Tham khảo 30 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 5 có đáp án dành cho các bạn học sinh lớp 5 và quý thầy cô tham khảo, để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi học học sinh giỏi. Hy vọng sẽ giúp các bạn đạt kết quả tốt trong kỳ thi.
CHUYÊN ĐỀ SỐ TỰ NHIÊN, SỐ THẬP PHÂN * Lý thuyết so sánh hai số tự nhiên - Số có nhiều chữ số số lớn Ví dụ: 123456 > 65432 - Nếu hai số có số chữ số ta so sánh cặp chữ số hàng theo thứ tự từ trái sang phải Đến hàng mà chữ số hàng số lớn số lớn Ví dụ: 2014 899 > 2013 899 - Nếu hai số có tất cặp chữ số hàng hai số Ví dụ: 4289 = 4289 - Căn vào vị trí tia số: Số gần gốc tia số số bé - Căn vào vị trí dãy số tự nhiên: Số đứng trước bé số đứng sau * Lý thuyết số thập phân Khái niệm: Số thập phân gồm hai phần: phần nguyên phần thập phân đƣợc phân cách dấu phẩy Trong đó: - Những chữ số viết bên trái dấu phẩy gọi phần nguyên - Những chữ số viết bên phải dấu phẩy gọi phần thập phân VD: Số thập phân: 23,456 đó: 23: Phần nguyên; 456: phần thập phân Chú ý: Số tự nhiên xem số thập phân với phần thập phân gồm chữ số VD: Số 54 viết dạng số thập phân 54,0; 54,00… Cách đọc số thập phân: Muốn đọc số thập phân, ta đọc lần từ hàng cao đến hàng thấp: trước hết đọc phần nguyên đọc “phẩy” sau đọc số thuộc phần thập phân (đọc đầy đủ hàng) VD: 123,456 đọc là: Một trăm hai mươi ba phẩy bốn trăm năm mươi sáu 101,003 đọc là: Một trăm linh phẩy không trăm linh ba Cách viết số thập phân: Muốn viết số thập phân ta viết từ hàng cao đến hàng thấp: trước hết ta viết nguyên viết dấu “phẩy” viết phần thập phân VD: Viết số: Một nghìn hai trăm bốn mươi sáu phẩy khơng nghìn khơng trăm hai mươi ba: 1246,0023 * Lý thuyết số tự nhiên cấu tạo số Các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…là số tự nhiên Các số tự nhiên đƣợc viết theo thứ tự tạo thành dãy số tự nhiên liên tiếp - Số số tự nhiên bé - Khơng có số tự nhiên lớn Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị - Thêm đơn vị vào số tự nhiên, ta số tự nhiên liền sau - Bớt đơn vị số tự nhiên khác 0, ta số tự nhiên liền trước Khi viết số tự nhiên hệ thập phân ngƣời ta dùng 10 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Tính chẵn, lẻ số tự nhiên: - Các số có tận 0, 2, 4, 6, số chẵn - Các số có tận 1, 3, 5, 7, số lẻ - Hai số chẵn liên tiếp (kém) đơn vị - Hai số lẻ liên tiếp (kém) đơn vị Tia số: - Số ứng với điểm gốc tia số - Mỗi số tự nhiên ứng với điểm tia số Trong hệ thập phân có mƣời đơn vị hàng sau gộp thành đơn vị hàng liền trƣớc Ví dụ: 10 đơn vị = chục; 10 chục = trăm; 10 trăm = nghìn Để đọc hay viết số tự nhiên ngƣời ta tách số thành lớp hàng - Cứ ba hàng tạo thành lớp, chữ số ứng với hàng - Lớp đơn vị gồm hàng: đơn vị, chục, trăm - Lớp nghìn gồm hàng: đơn vị, chục nghìn, trăm nghìn - Lớp triệu gồm hàng: triệu, chục triệu, trăm triệu - Lớp tỉ gồm hàng: tỉ, chục tỉ, trăm tỉ Muốn đọc số tự nhiên ta làm nhƣ sau: - Tách số cần đọc thành lớp theo thứ tự từ phải sang trái, lớp có chữ số - Đọc từ trái sang phải theo lớp (dựa vào cách đọc số có ba chữ số) kèm theo tên lớp (trừ tên lớp đơn vị) - Lớp nào, hàng khơng có đơn vị không cần đọc (đối với hàng chục lớp đọc “linh” “lẻ”) Ví dụ: 75 604 305 đọc là: Bảy mươi lăm triệu sáu trăm linh bốn nghìn ba trăm lẻ năm Viết số tự nhiên có nhiều chữ số nên viết lớp cách lớp khoảng cách lớn khoảng cách hai chữ số lớp Ví dụ: Năm triệu khơng trăm bảy tư nghìn hai trăm ba tư: 074 234 Khi viết số có nhiều chữ số, có chữ số chưa biết, cần phải có dấu “gạch ngang” đầu số * Phép chia số tự nhiên A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ a : b = c (số bị chia : số chia = thương) - Muốn tìm số bị chia chưa biết, ta lấy thương nhân với số chia (số bị chia = số chia thương) - Muốn tìm số chia chưa biết, ta lấy số bị chia chia cho thương (số chia = số bị chia : thương) – Bất kỳ số chia cho số (a : = a) – Một số chia cho (a : a = 1) Số chia hết cho số khác 0: : a = Nếu gấp số bị chia số chia lên số lần thương không đổi a:b=c (a x m) : (b x m) = c (m khác 0) Khi chia tổng cho số, số hạng tổng chia cho số chia ta chia số hạng cho số chia, cộng kết tìm với (a + b) : c = a : c + b : c Khi chia số cho tích hai thừa số, ta chia số cho thừa số, lấy kết tìm chia tiếp cho thừa số a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b c khác 0) Khi chia tích hai thừa số cho số, ta lấy thừa số chia cho số (nếu chia hết) nhân kết với thừa số (a x b) : c = a : c x b = a x (b : c) (với c khác 0) Muốn chia số chẵn chục, chẵn trăm, chẵn nghìn…cho 10, 100, 1000,…ta việc bỏ bớt một, hai, ba,…chữ số tận bên phải số Phép chia có dư: a : b = c dư r (b khác r < c) Muốn tìm số bị chia phép chia có dư, ta lấy thương nhân với số chia cộng với số dư : a=cxb+r Muốn tìm số chia phép chia có dư, ta lấy số bị chia trừ số dư chia cho thương : (a - r) : c = b - Trong phép chia có dư, số dư lớn số chia đơn vị B BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1: Một xe tải chuyển gạch Chuyến thứ chuyển 1753 viên gạch, chuyến thứ hai chở 1743 viên, chuyến thứ ba chở 1820 viên Hỏi trung bình chuyến xe chở viên gạch? Lời giải Cả ba chuyến chở số viên gạch là: 1753 + 1743 + 1820 = 5316 (viên) Trung bình chuyến xe chở số viên gạch là: 5316 : = 1772 (viên) Đáp số: 1772 viên gạch Ví dụ 2: Một hàng có 48 bao gạo, bao gạo nặng 50 kg Cửa hàng bán 1/3 số gạo Hỏi cửa hàng cịn lại ki-lơ-gam gạo? Lời giải Trước bán, cửa hàng có số gạo là: 50 x 48 = 2400 (kg) Số gạo cửa hàng bán là: 2400 : = 800 (kg) Số gạo lại cửa hàng là: 2400 – 800 = 1600 (kg) Đáp số: 1600 kg gạo * Phép nhân số tự nhiên A LÝ THUYẾT a x b = c (thừa số x thừa số = tích) - Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số biết Ví dụ 1: a x = 15 a = 15 : a = Ví dụ 2: x b = 24 b = 24 : b=3 Tính chất giao hoán Khi đổi chỗ thừa số tích tích khơng đổi axb=bxa Tính chất kết hợp Khi nhân tích hai số với số thứ ba, ta nhân số thứ với tích số thứ hai số thứ ba (a x b) x c = a x (b x c) Bất số nhân với ax0=0 Bất số nhân với a x = a Muốn nhân số với tổng, ta nhân số với số hạng tổng cộng kết lại : a x (b + c) = a x b + a x c Muốn nhân số với hiệu, ta nhân số với số bị trừ, nhân số với số trừ trừ hai kết cho a x (b - c) = a x b – a x c Muốn nhân số tự nhiên với 10; 100; 1000;… ta việc thêm vào bên phải số một, hai, ba… chữ số Nếu gấp thừa số lên lần tích gấp lên nhiêu lần axb=c a x (b x m) = c x m 10 Trong phép nhân, ta thêm bớt thừa số đơn vị giữ ngun thừa số tích tăng lên giảm nhiêu lần thừa số lại axb=c (a + m) x b = c + m x b (a - n) x b = c – n x b 11 Một số cách tính nhân nhẩm số tự nhiên : a) Nhân nhẩm với 5, 50, 25, 250 125 - Muốn nhân nhẩm số với 5, ta nhân số với 10 chia cho - Muốn nhân nhẩm số với 50, ta nhân số với 100 đem chia cho - Muốn nhân nhẩm số với 25 ta nhân số với 100 đem chia cho - Muốn nhân nhẩm số với 250 ta lấy số nhân với 1000 đem chia cho - Muốn nhân nhẩm số với 125 ta lấy số nhân với 1000 chia cho b) Nhân nhẩm với 99 - Muốn nhân nhẩm số với 9, ta nhân số với 10 trừ số - Muốn nhân nhẩm số với 99, ta nhân số với 100 trừ số c) Nhân nhẩm với 11 - Muốn nhân nhẩm số với 11, ta nhân số với 10 cộng với số - Muốn nhân nhẩm số có hai chữ số với 11: +) Nếu tổng hai chữ số số nhỏ 10 ta việc cộng hai chữ số này, ta viết xen vào hai chữ số Ví dụ: 35 x 11 = 385 Cách làm: Ta lấy + = 8, viết xen vào +) Nếu tổng hai chữ số số lớn 9, ta cộng hai chữ số lại, ta viết hàng đơn vị tổng vào hai chữ số số nhớ vào hàng chục (cộng thêm vào hàng chục số đó) Ví dụ: 87 x 11 = 935 Cách làm: Ta lấy + = 15, viết vào và lấy + = số 935 B BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1: Tính cách thuận tiện: a) x 217 x c) 1279 x 25 x b) x 313 x 125 d) 125 x 217 x Lời giải a) x 217 x = x x 217 = 10 x 217 = 2170 b) x 313 x 125 = x 125 x 313 = 1000 x 125 = 125000 c) 1279 x 25 x = 1279 x 100 = 127900 d) 125 x 217 x = 125 x x 217 = 1000 x 217 = 217000 Ví dụ 2: Tính cách thuận tiện nhất: a) 2157 x 39 + 2157 x 61 c) 4734 x 52 + 48 x 4734 b) 7529 x 123 – 7529 x 23 d) 834 x 217 – 117 x 834 Lời giải a) 2157 x 39 + 2157 x 61 = 2157 x (39 + 61) = 2157 x 100 = 215700 b) 7529 x 123 – 7529 x 23 = 7529 x (123 - 23) = 7529 x 100 = 752900 c) 4734 x 52 + 48 x 4734 = 4734 x (52 + 48) = 4734 x 100 = 473400 d) 834 x 217 – 117 x 834 = 834 x (217 - 117) = 834 x 100 = 83400 Ví dụ 3: Tích hai số gấp lần thừa số thứ Tìm thừa số thứ hai Lời giải: Vì tích hai số gấp lần thừa số thứ nên thừa số thứ hai * Thứ tự số thập phân Ở hai số thập phân có vơ số số thập phân khác VD: Giữa 1,2 1,3 có vơ số số thập phân khác: Chẳng hạn: 1,2 < 1,21 < 1,211 < 1,212 < 1,2121…< 1,3 CHUYÊN ĐỀ CÁC PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ A LÝ THUYẾT Phép cộng phân số 1.1 Cách cộng Hai phân số mẫu: a c ac (b 0) b b b Hai phân số khác mẫu số: - Quy đồng mẫu số phân số đa trờng hợp cộng phân số có mẫu số Cộng số tự nhiên với phân số - Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số mẫu số phân số cho - Cộng hai tử số giữ nguyên mẫu số Ví dụ: 11 2+ 4 4 1.2 Tính chất phép cộng - Tính chất giao hoán: a c c a b d d b - Tính chất kết hợp: a c m a c m b d n b d n - Tổng phân số số 0: a a a 0 0 b b b Phép trừ phân số 2.1 Cách trừ Hai phân số mẫu: a c ac b b b Hai phân số khác mẫu số: - Quy đồng mẫu số phân số đưa trường hợp trừ phân số mẫu số b) Quy tắc bản: - Một tổng phân số trừ phân số: a c m a c m b d n b d n (Với c a m = d b n (Với c m d n) a m b n) - Một phân số trừ tổng phân số: a c m a c m b d n b d n a m c = b n d - Một phân số trừ số 0: a a 0 b b Phép nhân phân số a c axc x 3.1 Cách nhân: b d bxd 3.2 Tính chất bạn phép nhân: - Tính chất giao hoán: a c c a x x b d d b - Tính chất kết hợp: a c m a c m b d n =b d n - Một tổng phân số nhân với phân số: a c m a m c m b d n b n d n - Một hiệu phân số nhân với phân số: a c m a m c m b d n b n d n - Một phân số nhân với số 0: a a x0 x b b 3.3 Chú ý: - Thực phép trừ phân số: 1 1 1 1 2 2 1x Do đó: 1x2 1 1 1 6 x3 Do đó: x3 1 1 1 12 12 12 3x Do đó: 3x 1 n 1 n 1 1 n n n (n 1) n (n 1) n (n 1) Do đó: n n n (n 1) - Muốn tìm giá trị phân số số ta lấy phân số nhân với số Ví dụ: Tìm ta lấy: 1 1 Tìm ta lấy: 6 Phép chia phân số a c axd : 4.1 Cách làm: b d bxc 4.2 Quy tắc bản: - Tích phân số chia cho phân số a c m a c m x : x : b d n b d n - Một phân số chia cho tích phân số: a c m a c m : x : : b d n b d n - Tổng phân số chia cho phân số: a c m a m a m : : : b d n b n b n - Hiệu phân số chia cho phân số: a c m a m c m : : : b d n b n d n 0: a b - Số chia cho phân số: - Muốn tìm số biết giá trị phân số ta lấy giá trị chia cho phân số tương ứng Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết số học sinh lớp 5A 10 em Bài giải Số học sinh lớp 5A là: 25 10 : (em) nói dối Dân làng thƣờng qua lại thăm Một chàng niên thăm bạn làng A Vừa bƣớc vào xã X, dang ngơ ngác chƣa biết làng nào, chàng niên gặp cô gái hỏi ngƣời câu Sau nghe trả lời chàng niên quay (vì biết làng B) sang tìm bạn làng bên cạnh Bạn cho biết câu hỏi ccâu trả lời mà chàng niên lại khẳng định chắn nhƣ Phân tích Để nghe xong câu trả lời người niên khẳng định đứng làng A hay làng B phải nghĩ câu hỏi cho câu trả lời cô gái phụ thuộc vào họ đứng làng Cụ thể hơn: cần đặt câu hỏi để cô gái trả lời “phải”, họ đứng làng A “không phải”, họ đứng làng B Giải Câu hỏi người niên là: “Có phải chị người làng không?” Trường hợp 1: Họ đứng làng A: Nếu gái người làng A câu trả lời “phải” (vì dân làng A chun nói thật); Nếu gái người làng B câu trả lời “phải” (vì dân làng nói dối) Trường hợp 2: Họ đứng làng B: Nếu gái người làng A câu trả lời là: “không phải”; Nếu cô gái người làng B câu trả lời là: “khơng phải” Như vậy, Nếu họ đứng làng A câu trả lời “phải”, cịn họ đứng làng B câu trả lời “khơng phải” Người niên định quay ra, anh nghe câu trả lời “không phải” CHUYÊN ĐỀ 28 SỐ VÀ CHỮ SỐ A LÝ THUYẾT a Có mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Khi viết số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số Chữ số kể từ bên trái số tự nhiên phải khác b Phân tích cấu tạo số tự nhiên: ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = abc x 10 + d = ab x 100 + cd c Quy tắc so sánh hai số tự nhiên: c.1- Trong số tự nhiên, số có chữ số nhiều số lớn c.2- Nếu số có chữ số số có chữ số kể từ trái sang phảilớn lớn d Số tự nhiên có tận 0, 2, 4, 6, số chẵn Số chẵn có tận 0, 2, 4, 6, e.Số tự nhiên có tận 1, 3, 5, 7, số lẻ Số lẻ có tận 1, 3, 5, 7, g Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị Hai số (kém) đơn vị hai số tự nhiên liên tiếp h Hai số chẵn liên tiếp (kém) đơn vị Hai số chẵn (kém) đơn vị số chẵn liên tiếp i Hai số lẻ liên tiếp (kém) đơn vị Hai số lẻ (kém) đơn vị số lẻ liên tiếp k Khi phải viết số có nhiều chữ số giống người ta thường viết chữ số đầu sau viết chữ số cuối bên ghi số lượng chữ số giống 10 chữ số 47 B BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Sử dụng cấu tạo thập phân số: Ở dạng ta thường gặp loại toán sau: * Loại 1: Viết thêm hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái xen số tự nhiên Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số,biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta đƣợc số lớn gấp 13 lần số cho Giải Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số vào bên trái ta dược số 9ab Theo ta có: 9ab = ab x 13 900 + ab = ab x 13 900 = ab x 13 – ab 900 = ab x (13 – 1) 900 = ab x 12 ab = 900: 12 ab = 75 Bài 2: Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số tăng thêm 112 đơn vị Giải Gọi số phải tìm abc Khi viết thêm chữ số vào bên phải ta dược số abc5 Theo ta có: abc5 = abc + 112 10 x abc + = abc + 112 10 x abc = abc + 112 – 10 x abc = abc + 107 10 x abc – abc = 107 ( 10 – ) x abc = 107 x abc = 107 abc = 123 Bài 3: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết chữ số xen chữ số hàng chục hàng đơn vị số ta đƣợc số lớn gấp 10 lần số cho, viết thêm chữ số vào bên trái số vừa nhận dƣợc số lại tăng lên lần Giải Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số 0xen chữ số hàng chục hàng đơn vị ta số a0b Theo ta có: ab x 10 = a0b Vậy b = số phải tìm có dạng a00 Viết thêm chữ số vào bên trái số a00 ta số 1a00 Theo ta có: 1a00 = x a00 Giải ta a = Số phải tìm 50 * Loại 2: Xoá bớt chữ số số tự nhiên Bài 1: Cho số có chữ số Nếu ta xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 4455 đơn vị Tìm số Giải 48 Gọi số phải tìm abcd Xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị ta số ab Theo đề ta có abcd – ab = 4455 100 x ab + cd – ab = 4455 cd + 100 x ab – ab = 4455 cd + 99 x ab = 4455 cd = 99 x (45 – ab) Ta nhận xét tích 99 với số tự nhiên số tự nhiên nhỏ 100 Cho nên 45 ab phải - Nếu 45 – ab = ab = 45 cd = - Nếu 45 – ab = ab = 44 cd = 99 Số phải tìm 4500 4499 * Loại 3: Số tự nhiên tổng, hiệu, tích chữ số Bài 1: Tìm số có chữ số, biết số gấp lần tỏng chữ số Giải Cách 1: Gọi số phải tìm ab Theo ta có ab = x (a + b) 10 x a + b = x a + x b 10 x a – x a = x b – b (10 – 5) x a = (5 – 1) x b 5xa=4xb Từ suy b chia hết cho Vậy b + Nếu b = a = (loại) + Nếu b = x a = 20, a = Số phải tìm 45 Cách 2: Theo ta có ab = x ( a + b) Vì x (a + b) có tận hoăc nên b + Nếu b = thay vào ta có: a5 = x (a + 5) 10 x a + = x a + 25 Tính ta a = Thử lại: 45: (4 + 5) = Vậy số phải tìm 45 Bài 2: Tìm số có chữ số, biết số chia cho hiệu chữ số đƣợc thƣơng 28 dƣ Giải Gọi số phải tìm ab hiệu chữ số c Theo ta có: ab = c x 28 + 1, c 1, + Nếu c = ab = 29 Thử lại: – = khác (loại) + Nếu c = ab = 57 Thử lại: – = ; 57: = 28 (dư 1) + Nếu c= ab = 58 Thử lại: – = ; 85: = 28 (dư 1) Vậy số phải tìm 85 57 49 Bài 3: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Giải Cách 1: Gọi số phải tìm abc Theo ta có : abc = x a x b x c Vì a x x b x c chia hết abc chia hết cho Vậy c = 5, c 0, c = Số phải tìm có dạng ab5 Thay vào ta có: 100 x a + 10 x b + = 25 x a x b 20 x a + x b +1 = x a x b Vì a x x b chia hết x b + chia hết cho Vậy x b có tận 9, x b số chẵn nên b = - Trường hợp b = ta có a25 = x a x Vế trái số lẻ mà vế phải số chẵn Vậy trường hợp b = bị loại - Trường hợp b = ta có 20 x a + 15 = 35 x a Tính ta a = Thử lại: 175 = x x Vậy số phải tìm 175 Cách 2: Tương tự cach ta có: ab5 = 25 x a x b Vậy ab5 chia hết cho 25, suy b = Mặt khác, ab5 số lẻ a, b phải số lẻ suy b = Tiếp theo tương tự cách ta tìm a = Số phải tìm 175 * Loại 4: So sánh tổng điền dấu Bài 1: Cho A = abc + ab + 1997 B = 1ab9 + 9ac + 9b So sánh A B Giải Ta thấy: B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b = 1999 + ab0 + a0 + c + b = 1999 + abc + ab -> A < B Bài 2: So sánh tổng A B A = abc +de + 1992 B = 19bc + d1 + a9e Giải Ta thấy: B = 1900 + bc + d0 + + a00 + e + 90 = abc + de + 1991 Từ ta suy A > B Bài 3: Điền dấu 1a26 + 4b4 +5bc [ ] abc + 1997 abc + m000 [ ] m0bc + a00 x5 + 5x [ ] xx +56 Dạng 2: Kĩ thuật tính quan hệ phép tính 50 Bài 1: Tổng hai số gấp đơi số thứ Tìm thƣơng số Giải Ta có: STN + ST2 = Tổng Mà tổng gấp đôi STN nên STN = ST2 suy thương số Bài 2: Một phép chia có thƣơng số dƣ 3, tổng số bị chia, số chia số dƣ 195 Tìm số bị chia số chia Giải Gọi số bị chia A, số chia B Ta có: A: B = (dư 3) hay A = B x + Và: A + B + = 195 -> A + B = 1995 – = 1992 B = (1992 – 3): (6 + 1) = 27 A = 27 x + = 165 Bài 3: Hiệu số 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ đƣợc thƣơng số dƣ Tìm số Giải Số bé là: (33 – 3): = 15 Số lớn là: 33 + 15 = 48 Đáp số: SL 48 ; SB 15 CHUYÊN ĐỀ 29 DÃY SỐ Dạng QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ: A LÝ THUYẾT Trước hết ta cần xác định quy luật dãy số Những quy luật thường gặp là: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) số hạng đứng trước cộng (hoặc trừ) với số tự nhiên d; + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) số hạng đứng trước nhân (hoặc chia) với số tự nhiên q khác 0; + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) tổng hai số hạng đứng trước + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) tổng số hạng đứng trước cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự số hạng + Số hạng đứng sau số hạng đứng trước nhân với số thứ tự v v B BÀI TẬP VẬN DỤNG Loại 1: Dãy số cách đều: Bài 1: Viết tiếp số: a, 5, 10, 15, b, 3, 7, 11, 51 Giải a, Vì: 10 – = 15 – 10 = Dãy số số hạng liền nhau đơn vị Vậy số là: 15 + = 20 20 + = 25 25 + = 30 Dãy số là: 5, 10, 15, 20, 25, 30 b, – = 11 – = Dãy số số hạng liền nhau đơn vị Vậy số là: 11 + = 15 15 + = 19 19 + = 23 Dãy số là: 3, 7, 11, 15, 19, 23 Dãy số cách hiệu số hạng với số liền trước Loại 2: Dãy số khác: Bài 1: Viết tiếp số hạng vào dãy số sau: a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, c, 0, 3, 7, 12, d, 1, 2, 6, 24, Giải a, Ta nhận xét: = + 7=3+4 11 = + 18 = + 11 Từ rút quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) tổng hai số hạng đứng trước Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, b, Tương tự a, ta tìm quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) tổng số hạng đứng trước Viết tiếp ba số hạng, ta dãy số sau 0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, c, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai là: 3=0+1+2 Số hạng thứ ba là: 7=3+1+3 Số hạng thứ tư là: 12 = + + Từ rút quy luật dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) tổng số hạng đứng trước cộng với cộng với số thứ tự số hạng 52 Viết tiếp ba số hạng ta dãy số sau 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, d, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai 2=1x2 Số hạng thứ ba 6=2x3 số hạng thứ tư 24 = x Từ rút quy luật dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) tích số hạng đứng liền trước nhân với số thứ tự số hạng Viết tiếp ba số hạng ta dãy số sau: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, Bài 2: Tìm số hạng dãy số sau: a, , 17, 19, 21 b, , 64, 81, 100 Biết dãy có 10 số hạng Giải a, Ta nhận xét: Số hạng thứ mười 21 = x 10 + Số hạng thứ chín là: 19 = x + Số hạng thứ tám là: 17 = x + Từ suy quy luật dãy số là: Mỗi số hạng dãy x thứ tự số hạng dãy cộng với Vậy số hạng dãy 2x1+1=3 b, Tương tự ta rút quy luật dãy là: Mỗi số hạng số thứ tự nhân số thứ tự số hạng Vậy số hạng dãy là: 1x1=1 Bài 3: Lúc sáng, Một ngƣời xuất phát từ A, xe đạp B Đến 11 trƣa ngƣời dừng lại nghỉ ăn trƣa tiếng, sau lại tiếp chiều đến B Do ngƣợc gió, cho nen tốc độ ngƣời sau lại giảm km Tìm tốc độ ngƣời xuất phát, biết tốc đọ tiếng cuối quãng đƣờng 10 km/ Giải Thời gian người đường là: (11 – 7) + (15 – 12) = (giờ) Ta nhận xét: Tốc độ người tiếng thứ là: 10 (km/giờ) = 10 + x Tốc độ người tiếng thứ là: 53 12 (km/giờ) = 10 + x Tốc độ người tiếng thứ là: 14 (km/giờ) = 10 + x Từ rút tốc độ người lúc xuất phát (trong tiếng thứ nhất) là: 10 + x = 22 (km/giờ) Bài 4: Điền số thích hợp vào ô trống, cho tổng số ô liên tiếp 1996: Giải Ta đánh số ô theo thứ tự sau: Theo điều kiện đầu ta có: 496 + ơ7 + = 1996 ô7 + ô8 + ô9 = 1996 Vậy ơ9 = 496 Từ ta tính ơ8 = ô5 = ô2 = 1996 – (496 + 996) = 504; ô7 = ô4 = ô1 = 996 ô3 = ô6 = 496 Điền vào ta dãy số: Dạng Xác định số a có thuộc dãy cho hay không: A LÝ THUYẾT - Xác định quy luật dãy - Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật hay khơng B BÀI TẬP VẬN DỤNG Em cho biết: a, Các số 50 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, hay không? b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11, hay không? c, Số số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24, ? Giải thích sao? Giải a, Cả số 50 133 khơng thuộc dãy cho - Các số hạng dãy cho lớn 50; - Các số hạng dãy cho chia hết cho mà 133 không chia hết cho b, Số 1996 khơng thuộc dãy cho, Vì số hạng dãy chia cho dư mà 1996: dư c, Cả số 666, 1000, 9999 không thuộc dãy 3, 6, 12, 24, , - Mỗi số hạng dãy (kể từ số hạng thứ 2) số hạng liền trước nhân với Cho nên số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước số chẵn mà 666: = 333 số lẻ - Các số hạng dãy chia hết cho mà 1000 không chia hết cho - Các số hạng dãy (kể từ số hạng thứ hai) chẵn mà 9999 số lẻ Dạng Tìm số số hạng dãy số: A LÝ THUYẾT - Ở dạng thường sử dụng phương pháp giải tốn khoảng cách (trồng cây).Ta có cơng thức sau: Số số hạng dãy = Số 54khoảng cách + - Nếu quy luật dãy là: số đứng sau số hạng liền trước cộng với số không đổi thì: Số số hạng dãy = (Số cuối – số đầu): K/c + B BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Viết số lẻ liên tiếp từ 211 Số cuối 971 Hỏi viết đƣợc số? Giải Hai số lẻ liên tiếp đơn vị Số cuối số đầu số đơn vị là: 971 – 211 = 760 (đơn vị) 760 đơn vị có số khoảng cách là: 760: = 380 (K/ c) Dãy số có số số hạng là: 380 +1 = 381 (số) Đáp số: 381 số hạng Bài 2: Cho dãy số 11, 14, 17, , 68 a, Hãy xác định dãy có số hạng? b, Nếu ta tiếp tục kéo dài số hạng dãy số số hạng thứ 996 số mấy? Giải a, Ta có: 14 – 11 = 17 – 14 = Vậy quy luật dãy là: số hạng đứng sau số hạng đứng trước cộng với Số số hạng dãy là: ( 68 – 11 ): + = 20 (số hạng) b, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai: 14 = 11 + = 11 + (2 – 1) x Số hạng thứ ba: 17 = 11 + = 11 + (3 – 1) x Số hạng thứ tư : 20 = 11 + = 11 + (4 – 1) x Vậy số hạng thứ 996 là: 11 + (1 996 – 1) x = 996 Đáp số: 20 số hạng; 5996 Bài 3: Trong số có ba chữ số, có số chia hết cho 4? Giải Ta có nhận xét: số nhỏ có ba chữ số chia hết cho 4là 100 số lớn có ba chữ số chia hết cho 996 Như số có ba chữ số chia hết cho lập thành dãy số có số hạng đầu 100, số hạng cuối 996 số hạng dãy (Kể từ số hạng thứ hai) số hạng đứng kề trước cộng với Vậy số có chữ số chia hết cho là: (996 – 100): + = 225 (số) Đáp số: 225 số Dạng Tìm tổng số hạng dãy số: A LÝ THUYẾT Nếu số hạng dãy số cách tổng số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối dãy Vì vậy: Tổng số hạng dãy = tổng cặp số hạng cách số hạng đầu cuối x số hạng dãy: B BÀI TẬP VẬN DỤNG 55 Bài 1: Tính tổng 100 số lẻ Giải Dãy 100 số lẻ là: + + + + + + 197 + 199 Ta có: + 199 = 200 + 197 = 200 + 195 = 200 Vậy tổng phải tìm là: 200 x 100: = 10 000 Đáp số: 10 000 Bài 2: Cho số tự nhiên gồm số tự nhiên liên tiếp từ đến 1983 đƣợc viết theo thứ tự liền nhƣ sau: 10 11 12 13 1980 1981 1982 1983 Hãy tính tổng tất chữ số số (Đề thi học sinh giỏi tồn quốc năm 1983) Giải Cách Ta nhận xét: Các cặp số: - 1999 có tổng chữ số là: + + + + = 28 - 1998 có tổng chữ số là: + + + + = 28 - 1997 có tổng chữ số là: + + + + = 28 - 998 1001 có tổng chữ số là: + + + + = 28 - 999 1000 có tổng chữ số là: + + + = 28 Như dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, , 1997, 1998, 1999 Hai số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối có tổng 28 Có 1000 cặp vậy, tổng chữ số tạo nên dãy số là: 28 x 1000 = 28 000 Số tự nhiên tạo thành cách viết liên tiếp số tự nhiên từ 1984 đến 1999 : Vậy tổng chữ số số tự nhiên cho là: 28 000 – 382 = 27 618 Bài 3: Viết số chẵn liên tiếp: 2, 4, 6, 8, , 2000 Tính tổng dãy số 56 Giải Dãy số số chẵn liên tiếp đơn vị Dãy số có số số hạng là: (2000 – 2): + = 1000 (số) 1000 số có số cặp số là: 1000: = 500 (cặp) Tổng cặp là: + 2000 = 2002 Tổng dãy số là: 2002 x 500 = 100100 CHUYÊN ĐỀ 30 TOÁN CHUYỂN ĐỘNG A LÝ THUYẾT Mỗi quan hệ quãng đờng (s), vận tốc (v) thời gian (t) s v=t 1.1 Vận tốc: 1.2 Quãng đờng: s = v x t 1.3 Thời gian: t = s : v - Với vận tốc quãng đờng thời gian đại lợng tỉ lệ thuận với - Với thời gian quãng đờng vận tốc đại lợng tỉ lệ thuận với - Với quãng đờng vận tốc thời gian đại lợng tỉ lệ nghịch với Bài tốn có động tử (chỉ có vật tham gia chuyển động,ví dụ: ô tô, xe máy, xe đạp, ngời bộ, xe lửa, …) 2.1 Thời gian = thời gian đến - thời gian khởi hành - thời gian nghỉ (nếu có) 2.2 Thời gian đến = thời gian khởi hành + thời gian + thời gian nghỉ (nếu có) 2.3 Thời gian khởi hành = thời gian đến - thời gian - thời gian nghỉ (nếu có) Bài toán động tử chạy ngợc chiều 3.1 Thời gian gặp = quãng đờng : tổng vận tốc 3.2 Tổng vận tốc = quãng đờng : thời gian gặp 3.3 Quãng đờng = thời gian gặp tổng vận tốc Bài toán động tử chạy chiều 4.1 Thời gian gặp = khoảng cách ban đầu : hiệu vận tốc 4.2 Hiệu vận tốc = khoảng cách ban đầu : thời gian gặp 4.3 Khoảng cách ban đầu = thời gian gặp hiệu vận tốc Bài toán động tử dịng nớc 5.1 Vận tốc xi dịng = vận tốc vật + vận tốc dòng nớc 5.2 Vận tốc ngợc dòng = vận tốc vật - vận tốc dòng nớc 5.3 Vận tốc vật = (vận tốc xi dịng + vận tốc ngợc dịng) : 5.4 Vận tốc dịng nớc = (vận tốc xi dịng - vận tốc ngợc dịng) : Động tử có chiều dài đáng kể 6.1 Đồn tàu có chiều dài l chạy qua cột điện Thời gian chạy qua cột điện = l : vận tốc đoàn tàu 6.2 Đồn tàu có chiều dài l chạy qua cầu có chiều dài d Thời gian chạy qua cầu = (l + d) : vận tốc đoàn tàu 6.3 Đồn tàu có chiều dài l chạy qua ô tô chạy ngợc chiều (chiều dài ô tô không đáng kể) 57 Thời gian qua = quãng đờng : tổng vận tốc 6.4 Đồn tàu có chiều dài l chạy qua tô chạy chiều (chiều dài ô tô không đáng kể) Thời gian qua = quãng đờng: hiệu vận tốc B BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Một tàu tuần tiểu có vận tốc 40 km/giờ, đƣợc lệnh tiến hành trinh sát phía trƣớc hạm đội theo phƣơng tiến hạm đội quay hạm đội sau Biết vận tốc hạm đội đƣợc 24 km/giờ Hỏi tàu tuần tiểu từ bắt đầu đƣợc khoảng cách bao xa để trở hạm đội thời gian quy định? Tổng quãng đường tàu tuần tiểu hạm đội gấp lần khoảng cách cần thiết tàu tuần tiểu phải Tổng vận tốc tàu tuần tiểu hạm đội: 40 + 24 = 64 (km/giờ) Hai lần khoảng cách là: 64 x = 192 (km) Khoảng cách tàu tuần tiểu phải là: 192 : = 96 (km) Bài 2: Hiện 12 Sau kim đồng hồ chập nhau? Mặt tròn đồng hồ chia làm 12 khoảng theo trụ số Mỗi kim chạy khoảng, kim phút chạy 12 khoảng Ta xem kim chạy trước kim phút vịng (12 khoảng Vì kim gặp số 12) Hiệu số vận tốc kim phút kim là: 12 - = 11 (khoảng/giờ) Thời gian để kim đồng hồ chập lần kế tiếp: : 11 = 1 (giờ) 11 Bài 3: Bính từ A đến B Nửa quãng đƣờng đầu Bính với vận tốc 60 km/giờ Nửa quãng đƣờng cịn lại Bính với vận tốc 30 km/giờ Tính vận tốc trung bình Bính suốt qng đƣờng AB Giả sử quãng đường AB dài 120km Nửa quãng đường AB là: 120 : = 60 (km) Thời gian nửa quãng đường đầu: 60 : 60 = (giờ) Thời gian nửa quãng đường sau: 60 : 30 = (giờ) Tổng thời gian hết quãng đường: + = (giờ) Vận tốc trung bình Bính suốt qng đường:120 : = 40 (km/giờ) Bài 4: An ngồi làm lúc chút Khi An làm xong thấy kim đồng hồ đổi chỗ cho Lúc Hỏi An làm hết phút? Vận tốc: Kim chạy 12 khoảng; kim chạy khoảng Tổng vận tốc kim: 12 + = 13 (khoảng giờ) Thời gian kim đổi chỗ cho nhau:12 : 13 = 55 (phút) 13 Bài 5: Một Chó đuổi Thỏ cách xa 17 bƣớc Chó Con Thỏ cách hang 80 bƣớc Thỏ Khi Thỏ chạy đƣợc bƣớc Chó chạy đƣợc bƣớc Một bƣớc Chó bƣớc Thỏ Hỏi Chó có bắt đƣợc Thỏ không? 80 bước thỏ số bước chó : 80 : = 10 ( bước chó) Chó cách hang thỏ số bước : 17 + 10 = 27 ( bước) Để đến hang thỏ chó phải chạy số bước tính bước thỏ : 27 x = 81 ( bước 58 thỏ) Mà thỏ cách hang 80 bước thỏ nên thỏ đến trước bước vào hang Vì chó khơng bắt đƣợc thỏ Bài 6: An từ A đến B giờ, Bình từ B A Biết An Bình xuất phát lúc sau 30 phút hai ngƣời cách 20 km Tính độ dài quãng đƣờng AB Mỗi An 1/4 quãng đường; Bình 1/5 quãng đường Mỗi người được: 1/4 + 1/5 = 9/20 (quãng đường) 30 phút (2,5 giờ) người được: 9/20 x 2,5 = 45/40 (quãng đường) Phân số 20 km: 45/40 - = 5/40 (quãng đường) Quãng đường AB là: 20 : x 40 = 160 (km) Bài 7: Bây giờ.Hỏi sau kim kim phút trùng nhau? Dạng chuyển động chiều Vận tốc kim phút 12 khoảng /giờ Vận tốc kim khoảng/giờ Lúc giờ, kim phút sau kim khoảng Hiệu vận tốc kim 12 – = 11 (khoảng/g) Thời gian kim phút trùng kim là: : = 3/11 (giờ) Bài 8: Lúc ngƣời xuất phát từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau 30 phút ngƣời khác từ B A với vận tốc 40km/h.Biết họ gặp luc 8h30 Tính độ dài quãng đƣờng AB? Sau 30 phút người từ A được: 30 : = 15 (km) Lúc người xuất phát lúc 6g30ph Tổng vận tộc người bao nhiêu? Đi người gặp nhau? Ta tính độ dài quãng đường Bài 9: Hai vận động viên đua xe đạp đƣờng trƣờng 10 vòng quanh hồ hình trịn có chu vi 10km Vận tốc trung bình ngƣời thứ 32km/giờ; vận tốc ngƣời thứ hai 35km/giờ Hỏi sau hai ngƣời cách bao xa? Sau người thứ được: 32 x = 64 (km) Sau người thứ hai được: 35 x = 70 (km) Ta thấy sau người thứ hai vừa vòng đến điểm xuất phát (do 70 hết cho 10); người thứ vừa qua điểm xuất phát vòng thêm 4km : (64 – (10x6) = 4(km)) Như người cách km Bài 10: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B giờ; ngƣợc dòng từ bến B đến bến A Biết vận tốc xi dịng ngƣợc dịng 95km/giờ Tính độ dài qng đƣờng AB? Hiểu tổng vận tốc xi dịng ngược dịng 95km/giờ Cùng qng đường thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc Tỉ số vận tốc xi dịng ngược dịng là: 3/2 Vận tốc xi dịng là: 95 : (3+2) x = 57 (km/giờ) Quãng đường AB là: 57 x = 114 (km) 59 Bài 11: Một ca nô xi dịng từ bến A đến bến B giờ; ngƣợc dòng từ bến B đến bến A Biết vận tốc dòng nƣớc 10km/giờ Tính chiều dài quãng đƣờng AB? Gọi VX vận tốc xi dịng VN vận tốc ngược dịng Hiệu vận tốc: VX – VN = 10 x = 20 (km/giờ) Cùng quãng đường thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc Tỉ số vận tốc xi dịng ngược dịng là: 3/2 Vận tốc xi dòng là: 20 : (3-2) x = 60 (km/giờ) Quãng đường AB là: 60 x = 120 (km) Bài 12: Một canô từ A B hêt từ B A hết Biết vận tốc dong nƣớc 4km/giờ Tính quãng dƣơng AB? Vx: Vn: Cùng quãng đường vận tốc tỉ lệ ngịch với thời gian Gọi Vx vận tốc xi dịng Vn vận tốc ngược dịng Ta có Vx/ Vn = 4/3 Vận tốc xi dịng vận tốc ngược dòng: x = (km/giờ) (vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng lần vận tốc dòng nước) | _| _| _| _| | _| _| _| Vận tốc xi dịng: x = 32 (km/giờ) Quãng đường AB: 32 x = 96 (km) Bài 13: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 60 km/giờ, lúc từ B A ô tô với vận tốc 40km/giờ Tính vận tốc trung bình tơ quãng đƣờng? Muốn tính vận tốc trung bình phải cần có qng đường thời gian tương ứng Giả sử quãng đường dài 120 km (vì 120 chia hết cho 60 40 để dễ tính) Thời gian từ A đến B: 120 : 60 = (giờ) Thời gian từ B đến A: 120 : 40 = (giờ) Tổng thời gian lẫn về: + = (giờ) Vận tốc trung bình lần về: 120 x : (3 + 2) = 48 (km/giờ) Bài 14: Lúc 5giờ 15 phút, ô tô chở hàng từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 55km/giờ Đến 51 phút tơ đến tỉnh B Sau trả hàng cho tỉnh B hết 45 phút, ô tô quay A với vận tố 60km/giờ Hỏi ôtô quay đến A lúc giờ? Thời gian ô tô từ A đến B là: 51 phút - 15 phút = 36 phút = 3,6 (giờ) Quãng đường AB là: 55 x 3,6 = 198 km Thời gian Ơ tơ quay từ B A là: 198 : 60 = 3,3 (giờ) = 18 phút Ơ tơ quay đến A lúc: 51 + 45 phút + 18 phút = 12 54 phút Bài 15: Một ca nơ xi dịng từ A đến B với vận tốc 50km/giờ Đi ngƣợc dòng từ B đến A với vận tốc 40km/giờ Biết tổng thời gian lẫn 3,6 giờ? Tính độ dài quãng đƣờng AB? Cùng quãng đường vận tốc tỉ lệ nghịc với thời gian: Tỉ lệ thời gian xuôi ngược dịng: 40/50 = 4/5 Thời gian xi dịng: 3,6: (4+5)x4= 1,6 (giờ) Quãng đường AB: 50 x 1,6 = 80 (km) 60 61 ... là: 222; 232; 252 ; 322; 332; 352 ; 52 2; 53 2; 55 2 b) Các số chia hết cho có chữ số hàng đơn vi Các số là: 2 25; 2 35; 255 ; 3 25; 3 35; 355 ; 52 5; 53 5; 55 5 VD 2: a) Có thể viết đƣơc số chẵn có ba chữ số... 17 ,58 x 43 + 57 x 17 ,58 = 17 ,58 x 43 + 17 ,58 x 57 (tính giao hốn) = 17 ,58 x (43 + 57 ) = 17 ,58 x 100 = 1 758 (nhân số với tổng) b, 43 ,57 x 2,6 x ( 630 – 3 15 x 2) = 43 ,57 x 2,6 x ( 630 – 630) = 43 ,57 ... 15% muối? Giải Số ki-lô-gam nước lã cần dùng là: x (100 - 15) : 15 = 17 kg Đáp số: 17 kg nƣớc lã Ví dụ Lớp 5B có 30 học sinh có 18 học sinh nữ Tìm tỉ số phần trăm của: a) Số học sinh nữ số học