Giao an Chuong III Dai so NC Toan 11

H: G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.. 3..[r]

(1)

Ch¬ng III :d·y sè cÊp sè céng cấp số nhân Tiết: 42+43 Đ1 phơng pháp quy nạp toán học

I Mục tiêu học

1 Kiến thức: Giúp cho học sinh

- Có khái niệm suy luận quy nạp;

- Nắm phương pháp quy nạp toán học Kĩ năng:

- Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán cụ thể đơn giản

3 Thái độ, tư duy:

- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi - Tư duy: phát triển tư logic, tính chặc chẽ giải tốn

II Chn bÞ ph ¬ng tiƯn d¹y häc

1 Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT Học sinh: đọc trước nh

III Ph ơng pháp dạy học

Gợi mở vấn đáp kết hợp hoạt động

IV TiÕn tr×nh tiÕt häc

(tiết 1: mục ví dụ mục 2; tiết 2: tiếp mục BT SGK) a Ổn định tổ chức:

b Bài mới:

Hoạt động 1:

HĐ GV HĐ HS Ghi Bảng

-H1: Hãy kiểm tra với n=1,2? -H2: c/m n=3 cách sử dụng H1 -H3: thử với n không?

- Tuy nhiên dựa vào lập luận ta đưa cách c/m tốn

+n = 1,2: (1)

+Cộng thêm hai vế với 2.3 ta c/m đc (1) +

1 Phương pháp quy nạp toán học:

Bài tốn: Chứng minh số ngun dương n ta có:

1 2+2 3+ .+n(n+1)=n(n+1)(n+2)

3 (1)

Khái quát: Ta c/m mệnh đề sau: Nếu (1) với n=k (ngun dương) với n=k+1

Giái toán trên: + n = 1: 1=1 (đúng)

+ Giả sử (1) với n=k (ng dương) Ta có: 2+2 3+ .+k(k+1)=k(k+1)(k+2)

3

suy

1 2+2 3+ .+k(k+1)+(k+1)(k+2)=¿k(k+1)(k+2)

3 +(k+1)(k+2)=

(k+1)(k+2)(k+3)

3

Vậy (1) với n nguyên dương

Phương pháp quy nạp toán học:

Để c/m mệnh đề A(n) ∀ n N* ta thực

hiện:

B1: C/m A(n) n=1

B2: ∀ n N* giả sử A(n) với n=k, cần

chứng minh A(n) với n=k+1

(2)

H1: Thử với n=1

H2: Thực bước

+ 1=1 ( đúng) + Giả sử với n=k, cần chứng minh với n=k+1

2.Một số ví dụ:

Vídụ1: CMR ∀ n N* , ta ln có:

n+1¿2 ¿

n2¿

13

+23+33+ +n3=¿

HD:

k+1¿2 ¿

k+1¿3 ¿

k+1¿2 ¿

k+2¿2 ¿

k+1¿2¿ ¿ ¿

k2¿

k+1¿3=¿ ¿

13+23+33+ +k3+¿

+Gọi hs làm bước

+ HS tự làm

+n=1: u1=10 ⋮

+Giả sử n=k, cần cm n=k+1

+ 2k+1=2.2k>2(2k+1)=

4k+2>2k+3>2(k+1)+1 ( k 3)

Ví dụ 2: CMR un=7.22n-2 + 32n-1 ⋮ 5, ∀ n

N*.

HD: uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-1=7.22k-2+2 + 32k-1+2

=28.22k-2 + 9.32k-1 =4(7.22k-2 + 32k-1)+5.32k-1

⋮

Chú ý: thức tế ta gặp tốn u cầu CM A(n) ∀ n p Khi ta cm tương tự B1 thử với n=p

Ví dụ 3: CMR 2n>2n+1, ∀ n 3.

Bài tập SGK

+ Gọi HS lên bảng làm

+ HS làm

Bài 1: HS tự làm

Bài 2: HS tự làm

Bài 3: Khi n=k+1, ta có:

1+

√2+ + √k+

1

√k+1<2√k+

1 √k+1

VP=2√k(k+1)+1

√k+1 <

k+k+1+1

√k+1 =√k+1

(Côsi k k+1)

Bài 4: HS tự làm ( lưu ý n 2)

Bài 5: Khi n=k+1:

1 k+2+

1

k+3+ +

1 2k+

1 2k+1+

1 2(k+1)

¿

k+1+

1 k+2+

1

k+3+ +

1 2k+

1 2k+1+

1 2(k+1)−

1 k+1

¿

k+1+

1 k+2+

1

k+3+ +

1 2k+

1

2(k+1)(2k+1)>

(3)

+ Gọi HS nói cách làm

+ Gọi HS trả lời chỗ

+ HS trả lời

+ Không chưa thử với n=1

Bài 6:(là ví dụ 2)

Bài 7: Cho số thực x>-1 CMR

1+x¿n≥1+nx ¿

Khi n=k+1:

(1+x)k+1 =(1+x)k(1+x) (1+kx)(1+x)

=1+(k+1)x +kx2 1+(k+1)x

Bài 8: Khơng chưa thử với n=1

c Củng cố: Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp cách vận dụng d Bài nhà:

1 tập SGK trang 100, 101 1) CMR un=13n-1 ⋮ , ∀ n N

2) CMR 12+22+32+ .+n2=n(n+1)(2n+1)

6 , ∀ n N

*.

TiÕt: 44+45 §2 d·y sè

I.Mục tiêu học Giỳp hc sinh:

1 Về kiến thức:

- Có cách nhìn nhận mới, xác khái niệm dãy số, cách nhìn nhận theo quan điểm hàm số

- Nắm vững cách cho dãy số Về kỹ năng:

- Biết cách cho dãy số

- Biết cách tính số hạng thứ k cho dãy số công thức truy hồi hay cho công thức số hạng tổng quát

- Biết cách tìm số hạng tổng quát Un

II ChuÈn bị ph ơng tiện dạy học

SGK phơng tiện có

IV TiÕn tr×nh tiÕt häc

HĐ1: Kiểm tra cũ

Hoạt động thầy giáo Hoạt động học sinh

Giao nhiệm vụ

+ Cho ví dụ hàm số có tập xác định N* tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)

1 học sinh lên bảng làm Các em khác lớp kiểm tra, xác định hay sai, cịn thiếu chỗ

HĐ2: Bài mới: § DÃY SỐ 1 Định nghĩa dãy số:

(4)

Qua ví dụ trên, thầy giáo giải thích Đặt: U1 = f(1)

U2 = f(2)

Un = f(n)

Thì số: U1, U2, U3, , Un, lập thành

một dãy số vơ hạn

Chính xác hóa dãy số (vô hạn) Định nghĩa (dãy số vô hạn)

Ký hiệu: (Un)

- Dãy số hàm số nào? - Cho VD dãy số

- Cho VD dãy số tự nhiên lẻ? - Cho VD dãy số phương Định nghĩa (dãy số hữu hạn)

VD: cho dãy số hữu hạn: 1, 2, 2, 4, 8, 32, 256

Cho ví dụ dãy số hữu hạn

2 Cách cho dãy số:

Một dãy số xác định ta biết cách tính số hạng dãy số Có cách cho dãy số:

a Cho dãy số công thức số hạng tổng quát Un.

VD1: cho dãy số (Un) với Un = 3n −n +2

Giao nhiệm vụ Hoạt động theo nhóm

H1: Tìm số hạng thứ 33 333 dãy số Thay n = 33, n = 333 vào Un H2: Số 205 , 208 số hạng thứ

của dãy số

Giải PT: 205 = 3n −1n

+2 ;

8 20 =

n −1 3n+2

tìm n nguyên dương; H3: Cho ví dụ dãy số công thức

tổng quát Un

Un = ?

H4: Viết năm số hạng đầu số hạng tổng quát dãy nghịch đảo số tự nhiên lẻ 1,

1 ,

1

9 , , 2n −1

Cũng giống hàm số, khơng phải dãy số cho cơng thức số hạng tổng qt Un Do ta cho hàm số cách khác

b Cho dãy số công thức truy hồi

VD2: Cho dãy số (Un) biết: {

U1=U2=1

Un=Un −1+Un −2

(∀n∈N*,n ≥3)

Giao nhiệm vụ Làm theo nhóm

H1:

Tính U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9, U10

U3 = 2; U4 = 3; U5= 5; U6= 8; U7 = 13; U8

= 21;U9 = 34; U10 = 55

VD3: Cho dãy số (Un) biết: {

U1=1

Un=2Un −1+1

(∀n∈N*,n ≥2)

Giao nhiệm vụ

H1: Tính U2, U3, U4, U5

Làm theo nhóm

Nhóm xong trước lên trình bày

(5)

-sai H2: Qua ví dụ nêu cách cho dãy số phương pháp truy hồi

Làm theo nhóm

Cho nhóm phát biểu nhóm khác theo dõi, bổ sung cho hồn chỉnh

H3: Có nhận xét mối liên hệ U1,

U2, U3, U4, U5 với 1, 2, 3, 4,

Un = ?

U1 = = 21 - U4 = 15 = 24 -

U2 = = 22 - U5 = 31 = 25 -

U3 = = 23 -

Tổng quát: Un = 2n-

H4: Có thể khẳng định Un = 2n - (

¿

∀n∈N∗

¿ ) khơng?

Cần phải làm gì?

CM Un = 2n -

¿

∀n∈N∗

¿

bằng phương pháp quy nạp

Các nhóm thảo thuận cách chứng minh lên trình bày

c Cho dãy số phương pháp mô tả

VD4: Cho dãy số (Un) biết: U1 = 3,1 ;U2 = 3,14; U3 = 3,141; U4 = 3,1415,.…

(Chú ý số  = 3,1415 )

VD5: Cho dãy số (Un) với Un độ dài

dây AMn hình vẽ bên (OA = 1)

Giao nhiệm vụ Làm theo nhóm

H1: Tính AMn

H2: Un = ?

Sau phút học sinh khơng giải gợi ý lấy I trung điểm AMn Tính AI

HĐ3: Cñng cè

Giao nhiệm vụ, đánh giá kết học sinh làm

Bài 1: Cho dãy số (Un), biết:

{ U1=1

U2=2

Un=Un−1+2Un−2

(∀n∈N*,n ≥3)

Tìm U4

Gọi học sinh lên bảng làm, em làm câu, em khác theo dõi góp ý - sai có cách làm hay khơng?

Bài 2: Tìm số hạng đầu dãy số (Un)

biết: un = 2n

2−3 n

Bài 3: Viết số hạng đầu dãy số gồm số tự nhiên chia cho dư viết số hạng tổng quát Un

HĐ4: D·y số tăng,dÃy số giảm

Hot ng ca thy giỏo Hoạt động học sinh

Nhắc lại định nghĩa hàm số tăng, hàm số giảm

Cho học sinh nêu định nghĩa SGK

Học trị cho ví dụ So sánh khái niệm hàm số tăng, giảm với

A

(6)

khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm + Cho ví dụ dãy số tăng

+ Cho ví dụ dãy số giảm Học trị cho ví dụ + Cho ví dụ dãy số khơng tăng,

cũng khơng giảm

Học trị cho ví dụ + Cho ví dụ dãy số vừa tăng vừa

gim

H5: DÃy số bị chặn

Hot ng thầy giáo Hoạt động học sinh

Nêu định nghĩa SGK

? Nếu dãy số (un) bị chặn có

số M thỏa định nghĩa?

TiÕp nhËn kiÕn thøc míi Suy nghÜ trả lới

* i vi hc sinh khỏ gọi : Dãy số tăng bị chặn không?

* Hướng dẫn học sinh (H6) Định nghĩa 3: SGK

HD: Ví dụ (un) với un = n

n

 dãy số

tăng bị chặn un =

1 n

n



 nN*

Nêu cách chứng minh dÃy bị chặn

Tiết: 46 luyện tập

I.Mục tiêu học Giúp học sinh:

1 Về kiến thức

- Nắm khái niệm dãy số, số hạng dãy số, cách cho dãy số - Nắm định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn

- Nắm phương pháp quy nạp toán học Về kĩ

- Vận dụng phương pháp quy nạp vào chứng minh tập dãy số - Vận dụng kiến thức tìm số hạng dãy số

3 Về tư duy, thái độ

- Rèn luyện tư logic, khả phân tích tổng hợp - Có thái độ cẩn thận, xác làm tốn

II Chn bị ph ơng tiện dạy học

- Giỏo viờn: Đồ dùng dạy học

- Học sinh : Học cũ, làm tập nhà

Gi m vÊn đáp kết hợp hoạt động

H§1: Bài 15/sgk Cho dãy số (un) xđịnh u1 = un+1 = un + với n

a) Hãy tính u2, u4 u6

b) Cmr un = 5n - với n

(7)

HĐ HS HĐ GV Ghi bảng

- Nghe, hiểu câu hỏi - Trả lời câu hỏi - Lên bảng trình bày - Theo dõi bạn, đưa nhận xét

- Tái lại kiến thức, trả lời câu hỏi

- Nghe, làm theo huớng dẫn

-Làm nháp, lên bảng trình bày - Theo dõi làm, nhận xét, chỉnh sửa -Tiếp nhận ghi nhớ

- Muốn tính u2, u4 u6

ta áp dụng kiến thức nào?

- Gọi HS lên bảng trình bày câu a

-Gọi HS nhận xét - GV nhận xét

- Nêu cách hiểu em phương pháp quy nạp toán học ?

- GV hưóng dẫn HS vận dụng vào cm câu b - Yêu cầu HS trình bày hướng giải theo bước học

- GV nhận xét giải, xác hố

- Củng cố kiến thức

a) Theo gt u1 =

un+1 = un + ta c ó

u2 = u1 + =

u4 = u3 + = 18

u6 = u5 + = 28

b) Cm un = 5n - (1) ∀n∈N❑

Với n = 1, ta có

u1 = = 5.1- Như

(1) n = Giả sử (1)

n = k, k N❑ , ta cm

đúng n = k +1

Thật vậy, từ công thức xđịnh dãy số (un) giả thiết quy nạp ta có

uk+1 = uk + = 5k-2+5=

= 5(k+1) -2

Vậy (1) ∀n∈N❑ .

Hoạt động 2: Bài 16/sgk 109

HĐ HS HĐ GV Ghi bảng

-Tái kiến thức, trả lời câu hỏi

- Vận dụng gt vào cm -Tiếp nhận

- Làm vào

- Nêu cách cm dãy số tăng?

-Yêu cầu HS cm -Nhận xét,chỉnh sửa -Tương tự 15, yêu cầu HS tự cm câu b

a) Từ gt ta có

un+1 -un = (n+1).2n > 0,

∀n≥1

Do (un) dãy số tăng

Hoạt động 3 :Bài 17/sgk 109

HĐ HS HĐ GV Ghi bảng

- Tiếp nhận tri thức

- Suy nghĩ, trả lời câu hỏi

-Thảo luận theo nhóm, cử đại diện trình bày - Nhận xét, chỉnh sửa - Tiếp nhận, ghi nhớ

- Giới thiệu cho HS khái niệm dãy số không đổi

- Nêu câu hỏi gợi ý: Muốn cm (un) dãy số

khơng đổi ta cm điều gì?

-Cho HS thảo luận theo nhóm

-Nhận xét lời giải - Củng cố kiến thức

Ta cm un = 1, ∀n≥1 ,

phương pháp quy nạp Với n = 1, ta có u1 =

Với n = k, ta có

u1 = u2 = = uk =

uk+1 =

2 uk2+1

=1

Ta cm n = k +1 thì un = 1,

∀n≥1

Thật vậy, từ hệ thức xác

định dãy số (un) giả thiết quy

nạp ta có uk+2 =

2 uk+12+1

=

(8)

Vậy (un) dãy khơng

đổi

H§4: Củng cố tồn bài

- Kiền thức tìm số hạng dãy

- Vận dụng phương pháp quy nạp vào chứng minh Bài tập củng cố: Bài 18/sgk

Dặn dò: làm tập tương tự sách tập Xem trước Cấp sốcộng.

TiÕt: 47+48 §3 cấp số cộng

1 VÒ kiến thức:

- Nắm khái niệm cấp số cộng;

- Nắm số tính chất ba số hạng liên tiếp cấp số cộng

- Nắm cơng thức số hạng tổng qt cơng thức tính tổng n số hạng VÒ kĩ năng:

- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết cấp số cộng - Biết cách tìm số hạng tổng quát tông n số hạng đầu

- Biết vận dụng CSC để giải số tốn mơn khác thức tế

3.Thái độ, tư duy:

- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi Tư duy: phát triển tư logic, lên hệ thực tế

II ChuÈn bÞ ph ơng tiện dạy học

Giỏo viờn: đọc kĩ SGK, SGV, SBT Học sinh: đọc trước bi nh

(tiết 47: mục 1, 2, 3; tiết 48: mục tập) Ổn định tổ chức:

2 Kiểm tra cũ:

a/Nêu tính chất dãy số

b/Xác định tính đơn điệu bị chặn dãy số: (3n+1) ;

22−1 2n

3 Bài mới:

+ Có nhận xét sồ hạng dãy số? +Từ ví dụ đưa ĐN cấp số cộng

+ Số hạng sau số hạng trước đơn vị

1 Định nghĩa:

Ví dụ1: Nhận xét dãy số: 0, 1, 2,…, n, n+1,

Nhận xét: Từ số hạng thứ 2, số hạng tổng số hạng trước cộng với

ĐN: Dãy số hữu hạn vô hạn (un)

(9)

+ Dãy số cho có phải CSC khơng? Nếu có nêu cơng sai u1

a) CSC có d= u1=0

b)CSC:d=1,5và u1=3,5

là CSC ⇔ un=un-1 + d, ∀ n 2.

+ d không đổi gọi công sai

+ Kí hiệu CSC: u1, u2, u3, …, un, …

Ví dụ 2:

a) Dãy số 0, 2, 4, …, 2n, … b) Dãy số 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12

+Tính uk-1, uk+1 theo uk

và d tìm quan hệ số hạng uk, u k-1, uk+1

+ Gọi HS lên bảng làm

+ uk-1= uk-d

uk+1= uk+d

suy

uk=

uk −1+uk+1

2

+Giả sử A B C,ta có:

¿

A+B+C=1800

C=900

2B=A+C ¿{ {

¿

⇒ A=300; B=600

và C=900.

2 Tính chất

ĐL1: (un) CSC ⇔ uk=

uk −1+uk+1

2 ,

(k 2)

<H2> Cho CSC (un) có u1=-1 u3=3

Tìm u2, u4

Ví dụ 3: Ba góc A, B, C tam giác vng ABC theo thứ tự lập thành CSC Tính góc

+CSC có u1 d

Hình thành cơng thức tính un

+ Gọi HS làm chỗ +Cho học sinh tự nghiên cứu

+ u1= u1+ 0.d

u2=u1+ d

u3=u2+ d=u1+2d

u4=u3+ d=u1+4d

…

un=u1+(n-1)d

Chứng minh lại quy nạp

+ u31=-77

3 Số hạng tổng quát:

ĐL 2: Cho cấp số nhân (un) Ta có:

un=u1+(n-1)d.

<H3>Cho CSC (un)có u1=13, d=-3 Tính

u31

<Ví dụ 2> trang 111 SGK

+ Nhận xét tích hai số hang cột sơ đồ SGK Từ rút Sn

+ Viết lại CT dựa vào CT un=u1+

+ u1+un

Sn=(u1+un)n

2

+ un mức lương

4 Tổng n số hạng CSC:

ĐL 3: Cho CSC (un), gọi Sn=u1+u2+…

+un

Sn=(u1+un)n

2 , ∀ n 1.

Chú ý: Sn=[2u1+(n −1)d]n

2 , ∀ n

(10)

(n-1)d.

+ Gọi HS nêu cách làm ví dụ trang 113 SGK

+<H4> Sử dụng ý ĐL3 làm cho nhanh

+<H5>Yêu cầu học sinh tính tiền lương sau n năm theo phương án

Dựa vào kết T1

-T2 cho học sinh phát

biểu cách chọn

quý n (un) CSC

với u1=4,5 d=0,3

Cần tính u12

+ Hoc sinh tinh đọc kết

+ Trả lời

<Ví dụ 3>trang 113 SGK.

Giải: Gọi un mức lương quý thứ n

thì:

u1= 4,5 d=0,3 ⇒ u12

=4,5+(12-1).0,3=7,8

S12=

(u1+u13)12

2 =

(4,5+7,8) 12

6 =73,8

triệu

<H4> HS tự làm

<H5> T1=n[2 36+(n −1)3]

2 =

3n(n+23)

2 T2=

4n[2 7+(4n −1) 0,5]

2 =2n(2n+13,5) ⇒T1−T2=5n

2 (3− n)

Nếu làm năm chọn PA 2, dưói năm chọn PA

Hoạt động 5: tập SGK

+ Gọi học sinh nêu PP giải 19 + Gọi học sinh nêu PP giải 20

+ Gọi HS trả lời TN + Gọi HS làm chỗ đọc kết

+ Bài 23: HDHS đưa u20 u51 u1 d

rồi tính u1 d sau

viết công thức un

+ Biểu diễn um, uk

qua u1 d

+ DH hs c/m quy nạp

+ Học sinh trả lời

+ Học sinh trả lời + Học sinh trả lời

+ HS trả lời

Bài19:

a) un+1-un= 19, ∀ n ⇒ (un)

là CSC

b) un+1-un= a, ∀ n ⇒ (un)

CSC

Bài 20: Ta có:

un=1

8π[n

−(n −1)2]=π

8 (2n −1) ⇒un+1−un=π

4 , ∀ n ⇒ (un)

CSC

Chú ý: Để CM (un) CSC ta cần CM

un+1-un không đổi, ∀ n

Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm

Bài 22:

28=u1+u3=2u2 ⇒ u2=14

40=u3+u5=2u4 ⇒ u4=20

u3=(u2+u4)/2=17

u1=28-u3=11 u5=40-u3=23

Bài 23:

ĐS: un=-3n+8

Bài 24:

um=u1+(m-1)d uk=u1+(k-1)d

⇒ um-uk=(m-k)d ⇒ um=uk+(m-k)d

(11)

+ Có thể tính u1 d

(AD 24) tính S13

Bài 25: ĐS: un=5-3n

Bài 26:CM quy nạp:

HD: Sk+1=Sk+uk+1=(k+1)(u1+uk+1)

2

Bài 27: HS tự làm HD: S23=23(u1+u23)

2 =

23(u2+u22)

2 =690

Bài 28:là ví dụ phần học.

1.Củng cố: Nắm công thức cách áp dụng Chú ý kết 24 Bài nhà:

1 Hết tiết 47: Bài tập SGK trang114, 115 Hết tiết 48:

Bài 1: CM dãy số sau CSC: a) un=3n-7 b) un=(3n+2)/5

Bài 2: Xác định số hạng đầu công sai CSC (un) biết:

¿

u7−u3=8 u2.u7=75

¿{

¿

(ĐS: u1=3,

-17; d=2)

Bài 3: Bốn số lập thành CSC Tổng chúng 22 tổng bình phương 166 Tìm số (ĐS: 1, 4, 7, 10)

TiÕt: 49 «n tập học kỳ 1 Ôn tập theo nội dung tổ chuyên môn

Tiết: 50 kiểm tra học kú 1 KiÓm tra tËp trung

TiÕt: 51+52 Đ4 cấp số nhân

I.Mục tiêu học Giỳp học sinh:

1.VÒ kiến thức:

- Nắm vững khái niệm tính chất ba số hạng liên tiếp cấp số nhân

- Nắng vững công thức xác định số hạng tổng quát công thức tính tổng n số hạng cấp số nhân

VÒ kĩ năng:

- Biết vận dụng định nghĩa để nhận biết cấp số nhân

- Biết cách tìm số hạng tổng quát cách tính tổng n số hạng cấp số nhân

(12)

- Biết vận dụng kiến thức cấp số nhân vào giải toán liên quan đến cấp số nhân môn học khác, thực tế

-Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi Tư duy: phát triển tư logic, lên hệ thực tế

II ChuÈn bÞ ph ¬ng tiƯn d¹y häc

1 Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT Học sinh: đọc trước nh

1. Ổn định tổ chức:

Ổn định lớp kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh lớp

2. Kiểm tra cũ:

H: G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát tổng n số hạng cấp số cộng?

3. Bài mới:

HĐ GV HĐ HS Nội dung ghi bảng

HĐ1: Hình thành đ\n của cấp số nhân từ bài toán thực tế.

+ G\v treo bảng phụ: tóm tắt nội dung toán mở đầu

H: Biểu diễn u2 theo u1, u3

theo u2, ,un theo un-1?

+ G\v gọi h\s phát biểu đ\n cấp số nhân

H: Vì dãy số (un) với

un = 2n CSN?

H: Vì dãy số -2, 6,-18, 54, -162 CSN? tìm cơng bội nó?

+ G\v cho h\s thực hđ SGK theo nhóm phân cơng

+ H\s nghe theo dõi nội dung toán bảng phụ + u2 =u1 + u1.0,004

= u1 1,004

u3 = u2 1,004

un = un-1 1,004

+ H\s phát biểu đ\n cấp số nhân + un =

1

2n 2n



un1.2 n 2 

Nên (un) CSN

có số hạng đầu u1=2 cơng bội

q =

+ kể từ số hạng thứ 2, số hạng số hạng đứng trước nhân với -3 + H\s thảo luận nhóm hđ cử đại diện trình bày

1 Định nghĩa:

a Bài toán mở đầu:

(G\v treo bảng phụ)

Với số nguyên dương n, kí hiệu un số tiền người rút

được (gồm vốn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi đó, theo giả thiết tốn ta có:

un= un-1+un-1.0,004= un-1.1,004

2

n

 

Như vậy, ta có dãy số (un) mà kể

từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với 1,004

b Định nghĩa: SGK

(un) CSN 

un un q  n



Số q gọi công bội CSN

Vd 1:

a Dãy số (un) với un =

n

CSN với số hạng đầu u1=2 công

bội q=2

b Dãy số -2, 6,-18, 54, -162 CSN với số hạng đầu u1 = -2

và công bội q = -3

(13)

HĐ2: G\v hướng dẫn h\s lĩnh hội tính chất CSN

H: Cho CSN (un) có u1=-2

và q =

1



a Viết số hạng nó?

b so sánh u22 với u1.u3

3

u với u

2.u4?

Nêu nhận xét tổng quát + G\v cho h\s thực hđ SGK

HĐ3: Hình thành cơng thức số hạng tổng quát của CSN.

H: Tìm số hạng đầu công bội CSN (un)?

+ G\v cho h\s thực hđ theo nhóm phân cơng H: Em có nhận xét giống toán với toán mở đầu?

HĐ4: Hình thành cơng thức tính tổng n số hạng đầu tiên CSN.

H: Nêu phương pháp tính tổng n số hạng cấp số nhân?

+ G\v cho h\s thảo luận theo toán vui nhóm phân cơng

+ u1=-2, u2=1, u3=

1



, u4 =

1 , 8 u  + .

u u u

.

3

u u u

+ H\s đứng tai chỗ trình bày hđ

+ u1 = 107.1,004

q = 1,004

+ H\s thảo luận hđ theo nhóm cử đại diện trình bày + Dân số TP A số tiền rút tăng theo cấp số nhân

+ Tìm u1 q

Nếu q = Sn =

nu1

Nếu q1

1(1 )

1 n n u q S q   

+ H\s thảo luận theo nhóm cử đại diện trình bày

Đlí 1: SGK

2

1

uk uk uk

 

C\m: SGK

Vd 3: Cho CSN (un) với công bội

q>0 Biết u1 = u3 = 3, tìm

u4

Giải: Ta có:

2 .

u u u

(1)

2 .

u u u

(2) Từ (1), u2 > (vì u1 > q >

0), suy u2  u u1 Từ (2) suy

ra: 3

u

u u

u

  

3 Số hạng tổng quát:

Đlí 2: SGK

n-1 q n

u u với q 0

Vd4: Trở lại toán mở đầu

4 Tổng n số hạng của CSN

Giả sử có cấp số nhân (un) với

cơng bội q Với số nguyên dương n, gọi Sn tổng n số hạng

đầu tiên nó: Sn = u1 + u2 + +

un

Nếu q=1 un = u1 với n1

Khi đó: Sn = nu1

Nếu q1, ta có kết quả:

Đlí 3: SGK

1(1 )

1 n n u q S q  

 với q1

C\m: SGK Vd 5: SGK

(G\v treo bảng phụ: tóm tắt nội dung toán đố vui)

4.Củng cố, dặn dò tập nhà:

(14)

+ G\v gọi h\s nêu công thức số hạng tổng qt cơng thức tính tổng n số hạng cấp số nhân

+ Lập bảng so sánh khác CSC CSN đ\n, t\c, số hạng tổng qt cơng thức tính tổng n số hạng đầu tiên.

BTVN: Bài 29 37 SGK trang 120, 121

TiÕt: 53+54 luyÖn tËp

- Củng cố tổng hợp kiến thức cấp số cộng cấp số nhân thơng qua tập

2.VỊ kĩ năng:

- Vận dụng giải số tập liên quan 3.Thái độ, tư duy:

- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi - Tư duy: phát triển tư logic, lên hệ thực tế

II Chuẩn bị ph ơng tiện dạy học

1 Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT Học sinh: lµm bµi tËp trước nhà

Gi m vấn đáp kết hợp hoạt động

1.Ổn định tổ chức: 2.Kiểm tra cũ:

- Nêu đn, tính chất, số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu CSC CSN 3.Bài mới:

Hoạt động 1: Bài 38

HĐ GV HĐ HS Ghi Bảng

+ Gọi HS làm chỗ 38

+ a: sai b: c: sai

a)Sai Vì 1b−1 a≠

1 c−

1 b

b) Đúng Dễ dàng c/m (1b)2=1

a c

c) Sai Vì 1+π+π2+ +π100=1(1− π

101) 1− π

Hoạt động : Bài 39

+ Từ giả thiết rút quan hệ biểu thức tìm x,y

*2(5x+2y)=(x+6y)+(8x+y)

⇔ x=3y (1)

* (y+2)2=(x-1)(x-3y) (2)

Giải pp ta có: x=-6 y=-2

x+6y; 5x+2y; 8x+y CSC x-1; y+2; x-3y CSN Tìm x,y

ĐS: x=-6; y=-2

(15)

Hoạt động 3: Bài 40 41

+ Gọi HS nói cách làm sau GV hướng dẫn để em làm nhà

+ HS trả lời Bài 40: +(un) CSC với d

+ u1.u2; u2.u3; u3.u1 lập thành CSN với q

Tìm q

HD: Nhận thấy u1.u2 ngược

lại hai ba số u1, u2, u3 (sẽ

mâu thuẫn với gt CSC có d 0) Ta thấy q

¿

u2u3=u1u2q u3u1=u1u2q2

⇒

¿u1=u2q

u3=u2q

¿{ ¿

Kết hợp (un) CSC nên:

2u2=u2q+u2q2 (u2 0)

⇔ q2+q-2=0 ⇔ q=-2 (loại q 1).

+ Gọi hs lập luận để suy q 0,1 u2

+ HS trả lời

Bài 41:

* u1, u2, u3 lập thành CSC với d 0;

* u2, u1, u3 lập thành CSN Tìm q

HD: Lập luận để có q 0,1 u2

Ta có q2+q-2=0 ⇔ q=-2 (loại q 1).

+ Lập mối liên hệ u1, u2,

u3

u2=u1q=u1+3d(1) u3=u2q=u2+4d(2)

u1+u2+u3=148

9 (3)

Từ (1), (2) ⇒

u1(q −1)=3d ¿

q −1 u2(¿)=4d

¿{ ¿

TH1: q=1 ⇒ u1= u2= u3 =148/27

d=0

TH2: q 1: ⇒ q=u2/u1=4/3 ( kết

hợp (3))

⇒ u1=4; u2=16/3; u3= 64/9

d=4/9

Gọi u1, u2, u3 số hạng

của CSN theo thứ tự đó, q cơng bội

Gọi d cơng sai CSC nói đề

Dễ dàng thấy u1

…(tiếp tục phần giải hs)

+ Gọi HS làm câu a

+ HS lên bảng làm Giải: un=1 un+1=5un+8; vn=un+2

(16)

Vậy (vn) CSN với v1=u1+2=1+2=3; q=5

Số hạng tổng quát: vn=v1qn-1=3.5n-1

b) un=vn-2=3.5n-1-2

4 Củng cố: Nắm công thức cách áp dụng Chú ý kết 24 Bài nhà:

- Ôn lại tất kiến thức chương III, lập bảng tóm tắt chương

- Bài tập thêm: Cho dãy số (un) với u1=m un+1=aun+b (m, a, b số, a

0,1)

a) Tìm số c cho dãy số (vn) với vn=un+c CSN với q=a

b) Tìm số hạng tổng quát dãy (un)

c) Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát dãy (un) với : u1=1

un+1=9un+8

HD: a)vn+1=a.vn=a(un+c) Mặt khác vn+1=un+1+c =(aun+b)+c

⇔ a(un+c)=(aun+b)+c ⇔ ac=b+c ⇔ c=a −1b

b) vn=v1qn −1=[m+ b

a −1].a

n−1⇒ u

n=vn− c=[m+ b a −1].a

n −1− b a −1

c) m=1, a=9, b=8 ⇒ un=2.9n-1-1 (Hãy kiểm tra lại kết Bài 43)

Tiết: 55 ôn tập chơng iii

1.Về kiến thức:

- Nắm kiến thức dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân mạch kiến thức chương

- Hiểu vận dụng định nghĩa, tính chất, định lý cơng thức chương 2.VỊ kĩ năng:

- Biết cách chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp

- Biết cách cho dãy số; xác định tính tăng, giảm bị chặn dãy số

Biết cách xác định yếu tố lại cấp số cộng (cấp số nhân) biết số yếu tố xác định cấp số đó, như: u1, d (q), un, n, Sn

- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự Biết quy lạ thành quen - Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi

II ChuÈn bÞ ph ơng tiện dạy học

1.GV: Bi v câu hỏi trắc nghiệm, slide, computer projecter

2.HS: Ôn tập làm tập trước nhà (ôn tập lại kiến thức chương làm tập phần ôn tập chương)

.III Ph ơng pháp dạy học

Gi m đáp kết hợp hoạt động nhãm

IV TiÕn trình tiết học

HĐ học sinh H giáo viên Nội dung trình bày (trình chiếu)

- Nhc li HĐ1: QUY NẠPPP CM

Bảng 1: PHƯƠNG PHÁP CM QUY NẠP TỐN HOC

Bài tốn: Cho p số nguyên dương Hãy c/m

(17)

các bước QNTH

-Trao đổi nhóm tập 44 45 -Cử đại diện trả lời câu hỏi GV yêu cầu nêu câu hỏi thắc mắc cho nhóm khác cho GV trao đổi

-Các nhóm trao đổi để đưa phương án trả lời

-Theo dõi nhận xét phương án trả lời nhóm khác

-Cho HS nhắc lại PPQNTH

-Trình chiếu để HS nhìn lại tổng thể

-Tổ chức cho nhóm trao đổi hai tập 44 45 câu hỏi:

+Mệnh đề A(n) số p tập gì?

+Giả thiết quy nạp gì?

-Trình chiếu để HS nhìn lại tổng thể

HĐ2: ÔN TẬP VỀ DS

-Nói rõ vấn đề cần làm hoạt động phân cơng nhóm thực -Định hướng HS tìm DS có đủ yếu tố bảng

HĐ3: ÔN TẬP

mệnh đề A(n) với n p Chứng minh quy nap:

Bước 1: CM A(n) n=p

Bước 2: Giả sử A(n) với n k (với k p) Ta cần CM A(n) với n=k+1

Bảng 2: BÀI TẬP MINH HOẠ PPCM QUY NẠP TH

Bài 44:

CMR 1.22+2.32+…+(n-1).n2 = n(n2−1)(3n+2)

12 ,

∀n≥2 (1) Giải:

Bước 1: Với n=2, ta có: VT(1)=1.22=4; VP(1)=4 suy

ra (1)

Bước 2: Giả sử (1) với n=k (k 2), tức ta có:

1.22+2.32+…+(k-1).k2 = k(k2−1)(3k+2)

12

Ta cần CM (1) n=k+1, tức là: 1.22+2.32+…+(k-1).k2 +k.(k+1)2 =

k+1¿2−1 ¿[3(k+1)+2]

¿ (k+1)¿

¿

(1’) Thật vậy:

VT(1’)= k(k+1)(k+2)(3k+5)

12 ; VP(1’)=

k(k+1)(k+2)(3k+5)

12

Vậy VT(1’)=VP(1’)

Bài 45: Cho dãy số (un) xác định bởi:

u1=2, un=

un −1+1

2 , ∀n≥2

CMR: un=

n−1

+1

2n −1 , ∀n≥1 (2)

Giải: Bước 1: Với n=1, từ (2) suy ra: u1=2 (đúng với

giả thiết)

Bước 2: Giả sử (2) với n=k (k 1), tức ta có: uk=

k−1

+1

2k −1

Ta cần CM (2) với n=k+1, tức uk+1=

2k+1

2k

Thật vậy: Từ giả thiết ta có uk+1=

uk+1

2 =

2k −1

+1

2k−1 +1

= 2k+1

(18)

-Từng nhóm trao đổi phác thảo so sánh lên giấy cử đại diện trả lời

-Từng nhóm trao đổi thực yêu cầu GV -Cử đại diện trả lời nhận xét câu trả lời nhóm khác

CSC, CSN -Yêu cầu HS so sánh lại kiến thức CSC CSN phương diện ĐN, số hạng TQ, TC tổng n số hạng -Tổ chức cho HS làm tập 47, 48, 49 dạng câu hỏi sau:

+nhân CSC CSN? +Tìm số hạng tổng qt?

+Tính tổng n số hạng đầu tiên?

Bảng 3: ÔN TẬP VỀ DÃY SỐ Bài tốn: Hồn thành bảng sau:

Cách cho DS

SHTQ dãy số

Là DS tăng

Là DS giảm

Là DS bị chặn Cho

bằng CT Cho PP mô tả Cho PP truy hồi

Bảng 4: ÔN TẬP VỀ CSC, CSN

CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN

1 ĐN: Dãy số (un)

CSC nếu:

un+1=un+d; ∀n≥1

d: Công sai

2 Số hạng tổng quát: un=u1+(n-1)d;

n

3 Tính chất CSC:

uk=

uk −1+uk+1

2 ; k ≥2

4 Tổng n số hạng đầu tiên:

Sn=u1+u2+….+un

Sn=(u1+un)n

2

Sn=[2u1+(n −1)d]n

2

1 ĐN: Dãy số (un) CSN

nếu:

un+1=un.q; ∀n≥1

q: Công bội

2 Số hạng tổng quát: un=u1.qn-1; n

3 Tính chất CSN:

uk2=uk −1.uk+1; k ≥2

Hay:

|uk|=√uk −1.uk+1;k ≥2

4 Tổng n số hạng đầu tiên:

Sn=u1+u2+….+un

Sn=u1(q

n−1

)

(19)

TiÕt: 55 kiểm tra chơng iii

I.Mục tiêu học Kiểm tra học sinh:

- Các kiến thức dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân mạch kiến thức chương - Hiểu vận dụng định nghĩa, tính chất, định lý cơng thức chương

2.VỊ kĩ năng:

- Biết cách chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp

- Biết cách cho dãy số; xác định tính tăng, giảm bị chặn dãy số

Biết cách xác định yếu tố lại cấp số cộng (cấp số nhân) biết số yếu tố xác định cấp số đó, như: u1, d (q), un, n, Sn

- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự Biết quy lạ thành quen - Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi

II Néi dung:

Đề kiểm tra tiết chương III Giải tích lớp 11 nâng cao

- A.TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : ( điểm )

1) Cho dãy số (un) xác định u1=  1

n

n n

u    u với n1 Khi u

3 :

A) -2 B) C) - D)

2) Cho dãy số (un) xác định u1 = un un12 với n2 Khi tổng 10

số hạng dãy số :

A) 95 B) 100 C) 180 D) 200

3) Cho dãy số (un) xác định u1 = un 2un1 với n2 Khi số hạng tổng

quát un dãy số : A) B) 2n C) 2n-1 D) 2n1

4) Khẳng định sau sai :

A) Tồn cấp số nhân (un) có u3 > , u7 >

B) Tồn cấp số cộng (un) có u3 > , u7 <

C) Tồn cấp số cộng (un) có u3 > , u7 <

D) Tồn cấp số cộng (un) có u3 >0 , u7 <

5) Cho cấp số nhân (un) có u3 = 24 u4 = 48 Khi tổng số hạng cấp

số nhân : A) 45 B) 90 C) 93 D) 186

6) Cho cấp số cộng (un) có u2 + u10 = Khi tổng 11 số hạng cấp số

cộng : A) 11 B) 22 C) 33 D) 66 7) Cho cấp số nhân (un) có u1 =

1

q

Khi S3 :

A)

3

2 B)

2 C)

6 D) 2.

8) Cho dãy số chẵn 2; 4; 6; Khi số chẵn thứ 100 :

A) 100 B) 198 C) 200 D) 202 9) Dãy số sau tăng :

A) 3n B)

3

n n

C)

1

n

 



 

  D)

2

n n

10) Cho cấp số cộng có u12 d = -3 Khi u5 :

A) -10 B) -24 C) -13 D) -30

(20)

11) Cho số x ; 1- x theo thứ tự lập thành cấp số cộng x : A)

1



B) 2 3 C) 2 3 D) 0.

12) Cho số ; - x theo thứ tự lập thành cấp số nhân x :

A) 1 B) -3 C) -1 D) -3

B.TỰ LUẬN : ( điểm )

13) Cho dãy số (un) xác định u1 =2 un1  un 2 với n1

Chứng minh un = với n1 Có nhận xét dãy số ?

14) Cho dãy số (un) với

2

n n

n n n

u  

 Tính 10 10

1 1

S

u u u

   

  

15) Tính tổng : S = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1)

Hết

Đáp án biểu điểm KT tiết chương III A Trắc nghiệm : Mỗi câu 0,25đ

1 10 11 12

A B B B D C A C B A D C

B Tự luận :

13 Khi n = : u2 =  u12 2 2  0.5đ

Vậy mệnh đề n =

Giả sử mệnh đề n = k , ta có : uk1 uk 2 2 0.5đ

Khi n = k + : uk2  uk12 2 2 

Vậy mệnh đề n = k + (đpcm) 1,0đ Nhận xét : dãy số vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân 1,0đ 14 Ta có: un-1 =

2 2.5

1

2 5

n n n

n n n n



 

  0,25đ

Suy ra:

1

2

1 2.5

n n n n

n

u



  

 0,5đ

Do đó:

0

1

2

1

u   

1

2

1

2

1

u   

2

3

1

2

1

u   

3

4

1

2

1

u   

9

10

1

2

1

u    0,5đ

Vậy S = 10

1 1

(21)

= -(20 + 21 + 22 + 23 + + 29 ) -

1 10

2 0,5đ

= -(2+1)9 -5

= -39 - 0,25đ

15 S = 12 + 22 + + n2 + + + + n 0,5đ

=

( 1)(2 1) ( 1)

6

n n n n n 

1,0đ =

( 1)( 2)

n n n

0,5đ