Giai de thi luong giac

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÁC EM TỰ GIẢI Bài 1.[r]

GIẢI CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ 2002-2011 I Đề ĐH khối Atừ 2002 - 2011

1/ cos2

2 sin

3 sin cos sin

5  

  

 

 

 x

x x x

x 2/ sin2

2 sin

2 cos

cot 2x x

tgx x

gx  

   3/ Cho tam giác ABC không tù, và:

3 cos 2 cos 2

cos A B C Tính ba góc tam giác ABC 4/ cos23xcos2x - cos2x = 5/  

sin 2

cos sin sin

cos

2 6

 

 

x

x x x

x

6/ (1 + sin2x )cosx + ( + cos2x)sinx = 1+sin2x 7/ 

  

 

 

   

 



 x

x

x

7 sin sin

1 sin

1 



8/

) sin )( sin (

cos ) sin (

 

 

x x

x x

9/ x

x x x x

cos tan

1

4 sin ) cos sin

1 (

 

     

 

 

10/ sin 2cos 2 sin sin

1 cot

x x

x x x

 





II Đề ĐH khối B từ 2002 - 2011

1/ sin23xcos24xsin25xcos26x 2/

x x

tgx gx

2 sin

2

sin

cot   

3/ 5sin 3(1 sin ) x tg x

x   4/ + sinx + cosx +sin2x + cos2x =

5/

2

sin

cot 

  

 



 x tgxtg x

gx 6/ 2sin22x + sin7x - = sinx

7/ sin3x 3cos3xsinxcos2x 3sin2 xcosx 8/ sinxcosxsin2x 3cos3x2(cos4xsin3x)

9/ (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x - sinx = 10/ sin cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx

III Đề ĐH khối Dtừ 2002 - 2011

1/ Tìm x thuộc [0;14] nghiệm phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - =

2/

2 cos

2

sin2   

  

 

 tg x x

x 

3/ (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx 4/ sin cos sin

cos4  

  

 

 

    

 

 x x  x 

x

5/ cos3x + cos2x - cosx - = 6/ 3cos 2

cos sin

2

 

   

 

 x x

x

7/ 2sinx(1+ cos2x) + sin2x = + 2cosx 8/ 3cos5x2sin3x.cos2xsinx0 9/ sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - = 10/ s in2x cos x sin x

tan x

  



A_2011. x x x

g x x

2 sin sin cot

1

2 cos sin

2 

  

Điều kiện: sinx 0

Phương trình cho tương đương với: 1sin2xcos2xsin2x2 2sin2xcosx x

x

x cos2 2cos

sin

1  

 (vì sinx 0)

sin cos 2

cos   

 x x x

+) cosx =  x k

2 (tmdk)

+)   2

4

4 sin cos

sin x x x  x k

  

 

 

 

 (tmdk)

Vậy phương trình có nghiệm: x k

2 , 



4 k

x  (k Z)

B_2011 sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx

Phương trình cho tương đương với: sinx(1 + cos2x) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx

 cos2x(sinx – 1) + cosx(sinx – 1) =

(cos2x + cosx)(sinx – 1) =

) ( 3

2 )

cos( cos

2 cos

1 sin

Z k k

x

k x

x x

x x

 

    

 

   

 

 

   

 

  

Vậy, phương trình cho có nghiệm:

D_2011

3

1 sin cos 2 sin

 

  

tgx

x x x

Điều kiện: cosx 0, tgx 

Phương trình cho tương đương với: sin2x + 2cosx – sinx – = 2cosx(sinx + 1) – (sinx + 1) =

(2cosx – 1)(sinx + 1) =

     

  

   

  

 

  

 

 

2

2 2

1 cos

1 sin

k x

k x

x x

(kZ)

Kết hợp điều kiện suy ra: ( )

3 k k Z

A_2010 x tgx

x x x

cos 1

4 sin ) cos sin

1 (

 

     

 

 

Điều kiện: cosx 0, tgx 1

Phương trình cho tương đương với: x (cos2x sinx 1) (1 tgx)cosx

sin

2     

  

 





 

 

) (

2

1 sin

) ( sin

1 sin sin

2 sin

2 cos

) ( cos sin

0 ) sin (cos cos sin

cos sin

) sin (cos cos sin

2 k Z

k x

k x

x

loai x

x x x

x

loai x

x

x x x

x

x x

x x x

x

 

    

 

    

  

 

   

   

   

  



 

 

    



 

 

B_2010 (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx =

Phương trình cho tương đương với: 2sinxcox2x – sinx + cos2xcosx + 2cos2x =  cos2xsinx + (cosx + 2)cos2x =

 cos2x(cosx + sinx + 2) =

   

 

 

   

) (

2 cos sin

) (

2 cos

nghiêm vô

x x

Z k k x

x  

Vậy, phương trình có nghiệm:

D_2010 sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – = 2sinxcosx – cosx – (1 – 2sin2x) +3sinx -1 = (2sinx – 1)(cos + sinx + 2) =

+) ( )

2

2

1

sin k Z

k x

k x

x 

     

 

   

 

 

+) sinx + cosx + = (vô nghiệm) Vậy, nghiệm phương trình là:

A_2009 (1 2sin ) cos

(1 2sin )(1 sin )

x x

x x





 

Điều kiện: sinx

2 sin ,

1 

 x

Phương trình cho tương đương với: 12sinxcosx  3(12sinx)(1sinx) x

x x

x 3sin sin2 3cos2

cos   

) ( 18

2

6 cos

cos

Z k k x

k x

x x

 

    

  

  

   

 

 

   

 

 

 

 

 

Kết hợp điều kiện suy ra:

3 18

 

k x 

B_2009 sinxcos sin 2x x cos 3x2(cos 4xsin3x)

Phương trình tương đương với: (1 2sin2x)sinx cosxsin2x 3cos3x 2cos4x 

 



) ( 42

2

4 cos

3 cos

4 cos cos sin cos cos sin

Z k k

x

k x

x x

x x

x x x

x

 

  

 

 

   

    

 

 

 

 

 

 



Vậy, phương trình có nghiệm:

D_2009 cos 5x2 sin cos 2x xsinx0

Phương trình cho tương đương với: 3cos5x(sin5xsinx)sinx0

) (

3 18

5

2

3

sin

3 sin

sin sin cos

3

Z k k x

k x

k x x

k x x

x x

x x

x

 

    

  

   

    

   

   

    

 

 

 



 

 

 



 



Vậy, nghiệm phương trình là:

A_2008 1 sin

3

sin

sin

2

x x

x



 

    



    

 

 

Điều kiện:

2 sin ,

sin 

  

 



 x 

Phương trình cho tương đương với: 2(sin cos ) cos

1 sin

1

x x

x

x  

) (

8

8

2 2

sin

0 cos sin

0 2 cos sin

1 )

cos (sin

Z k k x

k x

k x

x x x

x x x x



      

 

 

  

    

   

 

 



    

 

 



 

 

 

Kết hợp điều kiện suy nghiệm phương trình là: ( )

8

8

Z k k x

k x

k x



      

 

 

  

  

 

 

 

B_2008 sin3x cos3xsin cosx 2x sin2 xcosx Phương trình cho tương đương với:

) (

2 sin

cos

0 cos

0 ) sin cos ( cos

) sin (cos

cos ) sin (cos

sin 2 2

Z k k x

k x

x x x

x x x

x x

x x

x x

 

    

  

   

 

  

 



 



 

 

Vậy, nghiệm phương trình là:

D_2008 2sin (1 cos ) sin 2x  x  x 1 cosx Phương trình cho tương đương với:

4sinxcos2x + sin2x = + 2cosx  (2cosx +1)(sin2x – 1) =



1 sin

2 cos

 

  

A_2007 (1 sin 2x) cosx(1 cos x) sinx 1 sin 2x Phương trình cho tương đương với:

(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)2 (sinx + cosx)(1- sinx)(1 – cosx) = 

B_2007

2sin 2xsin 7x 1 sinx Phương trình cho tương đương với: sin7x – sinx + 2sin22x – =

cos4x(2sin3x – 1) = 

D_2007

2

sin cos cos

2

x x

x

 

  

 

 

Phương trình cho tương đương với:

2 ) cos(

1 cos sin

2 cos sin

1



  

 



 

  x

x x

x x

A_2006

6

2(cos sin ) sin cos 2 sin

x x x x

x

 

 

Điều kiện:

2 sinx

Phương trình cho tương đương với: 2(sin6x + cos6x) – sinxcosx =

  

   

  



 

   

 

 

) ( / sin

1 sin

0 sin sin

0 sin 2 sin

2

loai x

x

x x

x x

+) sin2x = ( )

4 k k Z

x   

Kết hợp với điều kiện suy x = ( )

5

Z n

n 

B_2006 cot sin tan tan x x x  x 

 

Điều kiện:

2 cos , cos ,

sinx x  x 

Phương trình cho tương đương với:

) ( ) ( 12

5 12

/ sin cos sin

1

4 sin cos cos

sin

4

cos cos

2 sin sin cos cos sin cos sin

tmdk Z

k k x

k x

x x

x

x x x

x

x x

x x x

x x x

x

 

    

 

   

  

 



 



 

 

Vậy, nghiệm phương trình là:

D_2006 cos 3xcos 2xcosx 1 Phương trình cho tương đương với: 4cos3x – 3cosx + 2cos2x – – cosx – =

4cos3x + 2cos2x – 4cosx – = 2(cosx – 1)(2cos2x + 3cosx + 1) = 2(cosx – 1)(cosx + 1)(2cosx + 1) = 

A_2005 cos cos 22 x xcos2x0

Phương trình  (1 + cos6x)cos2x – (1+cos2x) = cos6xcos2x – =

cos8x + cos4x – = 2cos24x + cos4x – =

   

   

) (

cos cos

loai x

x

Vậy cos4x =  ( )

2 k Z

k x  

B_2005 sin xcosxsin 2xcos 2x0 Phương trìnhsinx + cosx +2sinxcosx + 2cos2x =

(+) sin x + cosx =  tgx = -1  x  k

4 (k Z) (+) 2cosx + =  x  x  k

3 2

1

cos (k Z)

D_2005 cos4 sin4 cos sin 3

4

x x x   x  

   

 

Phương trình cho :

) ( )

( 2 sin

1 sin

2 sin sin

0 sin ) sin ( sin

0 sin cos sin

2

0 sin sin cos sin

2

2

2 2

Z k k x

loai x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

 

  

 

   

  



  

  



  

 



     

 

    

 

 



  

A_2004

Tính ba góc tam giác ABC khơng tù, thoả mãn điều kiện cos 2A2 cosB2 cosC3 Ta đặt:

3 cos cos 2 cos

3 cos 2 cos 2

cos

  

  

 

 

C B C B A

C B

A A

Do

2 sin cos

2

2 cos ,

sin

 

 



 B C nên A A A

A

Mà tam giác ABC không tù nên cosA 0, cos2 A cosA 

 Suy ra:

sin 2

2 sin sin 4 sin sin 2 sin cos

2

2

    

 

 



 

   

   

 

   



A

A A

A A

A A

A

Vậy A 0

Nhưng theo đề A = Vậy dấu “=” xảy khi:

    

    

       

  



0

45 90

2 sin

1 cos

cos cos

C B A A

C B

A A

B_2004 5sinx 2 3(1 sin ) tan x x

Điều kiện: ( )

2

cosx  x  k kZ Phương trình cho tương đương với:

) ( ) (

2 )

( sin

2 / sin

0 sin sin ) sin ( sin

sin sin

5 2

2

tmdk Z

k k x

k x

nghiem vo

x x

x x

x x

x x

 

    

 

   

 

   

  

 

  

 

 

Vậy, nghiệm phương trình là:

D_2004 (2 cosx1)(2 sinxcos )x sin 2xsinx Phương trình cho tương đương với:

(2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sinx(2cosx – 1) (2cosx – 1)(sinx+ cosx) =

/ cos

0 cos sin

 

 

  

 x

x x

A_2003 cot cos sin2 1sin

1 tan

x

x x x

x

   



Điều kiện:

  

 

 

    

 

 

1 sin

0 cos

0 sin

tgx x tgx

x x

Phương trình cho tương đương với:

) (

0 sin cos sin

cos sin

0 ) sin cos sin )( sin (cos

) cos (sin

sin ) sin (cos cos sin

sin cos

) cos (sin

sin cos

sin

sin cos

1 sin cos

2

2

2

 

 

 

  

 

 



 

 

 

 

  



nghiem vo

x x

x x x

x x

x x

x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x x

x x

B_2003 cot tan 4sin 2 sin

x x x

x

  

Điều kiện: ( )

2

2 sin cos

0 sin

Z k k x x

x x

 

  

  



 

Phương trình cho tương đương với:

/ cos

1 cos

0 cos

cos 2 sin cos

2 sin

2

sin cos

sin sin cos

2 sin

2

sin cos sin sin

cos

2

2

 

 

   

  

  



 

 

 



x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

Kết hợp điều kiện suy ra: x =

D_2003 sin2 tan2 cos2

2

x x

x 

 

  

 

 

Điều kiện: ( )

2

cosx x n nZ Phương trình cho tương đương với:

) (

4

2

1 cos

1 sin

0 ) cos )(sin

cos )( sin (

) sin )( sin )( cos ( ) cos )( cos )( sin (

cos ) cos ( sin ) sin ( ) (cos cos

sin cos

1 2

2

Z k k x

k x

k x

tgx x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

 

   

 

  

 

   

   

 

   

 

 



 

  

 



  

  

   

 

   

 

 

 

 

  

Kết hợp điều kiện suy ra: x =

A_2002 Tìm nghiệm x(0; ) phương trình: cos sin

5 sin cos

1 sin

x x

x x

x 

 

  

 



 

Điều kiện:

2

sin x

Phương trình cho tương đương với:

3 cos

sin

3 sin cos sin sin sin

5  

  

 



 



x x

x x

3 cos

sin

cos ) sin (

3 cos

sin

3 sin cos

cos cos

sin

 

   

 

  

 

   

 



 

 



x x

x x

x x

x x

x x

x

) (

1 cos

) ( cos

0 cos cos

3 cos cos

5

Z k k x

x

loai x

x x

x x

 

   

  

  

  



 



 

Do x(0,2) nên suy ra:      

 

3

3  

x x

Vậy, nghiệm phương trình là:

B_2002 2 2

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x Phương trình cho tương đương với:

   

0 sin sin

0 sin sin cos

0 ) cos 11 (cos cos

6 cos

cos 10

cos 12

cos

2 12 cos

10 cos

8 cos

6 cos

 

 

 

  

 



  

 

 

x x

x x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

     

  

2   k x

k x

(k Z)

D_2002 Tìm x0;14 nghiệm phương trình: cos 3x4 cos 2x3cosx 4 Phương trình cho tương đương với:

(cos3x + 3cosx) - 4(cos2x + 1) =

) (

0 cos

0 ) (cos cos

0 cos cos

2

2

Z k k x

x

x x

x x

 

 

 

  

 



 

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÁC EM TỰ GIẢI Bài 1. (ĐHM-97): Giải phương trình:

sin

5 sin

 x x

Bài 2 (ĐHTL-2000) Giải phương trình:

5 sin

3

sin x x



ĐS:    

  

2 / cos

6 cos

x x

Bài 3 (ĐHXD) Giải phương trình sau: x x

tg x tg

x x

4 cos

4

2 cos

sin

4

    

 

 

  

 

 

 

ĐS:

 k x

Bài 4. (ĐHGTVT-99)    

 

 

  

 

 

 x g x g x

x

6 cot cot

8 cos

sin4  

ĐS:

2 12



 k

x 

Bài 5: (ĐHQGHN-99) x cos3x

cos

8 

  

 



ĐS:

      

 



  

 



 

 

k x

k x

k x

3

Bài 6 (PVBCTT-98) Giải phương trình: x 2sinx

sin3    

 



ĐS: x k

Bài 7 (ĐHYTB-97) Giải phương trình:

   

 

 

   

 

 

   

 

 

   

 



6 sin sin 12 cos 12 cos

2 x  x  x  x 

ĐS:      5

3 ,

5 12 ,

5

k x

k x

k