Đang tải... (xem toàn văn)
Trong khu«n khæ mét b¶n s¸ng kiÕn kinh nghiÖm, ch¾c ch¾n kh«ng thÓ tr×nh bµy ®îc nhiÒu, kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt.[r]
(1)A Đặt vấn đề
Đối với học sinh THCS (lớp 9) việc tổng hợp kiến thức học khó khăn Để nâng cao chất lợng dạy – học mơn Tốn trờng THCS giáo viên toán th-ờng phải biên soạn thêm số chủ đề để luyện tập cho học sinh Tôi xin nêu số dạng tốn phơng trình bậc hai nhằm xâu chuổi kiến thức để việc dạy ôn tập, dạy tự chọn mơn Tốn sau học sinh đợc học xong phơng trình bậc hai Bản sáng kiến đợc trình bày gồm hai phần chính:
1 Parabol - ng thng;
2 Phơng trình bậc hai – HƯ thøc Viet.
Mỗi phần đợc trình bày gồm ba phần nhỏ:
+) Lý thuyết cần nhớ: Giúp GV nhắc lại kiến thức cần thiết cho HS +) Các phơng pháp giải ví dụ: Các ví dụ có lời giải chi tiết, giúp GV rèn kỹ trình bày làm học sinh vào kiểm tra thi để đạt kết cao - vấn đề quan trọng việc luyện thi
+) Các tập tự luyện: Giúp em tự luyện tập theo ví dụ trên; phần có vài khó dành cho học sinh - giỏi, nhng học sinh trung bình làm đợc nhờ hớng dẫn, gợi ý
Ngoài thầy giáo, cô giáo nhiều thời gian để chuẩn bị cho tiết dạy, buổi dạy Bản sáng kiến tơi đợc chắt lọc từ dạng tốn, toán thờng gặp tiếp xúc với phơng trình bậc hai, đợc coi nh giáo án giáo viên Trong sáng kiến tơi tập đợc trình bày theo hệ thống từ dễ đến khó.Bản sáng kiến tài liệu tự luyện để ôn thi cuối năm thi vào THPT với em học sinh đại trà khai thác thú vị phơng trình bậc hai dành cho em có khiếu mơn tốn.Bản sáng kiến phần giúp thầy giáo, giáo chuẩn bị dễ dàng cho tiết dạy, dạy ơn thi vào THPT Tốn phần phơng trình bậc hai
B Giải vấn đề Parabol - đờng thẳng;
A Lý thuyết cần nhớ: Hàm số y = ax2 (a 0) Tập xác định: R
TÝnh chÊt biÕn thiªn:
(2) Đồ thị hàm số Parabol đỉnh O nhận trục Oy làm trục đối xứng
Cách vẽ: - Lập bảng số giá trị tơng ứng x y - Vẽ (P) mặt phẳng Oxy.
2 Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) còng lµ mät Parabol.
3 Đồ thị hàm số y = mx + n (m 0) đờng thẳng qua hai điểm A (0; n) B ( − n
m ; 0)
4 Sù t¬ng giao (P) y = ax2 (d) y = mx + n
Phơng trình hồnh độ giao điểm: ax2 = mx + n (1) Toạ độ giao điểm nghiệm hệ:
¿
y=ax2
y=mx+n
¿{
¿
Sè giao ®iĨm (P) (d) số nghiệm phơng trình (1)
(d) tiÕp xóc (P) vµ chØ phơng trình (1) có nghiệm kép =0 B Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y = ax2 (P)
a) Xác định hệ số a biết đồ thị hàm số qua điểm M (1; -2)? b) Vẽ đồ thị hàm số
c) Xác định giao điểm đờng thẳng (d) y = mx + với (P) biết (d) qua M (1 ; -2)
d) TÝnh diÖn tÝch tam giác OMN (N giao điểm thứ hai (d) (P))
Bài giải:
a) Đồ thị hàm số qua M (1 ; -2) nên ta cã: -2 = a.12 ⇒ a = -2. Vậy a = -2 (P) qua M (1; -2)
b) HS tự vẽ đồ thị hàm số trờn
c) Đờng thẳng (d) y = mx + qua M (1; - 2) nên: -2 = m.1 + ⇒ m = -5
Phơng trình hồnh độ giao điểm:
-2x2 = -5x + ⇔ 2x2 – 5x + = (*)
Ta cã: a + b + c = + (-5) + = nên phơng trình (*) có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c
a=
+) Víi x = th× y = -2 ⇒ M (1;-2) +) Víi x =
2 th× y = -
2 ⇒ N (
3
2 ;-
9
2 )
d) Gäi P (
2 ;0) vµ Q (1;0) ta cã:
SOMN = SONP – SOMQ - SNPQM =
2OP PN−
1
2OQ QM−
1
2PQ.(MQ+NP)
=
2×
3 2×
9
2−
1
2×1×2− 2×
1 2(2+
9 2) =
3
4
(3)1) Xác định n trờng hợp sau: a) Đờng thẳng (d) không cắt (P)?
b) Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) – Tìm toạ độ tiếp điểm? c) Đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt?
2) Với n = vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng toạ độ Tính diện tích tam giác OMN, biết M, N giao điểm (d) (P)?
Bµi gi¶i:
Xét phơng trình hồnh độ giao điểm:
x2 = 2x + n ⇔ x2 - 2x - n = (*) Ta cã: = + n
a Đờng thẳng (d) không cắt (P) Phơng trình (*) vô nghiệm ⇔ Δ❑ = + n < ⇔ n < -1.
VËy n < -1 giá trị n cần tìm
b Đờng thẳng (d) tiếp xúc (P) Phơng trình (*) có nghiÖm kÐp
⇔ Δ❑ = + n = ⇔ n = -1.
Khi x1 = x2 = − b
❑
a =
1
1=1 , suy y = 2x – n = 2.1 + =
VËy n = -1 th× (d) tiÕp xóc víi (P) điểm (1; 3)
c Đờng thẳng (d) cắt (P) Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biÖt
⇔ Δ❑ = + n > ⇔ n > -1.
VËy n > -1 giá trị n cần tìm
2) HD: SOMN = SHT – S1 – S2 (SHT diện tích hình thang, S1, S2 diện tích hình)
C Các tập:
Bài 1: Chứng minh đờng thẳng y = 4x – (d)
tiÕp xóc víi parabol y = 2x2 – 4(2m-1)x + 8m2 – (P).
Bài 2: Cho đờng thẳng (d) : y = 2(m - x) parabol (P) y = -x2 + 2x + 4m. a) Với giá trị m (d) tiếp xúc với (P)
b) Với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ giao điểm m = -
2
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) y = (2m - 3)x + n – 1) Tìm m, n để đờng thng (d):
a) Đi qua hai điểm A (1; 2) vµ B (3; 4)
b) Cắt trục tung điểm có tung độ y = 3√2−1 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = 1+√2
2) Cho n = 0, tìm m để đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng (d/) có phơng trình x – y + = điểm M (x; y) cho biểu thức P = y2 - 2x2 đạt giá trị lớn
(§Ị thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Thái Bình 2005 2006 ) Bµi 4: Cho Parabol (P): y =
4x
2
đờng thẳng (d): y = −1 2x+2
(4)b) Gäi A B giao điểm (P) (d) Tìm điểm cung AB (P) cho diện tích tam giác MAB lớn
c) Tìm N trục hoành cho NA + NB ngắn
Bài 5: Cho Parabol (P): y = x2 đờng thẳng (d) : y = x + 2 Xác định toạ độ giao điểm A B (d) với (P)?
2 Cho điểm M thuộc (P) có hồnh độ m (với - m 2) Chứng minh SMAB 27
8 (SMAB diện tích tam giác MAB)
Bi 6: Cho (P): y = 2x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m đI qua điểm I (0;2). Viết phơng trình đờng thẳng (d)
2 Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Gọi hoành độ A B x1, x2 Chứng minh |x1− x2|≥2
Bài 7: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1
1 Viết phơng trình đờng thẳng qua AB
2 Vẽ đồ thị hàm số (P) tìm điểm M cung AB (P) cho tam giác MAB có diện tích lớn
Bài 8: a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = 3x + cắt trục tung điểm có tung độ
b) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + y = x2
2 hệ trục toạ
độ Tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị hàm số
Bài 9: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 (P) đờng thẳng y = 3x + (D)?
b) Từ suy nghiệm phơng trình: x2 – 2x – = (Có giải thích). c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (D) tiếp xúc với đờng thẳng (D)?
Bài 10: Cho hàm số y = ax2 y = -2x + m có đồ thị lần lợt (P) (D) cùng hệ trục toạ độ
1 Tìm a để (P) qua A (1 ;
2 ) ; tìm m để (D) qua A
2 Vẽ đồ thị (P), (D) với a m vừa tìm đợc
3 Với a tìm đợc câu 1., tìm m để (D) tiếp tuyến (P)
Bài 11: Cho hai đờng thẳng d1 d2 lần lợt có phơng trình: (d1): y = 3x - (d2): y = x + m
1 Hãy tìm m để hai đờng thẳng cắt điểm nằm (P) có phơng trình: y = x2
2 Với giá trị tìm đợc m vẽ đờng thẳng (d1), (d2) parabol (P) hệ trục toạ độ
Bài 12: Cho hàm số y = x2 có đồ thị đờng cong (P).
1 Chứng minh điểm A ( −√2;2 ) nằm đờng cong (P)
2 Tìm m để đồ thị (D) hàm số : y = (m - 1)x + m (với m 1) cắt đờng cong (P) ti mt im
(5)Phơng trình bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
A Lý thut cÇn nhí:
Công thức nghiệm: =b24 ac =b
ac
+) Nếu >0 phơng trình (1) cã hai nghiÖm x1 = − b −√Δ
2a ; x2 =
− b+√Δ 2a
+) NÕu =0 phơng trình (1) có nghiệm kép x1 = x2 = − b
2a
+) NÕu Δ<0 phơng trình (1) vô nghiệm
Hệ thức Viet thuận: Nếu phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 th×:
¿
x1+x=
− b a x1.x2=c
a
{
Phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt khi:
a ≠0 Δ>0 S>0 P>0
¿{ { {
Phơng trình (1) có hai nghiệm ©m ph©n biÖt khi:
¿
a ≠0 Δ>0 S<0 P>0
¿{ { {
¿
Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi: a.c<0
B Các ví dụ:
Dạng toán 1:Giải phơng trình bậc hai tuý:
Sử dụng c«ng thøc nghiƯm hay c«ng thøc nghiƯm thu gän råi giải
Ví dụ:Giải phơng trình x2 - 3x - 10 = 0
Bài giải:Ta có; =b2 - 4ac=(-3)2 - 4.1.(-10)=49 >0 Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt; x1= − b −√Δ
2a =
−(−3)−√49
2 =
3−7
(6)x2= − b −√Δ
2a =
−(−3)+√49
2 =
3+7
2 =5
Một số tập áp dụng: Giái phơng tr×nh sau: a/ 3x2 - 4x +1 = 0
b/ -x2 - 7x +3=0
Dạng 2:Tìm điều kiện tham số m để phơng trình: ax2 + bx + c = (a 0)
(1) V« nghiƯm, cã nghiƯm, cã nghiƯm kÐp, cã hai nghiƯm ph©n biƯt,
cã nghiƯm x= α
Ví dụ 1:Tìm m để phơng trình: x2−2 mx+m2−3m+1=0 a.Vơ nghiệm
b.cã nghiƯm kÐp
c) Cã hai nghiƯm ph©n biƯt
Bài giải: Ta có: m21.(m23m=1)=m2m2+3m1=3m+1
'=
a) Phơng trình vô nghiệm khi: '<0 hay 3m+1<0 m<1
3
b) Phong tr×nh cã nghiƯm kÐp khi: Δ'=0 hay 3m+1=0 m=1
3
c) Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt khi: Δ'>0 hay 3m+1>0⇔m>−1
3
VÝ dơ 2:Cho phong tr×nh: (m−1)x2+2 mx+m−2=0 (*)
a) Giải phơng trình m=1
b) Tỡm tt cảc giá trị tham số m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Bán công, ĐHSP Hải Phịng, năm 2003-2004) Bài giải:
a) Khi m=1 th× phơng trình (*) trở thành: 2x 1=0x=1
2
b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi:
Δ'
>0
a ≠0
¿{
¿
hay
¿
Δ'=m2−(m −1)(m−2)=3m−2>0
m −1≠0
¿{
¿
⇔
m>2
3 m≠1
¿{
VËy víi m>2/3 vµ m , phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 3:Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham sè m: x2 + 4mx + 3m2 + 2m - = 0. a) Giải phơng trình với m =
b) Tìm giá trị m để phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt c) Xác đinh giá trị tham số m để phơng trình nhận x = làm nghiệm
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2004 2005 2,5 điểm)
Bài giải:
a) Víi m = 0, ta cã: x2 - = ⇔x2
=1⇔x=±1
VËy víi m = phơng trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = -1
b) XÐt: m−1¿
2
Δ❑
(7)Phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ❑ = (m - 1)2 > ⇔ m 1. Vậy với m phơng trình cho ln cú hai nghim phõn bit
c) Phơng trình nhận x = lµm mét nghiƯm ⇔ 22 + 4m.2 + 3m2 + 2m – = 0.
⇔ 3m2 + 10m + = (2) XÐt Δ❑
=253 3=16>0=4 , nên phơng trình (2) ẩn m cã hai nghiƯm
ph©n biƯt: m1 = −5−4
3 =−3 ; m2 = −5
+4
3 =
1
Vậy giá trị cần tìm m m = -3 m = -
3
(Nếu đề có hỏi thêm tìm nghiệm cịn lại ta tìm nghiệm lại cách
sau) Cách 1: Dựa vào hệ thức Viét: x1 + x2 =
C¸ch 2: Dùa vµo hƯ thøc ViÐt: x1 x2 =
Cách 3: Thay m vào phơng trình ban đầu giải
Ví dụ 4:Cho phơng trình: (m1)x2+2(m1)x m=0 (*)
a)Tỡm m phơng trình có nghiệm kép tìm nghiệm kép b)Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Đề thi trờng chuyên Lê Hồng Phong năm học 1997 - 1998
Bài gải:
a)Để phơng trình (*) cã nghiƯm kÐp th×:
m−1¿2−(m−1).(− m)=(m−1)(2m−1)=0⇔
¿
m−1=0
¿
2m −1=0
¿
m=1
¿
m=1
2
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿
Δ'=¿
(8)m−1≠0
Δ'=(m−1)(2m−1)>0 ⇔
¿m≠1 ¿m−1<0
2m−1<0
¿ ¿ ¿
m−1>0
¿
2m−1>0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
no
¿ ¿⇔
¿ ¿
Vậy để phơng trình có hai nghiệm phân biệt m
VÝ dụ :Cho phơng trình: x2
+2(a+3)x+4(a+3)=0
a)Tỡm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân bit ln hn -1
Bài giải:
a)Để phơng trình có hai nghiệm phân biệt ta phải có:
a+3¿2−4(a+3)>0⇔(a+3)(a −1)>0⇔
¿ ¿a+3>0
¿
a −1>0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
a+3<0
¿
a −1<0
¿ ¿
Δ'=¿
b)Cách1: Đặt x= t 1 Thế vào phơng trình ta cã:
(t −1)2+2(a+3)(t −1)+4(a+3)=0⇔t2+2(a+2)t+2a+7=0(1)
Nh để xác định phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn -1 ta đa phơng trình (1) có hai nghiệm t1, t2 dơng
⇔
a+2¿2−(2a+7)>0
¿
t1.t2=2a+7>0
¿ ¿
t1+t2=−2(a+2)>0
(9)Lu ý:Đối với phơng pháp giải có phơng pháp đổi biến nh sau;
+Nếu tốn u cầu: α <x1<x2 ta đặt x= t+ α với t dơng sau biến
đổi phơng trình ẩn x sang phơng trình ẩn t.Để thoả mãn u cầu tốn ta phải có:
¿
Δt'>0 t1t2>0
t1+t2>0
¿{ {
¿
+Nếu toán yêu cầu tìm nghiệm thoả mãn:x1<x2< α ta đặt: x= α - t , với t
dơng sau biến đổi phơng trình ẩn t tìm điều kiện tham số để phơng trình
Èn t cã nghiƯm tho¶ m·n:
¿
Δ't>0 t1t2>0
t1+t2>0
{ {
Cách 2:Để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn -1 th×:
Δ'>0
1 f(−1)>0
S 2>−1
⇔
a>1
¿
a<−3
¿
¿1.[(−12)+2(a+3).(−1)+4(a+3)]>0
¿
a+2
¿ ¿2>−1
¿ ¿
⇔{−7
2<a<−3 2¿
¿ ¿ ¿
Nhận xét:Trong cách giải học sinh tiếp cận phơng pháp giải theo cách tự nhiên, cách giải có u mạnh nhng học sinh tiếp cận tri thức cách thụ động (chủ yếu dành cho học sinh giỏi)
+Nếu Δ tam thức bậc hai có cách giải sau: Cách 1: Biến đổi Δ thành bình phơng nhị thức trừ lợng dơng đó.Sau biến đổi tiếp :(kx+m)2=n (với n>0) từ tìm đợc giái trị.
Cách hai:Sử dụng khoảng phân ly nghiệm Trớc tiên cần giải tam thức bậc hai: F(m)=am2+bm+c=0; Δ =0, sau tìm m
1=?, m2=?
Ngoµi Ngoµi
(10)Trong
Sau xét trái đồng.(Trong trái dấu với hệ số a, dấu với hệ số a f(m) ).Căn vào bng tỡm m
Ví dụ 6:Cho phơng trình: x2−2
(m−1)x+2=0
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phơng trinhg có hai nghim dng phõn bit
Bài giải:
a).Để phơng trình có hai nghiệm phân biệt thì:
Cách 1: m−1¿2−1 2=m2−2m −1>0
Δ'=¿
Ta cã:
m−1¿2>2
¿
|m−1|>√2⇔
¿
m−1>√2
¿
m−1<−√2
¿ ¿
m−1¿2−2>0⇔¿ ¿
¿
¿m2−2m −1=m2−2m+1−2=¿
C¸ch 2:(Chđ u dành cho học sinh khá, giỏi) Ta có:
'=m22m1>0, xÐt
f(m)=m2 - 2m-1 Tacã: Δ'
m=2 ⇔m1=
1−√2
1 =1−√2, m2=
1+√2
1 =1+√2
Do hƯ sè a cđa f(m) lµ nên khoảng m1, m2 mang dấu ( - ), mang dấu (+)
Nhìn vào bảng sô liệu '=m22m1>0, ta có:m> 1+2 m<
15 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Dạng toán 3:Chứng minh phơng trình bậc hai có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt víi mäi m.
Dạng tốn hệ số a tham số, ta cần xét a= 0, kiểm tra số nghiệm số phơng trình, sau xét a biến đổi Δ Việc biến đổi Δ đòi hỏi kỷ vận dụng linh hoạt ng thc (a b)=a22 ab
+b2 thông thêng ta biÕn
đổi biệt thức Δ sẻ có dạng : Δ = (λ+γ)2 Δ =k2+ α (với α khơng
©m).Nh vËy Δ chứng tỏ phơng trình có nghiệm với m
Ví dụ 1:Chứng tỏ phơng trình bậc hai: x2
−4 mx−4m −1=0 lu«n cã nghiƯm víi
mọi giá trị m:
+ +
m1
(11)Bài giải:
Ta có:
2m+1¿2≥0
−2m¿2−1 (−4m −1)=4m2+4m+1=¿
Δ'=¿
với m.Vậy phơng trình có nghiệm với m
Ví dụ 2:Cho phơng trình bậc hai: x22(m1)x m=0
a)Chứng tỏ phơng trình có nghiƯm x1, x2 víi mäi m b)Víi m , lập phong trình ẩn y thảo mÃn:
y1=x1+
1
x2, y1=x2+
1 x1
Bài giải:
a)Ta có:
'=[(m1)]21.(m)=m22m+1+m2=2m22m+1=2(m2m+1
4)+
¿
m−1 2¿
2 +1
2>0 2¿ víi mäi m (do (m−1
2)
2
≥0 víi mäi m.Hay Δ >0 víi mäi m nghĩa phơng trình có nghiệm phân biƯt víi mäi m
b)Ta cã:
y1=x1+
x2
=x1x2+1
x22
=1− m
x2
,dox1x2=c
a=−m y2=x2+
x1=
x1x2+1
x1 =
1−m
x1
Ta cần tìm: y1.y2 =P y1+y2=S y1, y2 nghiệm phơng trình:X2 - SX+P = Ta có:y1.y2= 1 m
x2 x 1−m
x1 =
(1− m)2
xx2 =
(1− m)2
− m
y1+y2=
1−m¿2 ¿
2¿
1− m x1
+1−m
x2
=(1− m)(
x2 +
x1)
=(1−m).x1+x2
x1x2 =¿
VËy y1, y2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình:
1 m2
1 m2 ¿
2¿
y2−¿
VÝ dô 3: Cho phơng trình: x2 - mx + m - = , víi m lµ tham sè. a) Chøng minh phơng trình có nghiệm với m
b) Gọi x1, x2 nghiệm Tìm giá trị nhá nhÊt cđa A = x12 + x22
Bµi gi¶i:
a) Ta cã a + b + c = + (-m) + m - = , nên ph ơng trình có nghiệm x1 = nghiệm lại x2 = c
(12)(Ta cã thÓ chøng minh m −2¿
≥0,∀m Δ=m2−4(m−1)=¿ )
b) Ta cã A = x12 + x22 = x12 + 2x1x2+x22 - 2x1x2=(x1+x2)2 - 2x1x2== 12 + (m - 1)2 , víi mäi m ⇔ minA = t¹i m =
(Ta giải theo Vi-et thông thờng)
Ta cã:A= x12 + 2x1x2+x22 - 2x1x2=(x1+x2)2 - 2x1x2=m2 - 2(m - 1)= =m2 - 2m+1+1=(m - 1)2+1 1, vËy A=1 m=1.
Dạng toán 4:Vận dụng linh hoạt hệ thức Vi-ét vào giải phơng trình bậc hai.
VÝ dơ 1. Cho phương trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0)
B i gi¶i: à Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có
,
= m2-2m+1= (m-1)20 m=> pt có nghiệm với m
ta thấy nghiệm x=1 khơng thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt cịn có nghiệm x=
1 m m m
=2
1
m
pt có nghiệm khoảng (-1,0)=> -1<2 1 m <0 1 m m
=> 2 m m m =>m<0
Vậy Pt có nghiệm khoảng (-1; 0) m<0
Ví dụ 2: Để phương trình có hai nghiệm âm thì:
6 2 2 2 m x x m m x x m m m ) )( ( 25 m m m m
b Giải phương trình: 2 ( 3)3 50
3 m m 5 1 50 ) 3 ( 2 m m m m m m
Ví dụ 3: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
Bài giải:
(13)Từ suy m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
¿
x1+x2=−2m−1
2 x1.x2=m−1
2 3x1−4x2=11
⇔
¿{ {
¿
¿
x1=13-4m
7 x1=7m−7
26-8m
313-4m
7 −4
7m−7
26-8m=11
¿{ {
Giải phơng trình 313-4m
7 4
7m−7
26-8m=11
ta đợc m = - m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: 3x1 - x2 = 11
Ví dụ 4: Cho phơng trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – = ( ) ; m tham số. a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm
Bài giải
a/ Phơng trình (1) có nghiƯm vµ chØ ’ 0. (m - 1)2 - m2 - 0
- 2m 0
m 2.
b/ Víi m th× (1) cã nghiƯm.
Gäi mét nghiƯm cđa (1) a nghiệm 3a Theo Vi- et, ta cã:
3 2
.3
a a m
a a m
a=
1
m
3(
1
m
)2 = m2 - 3
m2 + 6m - 15 = 0
m = -32 6 ( thâa m·n ®iỊu kiƯn). VÝ dụ 5: Cho phơng trình
23 x
2- mx +
2−√3 m
2 + 4m - = (1) a) Gi¶i phơng trình (1) với m = -1
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thỗ mãn x1
1 +
x2=x1+x2 Bµi giải: a) m = -1 phơng trình (1) 1
2x
2 +x −9
2=0⇔x
2
+2x −9=0
⇒ x1=−1−√10
x2=−1+√10
(14)b) Để phơng trình có nghiệm 08m+20m 1
4 (*)
+ Để phơng trình cã nghiƯm kh¸c
¿m1≠ −4−3√2
m2≠ −4+3√2
¿
⇔1
2m
2
+4m−1≠0 ⇒
{
(*)
+
1 x1+
1
x2=x1+x2⇔(x1+x2)(x1x2−1)=0⇔
x1+x2=0
x1x2−1=0
¿{ ⇔
2m=0
m2+8m−3=0 ⇔
¿m=0
m=−4−√19 m=−4+√19
¿{
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = m=−4−√19 Ví du 6: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1)
a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt
b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m
c Tìm giá trị nhỏ P = x2
1 + x22 (với x1, x2 nghiệm phơng trình (1))
Bài giải: a) Ta có: ' = m2 –3m + = (m -
2 )2 +
4 >0 ∀ m
VËy phơng trình có nghiệm phân biệt b) Theo ViÐt:
¿
x1+x2=2(m−1)
x1x2=m−3
¿{
¿
=>
¿
x1+x2=2m −2
2x1x2=2m −6
¿{
¿
<=> x1+ x2 – 2x1x2 – = kh«ng phơ thuéc vµo m c)P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3) = (2m -
2 )2 + 15
4 ≥
15
4 ∀m
VËy Pmin = 15
4 víi m =
Dạng 5:Những dạng toán phơng trình bậc hai dùng cho ôn luyện thi vào các trờng chuyên khai thác thú vị xoay quanh
Ví dụ 1: Tìm a,b,c để phơng trình ax2 + bx + c = có nghiệm x =
√2−1
Gi¶i
Do x = √2−1 => ( x + )2 = => x2 + 2x - = 0.
Đồng với phơng trình cho => a = 1, b = 2, c = -1
Vídụ 2) Tìm a, b để phơng trình x2 + ax + b = có nghiệm x = √7−√5
√7+√5
(15)Trục thức ta đợc x = - √35
Biến đổi nh 1, ta tìm đợc a = -12 b =
VÝ dơ 3) Cho ph¬ng tr×nh x2 - 4ax + 2a2 = cã hai nghiƯm ph©n biƯt x 1,x2 CMR: (x1)2 + 4ax2 + 2a2 >
Gi¶i
Pt cho có hai nghiệm phân biệt nên Δ = 2a2 > => a 0. Ta có x1 nghiệm phơng trình nên (x1)2 - 4ax1 + 2a2 =
=> (x1)2 + 4ax2 + 2a2 = ( (x1)2 - 4ax1 + 2a2 ) + 4ax1 + 4ax2 = 4a( x1 + x2 ) = 4a 4a = 16a2 > ( v× a 0)
VÝ dơ 4) Gäi x1, x2 lµ nghiệm phơng trình x2 - x - = Tính giá trị biểu thức A = (x1)5 + 5x2
Gi¶i
Ta thấy hệ số hai nghiệm khác nhau, số mũ hai nghiệm khác hoàn toàn! Chúng ta ý phép biến đổi để thấy thú vị tốn.
Trong biĨu thøc A, sè mị cđa x1 nên cần phải đa mũ ( mũ với x2) x nghiệm phơng trình nên: (x1)2 - x1 - =
=> (x1)2 = x1 +
=> (x1)4 = (x1)2 + 2x1 + = (x1 + 1) + 2x1 + = 3x1 +
=> (x1)5 = x1.(x1)4 = x1.( 3x1 + 2) = 3(x1)2 + 2x1 = 3.( x1 + 1) + 2x1 = 5x1 +
=> A = 5x1 + + 5x2 = 5(x1 + x2) + = + = VÝ dô 5) Gi¶ sư pt: ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x
1, x2 tho¶ m·n ax1 + bx2 + c =
CMR : a2c + ac2 + b3 - 3abc = 0
Gi¶i
Gi¶ thiÕt => x1 + b
a x2 + c
a = ( V× a kh¸c 0)
< = > x1 - ( x1 + x2 ).x2 + x1.x2 = < = > x1 - (x2)2 =
KÕt hỵp víi x1 + x2 = - b
a vµ x1.x2 = c a
Ta tính đợc x1 =
c a¿
2
¿
3
√¿
vµ x2 = √3(c
a)
Thay vµo hƯ thøc x1 + x2 = - b
a biến đổi ta đợc a2c + ac2 + b3 - 3abc =
Ví dụ 6) Cho phơng trình ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm x 1, x2 Đặt Sn = x1n + x2n Chứng minh r»ng aSn+2 + bSn+1 + cS =
Giải
Cách 1: aSn+2 + bSn+1 + cS = < = > Sn+2 + b
a Sn+1 + c
a S = ( v× a kh¸c )
< = > x1n+2 + x2n+2 - ( x1 + x2) (x1n+1 + x2n+1) + x1.x2(x1n + x2n) = <=> = ( §óng) => §PCM
(16)= x1n( ax12 + bx1 + c) + x2n( ax22 + bx2 + c) = x1n + x2n = ( §PCM)
Ví dụ 7)Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phơng trình bậc hai: (m−2)x2−2(m−1)x+m=0 (*)
Hãy tìm giá trị m để số đo đờng cao tơng ứng với cạnh huyền tam giác
2
√5
(Trích câu đề thi giáo viên giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm 2010) Giải:Vì nghiệm phơng trình độ dài hai cạnh tam giác nên x>0
*Víi m=2 (*) x=-1 (Không thoả mÃn điều kiện toán) *Với m khác thì: m12 m(m2)=1
'= , chứng tỏ phơng trình có nghiệm với m
Ta cần tìm m cho:
m ≠2 Δ'>0
1 x21+
1 x22=(
√5 )
2
¿{ {
¿
(theo Vi-Ðt ta cã:x1+x2= 2(m−1)
m−2 ; x1.x2= m
m2 , x1, x2 dơng nên m>2)
⇔
¿
m ≠2 Δ'>0
1 x21+
1 x22=(
√5 )
2
¿{ {
¿
⇔
m≠2 1>0
x1+x2¿2−2x1x2 ¿
x1x2¿2 ¿ ¿5
4
¿
⇔
¿ ¿m ≠2
¿
2(m−1)
m−2 ¿
2−2 m
m −2
¿
m m−2¿
2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Giải ta đợc m1=5/3 (Loại
3≺2 ); m2=4(t/m).VËy víi m=4 th× thoả mÃn yêu
cầu toán
Ví dụ 8:Cho phơng trình:
x3
x3(m+1)(x
x)+m3=0
a.Giải phơng trình m =2
b.Tìm m để phơnh trình có hai nghiệm dơng phân biệt
(17)a.Víi m=3 ta cã:
x3−
x3−(2+1)(x −
x)+2−3=0⇔x
3
−
x3−3(x −
x)−1=0 x
x −1
¿ ¿
x −1 x¿
3−1 =0
¿ ¿
x −1 x¿
3
+3x.1
x(x −
x)−3x x¿
⇔¿ b.Ta cã: x3−
x3−(m+1)(x −
x)+m−3=0 x −1
x¿
3
+3x.1
x(x −
x)−(m+1)(x −
x)+m−3=0
⇔¿
x −1 x¿
3−
(m−2)(x −1
x)+m−3=0(∗)
¿
x −1 x¿
3
+3(x −1
x)−(m+1)(x −
x)+m 3=0
Đặt t= x 1
x phơng trình (*) trở thành t3-(m-2)t+m-3=0 (t −1)(t2+t+3− m)=0(**)
⇔
t −1=0
¿
t2+t+3−m=0
¿
t=1
¿
t2+t+3−m=0
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
§Ĩ ý víi t=1 theo c©u a ta cã nghiƯm dơng x=1+5
2 yêu cầu toán có hai
nghiệm dơng nên phơng trình: t2+t+3-m = buộc phải có nghiệm trùng t
1=t=1 nên ta cã:12+1+3-m=0 ⇔ m=5(T/m) ⇒ t
2=-2 ⇒
x −1
x=−2⇔x
2
+2x −1=0⇔x1=−1−√2;x2=−1+√2 Ta thấy với m=5 phơng trình (1) có hai nghiệm dơng x1=1+5
2 ; x2=1+2 Lu ý:Phơng trình: t=x −1
x⇔x
2−tx−1
=0 lu«n cã nghiệm dơng với t nên phơng trình:t2+t+3-m=0 buộc phải có nghiệm trùng t=1,còn vô nghiệm không thoả mÃn, có hai nghiệm phân biết phơng trình (*) lại có nghiệm dơng
(18)1.Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m
2.Chứng minh có hệ thức hai nghiệm số không phụ thuộc vào m
Giải:
1 Ta có : Δ = (2m +1)2 - 4.(m2 + m - 1) = > 0
suy phương trình ln có nghiệm với m
2.Theo vi-et ta có:
¿
x1+x2=2m+1(1)
x1.x2=m2+m −1(2)
¿{
¿
Từ (1) suy ra: m=x1+x2−1
2 thay vào (2) ta có:
x1.x2=(x1+x2−1
2 )
2
+(x1+x2−1
2 )−1⇒ x1.x2−(
x1+x2−1
2 )
2
−(x1+x2−1
2 )=1
Ta có đpcm
VÝ dơ10:Tìm giá trị ngun k để biệt thức Δ phương trình sau số
chính phương: k.x2 + (2.k-1).x + k-2= 0; (k 0)
Giải:
Ta có : Δ = (2k-1)2 - 4.k.(k-2) =4k +1
Giả sử 4k + số cp số cp lẻ hay: 4k + = (2n + 1)2 n số tự nhiên.
Hay: k = n2 + n.
Vậy để Δ số cp k = n2 + n( thử lại thấy đúng).
VÝ dơ11:Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :
(x-2)(x2 + k.x + k2 - 3)= 0
Giải:
Đặt f(x)= (x-2)(x2 + k.x + k2 - 3) = (x-2).g(x)
Để f(s)=0 có ba nghiệm phân biệt tương đương với g(x) =0 có hai nhgiệm phân biệt
khác hay:
¿
Δ=k2−4 (k2−3)>0
g(2)≠0 ⇔
¿2>k>−2
k ≠ −1
¿{
¿
VÝ dơ12: Tìm a,b để hai phương trình sau tương đương:
x2 + (3a + 2b) x - =0 (1) x2 + (2a +3b)x + 2b=0 (2)
với a b tìm giải phương trình cho
Giải:
-Điều kiện cần:
Nhận thấy pt (1) ln có nghiệm phân biệt.Vậy pt (2) phải có nghiệm phân biệt giống với (1)
Đặt f(x) = x2 + (3a + 2b) x - =0 g(x) = x2 + (2a +3b)x + 2b.
(19)Thay x = vào (*) ta có b = -2 (3)
Thay x = vào (*) kết hợp với (3) ta a= -2 -Điều kiện đủ:
Với a=b=-2 ta thấy hai phương trình tương đương với
VÝ dô13: Giả sử b c nghiệm phương trình :
x2 - a.x-
2 a2 =0; (a 0)
chứng minh : b4 + c4 2+
√2
Giải:
Theo định lý Viet ta có:
¿
b+c=a
bc=−
2a2
¿{
¿
Ta có:
b+c¿2−2 bc ¿ ¿ ¿
b2
+c2¿2−2b2c2=¿
b4
+c4=¿
⇒b4+c4=(a2+
a2)
+
2a4=a
+
2a4+2≥2.√a
2a4+2=√6+2>2+√2
VÝ dô14: Chứng minh với a,b,c phương trình sau ln có nghiệm :
a(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) =
Giải:
Đặt f(x) = a.(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) = = (a + b + c).x2 -2.(ab + bc + ca).x + 3abc
*Nếu a + b + c 0.Khi đó:
Δ ' = a2b2 + b2c2 + c2a2 -abc.(a + b + c) = [(ab-bc)2 + (bc-ca)2 + (ca-ab)2].
2
*Nếu a + b + c = 0.Khi đó:
-Nếu ab + bc + ca phương trình cho ln có nghiệm
-Nếu ab + bc + ca =0 Khi kết hợp với gt a + b + c =0 ta dễ dàng chứng minh a=b=c=0.Và dĩ nhiên trường hợp pt cho có vơ số nghiệm
VÝ dơ15:CMR:Nếu hệ số a,b,c phương trình:ax2 + bx + c = (a 0)
các số lẻ phương trình bậc hai khơng thể có nghiệm hữu tỉ
Giải:
Giả sử phương trình bậc hai với hệ số a,b,c số lẻ có nghiệm hữu tỉ x0 = mn với m,n số nguyên (m,n)=1 n ;khi ta có:
a (mn)2+b.m
n+c=0 hay: am
2
(20)¿
cn2⋮m am2
⋮n
¿{
¿
mà (m,n)=1 ⇒(n , m2)=(m, n2)=1 nên:
¿
c⋮m a⋮n
¿{
¿
mà c,a số lẻ nên
suy m,n số lẻ.Vậy ta có:a,bc,m,n số lẻ Do đó:
am2+bmn+cn2=¿ số lẻ (Mâu thuẫn với (1))
Vậy điều ta giả sử sai.Hay nói cách khác, ta cú pcm
C Các tập tơng tự:
Bài 1: Cho phơng trình: x2 - (m + 1)x + m2 - 2m + = 0
a) Tìm giá trị m để phơng trình vơ nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt?
b) Tìm m để B = x12 + x22 đạt giá trị bé nhất, lớn ( với x1, x2 nghiệm) HD: a) Xét Δ=−3m2+10m−7=−(m −1)(3m−7)
b) B = -m2 + 6m – đồng biến
[1;7
3] nªn BMin B(m) BMax)
Bài 2: Cho phơng trình: mx2 2(m + 3)x + m + = 0 a) Giải phơng trình víi m =
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2? c) Tìm m nguyên để F = x1
1 +
x2 số nguyên (x1 , x2 hai nghiệm phân biệt) d) HD: * Phơng trình có hai nghiÖm x1, x2
⇔
a ≠0 Δ≥0
¿{
e) * F = … = +
m+2 số nguyên Bài 3: Cho phơng trình: x2 mx + m2 = 0
1 Giải phơng trình với m = 7
2 Tìm m để phơng trình có nghiệm gấp đơi nghiệm HD: b) Phơng trình có nghiệm gấp đôi nghiệm
⇔
Δ≥0 x1=2x2
x1+x2=−b
a x1.x2=
c a
¿{ { {
⇔
Δ=m2−4(m2−7)≥0
x1+x2=m
x1=2x2
x1.x2=m2−7
¿{ { {
⇔
5m2
+28>0,∀m
¿
3x2=m
2x22=m 2−7 ⇔
¿x2=m
3 m
3¿
2
=m2−7
¿
2¿
…
(21)1 Xác định giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm x1, x2 Tính A = 2x1x2+3
x12+x
22+2(1+x1x2)
theo m
HD: XÐt m−2¿
2
Δ=m2−4(m−1)=m2−4m+4=¿ > ⇔ ∀m≠2
2 Theo Viet ta cã:
¿
x1+x2=−b
a =m x1.x2=c
a=m−1
¿{
¿
vào A ta đợc:
A = 2x1x2+3
x12+x
22+2(1+x1x2)
=
x1+x2¿
+2
¿ ¿
2x1x2+3
¿
Bài 5: Cho phơng trình: x2 + (k - 1)x – k = 0 , x ẩn số. Xác định k để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Xác định k để phơng trình có hai nghiệm dơng
HD: Ph¬ng trình có hai nghiệm dơng khi:
>0
x1.x2=c
a>0 x1+x2=−b
a >0
¿{ {
Bài 6: Cho phơng trình: x2 2(m - 1)x + m – = (1) Giải phơng trình (1) với m =
2 Chứng minh phơng trình (1) luôn có nghiệm với m Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m
4 Xác định giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối v trỏi du
Bài 7: Cho phơng trình: x2 – 2x + m = 0
1 Tìm m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 số dơng Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:
x1 x2
+x2 x1
=−10
(§/S: < m < m = -3) Bài 8: Cho phơng trình: x2 - 4x + q = 0
1 Với giá trị q phơng trình có nghiệm Tìm q để tổng bình phơng hai nghiệm 16
Bài 9:Tìm số ngun lớn khơng vợt q ( + √3 )8 C kết thúc vần đề
(22)kiến quý thầy cô giáo để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn chỉnh hơn; góp phần nâng cao chất lợng dạy học ngày đạt hiệu cao