Điều này cũng dễ hiểu vì khi bước sóng rất lớn so với hằng số mạng, thì chuỗi nguyên tử có thể coi gần đúng như một. dq d v p Vận tốc truyền[r]
(1)Chương III
(2)1.8 MẠNG ĐẢO (MẠNG NGƯỢC)
Ta biểu diễn họ mặt mạng song song mặt ( ) tức họ mặt (100) vectơ vng góc mặt phẳng ( )
a1* = 2/d100
3
,
a
a
*
a
a
2,
a
3
a ĐỊNH NGHĨA
3
1,a ,a a Cho mặt thuận có ba vectơ sở
O
a
a
a
a1 *a
Gọi Oa1là hình chiếu pháp tuyến mặt (100) tức Oa1’ = d100, ta có:
1
a
a1* Oa1 = 2
(3)Tất điều kiện cho phép ta coù :
0
a
.
a
;
0
a
.
a
;
2
a
.
a
1* 1
1* 2
1* 3
0
a
.
a
2
a
.
a
0
a
.
a
* 2 * *
2
a
.
a
0
a
.
a
0
a
.
a
* * *Tương tự ta thành lập vectơ cho:
a
*2;
a
*3ij j
*
i
.
a
2
a
O
a
a
a
a1 *a
*a
*a
neáu i = j
ij =
(4)Mạng xây dựng ba vectơ
gọi mạng ngược mạng thuận cho.
* *
2 *
1
,
a
,
a
a
Các nút mạng ngược xác định véctơ:
Z
l
,
k
,
h
;
a
.l
a
.
k
a
.
h
(5))
a
a
.(
a
V
1
2
3* * *
1
a
a
thì
a
a
a
a
Neáu
.
2
1.9 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MẠNG ĐẢO
(MẠNG NGƯỢC)
1 Gọi V thể tích mạng thuận; V* thể tích mạng ngược, ta có:
)
a
a
.(
a
V
*
1*
*2
*3Suy ra: V.V* = (2
)
33 * * *
1
//
a
;
a
//
a
;
a
//
a
a
(6)
có thể biểu diễn họ mạng thuận nút
của mạng ngược.
mỗi nút mạng ngược biểu diễn cho
họ mạng thuận (tức mạng tinh thể) hướng
thông số mặt mạng.
* *
*
hkl
h
.
a
k
.
b
.l
c
G
phải vng góc mặt mạng (h k l) mạng thuận có độ dài :hkl
G
hkl hkl
d
2
G
(7)Vùng Brillouin
Vùng Brillouin
Cũng giống với mạng thuận, mạng đảo, có
thể xây dựng ô sơ cấp dạng đối xứng trung tâm (kiểu ô WIGNER – SEITZ mạng thuận) Trong mạng
đảo, ô gọi vùng Brillouin thứ
Nó giới hạn mặt phẳng trung trực
các vectơ mạng đảo nối nút chọn với nút lân cận
Khái niệm mạng đảo vùng Brillouin sử
dụng thuận tiện để nghiên cứu vấn đề có liên quan đến trình sóng vật rắn lý
thuyết cung lượng, lý thuyết dao động mạng tinh thể, tượng nhiễu xạ tinh thể
(8)OÂ WIGNER – SEITZ
Ơ Wigner – Seitz nguyên tố vẽ cho nút mạng nằm tâm
Cách vẽ ô Wigner – Seitz chiều:
Chọn nút mạng làm goác O
Nối O với nút lân cận gần ta số đoạn
thẳng
Vẽ mặt phẳng trung trực đoạn thẳng ta thu
được h m t th nh t ọ ặ ứ ấ t o miền khơng gian kín bao ạ
quanh O.
Tương tự, từ O nối với nút lân cận vẽ
mặt phẳng trung trực đoạn thẳng ta thu h ọ
m t th hai ặ ứ
Nếu h m t th hai nằm ngồi miền khơng gian bao họ ọ ặ ứ
thứ nhất, tức họ thứ xác định miền thể tích nhỏ đó Wigner – Seitz
Ngược lại Wigner – Seitz xác định đồng thời hai
(9)(10)Dao động mạng chiều
Dao động mạng chiều
Trong tinh thể, nguyên tử, phân tử không
nằm cố định
nút mạng
hoặc vị
trí xác định, mà ln thực dao động
nhỏ quanh vị trí cân bằng.
Bài tốn hệ hạt có tương tác với
Bài tốn hệ hạt có tương tác với
nhau dao động với biên độ nhỏ quanh vi
nhau dao động với biên độ nhỏ quanh vi
trí cân dạng toán
trí cân dạng tốn
Cơ học cổ điển
(11)
Trong thực tế, thường gặp mạng tinh thể
3 chiều.
Câu hỏi: Trong trường hợp mạng
Câu hỏi: Trong trường hợp mạng
tinh thể chiều xét mạng tinh thể
tinh thể chiều xét mạng tinh thể
chiều
(12) Trường hợp đơn giản trường hợp “mạng tinh
thể chiều” gồm nguyên tử giống nhau, đặt cách đường thẳng
Kết toán áp dụng cho tinh
thể ba chiều ta xét số trường hợp đặc biệt, sóng đàn hồi tuý dọc tuý ngang
Trong sóng dọc, nguyên tử dịch chuyển song
song với phương truyền sóng
Trong sóng ngang, ngun tử dịch chuyển vng
góc với phương truyền sóng
Trong trường hợp này, nguyển tử nằm
cùng mặt phẳng tinh thể vng góc với phương truyền sóng dao động giống
Vì thế, thay cho nghiên cứu chuyển động
(13)(14)(15)
Các gần nào đưa vào
để giải toán dao động?
chỉ xét sóng ngang, coi có tương tác nguyên tử xét với hai nguyên tử gần
Các nguyên tử cách khoảng a nên mạng có kích thước a
(16)Trường hợp chuỗi thẳng dài vô hạn
Trường hợp chuỗi thẳng dài vơ hạn
các ngun tử có khối lượng
các nguyên tử có khối lượng
Ta có:
Với:
xn – độ lệch khỏi vị trí cân nguyên tử thứ n
f – lực đàn hồi tương tác hai nguyên tử
Nghiệm phương trình có dạng:
Với:
(17)Thay nghiệm vào phương trình chuyển động:
Phương trình cho thấy phụ thuộc tần số
dao động vào số sóng q gọi hệ thức
tán sắc dao động
hàm tuần hoàn q với chu kỳ 2/a
Như ta cần xét q khoảng
(18)
q có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài, nên
(19) Trong trường hợp xét, mạng thuận có chu kỳ a
thì mạng đảo có chu kỳ 2/a Mạng đảo mạng
chiều mạng chiều
Khoảng giá trị:
(20) Nếu xét thời điểm, trạng thái dao động tinh
thể lặp lại cách tuần hồn khơng gian, với chu kỳ bước sóng λ
Ở tâm vùng Brillouin thứ nhất, tức với qa<<1,
Do đó:
const qa m f 2
Như với giá trị q nhỏ, tức với dao động có bước sóng λ lớn, vận tốc
truyền lượng dao động số
Kết giống sóng đàn hồi truyền mơi trường
liên tục Điều dễ hiểu bước sóng lớn so với số mạng, chuỗi nguyên tử coi gần
dq d vp Vận tốc truyền
(21) Xét giá trị q lớn, lúc vận tốc truyền sóng khơng
cịn số
Vận tốc truyền sóng vg =
Như biên vùng Brillouin vận tốc truyền sóng
bằng khơng ứng với tạo thành sóng đứng
2 cos qa
m f a
dq d
vp
(22) Với
Đó giá trị bước sóng ngắn tồn mạng tinh thể Nó ứng với trường hợp hai nguyên tử lân cận dao động ngược pha
Trong thực tế khơng có tinh thể lớn vơ hạn mà có tinh thể
chứa nhiều nguyên tử N>> Nếu tinh thể hữu hạn, tính chất tinh thể vơ hạn, chẳng hạn tính đối xứng tịnh tiến khơng cịn Ta phải xét ảnh hưởng biên tinh thể Trong trường hợp mạng chiều đầu cuối dãy nguyên tử Tuy nhiên mạng tinh thể đủ lớn, ảnh hưởng biên nhỏ, tính chất tinh thể gần giống mạng vô hạn
a
2
min
(23)Ở hình trên: q=/a tương ứng với =2a
q > /a khơng có ý nghĩa vật lý
khơng có ngun tử dao động chu kỳ
(24) Do đó, có tất N giá trị phép vector sóng
(và bước sóng) nằm khoảng: -/a <q< /a Mỗi giá trị tương ứng mode dao động
(25)(26)(27)(28)Điều kiện biên tuần hoàn
Điều kiện biên tuần hoàn
Để bảo tồn tính đối xứng tịnh tiến mạng tinh thể, ta đưa
(29) Từ điều kiện biên tuần hoàn ta có:Từ điều kiện biên tuần hồn ta có:
Với: j - số nguyên
Với: j - số nguyên
Trong mạng chiều ta có:
Trong mạng chiều ta có:
Vì giá trị n nằm khoảng
(30)Hệ điều kiện biên tuần
Hệ điều kiện biên tuần
hoàn
hoàn
Nghiệm tổng quát thu là:Nghiệm tổng quát thu là:
Các giá trị n cho ta N giá trị khác q
Như điều kiện biên tuần hoàn đưa đến gián đoạn giá trị vectơ sóng q
Các giá trị cách 2/N
Trong phổ ω(q) có giá trị ω ứng với N giá
(31)