Bài 20.. Biết rằng tổng hệ số của số hạng đầu tiên và thứ 3 gấp đôi hệ số của số hạng thứ 2.. a)Tính xác suất để Hường được chọn. b)Tính xác suất để Hường không được chọn. Lấy ngẩu nhiên[r]
(1)BÀI TẬP TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT LỚP 11 GV: Nguyễn Hữu Trung – Trường THPT Vĩnh Định I-GIẢI BÀI TỐN ĐẾM BẰNG QUY TẮC VÀ H.V-C.H-T.H:
Bài Từ tập A = 0;1; 2;3; 4;5;6;7 lập số tự nhiên gồm:
a)3 chữ số b)3 chữ số đôi khác c)3 chữ số đôi khác chữ số cuối số chẵn d)4 chữ số đôi khác lớn 2400 ? e)5 chữ số đôi khác phải có mặt chữ số
f)5 chữ số đôi khác chữ số 1,2 có mặt đứng cận Bài 2.Cho A = 0;1; 2;3; 4;5;6.Từ tập A, lập được:
a) tập có phần tử b) tập
Bài 3.Một lớp học tập đơn ca, múa kịch Hỏi lớp có cách chọn tiết mục nếu:
1) Chọn tiết mục 2) tiết mục chọn có đơn ca 3) số đơn ca số tiết mục múa 4)Phải có đơn ca 5)Có đủ thể loại 6) chọn xong phải phân công biểu diễn đơn vị
Bài 4: Một nhóm gồm 12 học sinh, nam nữ Hỏi có cách xếp 12 học sinh thành hàng dọc cho:
a)Các học sinh giới đứng cận b) học sinh nam phải đứng liền
Bài 5: Một bàn gồm dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Hỏi có cách xếp hs trường A hs của trường B cho:
a) hai hs ngồi đối diện cận phải khác trường b) hai hs ngồi đối diện phải khác trường Bài 6: Hỏi từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên gồm chữ số:
a)Đôi khác b)Đôi khác cho số có mặt chữ số
Bài 7: Trong mét líp häc cã 30 häc sinh nam, 20 học sinh nữ Lớp học có 10 bàn, bàn có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu:
a) Các học sinh ngåi tuú ý b) C¸c häc sinh nam ngåi cïng bàn, học sinh nữ ngồi bàn Bài 8: Cho đa giác A1A2A10 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi lấy điểm làm đỉnh lập được: a)Bao nhiêu tam giác b)bao nhiêu tứ giác lồi c)Bao nhiêu đoạn thẳng ? vectơ khác 0
d)Bao nhiêu đường chéo e)Bao nhiêu hình chữ nhật
Bài Cho hai đường thẳng song song d d’ Trên d lấy 10 điểm phân biệt, d’ lấy điểm phân biệt Hỏi có tất bao nhiêu tam giác tạo thành từ 15 điểm nói ?
Bài 10 a)Có đường chéo đa giác lồi có n cạnh ?
b)Một đa giác lồi có số đường chéo gấp ba số cạnh Hỏi đa giác có cạnh ? Bài 11: Có tối đa giao điểm tạo thành từ:
a)6 đường thẳng phân biệt b)5 đường tròn phân biệt c)5 đường tròn đường thẳng phân biệt Bài 12: Cho ABC, cạnh AB, BC, CA lấy 2,3,4 điểm phân biệt Hỏi lập tam giác từ
9 điểm lấy
Bài 13 Cho đa giác A1A2 A2n (n 2) nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh
nhiều gấp số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh Tìm n ?
Bài 14 : Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 4) Biết rằng, số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k∈{1,2,3 , n} cho số tập gồm k phần tử A lớn
Bài 14: Có số tự nhiên gồm chữ số khác đôi cho tất chử số khác khơng có mặt đồng
thời chữ số 2, 4, KQ: 1800
Bài 15: Trong mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh H 1)Có tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H (20)
2)Có tam giác có cạnh cạnh H? KQ: 320 3)Có tam giác khơng có cạnh cạnh H? KQ:800 II)GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN BÙ:
Bài 16 Một tập thể gồm 14 người gồm nam nữ có An Bình , người ta muốn chọn tổ công tác gồm người Tìm số cách chọn tổ cho có tổ trưởng , tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt
Bài 17 Một tập thể gồm nam nữ, người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm người Tìm số cách chọn cho tổ:
a)phải có nam nữ b)Có nam c)có nam
Bài 18 Một lớp học có 30 nam 15 nữ Có cách chọn em để lập tốp ca phải có nữ ?
Bài 19 Đội tuyển HSG trường có 15 hs, có hs khối 10, hs khối 11 hs khối 12 Hỏi có cách chọn học sinh tham dự trại hè khối có học sinh ?
Băi 20 Cho A = 1, 2,3, 4,5,6,7 Từ tập A, lập số tự nhiên có chữ số đơi khâc nhau, đócó mặt hai chữ số ?
Bài 21: Một lớp học có 20 hs, có hai cán lớp Hỏi có cách cử người dự Hội nghị trường cho người có cán lớp KQ:324
Bài 22: Một trường trung học có thầy dạy tốn, thầy dạy vật lý, thầy dạy hóa học Chọn từ đội có thầy dự đại hội Hỏi có cách chọn để có đủ ba mơn?
III-TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐA Ank, nk:
Bài 23: Cho k, n số nguyên k n C/minh:
1
3
3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
Bài 24: Cho n k số nguyên Chứng minh:
2
( 1) k ( 1) k
n n
k k C n n C
Bài 25: Cho k n số nguyên dương cho k < n C/minh:
a) 11
k k k k k
n n n k k
C C C C C
b)
1 3
2
2 k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
(2)Bài 26.Gải phương trình, bất phương trình sau: 1) 11 21 14
x
x x
C A x
2) x2Cx −x −14=A24Cx −3 1−xCx −x −14 3)
1
3 103
x x x
x x x
C C C
4)
3 n n n P A P
5) 26 35 124
x x
x x
C C
6)
3
1
6n 6Cn Cn 7) Cx −4 1− C3x −1−5
4 Ax −2
≤0 8)
Ax
− Cx −1
> 1: 11 :
x x x x C C
9)
2
2
x x 20 12 x
x A x A x C 10)
1 1
1 : : 10 : :1
y y y y
x x x x
A yA A C
(Đs: x= 7, y = 3)
Bài 27.Giải hệ phương trình:
1)
¿
2Axy+5Cxy=90 5Axy−2Cxy=80
¿{ ¿ 2) 1 1 1 3 5 y y x x y y x x C C C C 3)
Cn+1 m+1:C
n+1 m
:Cn+1 m−1
=5 :5 :3
NHỊ THỨC NIU-TƠN:
Bài 28 Tính 31 11
2 1
0 ( 1).
n n n n n n A C n A C A C A C S
, biết Cn0C1nCn2 211
Bài 29.Rút gọn tổng sau:A =
1
C +
C +
9
C B =
9
C C C C =
6 11
11 11 11
C C C
D = C100 +2C101 +22C102 + +210C1010
2005 2005 2005 2005
2005 2C 3C C
C
S
Baøi 30. Tìm n N cho : a) 40 41 42 42 256
n
n n n n
C C C C
b) C20n+C22n32+ +C22nk32k+ .+C22nn −232n −2+C22nn32n=215(216+1) Bài 31: Cho n nguyên dương, n Cmr: a)
1
1 .2 2
1
n n n n n n
C C C
n
b) n n nn
n n n n n n
n C C C C C
C33 13 ( 1)
Bài 32 Tìm số nguyên dơng n cho: Cn02Cn122Cn2 2 nCnn729 Bài 33 Tìm số hạng
1)Chứa x8trong khai triển nhị thức
10 2 3 x x
2) Chứa x6 khai triển nhị thức (x +1 2x −1
)n ( x > 0)
Biết tổng hệ số số hạng thứ gấp đôi hệ số số hạng thứ 3) không chứa x khai triển
1 n x x
Biết 3 1 2 1 64
n
n n n n
n n n n
C C C C
(ĐS: 240)
4) Chứa x26 khai triển nhị thức (x14+x
)n Biết C2n+1
+C22n+1+ +Cn2n+1=220−1 (A/2006, n = 10; KQ:
210)
5) Chứa x12 ,biÕt tæng tÊt hệ số khai triển nhị thức
2 1 n
x
b»ng 1024 (a N)
Bài 34. Tìm hệ số của số hạng : 1)Chứa x43 khai triển
(x5/2
+x−2/3)21
2)có chứa x5 Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển (x3/2
+3.x−2/3)n baèng 631
Bài 35 Đặt
5
2 15
0 15
1 x x x a a x a x
Tính tổng S a0a1 a15
Bài 36 Biết hệ số x2 khai triển (1 + 3x)n l 90 Hãy tìm n ? Bài 37 a)Tìm số hạng chứa x15trong khai triển
6 10
1 2
x x
b)(ĐH D-2003) Gọi a3n-3 hệ số số hạng chứa x3n-3 khai triển
2 1 n 2 n
x x
Tìm n để a3n-3 = 26n Bµi 38 Khai triĨn P(x) = (1+x)9+(1+x)10+ +(1+x)14 = A0 + A1x + A2x2 + … + A14x14
Hãy xác định hệ số A9 (ĐS: 3003)
Bµi 39. Trong khai triển (1 + ax)n ta có số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba 252x2 Hãy tìm a n.(ĐS: a=3, n =8)
Bµi 40. Trong khai triĨn: P(x) =
10
1 x x
T×m số hạng chứa x14.
Bài 41.(H HVKTQS)Cho P(x) =
12
1 2x =
11 12
0 11 12
a a x a x a x
H·y t×m hƯ sè ak lín nhÊt (0 k 12)
Bài 42 Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10
(3)Bài 43: CMR (Cn0)2+(Cn1)2+ +(Cnn)2=Cn2n Cm0Cnk+Cm1Cnk −1+ +Cmm.Cnk− m=Cmk+n VI-XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ:
Dạng 1: Tính xác suất định nghĩa phần bù:
( ) ( )
( )
n A P A
n
|ΩA|
|Ω| p(A) = – p( A ) Bài 44 Danh sách lớp Hường đánh số thứ tự từ đến 45, Hường mang số thứ tự 16. a)Tính xác suất để Hường chọn b)Tính xác suất để Hường khơng chọn c)Tính xác suất để người chọn có số thứ tự nhỏ Hường
Bài 45: Một lơ hàng gồm 100 sản phẩm , có 30 sản phẩm xấu Lấy ngẩu nhiên sản phẩm từ lơ hàng. a)Tìm xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt (7/10)
b)Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy có sản phẩm tốt (C C708 302) :C10010
Bài 46: Một hộp chứa 30 bi trắng, bi đỏ 15 bi xanh Một hộp khác chứa 10 bi trắng , bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tìm xác suất để bi lấy màu
Bài 47: Lấy ngẫu nhiên chữ số từ chữ số {0,1,2,3,4} xếp thành hàng ngang từ trái sang phải Tìm xác suất để nhận số tự nhiên gồm chữ số(ĐS: p(A) = (4 ) :A42 A53).
Bài 48: Một học sinh vào thi thuộc 18 câu 25 câu hỏi Tìm xác suất để học sinh trả lời câu hỏi mà học sinh rút (ĐS: p A( )C183 :C253 )
Bài 49: Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết 30 tập Mỗi đề thi gồm có câu hỏi lý thuyết tập lấy ngẫu nhiên đề cương Một học sinh A học câu lý thuyết 12 câu tập đề cương Khi thi học sinh A chọn đề thi cách ngẫu nhiên Với giả thiết học sinh A trả lời câu lý thuyết tập học Tính xác suất để học sinh A :
a/ không trả lời lý thuyết(ĐS: p A( )C C61: 101 ) b/ trả lời câu tập
c/ đạt yêu cầu Biết muốn đạt yêu cầu phải trả lời câu hỏi lý thuyết tập Bài 50: Chọn ngẫu nhiên tú – lơ – khơ :
a Tính xác suất cho quân có qn thuộc ( ví dụ : có 4) b Tính xác suất cho quân có quân thuộc
Bài 51: Gieo súc sắc cân đối đồng chất lần Gọi A biến cố “ tổng số chấm sau lần gieo “ a Liệt kê kết thuận lợi biến cố A b.Tính xác suất biến cố A
Bài 52: Một vé số có chữ số Khi quay số vé bạn mua có số trùng hồn tồn với kết bạn trúng giải Nếu vé bạn trùng chữ số sau bạn trúng giải nhì
a Tính xác suất để bạn trúng giải b Tính xác suất để bạn trúng giải nhì
Bài 53: Có 100 bìa hình vng đánh số từ đến 100 Ta lấy ngẫu nhiên bìa Tìm xác suất để lấy được: a/Một bìa có số khơng chứa chữ số Pa = 0,8
b/Một bìa có số chia hết cho hoặc Pb= 0,6
Bài 54: Gieo đồng thời đồng xu Tìm xác suất để có :
a/Hai mặt sấp xuất (P=0,25) b/Một mặt sấp, mặt ngửa (P=0,5 ) c/Có mặt sấp(P=0,75 ) Bài 55: Gieo đồng thời súc sắc khác đối xứng đồng chất Tìm xác suất để được:
a/Tổng số chấm xuất (P=1/6) b/Tổng số chấm xuất nhỏ (P=7/12) c/ Có mặt chấm xuất (P=11/36)
Bài 56: Thang máy nhà tầng xuất phát từ tầng với khách Tìm xác suất để :
a/Tất tầng 4(P=1/216) b/Tất tầng (P=1/36) c/Mỗi người tầng khác (P=5/9)
Bài 57: Mỗi vé xổ số kí hiệu số có chữ số Tìm xác suất để người mua vé được:'
a/Vé có chữ số khác (P=0,3024) b/Vé có chữ số chẵn (P=0,03125) Bài 58: người A,B,C,D,E ngồi cách ngẫu nhiên vào ghế dài Tìm xác suất để:
a/Người C ngồi (P=0,2) b/Hai người A,B ngồi đầu (P=0,1)
Bài 59: Trong hộp có n cầu đánh số từ đến n Lấy ngẫu nhiên lúc cầu.Tính xác suất để người lấy có số hiệu lớn k có số hiệu nhỏ k (đáp số :
2( 1)( )
( 1)
k n k
P
n n
)
Bài 60: Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào cửa hàng có quầy Hỏi xác suất để người đến quầy số ?
HD: Mỗi khách có khả để dến quầy Số biến cố đồng khả là: 310 Còn số biến cố thuận lợi là: C103.27 suy
3 10
10
.2 3
C
P
Dạng 2: Tính xác suất cách SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT
Bài 61 Có bìa đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên tấm. a)Tìm số phần tử khơng gian mẫu, liệt kê phần tử
b)Xác định biến cố sau: A: “Tổng số bìa 8”
B: “Các số bìa số tự nhiên liên tiếp” C: “Tổng số bìa khác 8” c)Tính P(A), P(B), P(C), P(A B)
Bài 62: Có lơ hàng : Lơ : Có 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn 10 phế phẩm Lô : Có 80 sản phẩm đạt tiêu chuẩn 20 phế phẩm
Lấy ngẫu nhiên lô hàng sản phẩm Tính xác suất để có:
(4)A : ‘‘Quả lấy từ hộp thứ trắng’’ B :‘‘Quả lấy từ hộp thứ hai trắng’’
a)Tính P(A), P(B) Hỏi A B có độc lập khơng b)Tính xác suất để hai lấy màu c)Tính xác suất để hai lấy khác màu
Bài 64: Xác suất bắn trúng hồng tâm xạ thủ 0,2 Tính xác suất để ba lần bắn độc lập : a)Người bắn trúng hồng tâm lần (0,384)
b)Người bắn trúng hồng tâm lần (0,488)
Bài 65: Gieo hai đồng xu A B cách độc lập Đồng xu A chế tạo cân đối Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất mặt sấp gấp lần xác suất xuất mặt ngửa Tính xác suất để :
a)Gieo đồng xu thứ mặt ngửa (0,5) b)Gieo đồng xu thứ mặt ngửa (0,25) c)Khi gieo đồng xu lần hai đồng xu ngửa (1/8)
d)Khi gieo đồng xu hai lần hai lần đồng xu ngửa (1/64)
Bài 66: Trong thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu Mỗi câu có phương án trả lời, có phương án Một học sinh không học nên làm cách với câu chọn ngẫu nhiên phương án trả lời Tính xác suất để học sinh trả lời khơng 10 câu ?
Bài 67 Gieo súc sắc lần Tính xác suất để mặt chấm xuất lần.
Bài 68 Cho lục giác ABCDEF Viết chữ A,B,C,D,E,F vào thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tính xác suất sao cho đoạn thẳng mà hai đầu mút điểm ghi hai thẻ đó:
a)Là cạnh lục giác ; b)Là đường chéo lục giác;
c)Là đường chéo nối hai đỉnh đối diện lục giác
ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM 2002 - 2012
Bài 1(A/2012): Cho n số nguyên dương thỏa mãn
1
5 n
n n
C C
Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức Niu-tơn
1 14
n
nx x
, x ≠ 0.(ĐS:
35 16
.x5)
Bài 2(B/2012): Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ (ĐS:
443 506)
Bài 3(A/08): Khai triển (1 ) x n= a0+a1x+a2x2+ +anxn Cho biết
1
0 2 22 2 4096
n n a a a
a
Tìm số lớn số a a a0, , , ,1 an(Kq: )
Bài 4(B/08): CMR 11
1 1
2 k k k
n n n
n
n C C C
Bài 5(D/08): Tìm n nguyên dương thỏa mãn 21 23 22 2048 n
n n n
C C C
Bài (B/07): Tìm số hạng chứa x10 khai triển (2+x)n, biết 3nCn03n1C1n3n2Cn2 3n3Cn3 ( 1) nCnn2048
Bài 7(D/07): Tìm số hạng chứa x5 khai triển x.(1-2x)5 + x2(1+3x)10
Bài 8(A/06):Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển
7
1 n
x x
, biết 21 22 220 1 n
n n n
C C C
Bài 9(B/06): Cho tập A có n phần tử(n 4) Biết số tập có phần tử A 20 lần số tập có phần tử A.
Tìm k 0;1;2; ;n cho số tập có k phần tử A lớn
Bài 10(D/06): ĐộiTNXK trường có 12 hs, gồm hs lớp A, hs lớp B hs lớp C Cần chọn hs làm nhiệm vụ cho hs không lớp Hỏi có cách chọn ?
Bài 11(B/05): Một đội TNTN có 15 nghười gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ ? (Kq: )
Bài 12(D/05): Tính giá trị M =
4
1
( 1)!
n n
A A
n
biết Cn212Cn222Cn23Cn24 149
Bài 13(A/04): Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển
8
1 x (1 x)
Bài 14(B/04): Trong mơn học thầy giáo có 30 câu hỏi, gồm câu khó, 10 câu Tb 15 câu dễ Hỏi có cách lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác có đủ loại câu số câu dễ khơng ?
Bài 15(D/04): Tìm số hạng khơng chứa x trongkhai triển
7
4
1
( x )
x
, với x>0
Bài 16(A/03): Tìm số hạng chứa x8 khai triển nhị thức NiuTon
5
1
( x )n
x , biết Cnn14 Cnn37(n3).
Bài 17(D/03):Gọi a3n-3 hệ số
3n
x
khai triển (x21) (n x2)n Tìm n để a3n-3 = 26n
Bài 18(A/02): Cho khai triển
n n n n
x x x
x x x
0 n
3 3
2 2
n n n
2 C C 2 C
Biết n n
C 5C
(5)Bài 19(B/02): Cho đa giác A A A1 2 2n(n nguyên đường, n 2) Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh nhiều
gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh Tìm n
tập hợp