Mon VL Chat Ran 2

- Ñôn tinh theå: Caùc nguyeân töû saép xeáp tuaàn Caùc nguyeân töû saép xeáp tuaàn hoaøn trong toaøn boä khoâng gian cuûa vaät lieäu.. hoaøn trong toaøn boä khoâng gian cuûa vaät lie[r]

CHƯƠNG I TINH THỂ CHẤT RẮN

A.LÝ THUYẾT

Phần I ĐẠI CƯƠNG VỀ TINH THỂ

I CÁC TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA VẬT CHẤT TRONG TỰ NHIÊN

II MẠNG TINH THỂ

III CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA MỘT SỐ TINH THỂ ĐƠN GIẢN

Phần II PHÂN TÍCH CẤU TRÚC TINH THỂ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU XẠ TIA X.

I CÔNG THỨC NHIỄU XẠ CỦA VULF – BRAGG II CẦU PHẢN XẠ CỦA EWALD

III CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỤP TINH THỂ BẰNG TIA X

I CÁC TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA VẬT CHẤT TRONG TỰ NHIÊN

 Trong tự nhiên vật chất tồn trạng thái (các trạng thái ngưng tụ vật chất):

RẮN - LỎNG - KHÍ

Rắn = Tinh thể + vô định hình

 Cấu trúc :

 Tinh thể : cấu trúc có độ trật tự cao  Khí : cấu trúc hồn tồn trật tự

 Lỏng: phân tích cấu trúc tia X, tia e- nơtron

Thể

RẮN LỎNGThể KHÍThể

Các trạng thái vật chất

Các trạng thái vật chất

Thể PLASMA

Chất lưu

Tinh thể Vô định hình

Các loại chất rắn

Các loại chất rắn

Vật liệu kết tinh:

Vật liệu kết tinh: nguyên tử xếp tuần nguyên tử xếp tuần hồn khơng gian

hồn khơng gian

- Đơn tinh thể:

- Đơn tinh thể: Các nguyên tử xếp tuần Các nguyên tử xếp tuần hồn tồn khơng gian vật liệu

hồn tồn khơng gian vật liệu

-

- Đa tinh thể:Đa tinh thể: gồm nhiều tinh thể nhỏ gồm nhiều tinh thể nhỏ hạt nhỏ

hạt nhỏ

Vật liệu vô định hình:

Vật liệu vơ định hình: nguyên tử không nguyên tử không xếp tuần hồn khơng gian

Pyrite

Pyrite

Đường

Đường

Kim cương

Kim cương

Thạch anh

Thạch anh

MỘT SỐ TINH THỂ TRONG

Bán dẫn

Bán dẫn Siêu dẫnSiêu dẫn

Laser

Laser

Màn hiển thị

Màn hiển thị

II MẠNG TINH THỂ

Khái niệm:

 Để mơ tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh

thể

 Có thể quan niệm tinh thể lý tưởng tạo thành cách

sắp xếp đặn không gian đơn vị cấu trúc giống hệt

 Trong tinh thể đơn giản tinh thể kim loại với đơn

II MAÏNG TINH THEÅ

Cấu trúc tinh thể = mạng tinh thể + sở

°Đơn vị cấu trúc = sở = nguyên tử, nhóm nguyên tử hay phân tử (có thể tới hàng trăm nguyên tử hay phân tử VD: chất hữu cơ)

II.1 Cấu trúc tinh thể

Tinh thể NaCl Tinh thể NaCl

Giải phóng Giải phóng

NaCl NaCl

MẠNG TINH THEÅ NaCl

C sở + M ng tinh thể = Cấu trúc tinh thể ơ ạ

B- BI U DI N MAÏNG TINH THỂỂ Ễ

1 TÍNH TUẦN HOÀN MẠNG

 Mọi nút mạng suy từ nút gốc phép tịnh tiến :

3

2

1a n a n a

n

T      

3 1,a ,a

a  

T

3 1,a ,a

a  

3 1,a ,a

a   là véctơ đơn vị.

là vectơ tịnh tiến không đồng phẳng = Véc tơ tịnh tiến sở.

= véctơ tịnh tiến bảo toàn mạng tinh thể.

n1, n2, n3 số nguyên hay phân số Nếu n1, n2, n3 = số nguyên thì

là véctơ nguyên toá (hay véctơ sở).

Maïng tinh theå 2D

VÉCTƠ NGUYÊN TỐ (VÉCTƠ CƠ SỞ)

n

n11 = 2; n = 2; n22 = 4 = 4

1 a 2

a

2

1 4a

a 2

T  

1

a 2

2

Mạng tinh thể 2D

VÉCTƠ ĐƠN VỊ

n

n11 = 2/3; n = 2/3; n22 = 3/2 = 3/2

1 a 2

a

2 1 23 a

a 3 2

T  

1

a 3 2

2

VECTƠ TỊNH TIẾN BẢO TOÀN MẠNG

TINH THỂ 3 3 2 2 1

1 a n a n a

n

T   

Vectơ tịnh tiến sở (3D) 1 a 2 a 2 1 4a

a 5

T  

2 OÂ MẠNG TINH THỂ2 Ô MẠNG TINH THỂ

 Qua ba vectơ khơng đồng phẳng hồn tồn xác định mạng, hệ thống vơ hạn nút Chúng chiếm vị trí đỉnh hình hộp nhỏ xác định ba cạnh a1, a2, a3.

° Các hình hộp chồng khít lên

nhau kéo dài vô hạn

không gian  Ô mạng. a2

3

a

1

a

°Có nhiều cách chọn a1; a2; a3 nhiều cách chọn ô mạng

 Ô đơn vị ô xác định từ véctơ đơn vị a1, a2, a3.  Thể tích đơn vị:

V V a1.a2 a3  a2. a3 a1 a3.a1 a2 

Ô nguyên tố ô xác định từ véctơ nguyên tố a1, a2, a3

Ô nguyên tố chứa nút mạng

Ô ĐƠN VÒ

A B E D

F C

Một số cách chọn Ô đơn vò

A

B E

D

F C

Cùng hệ với hệ toàn mạng (tức hệ tinh thể). Số cạnh số góc (giữa cạnh)

bằng ô mạng phải nhiều nhất.

Nếu có góc vng cạnh số góc

phải nhiều nhất.

Sau thỏa mãn điều kiện trên, phải

thỏa mãn điều kiện thể tích ô mạng nhỏ nhất.

Ơ CƠ SỞ (Ơ BRAVAIS)

Ô WIGNER – SEITZ

Ơ Wigner – Seitz ngun tố vẽ cho nút mạng nằm tâm

 Cách vẽ ô Wigner – Seitz chiều:

Chọn nút mạng làm gốc O

Nối O với nút lân cận gần ta số đoạn

thaúng baèng

Vẽ mặt phẳng trung trực đoạn thẳng ta thu

được h m t th nh t ọ ặ ứ ấ  t o miền khơng gian kín bao ạ

quanh O.

Tương tự, từ O nối với nút lân cận vẽ

mặt phẳng trung trực đoạn thẳng ta thu h ọ m t th hai ặ ứ

Nếu h m t th hai nằm miền không gian bao họ ọ ặ ứ

thứ nhất, tức họ thứ xác định miền thể tích nhỏ đó Wigner – Seitz

Ngược lại Wigner – Seitz xác định đồng thời hai

OÂ

OÂ

Wigner-Seitz

Seitz

mạng lập

mạng lập

phương

phương Ô Wigner-Seitz mạng

Ô Wigner-Seitz mạng

lập phương tâm khối

lập phương tâm khối

Ô Wigner-Seitz mạng

Ô Wigner-Seitz mạng

lập phương tâm mặt

3 SỰ ĐỐI XỨNG CỦA MẠNG TINH THỂ

a. YẾU TỐ ĐỐI XỨNG

Phép biến đổi không gian làm cho mạng tinh thể trùng lại với gọi yếu tố đối xứng.

b CÁC LOẠI YẾU TỐ ĐỐI XỨNG

Phép tịnh tiến bảo toàn mạng T.

Mặt phẳng đối xứng P (m). Tâm đối xứng C.

P

P’

P, P’: mặt đối xứng gương

Q

Q : mặt đối xứng gương

Mặt phẳng chia tinh thể làm hai phần với điều kiện phần ảnh phần qua mặt gương đặt P

PHÉP TỊNH TIẾN BẢO TOÀN MẠNG

T tinh thể trùng lại với Khi tịnh tiến tinh thể véctơ

Là điểm C nằm bên tinh thể có đặc tính: phần tử tinh thể qua có điểm đối xứng với qua C

C

C

C

C

Có tâm đối xứng

.C

Có tâm đối xứng

TRỤC ĐỐI XỨNG XOAY Ln

với n bậc trục.

 Nguyên tử hay phân tử riêng lẻ n = 1,2, …  Trong tinh thể n = 1, 2, 3, 4,

L1 : 1 = 360o L2 : 2 = 360o/ =180o

L3 : 3 = 360o/ =120o L4 : 4 = 360o/ =90o

L6 : 6 = 360o/ =60o

n 360o

n 



Trục đối xứng đường thẳng quay quanh tinh thể

trở lại trùng với nó.

Góc bé  để tinh thể trở lại trùng với gọi góc

Các trục đối xứng

Trục bậc (360o)

Trục bậc (90o) Trục bậc (60o)

Trục bậc 2 (180o)

ĐỊNH LÝ

Trong tinh thể có trục đối xứng bậc 1, 2, 3, 4, (do tính chất tịnh tiến tuần hồn mạng khơng gian)

A1 A2

A3 A4

a

a a

n n

Hình 1.3 CHỨNG MINH

Xét nút mạng A1, qua phép tịnh tiến đoạn a ta suy nút A2

Vì A3, A4 nút mạng tinh thể

nên khoảng cách chúng phải bằng: A3A4 = k.a, với k  Z (2)

Từ (1) (2) suy ra: - cosn = k

Suy ra:

-1  cosn = (1 - k)/2   -1  k 

k’ = -1, 0, 1, 2, Do đó:

 Khi k = -1: cosn = -1  n = 2 = 180o  Trục đối xứng L2

 Khi k = 0: cosn = - 1/2  n = 3 = 120o Trục đối xứng L3

 Khi k = 1: cosn =  n = 4 = 90o Trục đối xứng L4

 Khi k = 2: cosn = 1/2 n = 6 = 60o  Trục đối xứng L6

 Khi k = 3: cosn = n = 1 = 360o  Trục đối xứng L1

A3 A4 = a + asin ( n - /2)

sin (n - /2) = - cosn

 A3A4 = a (1 - cosn) (1)

A1 A2

A3 A4

a

a a

n n

TRỤC ĐỐI XỨNG NGHỊCH ĐẢO Lin

là đường thẳng mà tinh thể sau quay quanh góc n cho đối xứng với điểm tinh thể tinh thể

trở lại vị trí tương tự với vị trí ban đầu

Lin = Ln * C

 Các loại trục nghịch đảo :

Li1 = C, Li2 = P, Li3 = L3C, Li6 = L3P vaø Li4

 Tóm lại, tinh thể vĩ mơ thấy yếu tố đối xứng sau

C, P, L1, L2, L3, L4, L6, Li4, Li6

n

Trục đối xứng nghịch đảo (trục nghịch đảo) L

Phép đối xứng qua tâm đối xứng C tương đương với phép quay góc 3600 quanh trục qua C + phép đối xứng qua C  Tâm

nghịch đảo 1

C

1

2

Li1 = C

1

a’1

O

2

P

a1 1

a2

Li2 = P

C

5 1

3

2 6

4

Li3 = L3C

O

4 2

1 3

Li4

O

6 4

2

3 15

Li6 = L3P

4 HAÏNG – HỆ TINH THỂ

7 HỆ – HẠNG TINH THEÅ

Hệ ba nghiêng- Hệ nghiêng - Hệ trực thoi – Hệ ba phương - Hệ bốn phương - Hệ sáu phương - Hệ lập phương.

 Hạng thấp: hệ ba nghiêng, hệ nghiêng, hệ trực thoi.  Hạng trung: hệ ba phương, hệ bốn phương, hệ sáu phương.  Hạng cao: hệ lập phương.

NHÓM ĐIỂM

Tập hợp yếu tố đối xứng gồm tâm đối xứng, mặt phẳng đối xứng trục đối xứng có tinh thể  nhóm đối xứng điểm

Có 32 nhóm điểm

5 CÁC LOẠI MẠNG CƠ BẢN (MẠNG BRAVAIS)

a Ô MẠNG BRAVAIS

Mỗi hệ tinh thể có sở  sở

mạng thuộc bảy hệ tinh thể khác  Ô Bravais.

3 điều kiện để chọn Bravais:

 Ơ phải mang tính đối xứng cao hệ tinh thể

 Ơ có số góc vng lớn số cạnh số góc

bằng phải nhiều

 Ô tích nhỏ

KIỂU Ô MẠNG BRAVAIS  Trường hợp chiều  14 kiểu ô mạng Bravais  Trường hợp chiều  kiểu ô mạng Bravais

Các loại ô mạng Bravais

 Loại nguyên thủy (ký hiệu P)

Nút mạng phân bố đỉnh ô mạng  Loại tâm đáy (A, B, hay C)

 Nút mạng phân bố vị trí đỉnh + tâm hai đáy mạng

 Loại tâm khối I

Nút mạng phân bố vị trí đỉnh + tâm tâm sở

 Loại tâm mặt F

KIỂU MẠNG BRAVAIS CHIỀU

Mạng Đặc điểm ô

mạng

Mạng nghiêng (1) a1  a2,   900

Mạng lục giác (2) a1 = a2,  = 1200

Mạng vuông (3) a1 = a2,  = 900

Mạng chữ nhật (4)

Mạng chữ nhật tâm mặt (5)

Mạng vuông a1 = a2,  = 900

 = 900

(3) a a Mạng nghiêng a1  a2,   900

  900

(1)

1

a

2

a

Mạng lục giác a1 = a2,  = 1200

 = 1200

(2)

1

a

2

a

Mạng chữ nhật a1  a2,  = 900

 = 900

(4) a a a

 = 900

(5)

2

a

14 KIỂU MẠNG BRAVAIS CHIEÀU

Hệ tinh thể Trục đối

xứng Kiểu mạng Bravais Đặc điểm ô mạng Bravais

Ba nghieâng L1 P a1  a2  a3,      Một

nghiêng L2 P,C a1  a2  a3,  =  = 90 



Trực thoi 3L2 P, C, I, F a1  a2  a3,  =  =  =

900

Ba phương L3 P a1 = a2 = a3,  =  =   900 Bốn phương L4 P, I a1 = a2  a3,  =  =  = 900

Sáu phương L6 P a1 = a2  a3,  =  = 900,

 = 1200

HỆ LẬP PHƯƠNG

HỆ BỐN PHƯƠNG

HỆ TRỰC THOI

HỆ SÁU PHƯƠNG

HỆ ĐƠN TÀ

HỆ TAM TÀ

HỆ BA PHƯƠNG

4 KIỂU Ô ĐƠN VỊ

P : NGUYÊN TỐ I : TÂM KHỐI F : TÂM MAËT

C : TÂM Ở MẶT ĐỐI +

7 HỆ TINH THỂ

SỐ NÚT CHỨA TRONG MỘT Ơ MẠNG

 Mạng nguyên thủy : nút  1/8 = nút

MẠNG NGUYÊN THỦY

nút  = nút

MẠNG TÂM KHỐI

8 nút  + nút = nút

Tâm mặt : nút Tâm mặt : nút  + nuùt + nuùt  = nuùt = nuùt

8

 L =  0,52

6



HỆ SỐ LẤP ĐẦY

TRƯỜNG HỢP HỆ LP THỦY P

VÔ mạng = a3

Hệ số lấp đầy = Thể tích vậtThểchấttíchchứaơmạngtrong ơmạng

Ômạng vậtchất V V L = R  a      

 a3

6



3

R

 a3

8

TRƯỜNG HỢP HỆ LẬP PHƯƠNG TÂM KHỐI I

V Ô mạng = a3

3

R

4



V vật chất = V 2 nguyên tử =

a

3

Với R =

3 a 3        

 a3

8



V v t ch tậ ấ = =



8 3

1 2 3

 ký hiệu nút [[ ]].

BIỂU DIỄN CÁC NÚT - CHUỖI - MẶT TINH THỂ – CHỈ SỐ MILLER

3

2

1a n a n a

n

T      

a Kyù hiệu nút

Một nút mạng liên hệ với gốc vectơ tịnh tiến :

Tọa độ nút ba trục tọa độ : n1a1, n2a2, n3a3

Nếu a1, a2, a3 độ dài đơn vị ba trục tọa độ nút n1, n2, n3

 ký hiệu nút [[n1 n2 n3]] hay n1n2n3

i

n

Neáu n

Nếu nii < <  ký hiệu , với i = 1, 2, ký hiệu , với i = 1, 2,

3

1 2a a a

3

T      

Ví dụ:

MỘT SỐ NÚT CƠ BẢN

TRONG TINH THỂ LẬP PHƯƠNG

x y

Z

00

010

000

1

001

01

1

11

1

011

101 [[ 011]]

[[000]]

[[100]] [[110]]

[[010]] [[001]]

[[101]]

x

y z

b Ký hiệu chuỗi (chiều) tinh thể

Qua gốc kẻ đường thẳng song song với chuỗi nói Ngồi gốc ra, nút gần gốc nằm đường thẳng có ký hiệu [[uvw]] chuỗi mạng có ký hiệu [uvw]

MỘT SỐ CHIỀU CƠ BẢN TRONG TINH THỂ LẬP PHƯƠNG [001]

z

[010]

[001]

[100]

x

y

000

z

x

y [101]

[011] [011]

[110]

[101]

000

z

x

y

[111]

[111]

[111]

[111]

c Kyù hiệu mặt mạng

Để ký hiệu cho mặt mạng hay họ mặt mạng song song nhau, ta chọn mặt nằm họ gần gốc Giả sử mặt cắt ba trục tọa độ theo thơng số n1a1, n2a2, n3a3

Ta lập tỉ số kép :

 Đặt h : k : l = n2n3 : n1n3 : n1n2

  số Miller (do Miller đề xuất): (h k l)

3 3 2 1 a n a : a n a : a n a 3 2 1 2 1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 2 3 2

1 n n n

3 3 2 1 a n a : a n a : a n a 2 : 6 : 3 6 2 : 6 6 : 6 3 3 1 : 1 1 : 2 1   

Một họ mặt mạng song song có mặt mạng gần trục tọa độ cắt trục tọa độ tại:

x = 2a1, y = a2, z = 3a3

Ta lập tỉ số kép :

Đặt h : k : l = 3:6:2

 số Miller = (362)

Các mặt tinh thể lập phương

(111)

(111)

(210)

(210)

(110)

(001) (002) z

x

y

- Trong họ mặt mạng, khoảng cách hai mặt lân cận gọi thông số mặt mạng ký hiệu d Họ mặt mạng có ký hiệu (h k l) thơng số mạng dhkl

- Ký hiệu mặt mạng thể hiện:

Vị trí tương đối mặt mạng trục tinh

theå

Số mặt song song cắt trục phạm vi đơn vị

dài trục

O a1

a2 y a1/h

z a3 a3/l

H n

a2/k

x

CƠNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA dhkl VỚI hkl VÀ a1, a2, a3

dhkl đại lượng quan trọng

trong phép tính tốn cấu trúc

Xét trường hợp Ox  Oy  Oz Thông số họ mặt hkl

dhkl

hkl cắt ba trục tọa độ theo độ

dài a1/h, a2/k, a3/l kể từ O

Trường hợp hệ lập phương:

a1 = a2 = a3 = a

2

2 k l

h

a

 

d

dhklhkl = =

2 2 a a l k h a        

Trường hợp hệ bốn phương:

a1 = a2  a3

dhkl =

Trường hợp hệ ba phương sáu phương:

a1 = a2  a3;  =  = 900,  = 1200

dhkl =

Mạng Bravais: mạng lập

phương tâm mặt F (cfc)

Cơ sở mạng gồm:

một ion Na+ [[000]]

ion Cl- [[½00]] cách

½ cạnh ô mạng hình lập phương.

Hay: ion Na+ [[000]] vaø ion

Cl- [[ ½, ½, ½ ]].

7. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA MỘT SỐ

TINH THỂ ĐƠN GIẢN

 M ng Bravais:ạ Thuộc mạng lập phương ngun thủy P với mạng có hai nguyên tử sở

Cơ sở ô mạng gồm:

 Cs : [[000]]; Cl : [[ ½, ½ , ½ ]]

- Lớp thứ nhất: Mỗi cầu được bao xung quanh cầu khác  vị trí A.

- có sáu vị trí hõm vào lớp

thứ thuộc hai loại B C

c Cấu trúc lục giác xếp chaët

A A

A A

A A

A A AAA

-Lớp thứ hai: Có thể đặt cầu lớp thứ hai vào vị trí B hay C cho cầu lớp thứ tiếp xúc với cầu lớp thứ

-Giả sử lớp thứ hai chiếm vị trí B.

B B

B

C

C C

Lớp thứ 3: có cách xếp:

+ Cách 1: Đặt cầu lên vị trí A, lớp B cứ tạo thành lớp liên tiếp ABABAB… Cấu trúc lục giác

xếp chặt.

A A

A A A

A A

B B B

A A

A A A

A A

B B B

A A

A A A

A A

B B B

A A

A A A

A A

B B B

+ Cách 2: Đặt cầu lên vị trí C, lớp A tạo thành lớp liên tiếp ABCABC …

 Cấu trúc lập phương tâm mặt.

A A

A A A

A A B B B C C C A A

A A A

A A

B B B C C

CẤU TRÚC LỤC GIÁC XẾP CHAËT

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

B B B B B B

B B B B B B

B B B B B B

B B B B B B

Cấu trúc lục giác xếp chặt ABABAB…

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

B B B B B B

B B B B B B

B B B B B B

B B B B B B

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

B B B B B B

B B B B B B

B B B B B B

B B B B B B

CẤU TRÚC XẾP CHẶT KIỂU LP TÂM MẶT

A A

A A A

A A

B B B C C

C

A A

A A A

A A

B B B C C

C

Cấu trúc xếp chaët ABCABC

Cấu trúc xếp chặt dẫn đến mạng lập phương tâm mặt

Caáu trúc lục giác xếp chặt (Mg)

Cấu trúc xếp chặt dẫn đến mạng lập phương tâm mặt

(Ca)

- Mạng Bravais: Lập phương tâm mặt F

- Cơ sở: hai ngun tử carbon vị trí nút [[000]] [[1/4 1/4 1/4]]

- Ô đơn vị chứa nguyên tử. Cấu trúc kim cương mơ tả hai mạng lập phương tâm mặt, dịch chuyển với theo đường chéo đoạn 1/4 đường chéo - Hệ số lấp đầy: 0,34. Khơng

thuộc mạng xếp chặt

8 MẠNG ĐẢO (MẠNG NGƯỢC)

Ta biểu diễn họ mặt mạng song song mặt ( ) tức họ mặt (100) vectơ vng góc mặt phẳng ( )

a1* = 2/d100

3 ,a

a 

*

a a2 ,a3

 

a ĐỊNH NGHĨA

3

1,a ,a

a  

Cho mặt thuận có ba vectơ sở

O a a a  a1 * a

Gọi Oa1là hình chiếu pháp tuyến mặt (100) tức Oa1’ = d100, ta có:

1

a

a1* Oa1 = 2

Tất điều kiện cho phép ta có : 0 a . a ; 0 a . a ; 2 a .

a1* 1   1* 2  1* 3 

0 a . a 2 a . a 0 a . a * 2 * *         2 a . a 0 a . a 0 a . a * * *

Tương tự ta thành lập vectơ cho:a*2; a*3

ij j

*

i .a 2

a  

O a a a  a1 * a * a * a

neáu i = j

ij =

Mạng xây dựng ba vectơ gọi mạng ngược mạng thuận cho.

* *

2 *

1 ,a ,a

a

Các nút mạng ngược xác định véctơ:

Z l

, k , h ; a

.l a

. k a

. h

) a a

.( a

V 1 2  3

* * *

1 a a thì a a a

a Nếu .

2          

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MẠNG ĐẢO (MẠNG NGƯỢC)

1 Gọi V thể tích mạng thuận; V* thể tích mạng ngược, ta có:

) a a

.( a

V* 1* *2  *3

Suy ra: V.V* = (2)3

3 * * *

1 // a ; a // a ;a // a

a

có thể biểu diễn họ mạng thuận nuùt

của mạng ngược.

mỗi nút mạng ngược biểu diễn cho

họ mạng thuận (tức mạng tinh thể) hướng thông số mặt mạng.

* *

*

hkl h.a k.b .lc G      

 phải vuông góc mặt mạng (h k l) mạng thuận

và có độ dài :hkl

G

hkl hkl d2

G  

VÍ DỤ

Nút [[312]] mạng ngược biểu diễn họ mặt mạng (312) mạng thuận

Họ (312) có hướng vng góc với hướng vectơ nối từ gốc O đến nút [[312]] mạng ngược có thơng số:

312

G

312 312 G2

d  

2 d

d 111

222 



VÍ DỤ

Nút [[111]] biểu diễn véc tơ G111 mạng ngược biểu diễn cho họ mạng (111) có thơng số d111 mạng thuận

Nút [[222]] biểu diễn véc tơ G222 mạng ngược biểu diễn cho họ mạng (222) có thơng số d222 mạng thuận

5 Nút mạng ngược mà ký hiệu [nh, nk, nl] tương đương với họ mạng thuận (nh, nk, nl) có thơng số n lần nhỏ thông số họ (h k l)

2 d G

2 G

2

d 111

111 222

222     

