Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC..[r]
(1)SỞ GD - ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT HÀN THUYÊN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI 12–NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : TỐN ; Khối : A, A1, B; lần: 3
Thời gian làm : 180 phút, không kể thời gian phát đề =====================
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=2x −1
x −1 (C)
1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
2. Gọi I giao điểm đường tiệm cận ( C ) Điểm M (C), tiếp tuyến (C) M cắt
đường tiệm cận A B Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) M biết chu vi tam giác IAB nhỏ
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: sin3x 1+cosx+
cos3x 1+sinx=
2−2sin2(x+π
2) sin 2x +2cos
2
(x −3π
4 )
2. Giải hệ phương trình:
¿
x(y −1)+2y=x(x+1)
4x2+3x+3=4y√y+3+2√2x −1
¿{
¿ Câu III (1 điểm) Tính tích phân sau: I=∫
1
e
(lnx+1)
x√1+ln2x
dx Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a, BC=2a SA vng góc với đáy, góc cạnh bên SB mặt đáy 600 M thuộc SA cho AM= a√3
3 ; mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích hình chóp S.BCNM tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD
Câu V (1 điểm) Chứng minh với số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=4 ta có : a
1+b2c+
b 1+c2d+
c 1+d2a+
d
1+a2b≥2
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)Thí sinh làm hai phần(phần A phần B) A.Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm hai đường thẳng d:x − y −3=0 d':x+y −6=0 Trung điểm cạnh giao d với trục Ox Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật
2. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết: A(2; 3; 1), B(-1; 2; 0), C(1; 1; -2) Tìm tọa độ trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: log5(4x+144)−4 log52=1+log5(2x−2+1) B.Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, có trọng tâm G
(73;
4
3) , phương trình đường thẳng BC là: x-2y-3=0, phương trình đường
thẳng BG là: 7x-4y-11=0 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C
2. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(1; 0; 2), B(1; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
Câu VII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: (4x – 2.2x – 3) log
2x – > 4
x+1 - 4x
- Hết
(2)Họ tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu I
2 điểm
1.
1 điểm Tập xác định: D
=R \ {1}
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: Ta có
x −1¿2 ¿ ¿ y '=−1
¿
Hàm số nghịch biến khoảng: (− ∞;1) (1;+∞)
Giới hạn tiệm cận: limx →− ∞y =2, limx→y +∞
=2; tiệm cận ngang y = 2.
x →1+¿
=+∞,lim y
x →1−
=− ∞
limy
¿
; tiệm cận đứng x =
Bảng biến thiên:
X -
+
y' -
-Y
-
+
Đồ thị
f(x)=(2*x-1)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t f(x)=2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-8 -6 -4 -2
x y
0.25
0.25
0.25
0.25
2.
1điểm
Tiếp tuyến M(m;y(m)) (d):
y = y’(m)(x-m) + y(m)
m −1¿2 ¿ ¿ ⇔y=−1
¿
(d)∩(TCD :x=1)=A(1;2+
m−1),(d)∩(TCN :y=2)=B(2m −1;2) , I(1;2)
0.25
0.25
(3)Ta có IA.IB= ¿yA− yI∨.∨xB− xI∨¿∨
m−1∨.∨2(m−1)∨¿4
chu vi(∆IAB)=IA+IB+AB= IA+IB+√IA2+IB2≥2√IA IB+√2 IA IB=2(2+√2)
Chu vi nhỏ
⇔IA=IB=2⇔∨m −1∨¿1⇔ m=0⇒M1(0;−1)⇒tt :y=− x+1
¿
m=2⇒M2(2;3)⇒tt :y=− x+5 ¿
¿ ¿ ¿ ¿
0.25
Câu II 1
1 điểm Giải PT: sin3 x 1+cosx+
cos3x 1+sinx=
2−2sin2(x+π
2) sin 2x +2cos
2
(x −3π
4 ) - Đkxđ: sinx.cosx ≠ 0
-sinx+cosx=0
¿ cosx=1(loai sinx=0)
¿
=======================================================================⇔x=−π
4+kπ(k∈Z) ¿
¿
¿
PT⇔sinx(1−cos 2x
)
1+cosx +
cosx(1−sin2x)
1+sinx =
2 cos2(x+π
2)
2sinxcosx +1+cos(2x − 3π
2 ) ⇔sinx(1−cosx)+cosx(1−sinx)=sinx
cosx+1−sin 2x ⇔sinx+cosx=sinx+cosx
cosx
======================================================================= ⇔
¿ 0.25
0.25
0.25 0.25 2.
1điểm
Giải hệ PT:
¿
x(y −1)+2y=x(x+1)(1)
4x2+3x+3=4y√y+3+2√2x −1(2)
¿{
¿
- Đkxđ: y ≥ −3, x ≥1/2
Giải (1): xy-x+2y=x2+xx2+2x-xy-2y=0x2+(2-y)x-2y=0x=-2(loại) x
= y
Thế x = y vào (2) được:
-4x2
+3x+3=4x√x+3+2√2x −1
⇔(4x2−4x√x+3+(x+3))+(2x −1−2√2x −1+1)=0
¿ √2x −1−1¿2
=0⇔x=1
2x −√x+3¿2+¿ ¿
- x=1⇒ y=1
0.25 0.25
0.5
CâuIII
1 điểm Đặt u=lnx⇒du=dxx x=1⇒u=0, x=e⇒u=1
Ta có: I=∫
0
u+1
√1+u2
du=∫
0
u √1+u2
du+∫
0
1 √1+u2
du=I1+I2
(4)Thấy
1+u2¿− ¿ 1+u2¿
1
¿01=√2−1
¿ I1=∫
0
u √1+u2du
=1
2∫0
¿
Xét hàm số y=ln(u+√u2+1) có y '=(u+√u2+1)' (u+√u2+1)
=
1+ u
√u2+1 (u+√u2+1)
=
√u2+1
Suy hàm số y=ln(u+√u2+1) nguyên hàm hàm số y=
√u2+1 u+√u2+1∨¿10=ln(1+√2)
I2=ln¿ ¿
Vậy I=√2−1+ln(1+√2)
0.25
0.25
0.25
CâuIV 1. 1 điêm
- Chọn hệ trục Oxyz cho A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), S(0;0;
a√3 ), C(a;2a;0).
-⃗BD(− a ;2a;0)
¿⃗SC(a ;2a ;− a√3)
¿} ⇒[
⃗
BD,⃗SC]=(−2√3a2;
√3a2;−4a2)
⃗
SB=(−a ;0;a√3)
- d(BD;SC)=2a√3
√31
0.25
0.25
0.25
0.25 - SA(ABCD)AB hình chiếu
của SB/(ABCD) góc SB
đáy ∠SBA=600 . SA=a√3
-VS ABCD=
3SABCD.SA=
3a 2a.a√3 2√3
3 a
-VS ABC=VS.ADC=1
2VS ABCD=√ 3 a
3
-VS MBC VS ABC
=2
3⇒VS.MBC= 2√3a3
9 VS.MBN
VS.ADC
=4
9⇒VS MBC=
4√3a3 27 ⇒VS MBC=
10√3a3 27
S
A
B C
D
(5)Câu V 1đ
Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: a
1+b2c=a−
ab2c
1+b2c≥ a −
ab2c
2b√c=a − ab√c
2 =a −
b√a.ac ≥ a −
b(a+ac)
4 ⇒ a
1+b2c≥ a −
1
4(ab+abc) Tương tự ta có:
b
1+c2d≥ b −
1
4(bc+bcd), c
1+d2a≥ c −
1
4(cd+cda), d
1+a2b≥ d −
1
4(da+dab) Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều được:
a 1+b2c+
b 1+c2d+
c 1+d2a+
d
1+a2b≥ a+b+c+d −
1
4(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab)
Theo bất đẳng thức :
a+b+c+d¿2=4
¿
a+b+c+d¿2=4
¿
ab+bc+cd+da≤1
4¿ Do : a
1+b2c+
b 1+c2d+
c 1+d2a+
d
1+a2b≥ a+b+c+d −2=2
Đẳng thức xảy a=b=c=d=1
0.25 0.25
0.5
CâuVIa 1 1 điểm
- Tọa độ giao điểm I d d’ nghiệm hệ phương trình
¿ x − y −3=0
x+y −6=0
⇔ ¿x=9
2 y=3
2 ⇒I(9
2; 2) ¿{
¿ - Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M trung điểm AD
⇒M=d ∩Ox⇒M(3;0)
- Ta có: AB=2 IM=3√2 ; Theo giả thiết SABCD=AB AD=12⇒AD=2√2 - Vì I , M∈d⇒d⊥AD⇒AD :x+y −3=0
- MA=MD=√2⇒ tọa độ A, D nghiệm hệ phương trình
x+y −3=0
x −3¿2+y2
¿ ¿√2
¿ ⇔
¿ ¿x=2
¿ y=1
¿ ¿ ¿ ¿
√¿
- Do I trung điểm AC nên C(7;2), TT I trung điểm BD nên B(5;4)
0.25
0.25 0.25 0.25
2.
1 điểm C(1; 1; -2) Tìm tọa độ trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết: A(2; 3; 1), B(-1; 2; 0), - H(x ; y ; z) trực tâm tam giác ABC
(6)⇔
⃗BH ⃗AC=0 ⃗CH ⃗AB=0 ⃗AH[⃗AB,⃗AC]=0
¿{ {
⇔
(x+1)+2(y −2)+3z=0
3(x −1)+(y −1)+(z+2)=0 (x −2)−8(y −3)+5(z −1)=0
⇔ ¿x=
15 y=29
15 z=−1
3 ¿{ {
- I(x ; y ; z) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇔AI=BI=CI, I∈(ABC)
CI2
=BI2
AI2=BI2
⃗AI [⃗AB,⃗AC]=0
⇔ y −2¿2+z2
¿ y −2¿2+z2
¿
(x −2)−8(y −3)+5(z −1)=0
¿ ¿ ¿ ⇔
¿ ¿x=14
15 ¿ y=61
30 x+1¿2+¿ z+2¿2=¿ y −1¿2
+¿ x −1¿2+¿
¿ x+1¿2+¿ z −1¿2=¿ y −3¿2+¿ x −2¿2+¿
¿¿
0.25
0.25
0.25
CâuVIIa PT :log
5(4
x
+144)−4 log52=1+log5(2x−2+1)
⇔log5(4x+144)−log516=1+log5(2x −2+1)
⇔log5(4x+144)=log516+log55+log5(2x−2+1) ⇔log5(4x+144)=log5[80(2x−2+1)]
⇔4x
+144=80(2x −1+1)⇔4x−20 2x+64=0
Đặt 2x=t(t>0) PTTT:
t2−20t
+64=0⇔
t=4
¿ t=16
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0.25
(7)Với t=4⇒2x=4⇒x=2
Với t=16⇒2x=16⇒x=4
CâuVIb 1
1 điểm -Tọa độ điểm B nghiệm hệ:
¿ x −2y −3=0
7x −4y −11=0
¿{
¿
=> B(1;-1) - Gọi N trung điểm AC ta có ⃗BN=3
2⃗BG⇒N(3; 2)
- Do tam giác ABC cân A ⇒AG⊥BC PT AG: 2x+y-6=0
-
C∈BC, A∈AG;AN=CN
xC−2yc−3=0
2xA+yA−6=0
xA+xC=6
yA+yc=5
¿{ { {
- Giải hệ ta được: A(1;4); C(5;1)
0.25
0.25
0.25
0.25
2.
1 điểm
- Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng: x2+ y2+ z2+ 2ax + 2by + 2cz + d = (a2+b2+c2-d>0)
- Do A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình:
¿
5+2a+4c+d=0 2+2a+2b++d=0
1++2c+d=0 3+2a+2b+2c+d=0
¿{ { { ¿ - Giải hệ được: a=−3
2, b= 2, c=−
1 2, d=0
- Vậy phương trình mặt cầu: x2+y2+z2−3x+y − z=0
0.25 0.25
0.25 0.25 Câu
VII.b - Đkxđ: x>0
- BPT ⇔(4
x−2 2x−3
)log2x+(4x−2 2x−3)>0 ⇔(4x−2 2x−3)(log2x+1)>0 ⇔
¿(4x−2 2x−3)>0 (log2x+1)>0
(I)
¿ ¿
(4x−2 2x−3)<0
¿ ¿
(log2x+1)<0
¿
(II)
¿ ¿
0.25
0.25
0.25
(8)(I)⇔
2x<−1
¿ 2x
>3
¿ ¿log2x>−1
¿ ⇔
¿ ¿x>log23
¿ ¿ ¿ ¿
(II)⇔
−1<2x<3
log2x<−1
⇔x<1
2 ¿{
DS: 0<x<1
2Vx>log2x