Oxy, cho hình vuông ABCD.[r]
(1)B! GIÁO D"C VÀ #ÀO T$O #% CHÍNH TH&C
#% THI TUY'N SINH #$I H(C N)M 2012 Mơn: TỐN; Kh*i A kh*i A1
Th!i gian làm bài: 180 phút, không k" th!i gian phát #$ I PH+N CHUNG CHO T,T C- THÍ SINH (7,0!i"m)
Câu (2,0!i"m) Cho hàm s! y!x4"2(m#1)x2#m2 (1), v"i m tham s! th#c
a) Kh$o sát s# bi%n thiên v& '( th) c*a hàm s! (1)
m
!
0.
b)Tìm m '+ '( th) c*a hàm s! (1) có ba 'i+m c#c tr) t,o thành ba '-nh c*a m.t tam giác vng
Câu (1,0!i"m) Gi$i ph/0ng trình sin 2x#cos 2x!2 cosx"1 Câu (1,0!i"m) Gi$i h1 ph/0ng trình
3
2
3 22
( , )
1
x x x y y y
x y
x y x y
$ " " # ! # "
% &
'
# " # !
%( !
Câu (1,0!i"m) Tính tích phân
2
1 ln( 1)
d x
I x
x
# #
!
)
Câu (1,0 !i"m) Cho hình chóp có 'áy tam giác '2u c,nh a Hình chi%u vng góc c*a
trên m3t ph4ng (ABC) 'i+m H thu.c c,nh AB sao cho
.
S ABC
S
2
.
HA
!
HB
Góc gi5a '/6ng th4ng SC m3tph4ng (ABC) b7ng Tính th+ tích c*a kh!i chóp S.ABC tính kho$ng cách gi5a hai '/6ng th4ng SA
và BC theo a
o 60
Câu (1,0!i"m) Cho s! th#c , ,x y z th8a mãn 'i2u ki1nx# # !y z Tìm giá tr) nh8 nh9t c*a bi+u th:c
| | | | | | 2
3
x y3
y z3
z x6
6
6
P
!
"#
"#
""
x
#
y
#
z
.
.
ND
II PH+N RIÊNG (3,0 !i"m): Thí sinh ch#!$%c làm m&t hai ph'n riêng (ph'n A ho(c ph'n B) A Theo ch./ng trình Chu0n
Câu 7.a (1,0 !i"m) Trong m3t ph4ng v"i h1 t;a ' Oxy, cho hình vuông ABCD G;i M trung 'i+m
c*a c,nh BC, N 'i+m c,nh CD cho
CN
!
2
Gi$ s<* +
11 1;2
M '/6ng th4ng AN có
ph/0ng trình 2x" " !y Tìm t;a ' 'i+m A
Câu 8.a (1,0 !i"m) Trong không gian v"i h1 t;a ' Oxyz, cho '/6ng th4ng :
1
x y z
d # ! ! " 'i+m Vi%t ph/0ng trình m3t c=u (S) có tâm I c>t d t,i hai 'i+m A, B cho tam giác IAB vuông t,i I
(0; 0;3) I
Câu 9.a (1,0!i"m) Cho n s! nguyên d/0ng th8a mãn 5Cnn"1!Cn3 Tìm s! h,ng ch:a x5 khai
tri+n nh) th:c Niu-t0n c*a
*
+
2
1
,
0.
14
n
nx
x
x
"
,
B Theo ch./ng trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 !i"m) Trong m3t ph4ng v"i h1 t;a ' Oxy, cho '/6ng trịn Vi%t ph/0ng trình t>c c*a elip (E), bi%t r7ng (E) có ' dài tr?c l"n b7ng (E) c>t (C) t,i b!n 'i+m t,o thành b!n '-nh c*a m.t hình vng
2
( ):C x #y !8
Câu 8.b (1,0 !i"m) Trong không gian v"i h1 t;a ' Oxyz, cho '/6ng th4ng : 2,
2 1
x y z
d # ! ! " m3t ph4ng ( ):P x# "y 2z# !5 'i+mA(1; 1; 2)." Vi%t ph/0ng trình '/6ng th4ng - c>t d (P) l=n l/@t t,i M N cho A trung 'i+m c*a 'o,n th4ng MN
Câu 9.b (1,0!i"m) Cho s! ph:c z th8a mãn 5( )
z i
i
z
#
! "
# Tính mơ'un c*a s! ph:c
2
1
w! # #z z - H1T -
Thí sinh không !$%c s) d*ng tài li+u Cán b& coi thi khơng gi,i thích thêm
(2)!!!!!!!! #% CHÍNH TH&C
#% THI TUY'N SINH #$I H(C N)M 2012 Mơn: TỐN; Kh*i A kh*i A1 (!áp án – thang "i#m g$m 04 trang)
Câu !áp án !i"m
a)(1,0 #i"m)
Khi m"0, ta có: y"x4#2 x2
$ T%p xác "&nh: D"!
$ S' bi(n thiên:
# Chi)u bi(n thiên: y' 4" x3#4 ;x y' 0" % x"0 ho*c x" &1
0,25
Các kho+ng ngh&ch bi(n: (#' #; 1) v (0; 1);à kho+ng "$ng bi(n: (#1; 0) (1;( ')
# C'c tr&: Hàm s, "-t c'c ti#u t-i x" &1, yCT" #1; "-t c'c "-i t-i x"0, yC! "0
# Gi.i h-n: lim lim
x)#'y"x)( 'y" ('
0,25
# B+ng bi(n thiên:
0,25
$ !$ th&:
0,25
b) (1,0 #i"m)
Ta có y'"4x3#4(m(1)x"4 (x x2# #m 1)
!$ th& hàm s, có "i#m c'c tr& ch/ m( *1 % m* #1 (*) 0,25
Các "i#m c'c tr& c0a "$ th& A(0;m2), (B # m( #1; 2m#1) (C m( #1; 2m#1)
Suy ra: AB" #( m(1; (# m(1)2
"""#
) AC "( m(1; (# m(1)2)
"""#
0,25
Ta cóAB"AC nên tam giác ABC vng ch/ AB AC "0
"""# """#
0,25
1 (2,0 #i"m)
% (m(1)4#(m( "1) K(t h1p (*), ta "21c giá tr& m c3n tìm m"0 0,25 ( '
y '
y – + – +
x #' –1 ( '
–1
–1
( '
O
2 – –1 –2
8
(3)Câu !áp án !i"m
Ph24ng trình "ã cho t24ng "24ng v.i ( sinx(cosx#1)cosx"0 0,25
5
cos 5( )
2
x x k k
$ " % " ( +$ 0,25
3 sinx cosx
$ ( # " cos
, -
5 cos53
x
% # " 0,25
2 (1,0 #i"m)
%x"k25 ho*c 25 25( )
x" (k k+$
V%y nghi6m c0a ph24ng trình "ã cho 5,
2
x" (k x"k25 25 25 ( )
x" (k k+$
0,25
H6 "ã cho t24ng "24ng v.i:
, ,
-3
2
( 1) 12( 1) ( 1) 12( 1) (1)
1
1 (2)
2
x x y y
x y
# # # " ( # (
/
# ( ( "
/1 0,25
T7 (2), suy 1
2 x
# # 1
2 y
# ( % 1
2 x
# # 1
2 y
# (
Xét hàm s, f t( )" #t3 12t 3;
2
3#
45 678, ta có f t'( ) 3(" t2#4) 09 , suy f(t) ngh&ch bi(n
0,25
Do "ó (1) % x – " y ( % y " x – (3)
Thay vào (2), ta "21c
, ,
-2
1
1
2
x# ( x# " % 4x2#8x( "3 %
x" ho*c
x" 0,25 3
(1,0 #i"m)
Thay vào (3), ta "21c nghi6m c0a h6 ( ; )
,
1; 3-2
x y " # ho*c ( ; )
,
3; 1-
2
x y " # 0,25
!*t u" (1 ln(x(1) d d2 , suy d d x u
x
"
(
1 v x v x " x
" # 0,25
3
1 1
1 ln( 1)
( 1)
x dx
I
x x x
( (
" # (
(
:
0,25,
-3
1
2 ln 1
3 x x dx
(
" ( #
(
:
3
1
2 ln ln x x ( " (
( 0,25
4 (1,0 #i"m)
2 ln 3 2ln 2.
3
" ( # 0,25
Ta có SCH% góc gi8a SC (ABC), suy %SCH "60 o
G9i D trung "i#m c0a c-nh AB Ta có: ,
6 a
HD" 3, a CD"
2 7,
3 a
HC" HD (CD " tan60o 21 a SH"HC "
0,25
2
1 21
3 3 12
S ABC ABC
a a a
V " SH S; " " 0,25
K: Ax//BC G9i N K l3n l21t hình chi(u vng góc
c0a H Ax SN Ta có BC//(SAN)
2
BA" HA nên
( , ) ( ,( )) ( ,( ))
2
d SA BC "d B SAN " d H SAN
Ta c;ng có Ax<(SHN) nên Ax<HK Do "ó
(
HK< SAN) Suy d H( ,(SAN))"HK
0,25
5 (1,0 #i"m)
o
2
2 42
12
, sin 60 ,
3
a a SH HN a
AH HN AH HK
SH HN
" " " " "
( V%y
S B C H x N K D A 42 ( , ) a
(4)Ta ch<ng minh 3t = ( > =t 1, t 0 (*)
Xét hàm ( ) 3f t " t # #t 1, có '( ) ln 0,f t " t # * > =t 0 f(0) 0" , suy (*) "úng
Áp d=ng (*), ta có 3|x y| 3|y z| 3|z x| | | | | | |.
x y y z z x
# ( # ( # = ( # ( # ( #
0,25
Áp d=ng b>t "?ng th<c |a| | | |( b = a(b|, ta có:
2 2
(|x y# ( # ( #| |y z| |z x|) " #|x y| ( #|y z| ( #|z x| ( #|x y|(|y z# ( #| |z x|) |( #y z|(|z x# ( #| |x y|)
,
2 2-|z x|(|x y| |y z|) |x y| |y z| |z x|
( # # ( # = # ( # ( #
0,25
Do "ó |x y# ( # ( # =| |y z| |z x| |
,
x y# |2( #|y z|2( #|z x|2-
" 6x2(6y2(6z2#2,
x y z( (-
2Mà x y z( ( "0, suy |x y# ( # ( # =| |y z| |z x| 6x2(6y2(6z2
0,25
6 (1,0 #i"m)
Suy P"3|x y# |(3|y z# |(3|z x# |# 6x2(6y2(6z2=3.
Khi x " y " z " d>u b@ng x+y V%y giá tr& nhA nh>t c0a P b@ng
0,25
G9i H giao "i#m c0a AN BD K: "2Bng th?ng qua H song song v.i AB, cCt AD BC l3n l21t t-i P Q !*t HP " x Suy PD " x, AP " 3x HQ " 3x
Ta có QC " x, nên MQ " x Do "ó ;AHP = ;HMQ, suy
AH<HM
0,25
H4n n8a, ta c;ng có AH"HM
Do "ó AM " 2MH" ( ,(d M AN))"3 10
2
0,25
A+AN, suy A(t; 2t – 3) 10
2
MA" %
, ,
-2
11 45
2
2
t# ( t# "
0,25
7.a (1,0 #i"m)
% t2 5t
A B
C
D N
M H
P Q
# ( " % t"1 ho*c t"4
V%y: (1; 1)A # ho*c (4;5).A 0,25
Véc t4 ch/ ph24ng c0a d a "(1; 2; 1) G9i H trung "i#m c0a AB, suy IH < AB
""#
Ta có H d+ nên t9a "DH có d-ng H t( 1; ;# t t( ?2) IH" #( 1; ; 1).t t t#
"""# 0,25
IH < AB % IH a "0 % %
"""# ""#
1
t# ( ( # "t t
t"
,
2; ; 2-
3 3
IH
?"""#" # # 0,25
Tam giác IAH vng cân t-i H, suy bán kính m*t c3u (S) 2
3
R"IA" IH " 0,25
8.a (1,0 #i"m)
Do "ó ph24ng trình m*t c3u c3n tìm ( ): 2 ( 3)2
3
S x (y ( z# " 0,25
1
5 n
n n
C # "C3 % ( 1)( 2)
n n n
n" # # 0,25
% n"7 (vì n nguyên d24ng) 0,25
Khi "ó
,
-7 7 7
2 2
14
7 7
0
( 1)
1 1
14 2 2
n k k k k
k k
k
k k
C
nx x x
C x
x x x
#
# #
" "
# @ # A "@ # A " @ A # "
B C B C B C
D E D E
F
D EF
0,259.a (1,0 #i"m)
S, h-ng ch<a x5 t24ng <ng v.i 14 3# k"5 % k"3
Do "ó s, h-ng c3n tìm
3
5
7
( 1) 35
0,25
16
C
x x
#
(5)Câu !áp án !i"m
Ph24ng trình tCc c0a (E) có d-ng: 2
2 1,
x y
a b
( "
v.i a b* *0 2a"8 Suy a"4
0,25
Do (E) (C) nh%n Ox Oy làm tr=c ",i x<ng giao "i#m "/nh c0a mDt hình vng nên (E)
(C) có mDt giao "i#m v.i t9a "D d-ng A t t t( ; ), *0
0,25
A+(C) % t2(t2 "8, suy t"2 0,25
7.b (1,0 #i"m)
(2;2) ( )
A + E % 42
16(b " %
2 16.
b
"
Ph24ng trình tCc c0a (E) 2
16 16
3
x y
( " 0,25
M thuDc d, suy t9a "D c0a M có d-ng M(2t – 1; t; t ( 2) 0,25
MN nh%n A trung "i#m, suy N(3 – 2t; – – t; – t) 0,25
N+(P) % 2# t# # #2 t 2(2# ( "t) 0% t"2, suy M(3; 2; 4) 0,25
8.b (1,0 #i"m)
!2Bng th?ng ; "i qua A M có ph24ng trình : 1
2
x# y( z#2
; " " 0,25
!*t z" (a bi a b( , +!),zG #1
Ta có 5( ) (3 2) ( 6)
1 z i
i a b a b i
z
( " # % # # ( # ( "
(
0,25
% %
7
a b
a b
# # "
0 # ( "
0
1 a b
" "
1 0,25
Do "ó z" (1 i Suy w" ( (1 z z2" ( ( ( (1 i (1 )i 2" (2 i 0,25
9.b (1,0 #i"m)
V%y w " 3( i " 13 0,25
x
2 O y
A