Mon VL Chat Ran 6

Mô hình này không đúng ở nhiệt độ thấp do Einstein đã coi toàn bộ các nguyên tử trong vật rắn dao dộng với cùng tần số tức là chỉ tính gần đúng cho các phonon quang..  Mô hình của Deb[r]

Chương IV

I NHIỆT DUNG CỦA CHẤT RẮN

1 Nhiệt dung

Theo định luật I nhiệt động lực học:

dQ = dU – dW

Trong đó:

dQ : nhiệt dU : nội

dW : coâng, dW = pdV

Nhiệt lượng chuyển từ vật sang vật khác chúng có nhiệt độ khác Nhiệt chuyển vào vật làm thay đổi

nội (năng lượng toàn phần – động năng)

2 Kết thực nghiệm

 Đối với chất n môiệ

CV ~ T2

 Đối với kim loại

CV ~ T

Ở nhiệt độ phòng (300oK): giá trị nhiệt dung hầu hết chất

có giá trị khơng đổi 3R = 3NkB = cal/mol.độ

Ở nhiệt độ thấp: Khi giảm nhiệt độ nhiệt dung giảm rõ rệt tiến đến giá trị CV = T =

Khi T tăng : CV tăng dần đến giá trị không đổi

3R = 3NkB = cal/mol.độ

 Điện môi C ~ T3

 Kim loại C ~ T

Ở nhiệt độ phòng (300oK): giá trị nhiệt dung hầu hết chất

có giá trị khơng đổi 3R = 3NkB = cal/mol.độ.(định luật Dulong-Petit)

LÍ THUYẾT CỔ ĐIỂN

Mô hình

1 hạt nút  dao động

tử điều hịa

Tinh thể N hạt  3N dao

động tử

Năng lượng trung bình dao động tử:

với m2 = f = hệ số lực Hooke

1

2

E = mv2 + m2x2

Năng lượng trung bình dao động tử cân nhiệt (Theo phân bố Boltzman):

                       kT x m kT mv kT x m kT mv 2 kT x m kT mv kT x m kT mv dx e . e dx e . e . 2 x m dv e . e dv e . e . 2 mv

E 2 2 2

2 2 2 2 2                  kT x m kT x m 2 kT mv kT mv dx e dx e 2 x m dv e dv e 2 mv

E 2 2

2

2

Triển khai tính tốn:

đ



 Eñ == Et

2udu = 2vdv

2udu = 2vdv  dv = 2kT dv = 2kT

kT m u m kT udu kT mv udu  Trong dao động điều hòa:

động trung bình = trung bình

kT 2 x m kT 2 2

mv 2 

Ta đặt:

u2 =

Đặt x = u

Đặt x = u22  dx = 2udu dx = 2udu

               x x x x dx e . x dx e . x kT 2 x 2 dx . e x 2 dx . e . x kT 2 E 1 2          dx e x x n    

Theo định nghóa tính chất hàm Gamma:

Theo định nghóa tính chất haøm Gamma:

Năng lượng hệ gồm N hạt (3N dao động tử điều hòa):

U = 3NkT

T U  

 Nhiệt dung đẳng tích: CV = = 3Nk  Nhiệt dung đẳng tích mol:

CV = 3NAk = 3R = cal/mol.độ

Vậy: Lí thuyết cổ điển phù hợp với thực nghiệm nhiệt độ cao, không phù hợp nhiệt độ thấp.

Định luật Dulong-Petit

Định luật Dulong-Petit

 Theo lý thuyết cổ điển nhiệt dung vật rắn, người ta

quan niệm tinh thể hệ gồm nguyên tử, nguyên tử có ba bậc tự Trong mạng tinh thể, nguyên tử nút mạng dao động nhiệt Tuy dao động nguyên tử có ảnh hưởng lẫn nhau, nhiệt độ đủ cao, liên kết nguyên tử khơng cịn ảnh hưởng nhiều đến dao động chúng coi nguyên tử dao động độc lập

 Theo nguyên lý phân bố lượng theo bậc tự

do, bậc tự nguyên tử ứng với lượng trung bình dao động, bao gồm động năng, là:

kT

E 

Trong đó:

Như nội hệ có N nguyên tử (3N dao động điều hồ là:

 Nhiệt dung đẳng tích :

 Nhiệt dung đẳng tích mol:

CV = 3NAk = 3R = cal/mol.độ

Vậy: Lí thuyết cổ điển phù hợp với thực nghiệm nhiệt độ cao, không phù hợp nhiệt độ thấp.

NkT U 3

Do đó, nhiệt dung vật rắn (không cần phân biệt đẳng áp hay đẳng tích áp suất thể tích vật rắn không thay đổi

đáng kể)

Nk dT

dU

Với R số chất khí

Đó nội dung định luật Đuylơng-Pơti (Dulong-petit) tìm thực nghiệm Nó cho thấy nhiệt độ đủ cao, nhiệt dung riêng vật rắn không phụ thuộc nhiệt độ với chất

Nhưng sai khác lý thuyết cổ điển việc tính nhiệt dung vật rắn so với kết thực nghiệm?

Tuy nhiên, nhiệt độ thấp kết thực nghiệm khơng cịn phù hợp với định luật Khi nhiệt độ giảm, nhiệt dung riêng giảm T  nhiệt dung riêng tiến đến không theo định luật Nerst

LÍ THUYẾT EINSTEIN

Lí thuyết nhiệt dung riêng vật rắn dựa sở học lượng tử, cho phép giải thích có kết giảm

của nhiệt dung riêng theo nhiệt độ EINSTEIN nêu năm 1906 EINSTEIN giả thiết vật rắn, nguyên tử

dao động với cùng tần số gọi tần số EINSTEIN

LÍ THUYẾT EINSTEIN

 Năng lượng dao động tử (1 lượng tử) En = nh với n số nguyên.

Năng lượng trung bình dao động tử là:

Ở nhiệt độ cao: kT >> h  x << 1: kT h 1 kT h kT h 1 1 e kT h                  

 U = 3NkT

 phù hợp với kết cổ điển

(Định luật Dulong- Petit)

Năng lượng trung bình hệ gồm 3N dao động tử:

e-x  + x + x2 + …

CV = T

E .e E

T Nk

3   

  

  

 CV giảm theo nhiệt độ theo hàm nhanh kết quả đo thực nghiệm.

E

T

e 

 Lí thuyết Einstein cho phép giải thích CV khơng đổi nhiệt độ cao, nhiệt độ thấp CV giảm nhiệt độ giảm nhưng giảm nhanh kết thực nghiệm.

Ở nhiệt độ thấp: kT << h  x >> 1: kT h kT

h h .e

1 e

h

E     

  

 U = 3N<E>  CV = kT h V e kT h Nk T U                   Đặt:

Đặt: E hkE : : nhiệt độ Einstein

 

Hạn chế mơ hình Einstein

- Ở nhiệt độ thấp, biểu thức cho thấy nhiệt dung giảm theo nhiệt độ Tuy nhiên thực nghiệm cho thấy nhiệt dung giảm theo bậc ba nhiệt độ : C ~ T3

- Mơ hình Einstein có hạn chế giả thiết cho tinh thể có tần số dao động

- Tuy nhiên điều quan nhất, mà Einstein muốn chứng minh chứng minh thành qua lý thuyết mình, dao động dao động tử học phải lượng tử hóa, giống Plăng đã lượng tử hóa dao động tử xạ

- Bằng cách sử dụng mơ hình vật rắn coi hệ dao động tử, Einstein giải thích T0 nhiệt dung vật rắn giảm đến

không

LÍ THUYẾT DEBYE

MÔ HÌNH

Chất rắn gồm dao động tử; dao động tử không biểu thị dao động gốc nguyên tử mẫu Einstein mà biểu thị cho dao động chuẩn tồn tinh thể

Tinh thể có N ngun tử có 3N dao động chuẩn: N dao động dọc

và 2N dao động ngang

1 e

h E

kT h

 

 



Năng lượng trung bình dao động tử với tần số  là:

 Hệ thức tán sắc:  = qv

 



 

 

  



N

1 i

N

1

i hkT i ngang

i N

1

i idoïc e 1

h U

U

i

E =

 

2

q = : vectơ sóng

Năng lượng mạng tinh thể chất rắn là:

exp[iq(r + L)] = expiqr

 qx = ; qx y = ; qz = x

2 n L



y y

2 n L



z z

2 n L



Với nx, ny, nz  Z

q = q2x  q2y  q2z

Tinh thể hữu hạn có cạnh Lx, Ly, Lz.

Trường hợp đơn giản

Tinh thể lập phương cạnh L

 Mơi trường đẳng hướng.

 Vận tốc truyền sóng lấy trung bình vo.

 Hệ thức tán sắc:

2 z

y

x

0 n

0

0 v q v 2L n v 2L n  n  n

Xét không gian q

 Các giá trị phép q xác định vị trí nút mạng

3 3

2 8

L V

 

 



 

 

 Các điểm có giá trị q thuộc cùng mặt

cầu có bán kính q  thể tích mặt cầu 4 q3

3 

2 L



 Ô nguyên tố mạng có dạng lập phương cạnh  Thể tích ô mạng:

 Số giá trị phép q số dao động tử có số sóng từ  q:

Số dao động tử có tần số  từ   :

3

3

4 q q

3 V V     N(q) =

Hệ thức tán sắc:  = voq = vo. 3

4 ) q ( N 3 . L 2   4 ) q ( N 3 . L 2 q     3 o o

V 2 V. 4

6 v 3v

   

 

 

  

Với

Với q =

o v 2

2 

 



Số dao động tử có giá trị q khoảng q  q + dq:

 g(q) = (1)

2

dN(q) V q

dq  2

Số dao động tử có  khoảng    + d:

dN() = V 2  g() =

3 o

4 d

v



  3

o

dN( ) V 4

d v

 

 

 (2)

(1) (2) : gọi hàm mật độ trạng thái (mật độ mode dao động).

2

q 2

Nội hệ:

U = h 0 max h 3

o

kT kT

h dN( ) h . 4 d

v

e 1 e 1



 

 

    

 

 

3 3

o d ng

1 1 2 const v v  v 

Dùng giá trị trung bình vận tốc theo công thức:

3 o

4 V.

v

 max 2 max

h h

0

o

kT kT

h d V. 4 h d v

e 1 e 1

 

 

  

   

 

max : tần số cực đại dao động chuẩn, tính từ:

max

0 dN( ) 3N



 



max 2

3 0 o

4

V. d 3N

v





    

3 max

3



0

max 49NV .v

 

Đặt: x = kTh  xmax = hkTmax TD  D = h max : nhiệt độ Debye.

k





 kT x  d = dx

h

  kT

h

U =

3 o 4 V. v  max x x kT h. x kT

h . dx e 1 h

 

 

 





U =

3 o

4 V.

h v

 4 4 xmax

x

x

k T dx

e  1

 U = 3 3

o

4 V.

h v

 4 4 xmax

0

x

k T dx

1 x 1 



max

x 2 max

0 x x dx 3  

* Ở nhiệt độ cao: kT >> h  x << 1

ex = + x + x2 + …  + x

U = 3 3

o 4 V. h v  3 x T

k4 max

3 o

4 V.

h v

 4 4 h max

k T kT        

 U = 2 3NkT o

4 V.

hv

 3

max

kT. 

3 o

9N v 4 V

 Ở nhiệt độ thấp: x = >> 1h

kT



U = k4T4 = k4T4 3

o

4 V h v



15



3

max

4 V 4 V h

9N

 



4

15 

U = 4

3

max

9N k T 15h





3

x

x dx

e 15

 

 

 

Nhieät dung

3

4 4

3 3

max D

12N k T 12N k T

5h 5

 

 

  

   

CV ~ T3  phù hợp với thực nghiệm.

 Lí thuyết Debye trùng với kết thực nghiệm nhiệt

độ cao với nhiệt độ thấp.

3 D

T

 

 



 

 CV =

 

Lý thuyết Debye áp dụng trường hợp:

- Như theo lý thuyết Đơbai, T  0, nhiệt dung riêng vật rắn dao động mạng gây nên tiến đến không theo định luật T3

- Ở nhiệt độ đủ thấp, định luật T3 Debye phù hợp rất tốt với

thực nghiệm, khu vực nhiệt độ có dao động nhánh âm học ứng với sóng dài kích thích Những sóng có tính chất giống sóng âm mơi trường liên tục

Định luật T3 Debye quan sát thực nghiệm nhiệt

Vì lý thuyết Debye không áp dụng cho trường hợp nhiệt độ cao?

Nhiệt dung dao động mạng vật rắn hàm chung chất theo tỷ số nhiệt độ Điều cho nhiều vật rắn Ag, Al, Graphit, Al2O3, KCl v.v… Tuy nhiên nhiều trường hợp,

nhiệt độ Debye lại phụ thuộc nhiệt độ Nguyên nhân sai lệch lý thuyết Debye so với thực tế giả thuyết coi tinh thể mơi trường liên tục với tần số dao động cực đại ωD

Nói riêng, mật độ trạng thái Z tỷ lệ với ω2 tần số

Tóm lại Tóm lại

 Nhiệt dung tính theo lý thuyết cổ điển: 3R số không phụ

thuộc vào chất vật liệu Lý thuyết cổ điển cho trường hợp nhiệt độ cao coi nguyên tử dao động độc lập

 Theo mơ hình lý thuyết Einstein nhiệt độ cao nhiệt dung

là 3R phù hợp với thực nghiệm Mơ hình không nhiệt độ thấp Einstein coi toàn nguyên tử vật rắn dao dộng với tần số tức tính gần cho phonon quang

Tính chất hạt đặc trưng lượng photon  = h

II LÍ THUYẾT PHONON VỀ NHIỆT DUNG Ánh sáng có lưỡng tính:

 Tính chất sóng đặc trưng bước sóng

2 k

  

p k

k = vectơ sóng.

Tương tự, sự lượng tử hóa sóng đàn hồi tinh thể

là phonon có năng lượng xung lượng.

Sự lượng tử hóa sóng ánh sáng photon.

Photon tồn chân khơng, phonon có trong mơi trường truyền sóng đàn hồi.

photon : hạt thực phonon : chuẩn hạt

h kT

h

E n h

e 1

 



  



Năng lượng trung bình dao động tử tinh thể:

Ở nhiệt độ xác định, số phonon coi xác định.

: số phonon trung bình có lượng h.

h kT

1 n

e  1



* Ở nhiệt độ cao: x = << 1kTh

 ex –  + x –  x = h kT



 = kT = hE n



 n =

o o

kT kT

qv qv

h. 2

 



n kT

h

 =

o

2 2

v

  



o

Số phonon thể tích V:

Np = qmax qmax

2

o o

o

kT q

n dN(q) .V dq v q 2





  

dN(q) dq dq

g(q)

 Np =

2 max

2 o

q kT V

v 4



max max

o

2 q

v

 

Với g(q) =

2

dN(q) V q

Maø Np(q) = V

3

max max

2

q V 2

4 4 v

 

 



 Np = 3N ~ T

D

3 T

   

  

 CV = = constU

T

 

 D = h max : nhiệt độ Debye.

k

* Ở nhiệt độ thấp: Np ~ ~ T3 3 D

T

   

  

 Lý thuyết phonon nhiệt dung phù hợp với kết

quả thực nghiệm.

vaø CV ~234Nk  T3 D

T

 

 



TOÙM LẠI

Tinh thể chất rắn coi

hộp chứa khí phonon có số phonon thay đổi theo nhiệt độ chất rắn.

Phonon photon tuân theo phân bố

III SỰ DẪN NHIỆT VAØ NỞ NHIỆT CỦA CHẤT RẮN

Trong vật rắn điện môi quá trình dẫn nhiệt chủ yếu là do phonon.

Theo thuyết động học chất khí: Hệ số dẫn nhiệt

trong chất khí là:

k = C1 V 

3 v

CV : nhiệt dung đơn vị thể tích khí.

v : vận tốc trung bình phân tử khí.

 : qng đường tự trung bình hạt.

CV : nhiệt dung mạng tinh thể.

: quãng đường tự trung bình phonon được xác định hai trình:



: vận tốc phonon (vận tốc truyền âm) = vo.

v

+ Tán xạ hình học:

Tán xạ mặt tinh thể, sai hỏng, …

+ Tán xạ phonon – phonon.

Trong chất rắn: Coi hộp chứa khí phonon

Quãng đường tự trung bình p phonon tỉ lệ

nghịch với nồng độ phonon np tiết diện tán xạ hiệu dụng p:

Ở Nhiệt độ cao ( T >> D):



 K = constT

 K giảm nhiệt độ tăng Phù hợp định tính với kết

quả thực nghiệm.

p p

1 n 

p =

1

3 v p p

1 n 

 K = CV

D

3 T 2

   

  

 Ở Nhiệt độ thấp (T << D):

CV  ; np =  K = const.

3 D

T

   

  

3

D

T

   

  

Thực tế K tiếp tục tăng hạ nhiệt độ

Giải thích khi nhiệt độ giảm biên độ dao động

SỰ NỞ NHIỆT

 Coi mạng tinh thể hệ dao động tử (DĐT)

dao động điều hòa

Khi nhiệt độ tăng biên độ dao động DĐT tăng

 Khoảng cách nguyên tử tăng  Nở nhiệt.

Những phép tính tốn xác cho ta kết hệ số nở

nhieät   CV

Ở nhiệt độ cao: CV = const   = const  không phụ

thuộc vào nhiệt độ.

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐẶC TÍNH CỦA PHONON

 Năng lượng dao động tử điều hồ thay đổi Năng lượng dao động tử điều hoà thay đổi

cách gián đoạn số nguyên lần

cách gián đoạn số ngun lần ss ss

được gọi lượng tử (phần nhỏ có) dao động

được gọi lượng tử (phần nhỏ có) dao động

mạng tinh thể Giá trị lượng tử gọi phonon

mạng tinh thể Giá trị lượng tử gọi phonon

 Nói cách khác: Khác với lý thuyết cổ điển, theo lý thuyết Nói cách khác: Khác với lý thuyết cổ điển, theo lý thuyết

lượng tử

lượng tử lượng lấy giá trị gián đoạnnăng lượng lấy giá trị gián đoạn

 Năng lượng Năng lượng ss xem lượng tử dao động xem lượng tử dao động

với tần số

Với cách hiểu trên, số nhận xét phonon sau:

Với cách hiểu trên, số nhận xét phonon sau:

 Giống photon, phonon hạt mang theo Giống photon, phonon hạt mang theo

lượng

lượng ss nhi nhiên khơng phải hạt thật photon mà chuẩn ên khơng phải hạt thật photon mà chuẩn

hạt tồn tinh thể tồn ngồi tinh thể

hạt tồn tinh thể tồn ngồi tinh thể

 Trong tinh thể có 3N loại phonon khác (với tần số dao động khác Trong tinh thể có 3N loại phonon khác (với tần số dao động khác

nhau

nhau

 Tính ưu việt cách biểu diễn mạng tinh thể phonon so với cách Tính ưu việt cách biểu diễn mạng tinh thể phonon so với cách

biểu diễn dao động tử điều hoà là:

biểu diễn dao động tử điều hoà là:

 Cách biểu diễn dao động tử điều hồ khơng thể xét đến dao động có Cách biểu diễn dao động tử điều hồ khơng thể xét đến dao động có

biên độ q lớn (vì giả thiết tính điều hồ dao động khơng cịn phù biên độ q lớn (vì giả thiết tính điều hồ dao động khơng cịn phù

hợp hợp

 Trong cách biểu diễn phonon lượng mà tinh thể thu nhận làm sinh Trong cách biểu diễn phonon lượng mà tinh thể thu nhận làm sinh

phonon Khi số phonon không lớn

phonon Khi số phonon không lớn  phonon độc lập, không tương tác với phonon độc lập, không tương tác với

nhau Khi số phonon lớn

nhau Khi số phonon lớn  xét đến va chạm xét đến va chạm  xét trường hợp dao động xét trường hợp dao động

 Phonon mô tả bó sóng chuyển động Phonon mơ tả bó sóng chuyển động

trong mạng Tính chất bó sóng giống

trong mạng Tính chất bó sóng giống

tính chất hạt cổ điển gán cho

tính chất hạt cổ điển gán cho

năng lượng, xung lượng vận tốc.

năng lượng, xung lượng vận tốc.

 Năng lượng phonon là: ENăng lượng phonon là: Epp = = ss

 Chuẩn xung lượng phonon: PChuẩn xung lượng phonon: Ppp = = qqss

 Tương tác phonon phonon Tương tác phonon phonon

electron xem tán xạ hai hạt.

electron xem tán xạ hai hạt.