* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức [r]
(1)phần i-PHƯƠNG PHáP PHÂN TíCH CáC ĐA THứC THàNH NHÂN Tử 1 Phơng pháp đặt nhân tử chung
Phơng pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiu ngc)
Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)
Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)
= 2x2 (ax + 2by + ax – by)
=2x2(2ax + by)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
Gi¶i: Ta cã: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a Bµi 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2
Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x 5y + 10z) Bài : phân tích đa thức sau thành nhân tử
C = (2a2 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)
Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)
= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)
= (5c + 2d)(ax – 4a2)
= a(5c + 2d)(x 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
Gi¶i: Ta cã: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)
= 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))
= 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
Bµi : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
Gi¶i: Ta cã : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)
= (y – 2z)(16x2 – 10y)
Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x3 + 3x2 + 2x + 6
Gi¶i: Ta cã : B = x3 + 3x2 + 2x + 6
= x2(x + 3) + 2( x + 3)
= (x2 + 2)(x + 3)
Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
Gi¶i: Ta cã : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z2 + 1)
2 Phơng pháp nhóm hạng tử
Phng pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau mt s vớ d :
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy2 xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
Gi¶i: Ta cã : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)
(2)= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))
= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
Giải: Ta cã : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)
= (2x3 + 3)(2x2 + 3)
Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x6 + x4 + x2 + 1
Gi¶: Ta cã : B = x6 + x4 + x2 + 1
= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)
= (x2 + 1)(x4 + 1)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2 + 2x + – y2
Gi¶i: Ta cã: B = x2 + 2x + – y2
= (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1)2 – y2
=(x +1 – y)(x + + y )
Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
Gi¶i: Ta cã : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)
= (x + y)2 – z(x + y)
= (x + y)(x + y z)
Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz
Gi¶i: Ta cã : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)
Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1
Gi¶i: Ta cã : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1
= xm + 3(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(xm + 3 1)
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)
Giải: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng làm xuất thừa số chung y - z Ta cã : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
= (y – z)((x2 + yz – x(y + z))
= (y – z)(x2 + yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z)
NhËn xÐt : dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y)
nªn : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)
=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
Bµi 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Gi¶i: Ta cã : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
(3)= ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c2)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
Gi¶i: Ta cã : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc
= (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
Gi¶i: Ta cã : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)
= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b c)(a c)
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
Gi¶i: Ta cã : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z)
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))
= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)
= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))
= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)
= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)
3 Phơng pháp dùng đẳng thức đáng nhớ
Phơng pháp dùng đẳng thức để đa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác
Các đẳng thức thờng dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Sau số tập cụ thể:
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tö A = x4 + x2y2 + y4
Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2
= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 xy)
Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4
Gi¶i: Ta cã : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4
= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))
(4)Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2
Gi¶i: Ta cã : M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2
= (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1)
= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
Gi¶i: Ta cã: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2
= (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2
= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)
= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + y)3 +(x - y)3
Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải nh sau :
C¸ch 1: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
C¸ch 2: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2
= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 16x2 + 40x + 25
Gi¶i: Ta cã: A = 16x2 + 40x + 25
= (4x)2 + 2.4.5.x + 52
= (4x + 5)2
Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tö B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3
Gi¶i: DƠ thÊy : x – y =(x – z) + (z – y)
Từ ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))
= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
Bµi 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)
Gi¶i: Ta cã: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)
= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x8 – 28
Gi¶i: Ta cã : P = x8 – 28
= (x4 + 24) (x4 - 24)
= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )
= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)
= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)
(5)Gi¶i: Ta cã: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x2 + x + + 5x + + 3)
= (x – 1)( x2 + 6x + 9)
= (x 1)(x + 3)2
4 Phơng pháp thùc hiÖn phÐp chia:
Nếu a nghiệm đa thức f(x) có phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau ú li phõn tớch tip g(x)
Sau số ví dụ cụ thể:
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8
Gi¶i:
DƠ thÊy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = 0
Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc:
f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)
DÔ thÊy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cã g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + Ta cã: h(-2) =
Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)
VËy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)
= (x + 2)3(x2 + 1)
Khi thực phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta sử dụng sơ đồ Hoocne để thực phép chia đợc nhanh
VÝ dô chia f(x) cho (x + 2) nh sau :
1 13 14 12
-2 4
VËy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)
Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) nh sau :
1 4
-2 2
VËy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)
Chia x3 + 2x2 + 2x + cho (x + 2) nh sau :
1 2
-2 1
VËy x3 + 2x2 + 2x + = (x + 2)(x2 + 1)
VËy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)
Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36
Giải: Tìm nghiệm nguyên đa thøc (nÕu cã) c¸c íc cđa 36 : ± 1; ± 2; ± 3;
± 4; ± ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36 Ta thÊy : x = -2
P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = Ta cã: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36
= x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x3 – 4x2 3x + 18)
Lại phân tích Q = x3 4x2 3x + 18 thành nhân tö
Ta thÊy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0
Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)
= (x + 2)(x – 3)2
(6)5 Phơng pháp đặt ẩn phụ
Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta đa đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử Sau số toán dùng phơng phỏp t n ph
Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức cho trở thành :
A = y2 + 4y – 12
= y2 – 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc :
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bµi 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12
= y2 – 3y + 4y – 12
= y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc :
A = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4)
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x12 3x6 + 1
Gi¶i: B = x12 – 3x6 + 1
Đặt y = x6 (y 0 )
Đa thức cho trở thành : B = y2 – 3y + 1
= y2 – 2y + – y
= (y – 1)2 – y
= (y – - √y )(y + + √y ) (*) Thay : y = x6 vào (*) đợc :
B = (x6 – -
√x6
¿(y+1+√x6) = (x6 – – x3)(x6 + + x3)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = x3 - 3
√2 x2 + 3x +
2 - Giải: Đặt : y = x - √2 , ta cã x = y + √2
A = (y + √2 )3 - 3
√2 (y + √2 )2 + 3(y +
√2 ) + √2 - = y3 + 3y2
√2 + 3y.2 + √2 - √2 (y2 + 2
√2 y + 2) + 3(y + √2 ) + √2 - = y3 - 3y – 2
= y3 - y – 2y – 2
= y(y2 – 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2)
= (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) (*)
Thay : y = x - √2 vào (*), đợc : A = (x - √2 + 1)2(x -
√2 - 2) Bµi 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Gi¶i: Ta cã:
(7)= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức cho trở thành :
M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15
= y2 + 3y + 5y + 15
= y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta đợc :
M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)
= (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)
= (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))
= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét: Từ lời giải toán ta giải toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành :
A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)
Bằng cách biến đổi tơng tự nh 36, ta đa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đợc đa thức A thnh tớch cỏc nhõn t
Bài 37: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Giải: Giả sử x , ta viết đa thøc díi d¹ng : A = x2((x2 +
x2 ) + 6( x -
x ) + )
Đặt y = x -
x th× x2 + x2 = y
2 + 2
Do : A = x2(y2 + + 6y + 7)
= x2( y + 3)2
= (xy + 3x)
Thay y = x -
x , ta đợc
A = [x(x −1
x)+3x]
2
= (x2 + 3x – 1)2
Dạng phân tích với x = Nhận xét :
Từ lời giải tập này, ta giải tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = a0x2n + a1xn – +…….+ an – 1xn – +anxn + an – 1xn – + … + a1x + a0
Bằng cách đa xn làm nhân tử cña A, hay :
A = xn(a
0xn + a1xn – + …….+ an – 1x + an +
an −1
x +… + a1 xn −1 +
a0 xn
Sau đặt y = x +
x ta phân tích đợc A thành nhân tử cách dễ dàng nh bi
tập
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
Gi¶i: Ta cã: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12
= (x + y)2 – (x + y) – 12
- Đặt X = x + y, đa thức trở thành : A = X2 X – 12
= X2 - 16 – X + 4
= (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1)
(8)A = (x + y – 4)( x + y + 3)
Bài 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2
Gi¶i: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2
Đặt : x2 + y2 + z2 = a
xy + yz + zx = b
⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b
Đa thức A trở thành : A = a(a + 2b) + b2
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2 (*)
Thay : a = x2 + y2 + z2
b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc : A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2
Bài 40: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (x y)3 + (y z)3 + (z x)3
Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta cã : A + B + C = Nªn
A + B = - C LËp ph¬ng hai vÕ :
(A + B)3 = - C3
↔ A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3
↔ A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B)
↔ A3 + B3 + C3 = 3ABC
Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta đợc :
(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
6 Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng)
Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ phơng pháp thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đa đẳng thức đáng nh
Sau số ví dụ :
Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tư A = x2 – 6x + 5
Gi¶i: Ta giải toán sè c¸ch nh sau: C¸ch 1: A = x2 – 6x + 5
= x2 – x – 5x + 5
= x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x 5)
Chú ý: Để phân tích đa thøc ax2 + bx + c (c 0) b»ng ph¬ng pháp tách số hạng ta làm nh
sau :
Bíc : lÊy tÝch a.c = t
Bớc : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trờng hợp) t = pi.qi
Bơc : tìm cặp nhân tử pi, qi mét cỈp pa, qa cho : pa + qa = b
Bíc : viÕt ax2 + bx + c = ax2 + p
ax + qax + c
Bớc : từ nhóm số hạng đa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 42: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 + 2x2 - 3
Gi¶i: B = x4 + 2x2 - 3
= x4 – x2+ 3x2 – 3
= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x2 – 1) (x2 + 3)
= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)
Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + 1
Gi¶i: A = x4 + x2 + 1
= (x4 + 2x2 + 1) - x2
= (x2 + 1)2 - x2
= (x2 + - x)(x2 + + x)
(9)Gi¶i: F = 5x2 + 6xy + y2
= (5x2 + 5xy) + (xy + y2)
= 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y)
Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x4 + x2y2 + y4
Gi¶i:P = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2
= (x2 + y2)2 – (xy)2
= (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy)
Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2
Gi¶i: Ta cã : A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2
= x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x
= (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1))
= (x2 – x + 1)(2x2 + 2)
Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x4 + 81
Gi¶i: Ta cã : P = 4x4 + 81
= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2
=(2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x)
Bµi 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
Gi¶i: Ta cã : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - 5
= 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – 5
= x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(x2 – 2x + 5)
Bài 48: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x3 x2 x - 2
Gi¶i: Ta cã : A = x3 – x2 – x - 2
= x3 – – (x2 + x + 1)
= (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – – 1)
= (x2 + x + 1)(x – 2)
Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư B = x3 + x2 – x + 2
Gi¶i: Ta cã : B = x3 + x2 – x + 2
= (x3 + 1) + (x2 - x + 1)
= (x + 1)(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)(x + 1+ 1)
= (x2 - x + 1)(x + 2)
Bµi 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x3 – 6x2 – x + 30
Gi¶i: Ta cã : C = x3 – 6x2 – x + 30
= x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30
= x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
= (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1)
= (x + 2)((x – 4)2 – 1))
= (x + 2)(x – – 1)(x – + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3)
7 Phơng pháp hệ số bất định
Phơng pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính đợc hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải mt h phng trỡnh s cp
Sau mét sè vÝ dơ :
(10)Gi¶i: Biểu diễn đa thức dới dạng :
x4 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :
¿ a+c=−16
ac+b+d=12
ad+bc=−14
bd=3
¿{ { {
¿
XÐt bd = víi b, d Z , b {1;3} víi b = 3; d = Hệ điều kiện trở thành :
¿ a+c=−6
ac=8
a+3c=−14
¿{ {
¿
Suy 2c = - 14 + = - 8, Do c = - , a = -2 Vậy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
= (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
Bài 52: Phân tích đa thức sau thành nhân tö A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Giải: Biểu diễn đa thức díi d¹ng : A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg
= adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg
= 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Đồng hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện :
¿ ad=3
ae+bd=22
ag+cd=11
be=7
bg+ce=37
cg=10
¿{ {{ { {
¿
⇒
¿ a=3
b=1
c=5
d=1
e=7
g=2
¿{ { { { {
¿
VËy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
= ( 3x + y + )( x + 7y + ) Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư
B = x4 – 8x + 63
Giải: Ta biểu diễn B dới dạng : B = x4 – 8x + 63
= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
= x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng hai đa thức ta đợc hệ điều kiện:
¿
a+c=0
ac+b+d=0
ad+bc=−8
bd=63
¿{ { {
¿
⇔ ¿
a=−4
b=7
c=4
d=9
¿{ { {
¿ VËy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)
8 Phơng pháp xét giá trị riêng
(11)Sau số ví dụ :
Bài 54: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Giải: Thử thay x y P = y2(y – z) + y2(z – y) = 0
Nh vËy P chøa thõa sè x – y
Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh x → y → z → x Do P chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải số, P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng
với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta đợc:
4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k
k = -1
VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đơi khác để (x – y)(y – z)(z – x)
Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2y2(y x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z)
Gi¶i: Thay x = y th× P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = 0
Nh vËy P chøa thõa sè x – y
Ta thấy đa thức P hốn vị vịng quanh x → y → z → x Do P chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z, nên phép chia A cho (x – y)(y – z)(z – x) thơng số k, nghĩa :
P = k(x – y)(y – z)(z – x) , k số Cho : x = 1; y = -1; z = ta đợc :
12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1)
-2 = 2k k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y z)(x z)
Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ab(a b) + bc(b – c) + ca(c – a) Gi¶i:
Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, A khơng thay đổi Thay a=b vào A ta có: A = + bc(b – c) + cb(c – b) =
Do A ⋮ (a – b)
Suy A ⋮ (b – c) A ⋮ (c – a) Từ : A ⋮ (a – b)(b – c)(c – a)
Mặt khác A đa thức bậc ba a, b, c, nên phép chia A cho (a – b)(b – c)(c – a) thơng số k, nghĩa :
A = k(a – b)(b – c)(c – a)
Cho a = 1; b = 0; c = ta đợc = -2k hay k = - A = -1(a – b)(b – c)(c – a)
= (a – b)(b c)(a c)
Bài 57: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x(y3 z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3)
Gi¶i:
Nhận xét: Nếu hốn vị vịng quanh x, y, z P khơng thay đổi Thay z = y vào P ta có: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = 0
Do : P ⋮ (y – z)
(12)Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x)đợc thơng số k, nghĩa :
P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc :
2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2)
- = - 2k k =
VËy P = 3(y – z)(z – x)(z – x)
Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x)
Bài 58: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
M = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b)
Giải: Nếu hốn vị vịng quanh a, b, c, M khơng thay đổi. Thay a = vào M ta có :
M = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = 0
Do M ⋮ a
Suy M ⋮ b M ⋮ c Từ : M ⋮ abc
Mặt khác M đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia M cho abc thơng số k, nghĩa :
M = k.abc
Cho a = b = c = 1, ta đợc :
1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1
k = VËy M = 4.abc
Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) =
4abc
phần iI-BấT ĐẳNG THứC, GTNN-GTLN
I.BT NG THỨC CÔ - SI VÀ CÁC HỆ QUẢ A.Một số ví dụ:
1. Chứnh minh : (Với a , b 0) (BĐT Cô-si)
Giải:
( a - b ) = a - 2ab + b a + b 2ab Đẳng thức xảy a = b
2. Chứng minh: (Với a , b 0)
Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab + 4ab ( a + b ) 4ab
.Đẳng thức xảy a = b
3. Chứng minh: (Với a , b 0)
Giải:
2(a + b) - ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) 2(a + b) ( a+b ) Đẳng thức
xảy a = b
4. Chứng minh: (Với a.b > 0)
Giải:
(13)5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải:
+ = - .Do - -2 Hay + - Đẳng thức xảy a = -b
6. Chứng minh: (Với a , b > 0)
Giải:
+ - = = + Đẳng thức xảy a = b
7. Chứng minh rằng:
Giải:
2(a +b +c) - 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a)
2(a +b +c) 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ab+bc+ca Đẳng thức xảy
ra a = b;b = c;c = a a = b= c
A B A B 0
Cần lưu ý tính chất: A2≥0
Đẳng thức xảy A =
Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với số khác thích hợp
B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh bất đẳng thức sau
1. a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc
2. a2
+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)
3. (x −1)(x −3) (x −4)(x −6)+10≥1
4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14
5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 0
6. a2 + 9b2 + c2 + 19
2 > 2a + 12b + 4c
7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 4
8. x2 – xy + y2 0
9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 0
10. x2 + xy + y2 -5x - 4y + 0
11. x4 + x3y + xy3 +y4 0
12. x5 + x4y + xy4 +y5 với x + y 0
13. a4 + b4 +c4 a2b2 + b2c2 + c2a2
14. (a2 + b2).(a2 + 1) 4a2b
15. ac +bd bc + ad với ( a b ; c d )
16. a2+2b2≥(a+b )
2
17. a2+b32+c2≥(a+b+c )
2
18. ab+b
c+ c a≤
b a+
a c+
c
b (với a b c > 0)
19. a+b ≥12 ab
(14)20. bca + b
ca+ c ab ≥
1 a+
1 b+
1
c (Với a,b,c > 0)
===========o0o=========== HƯỚNG DẪN:
Bài 1: Gọi VT bất đẳng thức A VP bất đẳng thức B (Nếu khơng nói thêm qui ước dùng cho tập khác).Với BĐT có dấu ; cần tìm điều kiện biến để đẳng thức xảy
A – B = (a+2c −2b)2
Bài 2: 4A – 4B = (a −2b)2+(a−2c)2+(a−2d)2+(a−2e)2
Bài 3: A – = (x −1)(x −3) (x −4)(x −6)+9 = (Y+3)2
Bài 4: A – B = (a −1)2+(2b −3)2+3(c −1)2+1
Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2
Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +
2
Bài 7: A – B = (a −2b)2+(b −1)2
Bài 8: x2 – xy + y2 =
(x − y 2)
2 +3y
2
4
Bài 9: x2 – xy + y2 -3x – 3y + =
(x −1)2−(x −1) (y −1)+(y −1)2 Biến đổi tiếp
Bài 10: Tương tự
Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = (
x2−xy+y2)(x+y)2
Bài 12: Tương tự 11
Bài 13: Xem ví dụ
Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b
Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a b ; c d ) = (c − d) (a −b)
Bài 16: A - B = 2(a2
+b2)−(a+b)2
4
Bài 17: Xem tập 16
Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)(
(Với a b c 0)
Bài 19: A - B = b(a −3)2+a(b −3)2
9+ab ( Với a,b > 0)
Bài 20: A - B = (ab−bc)2+(bc−ac)2+(ac−ab)2
abc
(Với a,b,c > 0)
===========o0o===========
II- TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG
(15)- Nếu a > :
2
2 4ac-b
ax + bx +c =
4a
b
P a x
a
Suy
2
4ac-b =
4a
MinP
Khi
b
x=-2a
Nếu a < :
2
2 a c+b
ax + bx +c =
4 a
b
P a x
a
Suy
2 a c+b ax
4 a
M P
Khi b x=
2 a
Một số ví dụ: 1. Tìm GTNN A = 2x2 + 5x + 7
Giải:A = 2x2 + 5x + =
2 25 25
2( )
4 16 16
x x =
2 2
5 25 56 25 31 2( ) 2( ) 2( )
4 8
x x x
Suy
31
8
MinA Khi x
2. Tìm GTLN A = -2x2 + 5x + 7
Giải: A = -2x2 + 5x + =
-2 25 25
2( )
4 16 16
x x =
2 2
5 25 56 25 81
2( ) 2( ) 2( )
4 8
x x x
Suy
81
8
MinA Khi x
3. Tìm GTNN B = 3x + y - 8x + 2xy + 16
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) +
MinB = :
4 Tìm GTLN C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 - 10
GTLNC = 10 khi:
BÀI TẬP: 5. Tìm GTNN A=x2−5x+2008
6. Tìm GTLN B = + 3x - x2
7. Tìm GTLN D = 2007− x2−5x
8. Tìm GTNN F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1.
9. Tìm GTNN G = x4−10x3
+25x2+12
10.Tìm GTNN M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y
11.Tìm GTNN C = (3x −1)2−4|3x −1|+5
12. Tìm GTNN N = (x +1) + ( x - 3)
13.Tìm GTNN K = x + y - xy +x + y
HƯỚNG DẪN
5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 MinA = 2001,75 x = 2,5
(16)7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2
8. F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x +x+1) =
9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16
11.C = (3x −1)2−4|3x −1|+5
* Nếu x C = (3x - 3) +
* Nếu x < C = (3x + 1) +
12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) +
13. K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) -
* Một phương pháp thường dùng sử dụng bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác.Tuy nhiên sử dụng ,ngồi hai bất đẳng thức Cơ-si bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác sử dụng làm thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, liệt kê bất đẳng thức vào
1 a2+b2≥2 ab (a,b>0) (BĐT Cô-si) (a+b)2≥4 ab
3 2(a2+b2)≥(a+b)2 ab+b
a≥2;a , b>0
5 1a+1
b≥
a+b;a ,b>0 a2
+b2+c2≥ab+bc+ca
7 (ax+by)2≤(a2+b2) (x2+y2) ( Bu nhi a cop xki) a2
x + b2
y≥
(a+b)2
x+y a2
x + b2
y+ c2
z ≥
(a+b+c)2
x+y+z
Ví dụ 9:Chứng minh abc +bc
a + ca
b ≥ a+b+c (Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B = 2ab c +2
bc a +2
ca
b −2a−2b −2c
= a(b c+
c
b−2)+b( a c+
c
a−2)+c( b a+
a b−2)
Áp dụng bất đẳng thức ab+b
a≥2;a , b>0 Ta có:2A - 2B a(2−2)+b(2−2)+c(2−2)≥0 Vậy
A B.Đẳng thức xảy a = b = c >
Ví dụ 10: Cho số dương x , y thoả mãn x + y = Chứng minh : xy1 +
x2
+y2≥8 Giải: xy1 +
x2
+y2=
2 xy+
2 x2
+y2=2(
1 xy+
1 x2
+y2)≥2
4 x2
+2 xy+y2
¿
(x+y)2=8 Đẳng thức xảy x=y=
1
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : a2
b2+ b2 c2+
c2 a2≥
a c+ c b+ b a
Giải: a2
b2+
b2 c2≥2
a b
b c=2
a c ;
b2 c2+
c2 a2≥2
b c
c a=2
b a ;
c2 a2+
a2 b2≥2
c a
a b=2
(17)Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
2(a
2
b2+
b2
c2+
c2
a2)≥2(
a c+ c b+ b a)
⇒a2
b2+ b2 c2+
c2 a2≥
a c+ c b+ b a
Đẳng thức xảy a = b = c
Bài tập:
1. Cho a,b,c số dương.Chứng minh (a+b+c)(1
a+ b+
1 c)≥9
2. Cho số dương a,b,c biết a.b.c = Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)
3. Cho số a,b biết a + b = Chứng minh
a) a + b b) a + b
4. Cho số dương a,b,c a + b + c = Chứng minh: + +
5. Cho x , y , z 0và x + y + z Chứng minh rằng:
+ + + +
6. Cho số dương a , b có tổng Chứng minh a +
b + 14
7. Cho số dương a , b có tổng Chứng minh (a + ) + (b + )
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c>0
1 a+3b+
1 b+3c+
1 c+3a≥
1 a+2b+c+
1 b+2c+a+
1 c+2a+b,
9. Cho a,b,c số dương
Chứng minh : a
bc+ b ac+ c ab ≥ a+ b+ c
10. Cho a,b,c số dương Chứng minh : a2
b+c+
b2
a+c+
c2
b+a≥
a+b+c
2
11. Chứng minh: a + b với a + b
12. Chứng minh: ba +c+
b c+a+
c a+b≥
3
2 Với a,b,c >
13. Chứng minh: a4+b4+c4≥abc(a+b+c)
14. Bài 28: Cho x ≥0; y ≥0; z ≥0;
Chứng minh :(x + y).(y + z).(z + x) 8xyz
15. Cho A = n1 +1+
1
n+2+ +
1 2n+1+
1
2n+2+ +
1
3n+1 Chứng minh A>1
HƯỚNG DẪN:
1. A = 3+(a
b+ b a)+(
a c+
c a)+(
b c+
c
a)≥3+2+2+2=9
2. Áp dụng (a + 1) 2a
3. a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b)
b) Áp dụng câu a
4. Xem
5. + + + + = + + =
(18)6. A = + = ( + ) + + = ( vì 2ab (a+b) )
B = + = 3( +) +
7. (a + ) + + (b + ) + = + 5(a + ) + 5(b + )
= 5( a + b) + 5( + ) 5( a + b) + = 25
Suy ra: (a + ) + (b + ) 8. + ; + ; +
Cộng theo vế BĐT ta Đpcm
9. Ta có: + = ( + )
b
ac + c ab=
1 a(
b c+
c b)≥2
1 a
c
ab+ a bc=
1 b(
c a+
a c)≥2
1 b
Cộng vế bất đẳng thức ta đpcm Đẳng thức xáy a = b = c.(Hãy kiểm tra lại)
10.Áp dụng BĐT a2
x + b2
y+ c2
z ≥
(a+b+c)2
x+y+z
11. a + b ( a + b )
12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +
= (a+b+c) ( + + ) (a+b+c) = Suy ra: a
b+c+
b c+a+
c a+b≥
3
13.Áp dụng BĐT ví dụ cho số a4+b4+c4 tiếp tục áp dụng lần nửa cho số
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm.
14.Áp dụng BĐT (x+y)2≥4 xy Nhân thừa số BĐT suy ĐPCM
15.A có 2n + số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 1a+1
b≥
a+b;a ,b>0 Với cặp số hạng thích hợp có đpcm
IV- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I.Dạng: Tìm GTLN A = Tìm GTNN ax2 + bx +c
Ví dụ: Tìm Max A =
x2−2x −5
Giải: B = x2 - 2x - = (x - 1)2 - MinB = -6 x = 1 MaxA = - x =
II.Dạng: Tìm GTLN(GTNN) A = Tìm GTNN(GTLN)
Ví dụ: Tìm GTNN B =
Giải: B = - .Đặt C = = (x + ) + Min = x =
MaxC = MinB = x =
Tìm GTNN biểu thức sau:
1. với x >
2. với x > -2
3. x -x + +
4. 5.
6. x2−4x+1
x2
7. 4x
2
−6x+1 (2x −1)2
8. 2x2−16x+41
x2−8x +22
9. x
6 +512
x2+8
10.
− x2
(19)11. 3x2
x2 +1
Tìm GTLN biểu thức sau:
1. 2.
3.
x2+3x+1
4.
5. x
(x+2008)2
6. I = (Với x ≠ 0)
DẠNG :Có mối quan hệ biến
1. Cho 3x + y =
a.Tìm GTNN A = 3x + y b.Tìm GTLN B = xy
2. Cho a , b > a + b = Tìm GTNN C = (1+ ) + (1 + )
3. Tìm GTLN Biểu thức: a.D = 2x(16 - 2x) với < x < b E = với x > 0; y > 0; x + y = 10
4. Cho x + 2y = 1.Tìm GTNN x2 + 2y2
5. Cho 4x - 3y =
Tìm GTNN 2x2 + 5y2
6. Cho xy = Tìm GTNN |x+y|
7. Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn : x2 + y2
8. Cho x y số nguyên dương thoả mãn : x + y = 2009 Tìm GTNN GTLN A = x.y
9. Tìm GTNN P = x + y + x + y với x + y =
10.Tìm GTLN Q = xy +yz + zx Với x + y + z =
11. Cho x + 2y = Tìm GTNN R = x + 2y
12. Cho x + + z = Tìm GTNN H = x + y + z + xy +yz + zx
Tìm GTNN GTLNcủa biểu thức sau:
1. 2.
3. A=27−12x
x2+9
4. B=8x+3
4x2+1
5. C=2x+1
x2+2
6. D=3x 2−2x
+3
x2+1
7. E=4x+1
x2 +5
12. = 17 + 4x +
13. =
14.x -x + +
15. 16.
17. x2−4x+1
x2
18. 4x
2−6x +1 (2x −1)2
19. 2x2−16x+41
x2−8x +22
20. x6+512
x2+8
21.
− x2
+2x −4
22. 3x2
x2+1
(20)Bài 7: Tìm GTNN biểu thức 1. A=2x2+y2−2 xy−2x+3
2. B=x2−2 xy+2y2+2x −10y+17 3. C=x2−xy+y2−2x −2y
4. D=x2+xy+y2−3x −3y 5. E=2x2+2 xy+5y2−8x −22y 6. F=2x2+y2−2 xy−2x+7 7. G=x2+y2+z2−2x −2y −2z+3 8. H=x2+y2+z2−xy−yz−zx
Bài 8:
4. Cho x + 2y = Tìm GTNN x2 + 2y2 HD: Viết (x + 2y )2 = (x.1 +
√2y.√2 )2
5. Cho 4x - 3y = Tìm GTNN 2x2 + 5y2
HD: Viết :4x - 3y = ( √2x
√2+√5y.( −3
√5) )
6. Cho xy = Tìm GTNN |x+y|
HD: (x + y)2 2xy ⇒ |x+y|≥2
7. Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn : x2 + y2
HD: 7(x2 + y2 ) = 10 - 8xy 10 -4(x2 + y2 ) ⇒ 11(x2 + y2 ) 10 ⇒ Min (x2 + y2 ) = 10/11
8. Cho x y số nguyên dương thoả mãn :
x + y = 2009 Tìm GTNN GTLN A = x.y
HD:4xy = (x + y)2 -(x - y)2 = 20092 - (x - y)2 *xy lớn (x - y) =
*xy nhỏ ch (x - y) ln nht
phần IIi-PHƯƠNG PHáP gi i phƯƠng trinh vÔ ta i
1 Phương pháp nâng lên lũy thừa
a) Dạng 1: f (x) g(x)
2
g(x) f (x) [g(x)]
Ví dụ Giải phương trình: x x 1 (1)
Giải: (1)
2
x x x
x x 3x
x x
Vậy: phương trình cho có nghiệm x =
(21)Ví dụ Giải phương trình: x 5 x 2 (2) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có:
(2) x 3 x 5
2x (x 3)(x 2) 25
(x 3)(x 2) 12 x
2
2 x 12 x 12
x 25x 150
x x 144 x 24x
Vậy: phương trình cho có nghiệm x = c) Dạng 3: f (x) g(x) h(x)
Ví dụ Giải phương trình: x 1 x 7 12 x (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có:
(3) x 1 12 x x 7 x (12 x)(x 7)
19x x 2 84 x
4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 5x2 – 84x + 352 =
2
2
84 352 42 1764 1764 352
5 x x x x
5 5 25 25
42 44
5 x 5 x x (x 8) 5x 44
5 25
x1 = 44
5 ; x2 = 8
Vậy: phương trình cho có hai nghiệm x1 = 44
5 ; x2 = 8
d) Dạng 4: f (x) g(x) h(x) k(x)
Ví dụ Giải phương trình: x x 1 x 4 x 0 (4) Giải: Với điều kiện x ≥ Ta có:
(4) x 9 x x 1 x 4
2x x(x 9) 2x (x 4)(x 1)
7 x(x 9) (x 1)(x 4)
2
49 x 9x 14 x(x 9) x 5x 4
45 + 14x + 14 x(x 9) =
Với x ≥ vế trái phương trình ln số dương phương trình vơ nghiệm 2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa
(22)Với điều kiện x ≤ Ta có: (1) |x – 2| = – x
– Nếu x < 2: (1) – x = – x (vô nghiệm)
– Nếu ≤ x ≤ 8: (1) x – = – x x =
HD: Đáp số: x =
Ví dụ Giải phương trình x 2 x 1 x 10 x 1 2 x 2 x 1 (2) Giải: (2) x x 1 x 2.3 x x x 1
x 1 | x | 2.| x 1|
Đặt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình cho trở thành:
y | y | | y 1|
– Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y y = –1 (loại)
– Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – y =
– Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = x + = x =
Vậy: phương trình cho có nghiệm x =
3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
a) Chứng tỏ tập giá trị hai vế là rời nhau, phương trình vơ nghiệm
Ví dụ 1. Giải phương trình x 1 5x 1 3x 2 Cách điều kiện x ≥
Với x ≥ thì: Vế trái: x 1 5x 1 vế trái âm
Vế phải: 3x 2 ≥ vế phải dương Vậy: phương trình cho vơ nghiệm
Cách Với x ≥ 1, ta có: x 1 5x 1 3x 2
x 8x (5x 1)(3x 2)
7x (5x 1)(3x 2)
Vế trái số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ phương trình vơ nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ Giải phương trình: 3x26x 7 5x210x 14 2x x 2 (1)
Giải: Ta có (1)
2
3 x 2x x 2x (x 2x 1)
3
2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 9 (x 1)
Ta có: Vế trái ≥ 4 5 Dấu “=” xảy x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy x = –1
Vậy: phương trình cho có nghiệm x = –1
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm sớ (tìm mợt nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất)
Ví dụ Giải phương trình:
2
x
8 2x 2x
x
(23)Giải: điều kiện x ≥
Dễ thấy x = nghiệm phương trình – Nếu
1
x
2 : VT =
6
1 8
x
Mà: VP > 8 – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x 1 > 2.22 + 3 = 8 3 VT < 8
x x
6
1
x
Vậy: phương trình cho có nghiệm x =
Ví dụ Giải phương trình: 3x2 7x 3 x2 3x2 5x 1 x2 3x 4
Giải: Thử với x = Ta có:
2 2
3.4 7.2 2 3.2 5.2 3.2
1
(1) (3x2 5x 1) 2(x 2) (x2 2) 3(x 2) 3x2 5x 1 x2
Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP
Vậy: x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình:
6
6 x x Giải : ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x =
3
2 nghiệm phương trình Ta cần chứng minh nghiệm Thật vậy: Với x <
3 2:
6
3 x
4 x
6
6 x x .
Tương tự với
2 < x < 2:
6
6 x x
Ví dụ Giải phương trình: 3x(2 9x2 3) (4x 2)(1 x x ) 0 (1)
Giải : (1)
2
3x (3x) (2x 1) (2x 1)
3x (3x) (2x 1) (2x 1)
Nếu 3x = –(2x + 1) x =
1
biểu thức hai vế Vậy x =
1
nghiệm phương trình Hơn nghiệm (1) nằm khoảng
;
Ta chứng minh nghiệm nhất. Với
1
x
2
(24) (3x)2 > (2x + 1)2 2 (3x)2 3 2 (2x 1) 3
Suy ra:
2
3x 2 (3x) 3 (2x 1) 2 (2x 1) 3 0
(1) khơng có nghiệm
khoảng Chứng minh tương tự, ta đến kết luận (1) nghiệm
1
x
2
d) Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” ở bất đẳng thức khơng chặt
Ví dụ Giải phương trình
x 4x
2 x
4x
Giải: điều kiện
1 x
4
Áp dụng bất đẳng thức a b
2
b a với ab > 0 Với điều kiện
1
x x 4x
4
Nên:
x 4x
2 x
4x
Dấu “=” xảy x 4x 1 x2 4x 0 x2 4x 0 (x 2) 3 x 2 3 x 2
4 Phương pháp đưa về phương trình tích
Ví dụ Giải phương trình: 2x 1 x 2 x
Giải ĐK: x ≥ Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế phương trình:
(x 3)( 2x 1 x 1) 0
x
2x x
PT vơ nghiệm
Ví dụ Giải phương trình: x 2(x 1) x 1 x x (1) Giải ĐK: | x | ≤ 1: (1) x 1 x x 1 x 1 0
x1 = 0; x2 = 24 25
Ví dụ Giải phương trình: x 1 x3 x2 x 1 x4 1 (1) Giải Chú ý: x4 – = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1)
(1)
3
x 1 1 x x x 1 0
x = 5) Phương pháp đặt ẩn phụ
a) Sử dụng ẩn phụ
Ví dụ Giải phương trình: x2 x 1 (1)
Giải Đặt x 1 = y (y ≥ 0)
y2 = x + x = y2 – x2 = (y2 – 1)2
(25)Từ suy tập nghiệm phương trình là:
1
0; 1;
Ví dụ Giải phương trình:
3
x 1 2 x x (1) HD: ĐK: x ≥ Đặt x 1 = y
(1)
3
x 1 x 1 0
y3 + y2 – =
(y – 1)(y2 + 2y + 2) = y = x =
b) Sử dụng hai ẩn phụ
Ví dụ Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x3 1 (3)
Giải Đặt u = x 1 , v = x2 x 1 (ĐK: x ≥ 1, u ≥ 0, v ≥ 0) Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 +
(3) 2(u2 + v2) = 5uv (2u v)(u 2v)
=
Giải ra, xác định x Kết là: x
5 37 37
;
2
Ví dụ Giải phương trình:
2
x 5 x 1 x 7x 10 3 (1) Giải ĐK: x ≥ –2 (1) x 5 x 1 (x 5)(x 2) 3
Đặt: x 5 = u, x 2 = v (u, v ≥ 0) u2 – v2 = (1)
(a – b)(1 + ab) = a2 – b2 (a – b)(1 – a + ab – b) = (a – b)(1 – a)(1 – b) =
Giải ra: x = –1 nghiệm
Ví dụ Giải phương trình: x 1 3x 2x 1 (1)
Giải ĐK: x ≥ Đặt x 1 = u, 3x = v (u, v ≥ 0): (1) b – a = a2 – b2 (a – b)(a + b + 1) =
Mà a + b + > a = b x =
1
2 nghiệm phương trình. Ví dụ Giải phương trình:
4
x x 2x
x x x (1) Giải Đặt
1 x
x
= u,
5 2x
x
= v (u, v ≥ 0) (1)
1 5
x 2x x 2x
x x x x
u – (v2 – u2) – v =
(u – v)(1 + u + v) = Vì + u + b > nên: u = v Giải ta được: x = c) Sử dụng ba ẩn phụ
Ví dụ Giải phương trình: x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 (1)
Giải ĐK: x ≥ (1) (x 1)(x 2) x 3 x 2 (x x)(x 3)
(26) a = b = c Thay ngược trở lại ta x = nghiệm phương
trình
Ví dụ Giải phương trình : x x x x x x x Giải Đặt : u x ; v x ; t x (u ; v ; t ≥ 0)
x = − u2 = − v2 = − t2 = uv + vt + tu
Từ ta có hệ:
(u v)(u t) (1) (v u)(v t) (2) (t u)(t v) (3)
Nhân vế (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ nên: (u v)(v t)(t u) 30 (4)
Kết hợp (4) với (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: 30
v t (5) 30
u t (6)
30 u v (7)
5
Cộng vế (5) ; (6) ; (7) ta có:
31 30 31 30
2(u v t) u v t
30 60
(8) Kết hợp (8) với (5) ; (6) ; (7) ta có:
2 30
u 60
11 30 30 239 v x
60 60 120 19 30 t 60
d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ Giải phương trình x 1 2x 5
Cách 1: Giải tương tự Ta x =
Cách 2: Đặt x u 0 2x v Ta có hệ: 2
u v v 2u
u u 12
x = 5. Ví dụ 2Giải phương trình: 8 x 5 x 5
Giải ĐK: ≤ x ≤ 25 Đặt 8 x = u , 5 x v (u, v ≥ 0):
2
u v u v 13
u u=3 v v v=2
Giải ta có x = nghiệm nhất. Ví dụ Giải phương trình: 25 x x 2
Giải ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt 25 x = u, x = v (u, v ≥ 0)
2
u v u v 16
u v u
u v v
(27)Giải ĐK: – ≤ x ≤ Đặt x u ; x v (u, v ≥ 0)
2
u v
u v
x
x
Ví dụ Giải phương trình: x x x 2 Giải ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt x u, x v (u, v ≥ 0)
2
(u v) 2uv (u v) uv
Giải ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)} Từ ngược trở lại: x = ±2 Ví dụ Giải phương trình: 497 x 4 x 5 (1)
Giải Đặt 97 x = u, 4 x = v (u, v ≥ 0)
(1) 4
u v u u x 81
v v x 16
u v 97
Ví dụ Giải phương trình:3x 3 2x 3 312(x 1) Giải Đặt x u, 2x 33 v (1)
u v 3 4(u3v )3 u3v33uv(u v) 4(u 3v )3
2 2 u v
3.(u v).(u 2uv v ) 3.(u v).(u v)
u v