Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O,R). Chứng minh AA’ vuông góc với EF c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm H, I, A’ thẳng hàng d) Gọi G là trọng tâ[r]
(1)Chuyên đề Hình học :
* CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG,
* BỐN ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN, * BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY.
I.Phương pháp giải
1, Chứng minh ba diểm thẳng hàng - Vận dụng tính chất hai tia đối
- Vận dụng hai đường thẳng qua điểm song song vng góc với đường thẳng trùng
- Vận dụng tính chất đường đặc biệt tam giác - Vận dụng thêm điểm phụ thứ tư
- Vận dụng tính chất đường chéo tứ giác đạc biệt
- Vận dụng hai mút đường kính tâm đường tròn ba điểm thẳng hàng - Vận dụng hai tâm đường tròn tiếp xúc tiếp điểm ba điểm thẳng hàng 2/ Chứng minh bốn điểm thuộc đường tròn
Vận dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp *Tứ giác có tổng hai góc đối 180o
* Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
* Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm ( mà ta xác định ) Đieenmr tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
* Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α 3/ Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
- Giao điểm hai đường thẳng nằm đường thẳng lại - Chỉ điểm thuộc ba đường thẳng
- Vận dụng tính chất đồng quy ba đường cung tên tam giác - Vận dụng tính chất đường chéo
II / Ví dụ ( có gợi ý )
1 / Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( O; R) Gọi H trực tâm và G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm H,G ,O thẳng hàng
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
Vẽ đường kính AD đường tròn (0) Gọi M giao điểm BC HD Ta có : ACD = 90 o ( góc nội tiếp chắn đường trịn )
Mà BH AC ( Hlà trực tâm tam giác ABC ) DC AC ⇒ BH // DC
Chứng minh tương tự có: BD//HC.Tứ giác BHCD có BH // DC,BD // HC nên hình bình hành
⇒ M trung điểm BC HD
ΔABC có AM đường trung tuyến,G trọng tâm ΔABC
⇒ G thuộc đoạn thẳng AM AG =
3 AM
ΔAHD có AM đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM AG=
3 AM
⇒ G trọng tâm tam giác AHD.Mà HO đường trung tuyến tam giác AHD Do : HO qua G
(2)2/Gọi M điểm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.Các điểm P,Q,R hình chiếu củ M đường thẳng BC,CA AB
Chứng minh rằng:
a) Các điểm M,P,B,R thuộc đường tròn b) Các điểm R,P,Q thẳng hàng
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình) a) Tự chứng minh
b)Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp ⇒ M ^P Q+M C^ Q= 180°
Xét đường trịn (RBPM) có RB M^ =R^P M Xét đường trịn (O)có RB M^ = MC Q^ Do đó: RP M=^ MC Q^ ¿❑
Ta có: RP M^ +MP Q=^ MC Q+^ MP Q^ =180° Vậy R,P,Q thẳng hàng
3/Cho đường tròn (O)nội tiếp tam giác ABC Các điểm D,E,F tiếp điểm (O)với BC,CA,AB.Vẽ BB1 OA B1 , AA1 OB A1
Chứng minh D, B1, A1, E thẳng hàng Gợi ý: (Hs tự vẽ hình)
Tứ giác AEA1O nội tiếp đường trịn => OAE❑ +OA1E❑=90° Tứ giác AA1B1B nội tiếp đường tròn => BAB❑ 1=BA1B
❑
1
Mà *BAB1 = *OAE => *BA1B1=*OAE
Ta có : *BA1B1 + *OA1E = 180o => E,A1,B1 thẳng hàng. - Cứng minh tương tự có D,A1,B1 thẳng hàng
Do D,B1,A1,E thẳng hàng
4/ Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB CD (AB<CD) nội tiếp đường tròn tâm O Gọi PQ dây cung vng góc với AB CD P thuộc cung AB, Q thuộc cung CD ( P không trùng với A B, Q không trùng với C D)_ Gọi I K giao điểm PQ với AB CD Gọi P1 chân đường vng góc hạ từ P xuống đường thẳng AD, P2 chân đường vng góc hạ từ P xuống AC, Q1 chân đường vng góc hạ từ Q xuống AD, Q2 chân đường vng góc hạ từ Q xuống AC
a) Chứng minh QKQ2C, QKDQ1 ,PP2KC,AIQ2Q tứ giác nội tiếp b) Chứng minh Q1, K, Q2 thẳng hàng P1 K, P2 thẳng hàng Gợi ý : (Hs tự vẽ hình)
a) Hs tự làm
b) => *Q1KQ = *Q1DQ => *QKQ2 + *QKQ1 = 180o => Q1 , K, Q2 thẳng hàng
- Tứ giác AP1PP2 nội tiếp => *PP2P1 = *P1AP *PCK = *P1AP => *P1P2P = *PCK => *P1P2P + *PP2K = 180o
=> P1 , K, P2 thẳng hàng
5/ Cho đường tròn tâm O hai điểm B,C thuộc đường trịn ( B,C,O khơng thẳng hàng), tiếp tuyến với đường tròn B C cắt A Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến với đường tròn M cắt AB ,AC theo thứ tự D,E Gọi giao điểm OD, OE với BC theo thứ tự I,K Chứng minh : a) OBDK , DIKE tứ giác nội tiếp
(3)a) Hs tự làm
b) OBDK tứ giác nội tiếp => *OBD = *OKD = 90o => DK OE Tương tự : EI OD Mà OM DE
=> OM, DK, EI đường cao ΔODE => Đpcm
6/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tòn (O) Gọi D, E, F trung điểm BC, AC, AB Vẽ đường thẳng Dx, Ey, Fz cho Dx // OA, Ey // OB, Fz // OC Cứng minh đường Dx, Ey, Fz đồng quy
Gợi ý : (Hs tự vẽ hình) Chứng minh CH // BM BH // MC => BHCM hình bình hành
Mà D trung điểm BC, D trung điểm HM Gọi N trung điểm OH
Xét tam giác HMO Dx // OM, D trung điểm HM => Dx qua N Tương tự : Ey qua N, Fz qua N
=> Các đường thẳng Dx, Ey, Fz đồng quy
III Bài tập tham khảo
1 Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt cạnh AB,AC theo thứ tự E,D
a) CMR AD.AC=AE.AB
b) Gọi H giao điểm BD CE, K giao điểm AH BC CMR AH vuông góc với BC
c) Từ A kẻ tiếp tuyến Am,AN đến đường tròn (O) với M,N tiếp điểm CMR góc ANM góc AKN
Gợi ý :
a) Chứng minh tam giác ABD ACE đồng dạng => tỉ lệ tương ứng => đpcm b) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC => AH BC
c) - Chứng minh điểm A,M,K,O,N thuộc đường tròn
2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H v cắt đà ờng tròn (O) lần lợt M,N,P
Chøng minh r»ng:
a) Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp
b) Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn c) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
Gợi ý :
a) XÐt tø gi¸c CEHD ta cã:
CEH = 900 ( Vì BE đờng cao)
CDH = 900 ( Vì AD đờng cao) => CEH + CDH = 1800
Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp b) BE đờng cao => BE AC => BEC = 900.
CF đờng cao => CF AB => BFC = 900 => E F nằm đờng trịn đờng kính BC
Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn
c)Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â gãc chung => AEH ADC => AE
AD= AH
AC => AE.AC = AH.AD
* Xét hai tam giác BEC ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung => BEC ADC => BE
AD= BC
AC => AD.BC = BE.AC
(4)a) Chøng minh AC + BD = CD b) Chøng minh COD = 900
c) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng trịn đờng kính CD d) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Gợi ý :
a) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM hai góc kề bù => COD = 900 c) Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có IO bán kính
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đờng trung bình hình thang ACDB
IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB tiếp tuyến O đờng trịn đờng kính CD d) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB
Cho tam giác ABC vng A, đờng cao AH Vẽ đờng trịn tâm A bán kính AH Gọi HD đ-ờng kính đđ-ờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đđ-ờng tròn D cắt CA E
a) Chứng minh tam giác BEC cân
b) Gi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH c)Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH)
d)Chøng minh BE = BH + DE Gợi ý :
a) AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2)
Vì AB CE (gt), AB vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến BEC => BEC tam giác cân => B1 = B2
b) Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH
c) AI = AH vµ BE AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I d) DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
5 Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a)) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM . IB.
c) Chøng minh BAF lµ tam giác cân
d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi Gi ý :
a) Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng trịn ) => KMF = 900 (vì hai góc kề bù).
AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (vì hai góc kề bù).
=> KMF + KEF = 1800 Mà KMF KEF hai góc đối tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp
b)Ta có IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vng A có AM IB ( theo trên) áp dụng hệ thức cạnh đờng cao => AI2 = IM . IB.
c)Theo giả thiết AE tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ do )
……
=> ABE =MBE ( hai gãc néi tiếp chắn hai cung nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1)
Theo trờn ta cú AEB = 900 => BE AF hay BE đờng cao tam giác ABF (2). Từ (1) (2) => BAF tam giác cân B
d)BAF tam giác cân B có BE đờng cao nên đồng thời đơng trung tuyến => E trung điểm AF (3)
Tõ BE AF => AF HK (4), theo trªn AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác
HAK (5)
(5)Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đờng chéo vng góc với trung điểm đờng)
6 Cho tam giác ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khơng trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB AC
a)Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b)Chứng minh MP + MQ = AH
c)Chøng minh OH PQ Gợi ý :
a) Ta cã MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt)
=> AQM = 900 nh P Q nhìn BC dới góc 900 nên P Q nằm đờng trịn đờng kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp
* Vì AM đờng kính đờng trịn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung điểm AM
b) Ta cã SABM + SACM = SABC =>
2AB.MP +
2AC.MQ =
2BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH
c) Tam giác ABC có AH đờng cao nên đờng phân giác => HAP = HAQ => HP HQ ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) => OH tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đờng cao => OH PQ
7 Cho ABC tam giác cạnh 1.Trên AC lấy điểm D, E cho góc ABD góc CBE 20o Gọi M trung điểm BE N điểm nằm cạnh BC cho BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE BEN
Gọi ý :
* Vẽ BH vuông góc với AC H => HA = HC * Ta có góc DBE = 20o
* chứng minh tam giác BAD BCE => BD = BE => tam giác BDE cân B * Chứng minh tam giác BMN DBE đồng dạng
=> SBMN = 14 SBDE
* Ta có : SBEN = SBMN = ½ SBDE = SBEH
=> SBCE + SBEN = SBCE + SBEH = ½ SABC = ……… IV Bài tập tự luyện
1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), xy tiếp tuyến A đường tròn Một đường thẳng song song với xy cắt Â, AC D, E Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp
2 Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Đường trịn đường kính BC cawtsw AB, AC E F BF CE cắt H
a) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC
b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp
(6)a) Chứng tỏ OD vng góc với BC
b) Gọi I tâm đường nội tiếp tam giác ABC Tính góc BIC
5 Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O,R) Kẻ đường cao BD, CE tam giác, hai đường cắt H Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) M, N cắt BC K
a) Chứng minh góc AED ACB b) Chứng minh AM = AN
c) Chứng minh KE.KD = KB.KC
d) Cho góc A 60o Tính diện tích tứ giác ADOE theo R
6 Tam giác ABC có có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O,R) Ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi K điểm đối xứng với H qua BC
a) Chứng minh tứ giác ACKB nội tiếp
b) Kẻ đường kính AA’ (O) Chứng minh AA’ vng góc với EF c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, I, A’ thẳng hàng d) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh S AHG = 2S AOG
(7)