Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hợp có hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,... các phần tử của một tập hợp. Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lý thống kê. Toán học tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lý thuyết, mặc dù nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập trung vào cuối thế kỷ XX (xem trang Danh sách các chủ đề trong toán học tổ hợp). Một trong những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp là lý thuyết đồ thị, mà bản thân lý thuyết này lại có nhiều kết nối tự nhiên đến các lĩnh vực khác. Toán học tổ hợp được dùng nhiều trong khoa học máy tính để có được công thức và ước lượng trong phân tích thuật toán.
Phần thứ LÝ THUYẾT TỔ HỢP Combinatorial Theory Fall 2009 Toán rời rạc Nội dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc Chương BÀI TỐN LIỆT KÊ Tốn rời rạc NỘI DUNG Giới thiệu toán Thuật toán độ phức tạp Phương pháp sinh Thuật tốn quay lui Tốn rời rạc Giíi thiệu toán Bi toỏn a danh sỏch tt cấu hình tổ hợp thoả mãn số tính chất cho trước gọi toán liệt kê tổ hợp Do số lượng cấu hình tổ hợp cần liệt kê thường lớn kích thước cấu hình chưa lớn: • Số hốn vị n phần tử n! • Số tập m phần tử n phần tử n!/(m!(n-m)! Do ần có quan niệm giải tốn liệt kê tổ hợp Giíi thiƯu toán Bi toỏn lit kờ t hp l giải ta xác định thuật tốn để theo xây dựng tất cấu hình cần quan tâm Một thuật toán liệt kê phải đảm bảo u cầu bản: • Khơng lặp lại cấu hình, • khơng bỏ sót cấu hình Chương Bài toán liệt kê Giới thiệu toán Thuật toán độ phức tạp Phương pháp sinh Thuật toán quay lui Toán rời rạc Khái niệm tốn tính tốn Định nghĩa Bài tốn tính tốn F ánh xạ từ tập xâu nhị phân độ dài hữu hạn vào tập xâu nhị phân độ dài hữu hạn: F : {0, 1}* {0, 1}* Ví dụ: Mỗi số ngun x biểu diễn dạng xâu nhị phân cách viết hệ đếm nhị phân Hệ phương trình tuyến tính Ax = b biểu diễn dạng xâu ghép nối xâu biểu diễn nhị phân thành phần ma trận A vectơ b Đa thức biến: P(x) = a0 + a1 x + + an xn, hoàn toàn xác định dãy số n, a0, a1, , an, mà để biểu diễn dãy số sử dụng xâu nhị phân Khái niệm thuật toán Định nghĩa Ta hiểu thuật toán giải toán đặt thủ tục xác định bao gồm dãy hữu hạn bước cần thực để thu đầu cho đầu vào cho trước tốn Thuật tốn có đặc trưng sau đây: • Đầu vào (Input): Thuật tốn nhận liệu vào từ tập • • Đầu (Output): Với tập liệu đầu vào, thuật toán đưa liệu tương ứng với lời giải tốn Chính xác (Precision): Các bước thuật tốn mơ tả xác Khái niệm thuật tốn • Hữu hạn (Finiteness): Thuật tốn cần phải đưa đầu sau số hữu hạn (có thể lớn) bước với đầu vào • Đơn trị (Uniqueness): Các kết trung gian bước thực thuật toán xác định cách đơn trị phụ thuộc vào đầu vào kết bước trước • Tổng quát (Generality): Thuật tốn áp dụng để giải tốn có dạng cho 10 Thuật tốn làm việc Thử xếp hậu dòng vào cột ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 128 Thuật toán làm việc Xếp hậu dòng ta tiếp tục xếp hậu dòng 4: Thử cột ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 129 Thuật toán làm việc Thử xếp hậu dòng vào cột ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 130 Thuật toán làm việc Thử xếp hậu dòng vào cột ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 131 Thuật toán làm việc Thử xếp hậu dòng vào cột ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 132 Thuật toán làm việc Khơng xếp hậu dịng ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 133 Thuật toán làm việc Quay lại tìm vị trí cho hậu dịng 3: Thử cột ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 134 Thuật toán làm việc Quay lại tìm vị trí cho hậu dòng 3: Thử cột ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 135 Thuật tốn làm việc Khơng có cách xếp cho hậu dòng ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 136 Thuật tốn làm việc Quay lại tìm cách xếp cho hậu dịng 2: Khơng có ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 137 Thuật toán làm việc Quay lại tìm cách xếp cho hậu dịng 1: Chuyển sang cột ROW 2, COL ROW 1, COL đặt 138 Mét lêi gi¶i toán xếp hậu n = 139 The End Toán rời rạc - NĐN 140 140 Questions? 141 141 Toán rời rạc 142 ... Giới thiệu toán Bi toỏn đưa danh sách tất cấu hình tổ hợp thoả mãn số tính chất cho trước gọi toán liệt kê tổ hợp Do số lượng cấu hình tổ hợp cần liệt kê thường lớn kích thước cấu hình chưa... dung Chương Mở đầu Chương Bài toán đếm Chương Bài toán tồn Chương Bài toán liệt kê tổ hợp Chương Bài toán tối ưu tổ hợp Toán rời rạc Chương BÀI TỐN LIỆT KÊ Tốn rời rạc NỘI DUNG Giới thiệu toán Thuật... Sinh cấu hình tổ hợp • Sinh xâu nhị phân độ dài n • Sinh tập m phần tử tập n phần tử • Sinh hốn vị n phần tử 35 SƠ ĐỒ THUẬT TOÁN Phương pháp sinh áp dụng để giải toán liệt kê tổ hợp đặt hai điều