tai lieu boi duong hsg

[r]

thi học sinh giỏi - mơn tốn LỚP - đề 1 (Thời gian 150 phỳt )

Câu 1: (3đ) a Rút gän biÓu thøc : A = 6 2 3  2 12 18 128 b T×m GTNN cđa A = x

2

−2x+2006

x2

c Giả sử x, y số thực dơng thoả mÃn : x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =

x3+y3+ xy

Câu 2: (2đ) a Chng minh rng : Với mi số dơng a  

2

2

1 1

1

1 1

a a a a

 

    

 



  

b TÝnh S = 2 2 2

1 1 1

1

1 2 2008 2009

       

Câu 3: (3 đ)a) Tìm a , b , c biết a , b ,c số dơng (1

a2+1)(

1

b2+2)(

1

c2+8) =

32 abc b) T×m a , b , c biÕt : a = 2b

2

1+b2 ; b = 2c2

1+c2 ; c = 2a2

1+a2 c Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác a + b+ c 0

TÝnh P = (2008+ a

b )(2008 + b

c ) ( 2008 + c a )

Câu 4: (2 đ) Giải hệ phơng trình

¿

( x2+ )( y2+ ) = 10 ( x + y )( xy - 1) =

{ Câu 5: (2đ)

Cho tam giác ABC, đờng phân giác BD, CE cắt I thỏa mãn BD.CE = 2BI.CI Chứng minh tam giác ABC tam giỏc vuụng

Câu 6: (2đ)

Cho tam giác MNP có M N 2P , độ dài ba cạnh ba số tự nhiên liên tiếp Tính độ dài cạnh tam giác

C©u 7: (3®)

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Giọi (I) đờng trịn nội tiếp tam giác Đờng vng góc với CI I cắt AC, AB theo thứ tự M, N chứng minh rằng: a AM.BN = IM2 = IN2 ; b.

2 2

1

IA IB IC

bc  ca  ab

Câu 8: (2đ) Giải phơng trình sau a) x

2 +

48

x2= 10(

x

3 -

x) ; b) √ x

2

4 + x + - x = √ - 4√2

-

Hết -Đáp án - 1

Câu 1:( điểm):

= 6 2 3  2 12 4  2 = 6 2 3  4 3 = 6 2 2  3 = 6 3  = 6 1   = 3 1 b (1 điểm) Tìm GTNN cña A = x

2−2x +2006

x2

A = x

−2x+2006

x2 = -

2

x +

2006

x2 = 2006 (

1

x2−

2 2006x+

1

20062) + – 2006 = 2006 (1

x−

1 2006)

2

+ 2005 2006

2005

2006 ⇒ GTNN cña P = 2005

2006 x = 2006 c.(1 ®iĨm) Ta cã: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = hay x3 + y3 + 3xy = 1.Thay vµo biĨu thc A ta cã: A = x

3

+y3+3 xy

x3+y3 +

x3

+y3+3 xy

xy = 4+ xy

x3+y3+

x3 +y3

xy áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4+ xy

x3 +y3+

x3+y3

xy 4+2√ xy

x3+y3

x3+y3

xy =4+2√3 VËy A 4+2√3 Vậy minA = 4+2√3 ⇔ x =

2(1+√

2√2−3

3 ) ; y = 2(1−√

2√2−3

3 ) hc x =

2(1−√

2√2−3

3 ) ; y = 2(1+√

2√2−3 )

C©u : (2®) a/ Ta cã :    

2

2

1 1 1 1

1

1 1 1

a a a a a a a a

 

 

         

   

  

    

Mµ  

1 1 1 1

0

1 1

a a   a a  a a  a a  

Do  

2

2

1 1

1

1 1

a a a a

 

    

 



  

b/ ¸p dơng c/m c©u a ta cã : S =

1 1 1

1 1

2 2008 2009

        

=

1 2009

2009

Câu 3: (3đ)

a) T×m a , b , c biÕt a , b ,c số dơng (1 a2+1)(

1

b2+2)(

1

c2+8) = 32

abc áp dụng bất đẳng thức Cô-Si :

a2+1 √

1

a2 =

2

a

V× a ; b ; c số dơng

b2+2 √

2

b2 =

√2

b ;

1

c2+8 √

8

c2 = 4√2

c

⇒ (1

a2+1)(

b2+2)(

c2+8)

2

a √

2

b

4√2

c =

32

abc

⇒ (1 a2+1)(

1

b2+2)(

1

c2+8) = 32

abc ⇔

¿

a2=1

b2=2

1

c2=8 ¿{ {

¿

( 0.25®) ⇔

¿

a=1

b=√2

c=√2 ¿{ {

¿

( 0.5đ)

b) Tìm a , b , c biÕt : a = 2b

1+b2 ; b = 2c2

1+c2 ; c = 2a2 1+b2

Nhận xét số a ; b ; c số dơng , áp dụng bất đẳng thức Co-si (0 25đ) 1+ b2 2b ⇒ a = 2b

2

1+b2

2b2

+ c2 2c ⇒ b = 2c

1+c2 2c2

2c = c

+ a2 2a ⇒ c = 2a

1+b2 2a2

2a = a

Tõ ( ) ; ( ) ; (3 ) ta cã a = b = c theo cosi a = b = c = c) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác a + b+ c 0

P = (2008+ a

b )(2008 + b

c ) ( 2008 + c a )

a3 + b3 + c3 = 3abc

⇔ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = 0

⇔ a2 + b2 + c2 - ab - bc -ac = ( v× a + b + c )

⇔ ( a- b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = ⇔ a = b = c ⇒ P = (2008+ a

b )(2008 + b c )

( 2008 + ca )

P = ( 2008 + ) ( 2008 + ) ( 2008 + ) ; P = 20093 Câu 4:( điểm )

Ta cã

¿

( x2+ )( y2+ ) = 10 ( x + y )( xy - 1) =

¿{ ¿

Û

¿

x2y2

+ x2+ y2+ = 10 ( x + y )( xy - 1) =

¿{ ¿

Û

xy - 1¿2= 10 ¿

( x + y )( xy - 1) = ¿

x +y¿2+¿ ¿ ¿

Đặt u = x + y ; v = xy - hƯ trë thµnh :

¿

u2

+ v2= 10

u v = ¿{

¿

u + v¿2= 16 ¿ u v =

¿ ¿ ¿

Û

¿ u + v = ± u v =

¿{ ¿

· NÕu

¿ u + v = u v =

¿{ ¿

th× ta cã ¿ u = v =

¿{ ¿

hc ¿ u = v =

¿{ ¿ * víi

¿ u = v =

¿{ ¿

th×

¿ x + y = xy - =

¿{ ¿

Û

¿ x + y = xy =

¿{ ¿

Û (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2)

* Víi ¿ u = v =

¿{ ¿

th×

¿ x + y = xy - =

¿{ ¿

Û

¿ x + y = xy =

¿{ ¿

nªn x , y lµ nghiƯm cđa PT : t2 - t + = có D < ị vô nghiệm ị hệ vô nghiệm trờng hợp

· NÕu

¿ u + v = − u v =

¿{ ¿

th× ta cã ¿ u = -3 v = -1

¿{ ¿

hc ¿ u = -1 v = -3

¿{ ¿ * Víi

¿ u = -3 v = -1

¿{ ¿

ta cã

¿ x + y = -3 xy - = -1

¿{ ¿

Û

¿ x + y = -3 xy =

¿{ ¿

Û (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3)

* Víi ¿ u = -1 v = -3

¿{ ¿

ta cã

¿ x + y = -1 xy - = -3

¿{ ¿

Û

¿ x + y = -1 xy = -2

¿{ ¿

2

1

P

D N

M c

b

a I

E D

C B

A

N

M

c

b

a I

C B

A

B i 5:à

Ta cã: BD.CE = 2BI.CI

1

(1)

2

BI CI BD CE

Þ 

Trong tam giác BEC ta có BI phân giác B :

CI BC

EI BE

Þ 

Theo tinh chÊt tØ lÖ thøc

CI BC

CI EI BC BE

Þ 

 

Hay

CI BC

CE BC BE (2) mµ

BE CB a BE a

AE CA b Û c BE b

ac

b.BE ac a.BE BE

b a

Þ   Û 

 (*)

Thay (*) vào (2) ta đợc:

CI a a b

ac

CE a a b c

a b



 

  

 (3)

Tơng tự tam giác ABD ta có AI phân giác A:

(4)

BI AB BI AB BI c

ID AD BI CI AB AD BD c AD

Þ  Þ  Û  Þ

  

ab AD

a c



 (2*)

Thay (2*) vào (4) ta đợc:

BI c a c

ab

BD c a b c

a c



 

  

 (5)

Thay (3) (5) vào (1) ta đợc:

2 2

1

2 2 2

2

a b a c

a ab ac bc a b c ab ac bc

a b c a b c

 

 Û         

   

2 2

a b c

VËy tam giác ABC vuông A Câu 6: Trên cạnh PM lấy điểm D cho PD = PM

Ta cã: M M 1M D 1M N M 2M

(Vì D1là góc ngồi tam giác MND) Do đó: M N2M Theo ra: M N2P Suy P M 

Do ta có: DMNPDDNM g g( )

MN NP

DN MN

Þ 

đặt NP = a: MP b: MN = c: Với a,b,c N Ta có:

2 ( ) (1)

c a

c a a b

a b c ị

Do cạnh tam giác MNP ba số tự nhiên liên tiếp a > b nên a b = hc a – b = NÕu: a – b = th× a – c =

Tõ (1) ta cã:

2 2

c a ị c c (vì a = c + 2)

2

( 1)

1

c c c

c

  Þ   Û 

 

 Û c2 Nếu: a – b = a – c = ta có

(1)

2 2( 1) ( 2) 2

1

c

c c c c

c

  Û   Û   Û 

 

 (Lo¹i) VËy MN = 2: MP = 3: NP = Bµi 7:

a Ta cã:

 C  C  

AMI 90 ; BNI 90 AMI BNI (1)

2

    Þ 

Ta l¹i cã:

 A B  3600 (1800 C) C

AIB 180 90 (2)

2 2

  

    

Tõ (3) giả thiết suy ra: DAIB DAMI DBNI ị

AM IN

AM.BN IM.IN

IM BNÞ  (3)

Mà tam giác CMN cân C suy ra: IM=IN (4) (vì CI đờng cao đồng thời trung tuyến) Từ (3) (4) suy ra: AM BN IM2 IN2

b Ta cã: DAIBDAMI

2

AI AB AI AB.AM AM

AI AB.AM

AM AI AB.AC AB.AC AC

Þ  Þ  Û  

Hay

2

AI b AM

bc c

 

(5) T¬ng tù: DAIB DBNI

2

IB a CN

ca a



Þ

(6)

Trong tan giác vuông MIC (I 900) ị IC2 CM2 MI2 ; Mà AM BN IM2(c/m c©u a)

2 ( )2 . ( )( ) ( )( ) .

IC CA AM AM BN CA AM CA AM b AM a BN AM BN

Þ          

(V× CM = CN c/m trên) ị IC2 ab a AM b BN

IC BN AM

1

ab a b

Þ   

(7)

Cộng hai vế (5); (6) (7) ta đợc:

2 2

IA IB IC

1

bc  ca  ab 

Câu 8: (2 đ)

a iu kin x Phơng trình cho tơng đơng với

3    

 

 

2

x 16 10 x

x 4 - 3 x

Đặt t =

-x

3 x Þ t2 =



2

x 16 -

9 x 3 Phương trình trë thµnh :

 

 

 

 

2

3 t 10t

3 Û 3t2 – 10t + =

Û t = hc t = 4/3 * víi t = th×

-x

3 x = Û x2 - 6x - 12 = Û x = 3 21  * Víi t = 4/3 th×

-x x =

4

3 Û x2 - 4x - 12 = Û x = ; x = -

Vậy phơng trình cho có nghiệm : x = ; x = - ; x = 21 

b PT :

2

x

+ x + - x = -

4 Û √(

x + 1)

2

- x = √(2√2 - 1)2

Û | x

2+ | - x = 2√2 -

· NÕu  x

2 ³ Û x ³ – 2 , PT trở thành x + 2x = 4 √2 – 2

Û x = - √2 thỏa mãn x ³ – nên x = – √2 nghiệm phơng trình cho

· NÕu  x

2 < Û x < 2 , PT trở thành ( x + 2) – 2x = 4 √2 – Û – 3x = √2 Û x = – √2 /3 , kh«ng tháa m·n x < nên loại