Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số... Chú ý:Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.[r]
(1)SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN THI ĐẠI HỌC Trường THPT Ba Đình Lần I- Năm học 2011-2012 - Mơn: Tốn, khối A-B
Thời gian làm bài: 180 phút PHẦN CHUNGCHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH:
Câu I(2 điểm): Cho hàm số y=x −1
x+1 (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi A,B giao điểm đường thẳng y=1
6x với đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc đường phân giác góc phần tư thứ cho MA+MB nhỏ
Câu II(2 điểm): Giải phương trình : a cos 2x+4 cos 2xsinx+4 sin22x −3=0 b x3+1=2√32x −1
Câu III(1 điểm): Giải hệ phương trình :
¿
4+9 3x2−2y=(4+9x2−2y)72y − x2+2
√2y −2x+4=3−2x ¿
¿{ ¿
Câu IV(1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a,AD = 2a,cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM=a√3
3 ,mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp SBCNM
Câu V(1 điểm): Cho x,y,z số khơng âm thoả mãn x2
+y2+z2=3 Tìm giá trị nhỏ của:
M= x
3
√
1+y2+y3
√
1+z2+ z3√
1+x2PHẦN RIÊNG : Thí sinh chọn làm hai phần A B
A Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa(2 điểm):
1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;-2),đường phân giác góc B, đường cao xuất phát từ C có phương trình: 2x + y +5 = x - y + = 0.Tìm toạ độ đỉnh B,C tính diện tích tam giác ABC
2.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(-2;1),và hai đường thẳng (d1) : x + 3y +8 = ;
(d2) : 3x - 4y + 10 = 0.Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc đường thẳng (d1) qua điểm
A tiếp xúc với đường thẳng (d2)
Câu VIIa(1 điểm): Tìm số hạng chứa x8 khai triển: 1− x
4
−1 x¿
n f (x)=¿
biết n số nguyên dương thoả mãn điều kiện: Pn+5
Pn−2
=272A5n+3
B.Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb(2 điểm):
1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy viết phương trình tổng quát cạnh tam giác ABC biết trực tâm H(1;0),chân đường cao hạ từ đỉnh B điểm M(0;2) trung điểm cạnh AB điểm N(3;1)
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(0;2) Hypebol (H) : x2 −
y2
1=1 Lập phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm M cắt (H) hai điểm A,B phân biệt cho 3 MA− −−−5 MB−− −=0−
Câu VIIb(1 điểm): Giải phương trình: 3x2
+1 25x=6 5x−3
(2)SỞ GD&ĐT THANH HOÁ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Trường THPT Ba Đình ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN THI ĐẠI HỌC
- Lần I Năm học 2011-2012
Mơn: Tốn, khối A-B
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu ý Nội dung(sơ lược) Điểm
I Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị 1.0
a.Tập xác định : D = R \{-1} b Sự biến thiên
Giới hạn : x −−1
+¿y=− ∞ lim
¿
; x −−lim1−y=+∞ Vậy x = -1 tiệm cận đứng
0.25 x −lim>+∞y=1 ; x −− ∞lim y=1 Vậy y = tiệm cận ngang
Ta có
x+1¿2 ¿ ¿ y'
=2 ¿
∀x ≠ −1 Do hàm số đồng biến khoảng (− ∞;−1) (−1;+∞)
0.25 Bảng biến thiên
x − ∞ -1
+∞
y' + + y +∞
1
− ∞
0.25
c.Đồ thị y
-1 x -1
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I(-1;1) tâm đối xứng
0.25
2 1.0
(3)¿ y=1
6x y=x −1
x+1 ¿{
¿
Giải ta A(2;1
3) ; B(3;
2) (hoặc ngược lại)
Đường phân giác góc phần tư thứ x - y = (d) Ta có (2 1−1
3 1)(3 1−
2 1)>0 chứng tỏ A,B nằm phía đường phân giác (d)
0.25
Gọi A'(a ; b) điểm đối xứng A qua (d) đó: ¿
A A
>.−−u=0
' ¿
( −−u
véc tơ phương (d)) ⇔a+b −7
3=0 (1) 0.25 Mặt khác trung điểm A A' thuộc (d) nên tìm : a −b+5
3=0 (2) Từ (1) (2) giải ta có toạ độ điểm A'(1
3;2) 0.25
Viết phương trình tham số A'B :
¿ x=3+16t y=1
2−9t ¿{
¿
MA+MB nhỏ M giao điểm A'B (d) nên toạ độ M
nghiệm hệ:
¿
x − y=0
x=3+16t
y=1
2−9t
¿{ { ¿
Giải ta có M(7 5;
7 5)
0.25
II 1.0
Phương trình cho tương đương với: cos 2x(1+2 sinx)+4(1−cos22x)−3=0
⇔2 cos 2x(1+2sinx)+1−4 cos22x=0
⇔2 cos 2x(1+2sinx)+(1−2 cos 2x)(1+2 cos 2x)=0 0.25
⇔2 cos 2x(1+2sinx)−(1−4 sin2x)(1+2 cos 2x)=0
⇔2 cos 2x(1+2sinx)−(1−2 sinx)(1+2 sinx)(1+2 cos 2x)=0 0.25
⇔(1+2sinx)(4 sinxcos 2x+2 sinx −1)=0
⇔(1+2sinx)(2sin 3x −2 sinx+2 sinx −1)=0
(4)⇔
sinx=−1 ¿ sin 3x=1
2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Giải ta nghiệm phương trình là: x=−π
6+k2π ; x= 7π
6 +k2π x= π 18+k
2π
3 x= 5π 18 +k
2π
3 (k∈Ζ)
0.25
2 1.0
x3+1=2√32x −1 Đặt
√2x −1=t⇒2x −1=t3⇒t3+1=2x 0.25
Kết hợp với ta có hệ:
¿ x3+1=2t t3+1=2x
¿{ ¿
0.25
Trừ vế với vế,biến đổi ta được:
¿x=t x3+1=2t
¿ ¿ ¿
x2+xt+t2+2=0(VN) ¿
x3+1=2t
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0.25
Giải ta có nghiệm phương trình là: x = 1; x=−1±√5
2 0.25
III 1.0
¿
4+9 3x2−2y=(4+9x2−2y)72y − x2+2(1)
√2y −2x+4=3−2x(2) ¿{
¿
Điều kiện y − x+2≥0
Đặt x2−2y=t phương trình (1) trở thành : 4+9 3t=(4+32t)72−t
⇔4+3t+2
=(4+32t)72−t
0.25
⇔4+3t+2
7t+2 =
4+32t 72t
(5)3 7¿
2t 7¿
2t +¿
7¿ t+2
=4¿
7¿ t+2
+¿
⇔4¿
(*)
Xét hàm số 7¿
u 7¿
u +¿ f(u)=4¿
(u∈R) hàm số nghịch biến nên từ (*)
f(t + 2) = f(2t) ⇔ t + = 2t ⇔ t =
hay x2−2y=2 ⇔2y=x2−2 thay vào (2) ta được :
√
x2−2x+2=3−2x
⇔
3−2x ≥0 3x2−10x+7=0
¿{
0.25
Giải hệ ta nghiệm hệ là: ¿ x=1 y=−1
2 ¿{
¿
0.25
IV Ta có AD//(BCM) nên (BCM) cắt (SAD) theo giao tuyến MN//AD S
SA⊥(ABCD) suy SA AB
H SBA=600
Và SA BC
AB BC (gt) N
suy BC (SAB) (1) M
⇒BC⊥BM Nên tứ giác BMNC hình thang vng
có BM đường cao A D
C
0.25
Tính SA=A
❑
Btan 600
=a√3 Tính MN=❑SM AD
SA =
4a
3 ; BM
❑
=2a√3/3 Tính SBCNM=
❑10a2√3
9 (đvdt); 0.25
(6)Từ (1) ta có (BCNM) (SAB)
Kẻ SH BM chứng minh SH (BCNM); tính SB = 2a; AM = BM/2 nên
ABM=300 , ¸SBH=300 ,SH = a
0.25
Tính V=1
3SH SBCNM=10a
√3
27 (đvtt) 0.25
V 1.0
M= x
3
√
1+y2+y3
√
1+z2+ z3√
1+x2Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số ta có: x3
2
√
1+y2+x3
2
√
1+y2+1+y2
4√2 ≥ 3x2
2√2
0.25
y3 2
√
1+z2+y3 2
√
1+z2+1+z2 4√2≥
3y2 2√2 z3
2
√
1+x2+z3
2
√
1+x2+1+x2
4√2≥ 3z2
2√2 0.25
Cộng vế với vế ,và thay x2
+y2+z2=3 biến đổi ta có M ≥
√2 0.25
Dấu xảy
¿ x3 2
√
1+y2=1+y2 4√2 y3
2
√
1+z2=1+z2
4√2 z3
2
√
1+x2= 1+x24√2 x2+y2+z2=3
⇔x=y=z=1 ¿{ {{
¿ Vậy giá trị nhỏ M=
√2
0.25
VIa 1.0
Đường thẳng AB qua A nhận véc tơ phương đường cao xuất phát từ C làm véc tơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:
1(x-1)+1(y+2) = hay x + y + = Toạ độ B nghiệm hệ:
¿ x+y+1=0 2x+y+5=0
¿{ ¿
hay B(-4;3)
0.25
Gọi A' điểm đối xứng A qua đường phân giác góc B thì A' thuộc BC phương trình đường thẳng A A' là:1(x-1) - 2(y + 2) =
(7)Gọi I giao điểm đường thẳng A A' đường phân giác góc
B toạ độ I nghiệm hệ:
¿ x −2y −5=0
2x+y+5=0 ¿{
¿
hay I(-1;-3) I trung điểm A A' nên A' (-3;-4)
Đường thẳng BC đường B A' đi qua B , A' có phương trình là:
7x + y + 25 = Toạ độ C nghiệm hệ:
¿ x − y+1=0 7x+y+25=0
¿{ ¿
hay C(−13
4 ; −9
4 )
0.25
Tính BC=√450 =
15√2
4 ; d(A ,BC)=3√2 S=1
2BC.d(A ;BC)= 45
4 (đvdt) 0.25
VIa 1.0
Gọi I tâm đường tròn (C) I thuộc (d1) nên I(−3a −8; a)
0.25 Theo ta có:
1− a¿2 −2+3a+8¿2+¿
¿
d(I ; d2)=IA⇔
|
3(−3a−8)−4a+10√9+16
|
=√¿0.25
Giải a = -3 ; I(1;-3)
0.25 Tính R = Phương trình đường tròn là: y+3¿
2
=25 x −1¿2+¿
¿
0.25 VII
a
1.0 Pn+5
Pn−2
=272A5n+3 ĐK: n >2 , n∈N
Thay cơng thức, đưa đến phương trình: n2+9n −252=0
⇔
n=12 ¿ n=−21
¿
⇔n=12 ¿ ¿ ¿
(8)Với n = 12
−1¿k ¿ x4
+1 x¿
k 1¿12−k¿ C12k ¿ 1− x4−1
x¿
12
=
[
1−(x4+1 x)]
12
=
∑
k=012
¿ f(x)=¿
Xét khai triển x
4
+1 x¿
k g(x)=¿
0≤ k ≤12, k∈N
Số hạng tổng quát khai triển là: x¿
i=C k ix4k −5i x4
¿k −i¿ Ck
i ¿ 0≤i ≤ k ≤12, k ,i∈N
0.25
Để tìm số hạng chứa x8 ta phải tìm k i cho:
¿ i , k∈N 0≤i ≤ k ≤12
4k −5i=8
⇔
¿i , k∈N 0≤i ≤ k ≤12 4(k −2)=5i
¿{ { ¿
Xảy trường hợp: ¿ i=0 k=2 ; ¿i=4
k=7 ; ¿i=8 k=12 ¿{
¿
0.25
Vậy số hạng cần tìm là: (C122 C20− C127 C47+C1212.C128 )x8=−27159x8
0.25
VIb 1.0
Đường thẳng AC vng góc với HM nhận véc tơ HM− −−(−1;2) làm véc tơ pháp tuyến qua M có phương trình tổng qt là:
1(x - 0) - 2(y - 2) = hay x - 2y + =
Đường thẳng BM qua M nhận véc tơ HM− −−(−1;2) làm véc tơ phương có phương trình tham số là:
¿ x=−t y=2+2t
¿{ ¿
B(-t;2+2t)
(9)và A thuộc AC nên A(2a - 4;a) Mặt khác N trung điểm AB nên ¿
2a −4− t =3 a+2+2t
2 =1
⇔
¿t=−2 a=4
¿{ ¿
0.25
Vậy A(4;4) ; B(2;-2); AB− − (−2;−6)
Viết phương trình đường thẳng AB là:3x - y - =
0.25 Đường thẳng BC qua B vng góc với AH nhận AH− −−(−3;−4) làm
véc tơ pháp tuyến có phương trình là:3x + 4y + =
Kết luận: 0.25
VIb 1.0
Đường thẳng (d) qua M cắt (H) điểm phân biệt A,B song song với trục tung (d):y = kx +
Toạ độ giao điểm (d) (H) nghiệm hệ:
¿ x2−4y2=4
y=kx+2 ¿{
¿
0.25
Hay phương trình: (4k2−1)x2+16 kx+20=0(∗) có hai nghiệm phân biệt
⇔
Δ'>0 k2≠1
⇔
¿|k|<√5
|k|≠1 ¿{
0,25
Khi (*) có hai nghiệm pb x1, x2 :
¿ x1+x2= −16k
4k2−1
x1x2=
20 4k2−1 ¿{
¿
Theo 3 MA− −− −5 MB−− −=0− nên 3x1=5x2 (hoặc 5x1=3x2 tương tự)
0.25
Giải ta k = k = -
khi phương trình đường thẳng cần tìm là:x + y - = ;x - y + = 0.25
(10)b 3x2
+1 25x=6 5x−3 ⇔ 3 3x2
52x−6 5x+3=0 ⇔ 3x2
.52x−2 5x+1=0 Đặt 5x=t (t > 0)
0.25 Phương trình trở thành: 3x2
.t2−2.t
+1=0
Có Δ'=1−3x2≤0 với x 0.25
Nên phương trình có nghiệm ¿ Δ'=0 t=
3x2 ¿{
¿
0.25
⇔
1−3x2=0 5x=
3x2
⇔
¿x2=0 5x
= 3x2
⇔x=0 ¿ ¿{
Vậy x = nghiệm phương trình
0.25
.HẾT Chú ý:Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa
(11)