ABM vừa đều, vừa vng
+ TËp hỵp có điểm: Cho ABC tìm điểm M tong tam gi¸c cho
SMAB= SMBC= SMCA
+ Tập hợp gồm tia cung tròn: Cho tam giác cân Tìm điểm nhìn hai cạnh bên góc
Chỳ ý 5: ở tìm tập hợp có chứa tham số vị trí tơng đối các điểm đờng đầu có nhiều khả xảy mà cách giải trờng hợp khác giải phải xét tất trờng hợp xảy ra.
8 C¸c vÝ dơ:
a Ví dụ quỹ tích điểm đờng trung trực:
* Tãm t¾t lý thuyÕt:
Tập hợp điểm cách hai điểm phân biệt A, B cố định đờng trung trực đoạn thẳng AB
Gọi tắt tập hợp điểm đờng trung trực
Ví dụ: Cho góc xOy cố định, A điểm cố định tia Ox, B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm M AB.
Híng dÉn
a) PhÇn thn:
OAB có AOB900,
OM trung tuyến nên
AB
MO MA MB
MO = MA O, A cố định
M thuộc đờng trung trực đoạn thẳng OA b) Giới hạn:
- Khi B trùng O M trùng M1, (M1 trung ®iĨm cđa OA).
- Khi B chạy xa vơ tận tia Oy M chạy xa vô tận tia M1z thuộc đờng
trung trùc đoạn thẳng OA
- Vy M chuyn động tia M1z đờng trung trực đoạn thẳng OA nằm
(13)z M
O
y
x
y'
x'
M
z M
O
y
x
C1 K
H C B
A
z
O y
x
c) Phần đảo:
LÊy M bÊt kú thuéc tia M1z, AM cắt tia Oy B
M thuc đờng trung trực đoạn thẳng OA MO MA MAO MOA (1) Mặt khác: tam giác OAB cóAOB900 nên:
OBM MAO 900 (2) Vµ BOM MOA 900 (3) Tõ (1), (2), (3) suy ra: OBM BOM MO MB
MO MA MO MB , MA MB M trung điểm đoạn thẳng AB
d) Kết luận: Tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB tia M1z thuộc ng
trung trực đoạn thẳng OA thuộc miỊn cđa gãc xOy
VÝ dơ t¬ng tù: Cho hình chữ nhật ABCD Một góc vng xAy quay quanh A có hai cạnh cắt CB, CD E, F Dựng hình chữ nhật AENF Tìm quỹ tích
tâm M hình chữ nhật này.
b VÝ dơ vỊ q tích điểm tia phân giác * Tóm tắt lý thuyết:- Định
lý :
Tập hợp điểm M nằm góc xOy, khác góc bẹt cách hai cạnh góc xOy tia phân giác góc xOy
Gọi tắt tập hợp điểm tia phân giác
- H qu : Tập hợp điểm M cách hai đờng thẳng cắt xOx’ yOy’ bốn tia phân giác bốn góc tạo thành, bốn tia tạo thành hai đ-ờng thẳng vng góc với O
Ví dụ: Cho góc vng xOy, tia Ox có điểm A cố định B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho tam giác ABC vng cân C
Híng dÉn:
a) PhÇn thuËn:
VÏ CH Ox H Ox CK( ), Oy k Oy( ) XÐt CAH AHC( 90 )0 vµ CBK BKC( 90 )0 Ta cã: CA=BC (ABC vuông cân C)
(14)d' O H d 2cm 2cm y x
CH CK
CH CK góc xOy cố định, C thuộc tia phân giác Oz góc vng xOy b) Giới hạn :
- Khi B trïng víi O th× C trïng víi C1; C1 thuộc tia phân giác Oz C OA1 vuông
cân C1
- Khi B chạy xa vơ tận tia Oy C chạy xa vô tận tia Oz Vậy C chuyển động tia C1z tia phân giác Oz góc xOy
c) Phần đảo : Lấy C thuộc tia C1z
Vẽ đờng thẳng vng góc với CA C cắt tia Oy B
VÏ CH Ox H Ox CK( ), Oy K Oy( ), ta cã: CH CK KCH, 900 XÐt CAH vµ CBK ta cã:
90 ( ) CHA BKC
CH CK CAH CBK g c g
ACH BCK
Suy CA = CB ABC vuông C có CA = CB ABC vuông cân C
d) Kết luận : Tập hợp điểm C tia C1z tia phân giác Oz góc xOy
* Ví dụ tơng tự : Cho hai đờng thẳng cắt điểm A Tìm tập hợp tâm đờng trịn tiếp xúc với hai đờng thẳng
c Ví dụ quỹ tích điểm hai đờng thẳng song song:
* Tóm tắt lý thuyết:
Định lý :
Tập hợp điểm M cách đờng thẳng d cho trớc khoảng a (a > 0) cho trớc hai đờng thẳng song song với đờng thẳng cho cách đ-ờng thẳng khoảng a
Gọi tắt tập hợp điểm
hai ng thng song song M
M b' d b a a
* Ví dụ: : Cho đờng thẳng xy Tìm tập hợp tâm đờng trịn có bán kính 2cm tiếp xúc với đờng thẳng xy
a) PhÇn thuËn:
Gọi O tâm đờng trịn bán kính 2cm tiếp xúc với đờng thẳng xy Ta có khoảng cách từ O đến xy ln 2cm Do O thuộc hai đờng thẳng d d’ song song với xy cách xy
mét kho¶ng b»ng 2cm
b) Giới hạn: O điểm tùy ý hai đờng thẳng d d’ vẽ đợc đờng tròn
(O;2cm) tiếp xúc với đờng thẳng xy c) Phần đảo:
(15)O I
B
M
A
VÏ OH xy H( xy), ta cã: OH = 2cm
Vẽ đờng tròn (O ;OH) Đờng tròn (O ;OH) có bán kính 2cm tiếp xúc với đờng thẳng xy
d) KÕt luËn :
Tập hợp tâm O đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng xy hai đờng thẳng d d’ song song với xy cách xy khoảng 2cm.
* Bµi tËp t¬ng tù : Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính CD Từ điểm A di động tia đối tia DC, kẻ tia AI tiếp tuyến (O) Trên tia AI lấy điểm M cho AM = AO Tìm quỹ tích điểm M
d Ví dụ quỹ tích điểm đờng trũn * Túm tt lý thuyt:
Định lý :
Tập hợp điểm M cách điểm O cho trớc khoảng không đổi (r > 0) đờng trịn tâm O bán kính r
Gọi tắt tập hợp điểm ‘‘đờng tròn’’
r
O M
* Ví dụ: Cho đờng (O; R); A điểm cố định nằm đờng tròn, B điểm chuyển động đờng trịn Tìm tập hợp trung điểm M AB
Híng dÉn:
a) PhÇn thuËn:
Gọi I trung điểm OA, suy I cố định
XÐt ABO ta cã:
MA MB IA IO
MI ng
trung bình tam giác ABO 2
OB R MI R MI
(không đổi) I cố định nên M thuộc đờng tròn
; R I b) Giíi h¹n:
B chuyển động đờng tròn (O; R) nên M chuyển động đờng tròn
; R I
c) Phần đảo:
Lấy điểm M thuộc đờng tròn
; R I
(16) M N B A P C y x A M B Q
Do M, I lần lợt trung điểm cạnh AB, AO ABO MI đờng
trung b×nh cđa ABO 2 2.2
OB R
MI OB MI R
B thuộc đờng tròn (O; R)
d) Kết luận: Tập hợp trung điểm M AB đờng tròn
; R I
(với I trung điểm OA)
* Bài tập tơng tự : Cho đờng ( O ) dây AB cố định Mlà điểm tuỳ ý cung nhỏ AB Gọi K trung điểm đoạn MB Từ K hạ đờng KP MA Tìm tập hợp P M di chuyển cung nhỏ AB cho
e VÝ dơ vỊ q tích điểm cung chứa góc: * Tóm tắt lý thuyết:
Định lý :
Tp hp điểm M tạo thành với hai mút đoạn thẳng AB cho trớc góc AMB có số đo khơng đổi (00 180 )0 hai cung trịn đối xứng qua AB
Gäi tắt tập hợp điểm cung chứa gãc’’
Chó ý : Khi 900, tËp hỵp điểm M đ-ờng tròn đđ-ờng kính AB
* Ví dụ : Cho góc xAy Điểm B, C lần lợt thay đổi Ax, Ay cho AB + AC = M điểm thuộc đờng tròn ngoại tiếp Δ ABC đờng thẳng AM // BC Tìm tập hợp M
Gi¶i *) ThuËn
Trên Ax, Ay lấy P, Q cho AP = AQ =1 Ta có Tgiác ACBM- hìnhthang (AM//BC) nội tiếpđờng trịn nên hình thang cân
⇒ MAC = BMA (1) vµ AC =MB Nhng AB+ AC =1
AB+ BP = ⇒ AC=BP
nªn MB= BP ⇒ ΔMBP cân B MPB= BMP (2) Lại có AP= AQ= ⇒ APQ = AQP (3)
Tõ (1), (2), (3) suy
AMB+ BMP+AQP= MAQ +APQ+ APM ⇒ AMP+ AQP= MAQ+ MPQ Mµ AMP+ AQP+ MAQ+ MPQ= 3600 ( tỉng gãc tø gi¸c lồi)
(17)M đtròn ngoại Δ AQP.
Mặt khác M nằm ngồi góc xAy M thuộc PAQ đờng tròn ngoại ΔAQP *) Đảo
LÊy M PAQ; B AP cho BMP = APM; đtròn ngoại AMB AQ=C ta chøng minh BC // AM vµ AB+ AC =1
M đtròn ngoại APQ AMP + AQP= MAQ+ MPQ (= 2v)
Nhng BMP= BPM ( cdùng) AQP = APQ ( AP = AQ ) nên MAQ = AMB Mặt khác AMBC tứ giác néi tiÕp ⇒ ACB = MBC ⇒ AC = MB ⇒
MAB= ABC
⇒ AM // BC ⇒ AC = MB
Mặt khác BMP= BPM MB= BP nªn AC = BP Nhng AB+ BP = nªn AB+ AC =1 *) KÕt luËn
Vậy quỹ tích điểm M cung PAQ đờng tròn ngoại ΔAQP
* Bài tập tơng tự: Cho đoạn thẳng cố định AB= 2a, a độ dài biết cho hai nửa đờng thẳng Ax , By vng góc với AB phía với AB Một điểm M chuyển động tia Ax điểm N chuyển động tia By cho diện tích hình thang AMNB không đổi 2a2 Từ trung điểm O của
AB dựng OP MN Tìm tập hợp điểm P
Chơng Iii Bài soạn mẫu
Tính chất tia phân giác góc (Hình học 7)
A Mơc tiªu:
* Kiến thức: Học sinh hiểu nắm vững tính chất đặc trng tia phân giác góc, * Kỹ năng: Học sinh biết vẽ tia phân giác góc Bớc đầu vận dụng tính chất để giải tập
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác
(18)Phơng pháp vấn đáp, đàm thoại, đan xen hoạt động nhúm
C Chuẩn bị:
* Giáo viên: Compa, thớc kẻ, bảng phụ, góc xOy giấy, thớc kẻ lỊ * Häc sinh: Compa, thíc kỴ, gãc xOy giấy, thớc kẻ lề
D Tiến trình giảng:
Hot ng 1: n nh t chc:
Hoạt động 2: Kiểm tra cũ:
Hoạt động thầy Hoạt động trò
Cho xOy:
- Tia Oz phải thỏa mãn điều kiện để trở thành tia phân giác
xOy
?
- Vẽ tia phân giác Oz thớc kẻ com pa?
Gv: Bng thc kẻ com pa vẽ đợc tia phân giác góc Vởy dùng thớc lề vẽ đợc tia phân giác góc hay khơng?
- Häc sinh tr¶ lêi: NÕu tia Oz:
+ Nằm tia Ox Oy + xOzzOy
Thì tia Oz tia phân giác xOy VÏ h×nh:
Hs suy nghÜ
Hoạt động III: Định lý tính chất điểm thuộc tia phân giác: a Thực hành:
- Gv hớng dẫn học sinh thực hành - Với cách gấp hình nh MH gì? - Yêu cầu học sinh đọc , thảo luận trả lời?
- Do điểm M tùy ý nên lấy thêm ®iĨm M1; M2 M råi gÊp nh híng dÉn
rút nhận xét gì?
- Tổng quát: Tất điểm nằm tia phân giác góc có tính chất nh nào?
- Yêu cầu học sinh đọc lại nội dung định lý?
- Yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi gt; kl định lý?
- Học sinh đọc phần thực hành (SGK/68) - Học sinh quan sát Hình 28; hình 29 làm theo
- MH Ox MH; Oy nên Mh khoảng cách từ M tới Ox vµ Oy
- Khi gấp khoảng cách từ M đến Ox, Oy trùng mở hình khoảng cách từ M đến Ox, Oy
- Häc sinh thùc hµnh
- Học sinh trả lời: khoảng cách từ M1, M2
tíi Ox, Oy b»ng
- Hs trả lời: Định lý (định lý thuận) SGK/68
- Hs đọc lại định lý SGK
(19)- §Ĩ chøng minh MA = MB ta lµm nh thÕ nµo?
- H·y chøng minh; MOAMOB? - Gv treo bảng phụ phần chứng minh? (SGK/69)
- Điều ngợc lại định lý có không?
GT ;
; ;
xOy xOz zOy
M Oz MA Ox MB Oy
KL MA = MB
- HS: Ta gắn vào cạnh tam gi¸c b»ng Cơ thĨ: MOAMOB - Hs chøng minh
- Hs nhËn xÐt
- Hs suy nghÜ
Hoạt động IV: Định lý đảo
- Gv nêu toán SGK/ 69 vẽ hình lên bảng?
- Bài toán cho ta biết điều gì? Hỏi điều gì?
- OM có tia phân giác xOy không?
- Gv yêu cầu hs th¶o ln nhãm råi tr¶ lêi?
GV: Đó nội dung định lý
Hs tr¶ lêi: - §iĨm M n»m xOy + MA = MB
(20)(Định lý đảo định lý 1) Yêu cầu học sinh đọc nội dung định lý (SGK/69)
- Yêu cầu vẽ hình, ghi gt, kl định lý?
- Yêu cầu Hs thảo luận nhóm để chứng minh định lý?
- Gv treo bảng phụ: Phần chứng minh thang điểm
Bảng phụ:
Xét MOAvà MOB có:
90 ( ) ( )
A B gt
MA MB gt OMchung
Do MOAMOB (Cạnh huyền – Cạnh góc vng) (6đ)
1
O O
(2 góc tơng ứng) (2đ) => OM tia phân giác xOy(2đ) - Gv nhấn mạnh định lý định lý thuận, định lý định lý đảo Từ định lý cho ta biết điều gì? - Gv giới thiệu tập hợp điểm cịn đợc gọi quỹ tích tia phân giác góc
- Hs đọc định lý
2 O x y A B M
GT M n»m xOy
; ;
MA Ox MB Oy MA MB
KL O1O2
- Hs tiếp tục thảo luận nhóm để chứng minh định lý, trình bày phiếu học tập - Các nhóm trao đổi phiếu để kiểm tra, chấm điểm
- Học sinh nhắc lại định lý 1; định lý 2? - Học sinh: “Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc đó”
Hoạt động V: Củng cố:
Bµi 31 (SGK/70)
- Gv híng dÉn häc sinh thùc hµnh - T¹i dïng thíc lỊ nh vËy OM lại tia phân giác xOy?
- Hc sinh đọc đề
- Häc sinh thùc hµnh giáo viên - Học sinh chứng minh
- Trả lời câu hỏi vào
Hot ng VI: HDVN
- Häc bµi; lµm bµi 32; 33/70 SGK
(21)sinh
Ch¬ng IV KÕt qu¶ thùc hiƯn
Víi häc sinh
- Khi cha áp dụng cách ôn tập nh trình bày tơi nhận thấy nhiều học sinh cịn bế tắc, nhìn nhận định hớng giải cha Trong kiểm tra em bỏ lại ý tìm quỹ tích, vài em có định hớng làm thiếu bớc, kỹ hạn chế, khơng biết làm hay sai
- Sau áp dụng đề tài nhợc điểm nêu học sinh giảm nhiều Tỷ lệ học sinh hiểu bài, làm đợc tăng lên rõ rệt, em hứng thú tích cực học
2.
Bµi häc kinh nghiƯm
(22)PhÇn iii- KÕt luËn
- Giáo viên cần hệ thống , phân loại tập thành dạng Mỗi dạng hình thành phơng pháp giải rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Giáo viên cần xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát , từ đơn giản đến phức tạp , đẩm bảo phù hợp với trình độ nhận thức chung học sinh Giáo viên cần trọng phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh Từ em có khả nhìn nhận bao qt, tồn diện , định hớng giải toán đắn nắm kiến thức sâu sắc Làm đợc nh góp phần nâng cao chất lợng giáo dục nhà trờngTHCS
- Bài viết chắn không tránh khỏi hạn chế định , mong góp ý chân thành đồng nghiệp
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Ngày 25 tháng 12 năm 2010 Ngêi viÕt
Hoµng Ngäc Quý
Tài liệu tham khảo
(23)2/ Toỏn nâng cao chuyên đề hình học - Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ D ơng Thuỵ
3/ Toán nâng cao chuyên đề hình học - Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ D ơng Thuỵ
4/ To¸n bồi dỡng học sinh giỏi - Vũ Hữu Bình, Tôn Thân 5/ Sách giáo khoa toán 7; 8; 9; - Nhà Nhà xuất giáo dục 6/ Sách giáo viên toán 7; 8; - Nhà xuất giáo dục
7/ Sách tập toán 7; 8; - Nhà xuất giáo dục