Chóng ta ®Òu biÕt r»ng to¸n häc lµ c¬ së cña mäi ngµnh khoa häc, v× thÕ m«n to¸n ®ãng mét vai trß quan träng trong nhµ trêng... C¸c em cßn cÇn ®îc më réng mét sè dÊu hiÖu chia hÕt, bæ su[r]
(1)(2)Môc Lôc
Trang
Phần I : Mở đầu 02
1.Lý chọn đề tài ……….02
2.Mục đích nghiên cứu………02
3.NhiƯm vơ nghiªn cøu………03
4.Phạm vi đối tợng nghiờn cu 03
5.Phơng pháp nghiên cứu 03
PhÇn II : Néi dung ……… 03
Chơng I : Cơ sở lý luận mục đích ti03
Chơng II : Các biện pháp tiến hành .03
I Hệ thống lại kiến thức cần ghi nhớ 03
II Phân loại số dạng toán điển hình cách giải 08
III Giúp đỡ học sinh tìm tịi số lời giải tốn……… 13
Ch¬ng III : Thùc nghiƯm s ph¹m………14
A Mục đích thực nghiệm……….14
B Néi dung thùc nghiƯm……….14
C KÕt qu¶ thùc nghiƯm………17
D Bài học kinh nghiệm 19
E Điều kiện ¸p dơng………19
F Vấn đề cịn hạn chế bỏ ngỏ, hớng tiếp tục nghiên cứu……… 19
PhÇn III : KÕt luËn………20
(3)1.Lý chọn đề tài
Chúng ta biết toán học sở ngành khoa học, mơn tốn đóng vai trị quan trọng nhà trờng Thơng qua mơn tốn, học sinh nắm vững kiến thức tốn học, từ dễ dàng học tập môn học khác để ứng dụng kiến thức học vào ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng lao động, quản lý kinh tế, việc tự học, tự nghiên cứu khoa học Để giúp HS học tốt mơn tốn địi hỏi ngời thày giáo phải có lao động sáng tạo nghiêm túc
Một vấn đề lớn chơng trình tốn THCS vấn đề chia hết Vấn đề đ-ợc đa vào từ lớp 5, phát triển lớp 6, lớp đđ-ợc đề cập toán nâng cao dành cho học sinh giỏi lớp 8, lớp Trong kì thi học sinh giỏi cấp, đặc biệt lớp vấn đề chia hết nội dung hay đề cập đến thờng khó Các tốn chia hết đơn làm tập nh SGK dễ nhng tốn nâng cao khó, đa dạng khơng có quy tắc chung để giải, phải sử dụng phơng pháp khác cách linh hoạt, sáng tạo Trong lực t duy, khả phân tích tổng hợp HS hạn chế nên HS thờng bế tắc việc tìm cách giải cho loại tốn Vấn đề đặt việc giải toán phải biết nhận dạng toán lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải Hơn để giải đợc tập nâng cao tính chia hết ngồi việc nắm kiến thức có chơng trình, HS cịn phải nắm vững số kiến thức bổ sung mở rộng, kiến thức không đợc phân phối tiết học nên HS đợc vận dụng rèn luyện trừ gặp tập khó.Vì kỹ vận dụng kiến thức cha đợc thành thạo, nhạy bén, HS thờng mắc sai lầm nh : Khi thấy tổng chia hết cho m vội vã kết luận số hạng chia hết cho m ; thấy a⋮m a⋮n kết luận a⋮mn mà khơng xem xét xem m,n có ngun tố hay khơng
2.Mục đích nghiên cứu:
Để giúp HS gải khó khăn đó, đồng thời bổ sung số kiến thức tính chia hết, làm tài liệu tham khảo công tác bồi dỡng HS giỏi, góp phần vào việc “đào tạo bồi dỡng nhân tài” Tơi xin trình bày kinh nghiệm “Hớng dẫn HS lớp giải số dạng toán nâng cao tính chia hết Z” Đây đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho HS phơng pháp nhận dạng tốn tính chia hết hớng dẫn phơng pháp phân tích để có lời giải hợp lý
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu nội dung dạy học tính chia hết vành số nguyên
Tìm hiểu mạch kiến thức tìm ƯC, ƯCLN, BC, BCNN thuật toán Ơclit vành số nguyên Z
Điều tra thực trạng:
Thng xuyên nghiên cứu dạng tập liên quan đến ƯC, ƯCLN, BC, BCNN SGK vàSBT
Thờng xuyên kiểm tra đánh giá để nhận phản hồi học sinh Qua nhận khuyết điểm, sai lầm mà em hay mắc phảI
(4)phï hỵp gióp nâng cao chất lợng giảng dạy
Phạm vi đối tợng nghiên cứu:
Khi viết đề tài tôI nghiên cứu trờng THCS Văn Lang – Hạ Hòa – Phú Thọ học sinh đại trà
Ph¹m vi : 35 em học sinh lớp 6A
Phơng pháp nghiªn cøu
Phơng pháp mà tơi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu phơng pháp thực nghiệm s phạm
PhÇn hai : néi dung
Chơng I : sở lý luận mục đích chuyên đề
Để làm đợc tập nâng cao tính chia hêt HS phải nắm đợc định nghĩa, tính chất số nguyên tố, hợp số, em phải nắm đợc tính chất chia hết có liên quan đến số nguyên tố nh Các em cần đợc mở rộng số dấu hiệu chia hết, bổ sung số kiến thức ƯCLN, BCNN Từ em phải nắm đ-ợc phơng pháp để giải toán tính chất chia hết tập có liên quan
Ngoài HS cần nắm đợc số dạng tốn điển hình chia hết cóphơng pháp giải phù hợp dạng Có đợc kỹ em sẽlàm đợc tập cách nhanh gọn, linh hoạt
Để giải đợc vấn nêu HS cần phải phát huy tính tích cực,t sáng tạo Cịn giáo viên ngời thiết kế, hớng dấn em, khơi dậy t duy, tạo hứng thú học tập Có nh chơng trình dạy học đạt hiệu qu cao
Chơng II : Các biện pháp tiến hành :
I Hệ thống lại kiến thức cÇn ghi nhí :
- Để HS thuận lợi việc giải tốn tính chất chia hết cần củng cố cho em kiến thức tính chia hết kiến thức có liên quan, là:
- Đối với giáo viên để giảng dạy cho học sinh hiểu kiến thức chia hết ngời giáo viên phải hiểu đầy đủ kiến thức phép chia hết phép chia có d vành số nguyên Z nh sau:
1.TÝnh chia hÕt:
*Định nghĩa:Số nguyên a đợc gọi chia hết cho số nguyên b a= b.q với số
nguyên q đó.Khi ta nói alà bội b ký hiệu a b Ta nói bchia hết a hay b ớc a ký hiệu b │a
Quan hệ chia hết có số tính chất đơn giản sau.Đối với số nguyên a,b,c ta cú:
1.a
2.aa (tính phản xạ) 3.NÕu │ a th× a =
4.a b b c kéo theo a c ( tính bắc cầu )
(5)( Ta coi xc tổ hợp tuyến tính nguyên c )
Những tính chất đợc suy trực tiếp từ định nghĩa Chẳng hạn tính chất ta có:
b = ad vµ c = bd => c = a(dd )
*Mệnh đề 1:Các ớc ( gọi ớc đơn vị )trong Z gồn có
Chứng minh: mệnh đề khẳng định rằng:
ab = a = b =1 hc a = b = -1
Thật từ giả thiết ab = suy │ab│ =│a│.│b│ = Do a ≠ nên │a│≥ Cũng nh │b│ ≥ Từ │a│=│b│ =1 ,bởi
a = b= hc a = b = -1.
*Hệ 2: Nếu hai số nguyên a b chia hết lẫn a = b
Chøng minh: Do a │b ba nên tồn số nguyên u ,v cho
a = bu, b = av từ a = a(uv) Do a ≠ nên uv = u = a = b
2 PhÐp chia víi d:
2.1 Định lí 3: Cho hai số nguyên a b , b ≠ Khi tồn cặp số
nguyªn q, r cho :
a = bq + r , ≤ r < │b│ Chøng minh: a, Sù tån t¹i
Gäi M tập hợp tất bội b không vợt a, M = { bx bx ≤ a, x Z }
TËp hỵp M ≠ v×:
- │b││a│≤ -│a │≤a - │b││a│ M
Tập M bị trặn nên có số lớn Chẳng hạn số bq Do số nguyên bq + │b│ bội b nêntừ tính lớn bq M ta có bq ≤ a < bq + │b│
Từ đó:
a - bq < b Đặt r = a - bq ta cã
a= bq + r ; ≤ r < b Là điều phải chứng minh
b,TÝnh nhÊt:
Gi¶ sư cã : a = bq +r = bp +s , ≤ r ; s < │b│
Từ ta có : b( q - p) = s - r
-NÕu q - p ≠ th×:│b(q - p) = b.q - pb (1) Mặt khác │s - r│ < │b│ (2)
(6)Chứng minh:
Điều kiện cần hệ trực tiếp hệ vừa nêu
Bây ta chứng minh điều kiện đủ.Hiển nhiên ớc chung số nguyên a ,a ,…,a Hơn
= xa + xa + … +xa
Nªn mäi íc chung số nguyên a ,a ,,a cũng íc chung cña Bëi vËy =( a ,a ,…,a ).
• Mệnh đề 7: Nếu k số nguyên
( ak, ak, ,ak) = ( a , a , ,a ) ã Hệ 8: (a,b) = d ( , ) =
Chứng minh :thật theo mệnh đề ta có
(a,b) = d ( , )d = d ( , ) =
•Mệnh đề :Nếu a b hai số nguyên tố b ớc ac b ớc c
Chøng minh: Do ( a, b) = tån t¹i u,v Z cho
= au + bv Từ c = acu + bcv
Nếu b ớc ac b ớc biểu thức vế phải,do b ớc c
• Mệnh đề 10: nếu hai số a b nguyên tố
(ac,b) = (c, b), víi mäi c Z
Chứng minh :Nếu d ớc chung ac b ớc chung ac bc ,do ớc
(ac,bc) = (a,b)c = c
điều có nghĩa lµ nÕu d lµ íc chung cđa b vµ c d ớc chung b ac Nh tập hợp ớc chung ac b trùng với tập ớc chung c vµ b Bëi vËy
(ac,b) = (c, b).
4 Thuật tốn Ơclit để tìm ƯCLN
Để tìm ƯCLN hai hay nhiều số tù nhiªn ta thêng sư dơng tÝnh chÊt sau; a = bq + c (a,b) = (b,c)
( Lu ý khơng địi hỏi < r < b) Thuật tốn Ơclít đợc tiến hành nh sau:
- NÕu a= bq th× (a,b) = b
- Nếu a không chia hết cho b thực liên tiếp phép chia với d ta đợc a = bq + r < r < b
b = rq + r , < r < r
r = rq + r , < r < r
r = rq
(7)( a,b) = (b,r) = = ( r , r ) =r
nghĩa ƯCLN a b số d cuối r thuật tốn nói Bây việc tìm ƯCLN n số ( n > 2) đợc tính theo công thức truy hồi: ( a ,a ,…,a) =( ( a ,a ,…,a ), a )
4 Béi chung - Béi chung nhá nhÊt:
a) Số nguyên m đợc gọi bộichung số nguyên a ,a ,…,a
( n ≥ ) chia hết cho số nguyên
b) Bội chung m số nguyên a ,a ,…,a đợc gọi bội chung nhỏ ( viết tắt BCNN) ớc bội chung a ,a ,…,a
* Chó ý: NÕu m vµ m’ lµ béi chung nhá nhÊt cđa c¸c sè a ,a ,…,a
m = m Trong trờng hợp m > ta ký hiÖu
m = BCNN ( a ,a ,…,a) , hc m = [ a ,a ,…,a] vµ quy íc nã lµ BCNN cđa a ,a ,,a
ã Định lí 11:( vỊ sù tån t¹i cđa béi chung nhá nhÊt)
Tồn bội chung nhỏ n số nguyên a ,a ,…,a ( n ≥ )
Chøng minh:
Gọi M tập hợp tất số dơng chia hết cho a ( i = 1,2, , n) Khi rễ thjấy M khác rỗng │ aa …a│ M
Do M tồn phần tử bé m Đó BCNN a ,a , ,a.Thật vậy, giả sử k bội chung a ( i = 1,2, , n) , ta chứng tỏ k …
mét béi cđa m Kh«ng mÊt tÝnh tỉng qu¸t ta cã thĨ coi k > chia k cho m ta đ -ợc
k = mq + r, ≤ r <m.mäi a ( i = 1,2, , n)
Do k m chia hết cho a ( i = 1,2, , n) Điều chứng tỏ r M r ≠ 0.Nhng điều mâu thuẫn với tính nhỏ m Bởi r = k chia hết cho m
Mệnh đè sau cho mối liên hệ ớc chung lớn bội chung nhỏ hai số nguyên a,b, đồng thời cho cách tìm bội chung nhỏ hai số • Mệnh đề 12: Với hai số nguyên dơng a , b ta có
[a,b] =
Chứng minh: Đặt m = Râ rµng
m = a = b Nên m bội chung a vµ b
Bây k mmọt bội chung a b k = ak = bk , k ,k Z
Suy : k = k
Do nguyên tố nên ớc k Từ
m = ớc ak = k điêù chứng tỏ m lµ béi chung nhá nhÊt cđa a vµ b , nghÜa lµ
= [a, b]
(8)[ a , a ,…,a ] = [ [ a , a ,…,a] , a ]
Trong nhiều trờng hựp BCNN nhiều số cịn dợc xác định nhờ tính chất sau: m = [ a , a ,…,a ] [ , ,…, ] =
-Đối với học sinh :Để HS thuận lợi việc giải tốn tính chất chia hết cần củng cố cho em kiến thức tính chia hết kiến thức có liên quan, là:
1/Định nghĩa :
cho hai số tự nhiên a b (b 0) Ta nói a chia hế cho b tồn số tự nhiên q cho a = b.q Ta cßn nãi a bội b b ớc a, a chia hết cho b
2/ Các tÝnh chÊt vÒ chia hÕt :
* TÝnh chÊt chung :
a) Sè chia hÕt cho mäi sè b ≠
b) Mọi số a ≠ chia hết cho c) Tính chất bắc cầu : Nếu a⋮b, b⋮c a c
+ TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tỉng, mét hiƯu d) NÕu a⋮m, b⋮m th× tỉng a + b⋮m, a - b⋮m + HƯ qu¶ :
- NÕu (a + b)⋮m (hc a - bm) am bm - Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) bm am e) Nếu a⋮m, b⋮m th× a + b⋮m, a - b⋮m ;
NÕu a⋮m, b⋮m th× a + b⋮m, a - b⋮m
f) NÕu mét thõa sè cña tÝch chia hÕt cho m th× tÝch chia hÕt cho m + Hệ quả: Nếu am anm (n số tự nhiên 0)
g) Nếu am, bn abmn + Hệ : ab anbn.
(9)i) NÕu mét tÝch chia hÕt cho số nguyên tố p tồn thừa sè cña tÝch chia hÕt cho p
+ Hệ quả: anp (p số nguyên tố) ap j) Nếu abm, b m, n guyên tố cïng th× a⋮m k) NÕu a⋮m, a⋮n th× a⋮BCNN(m,n)
+ HƯ qu¶ :
- NÕu a⋮m, a⋮n, (m,n) = th× a⋮mn
- Nếu a chia hết cho số nguyên tố đơi a chia hết cho tích chúng
3/ Bỉ sung mét sè dÊu hiƯu chia hÕt :
Ngoài dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho mà HS đ ợc học chơng trình SGK, cần bổ sung thêm số dấu hiệu sau:
a) DÊu hiÖu chia hÕt cho 4, cho 25 :
Một số chia hết cho (hoặc cho25) số có hai chữ số tận chia hết cho ( cho 25)
b) DÊu hiÖu chia hÕt cho 8, cho 125 :
Một số chia hết cho (hoặc cho125) số có ba chữ số tận chia hết cho ( cho 125)
c) DÊu hiÖu chia hÕt cho 10:
Một số chia hết cho 10 số có chữ số tận d) Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Một số chia hết cho 11 hiệu tổng số đứng vị trí lẻ tổng chữ số đứng vị trí chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết chia 11
4/ Bæ sung kiến thức ƯCLN BCNN : a) Thuật toán Ơclit :
+ Nếu ab ƯCLN(a,b) = b
+ Nếu ab ƯCLN(a,b) = ¦CLN(b,r)
(r lµ sè d phÐp chia a cho b) b) ¦CLN(a,b) BCNN(a,b) = ab
5/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố :
+ Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ớc Số số nguyên tố chẵn
+ Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai íc
+ Hai hay nhiều số đợc gọi hai số nguyên tố ƯCLN chỳng bng
II Phân loại số dạng toán điển hình cách giải:
(10)1/ Các toán áp dụng tính chất chia hết dấu hiệu chia hết :
* D¹ng 1:
Chứng minh biểu thức chia hết cho số: Để chứng minh biểu thức chia hết cho số đó, ngồi việc sử dụng tính chất chia hết dấu hiệu chia hết biết phải tuỳ theo trờng hợp cụ thể để kết hợp với số kiến thức khác nh :Các tính chất phép tốn, phép luỹ thừa, tìm chữ số tận luỹ thừa, phép chia có d, cấu tạo số, số nguyên tố Cụ thể :
a)Kết hợp với kiến thức luỹ thừa tìm chữ số tận luỹ thừa :
VÝ dô :
Chøng minh r»ng 34n + + ⋮5 víi mäi n
- Phơng pháp : Tìm chữ số tËn cïng cđa 34n + 1 + råi sư dơng dÊu hiƯu chia hÕt cho 5.
Gi¶i :
34n + 1 + = (34)n + = 81n .3 + 2
Những số có chữ số tận nâng lên luỹ thừa khác có tận 1, 81n có tận 1.
⇒ 81n cã tËn cïng lµ ⇒ 81n .3 + cã tËn cïng lµ 5. vËy 81n + ⋮5 hay 34n + + ⋮5
b) KÕt hỵp víi kiÕn thøc vỊ phÐp chia cã d :
VÝ dô :
Chứng tỏ hai số nguyên a b chia cho sè nguyªn c≠ cã cïng sè d th× hiƯu cđa chóng chia hÕt cho c
- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức phép chia có d để biểu diễn a, b tìm hiệu chúng
Gi¶i :
Ta cã a = cq1 + r b = cq2 + r
Gi¶ sư a > b, a – b = (cq1 + r) - (cq2 + r) = cq1 + r – cq2 - r = cq1- cq2 = = c(q1- q2)
VËy a – b⋮c
c) Sử dụng cấu tạo số để biến đổi:
VÝ dô 5:
Cho biÕt abc chia hÕt cho 7, chøng minh r»ng: 2a + 3b + c chia hÕt cho
- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức cấu tạo số để phân tích abc thành tổng hai số hạng: số hạng bội 7, số hạng 2a + 3b + c
Gi¶i:
Ta cã abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c = (98a + 7b) + (2a + 3b + c)
= 7(14a + b) + (2a + 3b + c)
(11)* Dng : Tìm chữ số theo ®iỊu kiƯn vỊ chia hÕt
VÝ dơ :
Thay dấu * chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 12
- Phơng pháp : Xét điều kiện để A⋮4 cho từ tìm chữ s
Giải :
Để A12 A4 hai chữ số tận A tạo thành số chia hết cho 4, nghĩa 2*⋮4 ⇒ 2*∊ {20 ; 24 ; 28}
- Trờng hợp : A = 52*20 Để A⋮3 + + * + + phải chia hết cho 3, tức + * phải chia hết cho 3, * ∊{ ;3 ; 6;9 }
- Trêng hỵp : A = 52*24 Lập luận tơng tự nh ta có * = ; ; - Trêng hỵp : A = 52*28, ta cã * = ; ;
Thay dấu * chữ số thích hợp vừa tìm trên, ta tìm đợc số :52020 ; 52020; 52320; 52620; 52920 ; 52424 ; 52128 ;52720 chia hết cho 36
* Dạng : Tìm số nguyên theo điều kiƯn cho tríc
VÝ dơ 7: T×m số nguyên x y cho:
(2x + 1)(y – 3) = 10
- Phơng pháp : Xét ớc 10
Giải :
x y số tự nhiên nên 2x + y ớc 10 (y>3) Các ớc 10
± ; ± ; ± ; 10 Vì 2x + số lẻ nên 2x + ∊ { ± ; ± 5} Ta cã b¶ng sau :
2x + y - x y
± 1 ± 10 ; -1 -7 ;13
± 5 ± 2 -3 ; ± 5
VÝ dô 8 :
Tìm số nguyên n cho n + ⋮ 2n –
Gi¶i :
n + ⋮ 2n – ⇒ [2(n+6) – (2n – 1)] ⋮2n – ⇒ (2n + 12 – 2n + 1) ⋮ 2n – ⇒ 13⋮2n –
⇒ 2n – lµ íc cđa 13 ⇒ 2n – ∊ { ± 1; ± 13} Ta cã b¶ng sau:
2n – ± ± 13
n 0, -6;
VÝ dô 9 :
Tìm số nguyên n cho n + 2n –
Gi¶i :
(12)⇒ 13⋮2n –
⇒ 2n – lµ íc cđa 13 ⇒ 2n – ∊ { ± 1; ± 13} Ta cã b¶ng sau:
2n – ± ± 13
n 0, -6;
*Dạng 4: Chứng minh chia hết biểu thức chứa chữ
VÝ dô 10: Chøng minh r»ng: n3 – n chia hết cho với n nguyên.
Vì (2,3) = nên cần chứng minh n3 n chia hÕt cho vµ chia hÕt cho 3. Ta cã n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1)
Mµ n, n + 1, n số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1)
Mặt khác: n biểu diễn thành dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k Z) + NÕu n = 3k th× n3 – n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 – 1) ⋮ 3
+ NÕu n = 3k + th× n3 – n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) ⋮ 3. + NÕu n = 3k + th× n3 – n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3) = 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2) ⋮ KL: VËy n3 – n ⋮ 6 víi n nguyªn.
3/ Các toán ƯCLN, BCNN : * D¹ng :
Tìm ƯCLN hai số thuật toán Ơclit : α = bq + r (0 < r < b) ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r) Từ có cách tìm ƯCLN hai số nh sau :
Lấy a chia cho b d r, Lấy b chia cho r d r1, Lấy r chia cho r1 d r2 Cứ tiếp tục nh đợc số d số d cuối khác ƯCLN phải tìm
Ví dụ 11: Trong buổi liên hoan, ban tổ chức mua 96 kẹo, 36 bánh
chia đĩa, đĩa gồm kẹo bánh Có thể chia đợc nhiều thành đĩa, đĩa có kẹo, bánh?
Giải: Gọi số đĩa a Ta phải có 96 ⋮ a, 36 ⋮ a, a lớn Do a ƯCLN( 96; 36)
Ta tính đợc a = 12 Chia đợc nhiều thành 12 đĩa Mỗi đĩa có 96: 12 = (kẹo) 36:12 = ( bánh)
VÝ dô 12:
Một khối học sinh xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng thiếu ngời, nhng xếp hàng vừa đủ Biết số học sinh cha đến 300 Tính số học sinh
Gäi sè häc sinh lµ a ( < a < 300 )
Ta có a + bội chung 2, 3, 4, 5, < a + < 301 Do a ⋮ 7, ta tìm đợc a+1 = 120 nên a = 119 Số học sinh 119 ngời
* Dạng 2:
(13)Tìm ƯCLN 2n + vµ 9n + (n∊N)
Giải:
Gọi d ớc chung 2n – vµ 9n +
⇒ 2(9n + 4) – 9(2n – 1)⋮d ⇒ 17 ⋮d ⇒ d ∊ {1; 17}
Ta cã 2n - 1⋮17 ⇔ 2n - 18⋮17 ⇔ 2(n – 9)⋮17 ⇔ n – 9⋮17 ⇔ n = 17k + (k∊N)
- Nếu n = 17k + 2n - 1⋮17 9n + = 9(17k + + 4) = bội 17 + 85 ⋮17 Do ƯCLN (2n – 1; 9n +4) = 17
- Nếu n ≠ 17k + 2n – khơng chia hết cho 17 Do ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) =
VÝ dô 14:
Tìm BCNN ba số tự nhiên liên tiÕp n, n + 1, n + (n≠ 0)
Gi¶i:
Ta cã [n, n + 1, n + 2] = [(n, n + 1), n + 2] = [n(n + 1), n + 2] v× [n, n + 1] = n(n +1) Mặt khác: [a, b]=ab
(a, b)nªn[n(n+1), n+2]=
n(n+1)(n+2) [n(n+1),n+2]
Ta cã : (n + 1, n + 2) = nªn [n(n + 1), n + 2] = (n, n + 2) = (n, 2)
[n,n+1,n+2]=n(n+1)(n+2)
2
- Nếu n chẵn (n,2) = Do
- Nếu n lẻ (n,2) = Do [n, n + 1, n + 2] = n(n + 1)(n + 2)
* D¹ng 3:
Tìm hai số biết ƯCLN, BCNN
Khi giải tốn tìm hai số biết ƯCLN, BCNN ta thờng sử dụng kiến thức sau:
a = da, (1)¦CLN (a,b) = d ⇔ b = db, (a,, b,) = 1 (2) ¦CLN (a, b) BCNN (a, b) = ab
ab
d =
da, db,
d =da
,.b,
(3) Tõ (1) vµ (2) ⇒ BCNN (a, b) = VÝ dô 14 :
(14)a = 12a, ¦CLN (a,b) = 12 ⇔ b = 12b, (a,, b,) = 1
a.b = ƯCLN (a, b).BCNN (a, b) = 12.72 ⇒12a, 12b, = 12.72 ⇒ a,.b, = 6 Do a ≥ b nên a, ≥ b, Chọn hai số có tích 6, ngun tố a, ≥ b,, ta đợc
a, 6 3
Do a 72 36
b, 1 2 b 12 24
Ta cã b¶ng sau:
d a,b, + 1 a,b, a, b, A b
1 55 54
2
54 27
1
54 27
5 11 10
2
10
5 10
50 25
11 4 11 44
Vậy có cặp số thoả mÃn lµ (1;54) ; (2;27) ; (5;50) ; (10;25) ; (11;44)
III Giúp đỡ học sinh tìm tịi số lời giải toán
phần II nêu số dạng tốn điển hình, cách giải dạng tốn Song tốn chia hết phong phú, đa dạng khơng có quy tắc chung để giải, có nằm dạng nêu nhng giải tơng tự lại gặp bế tắc Vì hớng dẫn học sinh cần phân tích kỹ đầu để lựa chọn phơng pháp thích hợp, đến lời giải hợp lý Sau số toán cụ thể:
Bµi 1:
Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b ∊ N) Chứng minh 10a + b ⋮13 1, Phân tích đề bài:
Đề cho biết a + 4b ⋮ 13 phải chứng minh 10a + b⋮13 Do cần nghĩ đến việc sử dụng giả thiết cách làm xuất tổng hiệu hai số, số chứa a + 4b, số chứa 10a + b xét tổng hiệu ca chỳng
2, Hớng dẫn cách tìm lời gi¶i:
Để cho gọn ta đặt a + 4b = X, 10a + b = Y Học sinh dễ dàng thấy đ ợc xét tổng hiệu X Y khơng thấy xuất bội 13 Vì nhân X Y lên số lần để cho cộng hay trừ hai biểu thức xuất bội 13
Vậy cần nhân X Y với để khử số hạng a (hoặc b)? làm để xuất hệ số a (hoặc b) 13?
(15)C¸ch 1 :
X⋮13 nªn 10X ∶ 13
10X – Y = 10(a + 4b) – (10a + b) = 39b ⋮13
Nh vËy 10X – Y ⋮13, mµ 10X ⋮13 ⇒ Y⋮13 hay 10a + b⋮13 Cách 2 :
X13 nên 3X13
XÐt 3X + Y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b
Nh vËy 3X + Y ⋮13 mµ X⋮13 ⇒ Y⋮13 hay 10a + b 13 +Bài tập tơng tự:
Bi 1: Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 42 học sinh, lớp 6C có 48 học sinh Trong ngày khai giảng, ba lớp xếp thành hàng dọc nh để diễu hành mà khơng lớp có ngời lẻ hàng Tính số hàng dọc nhiều xếp đợc
Bài 2: Một liên đội thiếu niên xếp hàng 2, hàng3, hàng 4, hàng thừa ngời.Tính số đội viên liên đội biết số khoảng từ 100 đến 150
Bài : Cho đa thức f(x) = a2x 3 +3ax2 -6x -2a (a Q). Xác định a cho f(x) ⋮ (x +1)
Bài 4: Tìm k nguyên để k(k2 -1) (k2 -4) 480
HD: Để ý tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Đáp số : k = 8t, k = 4t +2, k =16t +1, k =16t -
Bài 5: Xác định số a,b để a)x4 + ax2 +b x2 –x +1.
b) ax3 + bx2 + 5x – 50 x2 + 3x - 10 HD: Thùc hiÖn phÐp chia
a) x4 + ax2 + b = (x2 –x +1) (x2 +x +a) + (a-1) x + b –a.
Muốn chia hết đa thức d phải đồng 0, a=1, b=a b) Đặt phép chia : Tính đợc a=1, b=8
Chơng III : Thực nghiệm s phạm A.Mục đích thực nghiệm
- Kiểm tra hiệu đề tài nghiên cứu
- Tìm thiếu sót, tìm khuyết điểm nh biện pháp khắc phục để hoàn thiện đề tài ngày chất lợng
(16)Giáo án : Phép trừ phÐp chia I.Mơc tiªu
- HS hiểu đợc kết phép trừ số tự nhiên, kết phép chia số tự nhiên
- HS nắm đợc quan hệ số phép trừ, phép chia hết, phép chia có d
- Rèn luyện cho HS vận dụng kiến thức phép trừ, phép chia để tìm số cha biểt phép trừ, phép chia Rèn tính xác phát biểu giải tốn
II Chuẩn bị GV HS
- GV : Phấn màu, bảng phụ, giấy - HS : Bảng phụ , bút
III.Tiến trình dạy Học
A.Tỉ chøc: 1’
B.KiĨm tra: 5’
HS1: Chữa tập56 tr.10 SBT (a) KQ : 2400
GV hái thªm :
- Em sử dụng tính chất phép tốn để tính nhanh - Hãy phát biểu tính chất
C.Bµi míi :
Hoạt động thầy Hoạt động trũ
GV đa câu hỏi : HÃy xét xem có số tự nhiên x mà :
a) + x = hay kh«ng ? b) + x = hay kh«ng ?
+ GV : ë c©u a ta cã phÐp trõ : = x + GV khái quát vàủtng lên bảng phụ : Cho số tự nhiên a b, có só tự nhiên x cho b + x = a th× cã phÐp trõ a – b = x
+ GV giới thiệu cách xác định hiệu tia số ( Sử dụng bảng phụ phấn màu) - Xác định kết trừ nh sau:
0
-Đặt bút chì điểm 0, di chuyển tia số đơn vị theo chiều mũi tên ( dùng phấn màu )
1.PhÐp trõ hai sè tù nhiªn ( 11’)
HS tr¶ lêi
Ơ câu a tìm đợc x =
Ơ câu b khơng tìm đợc giá trị x HS theo dõi ghi vào
(17)- Di chuyển bút chì theo chiều ngợc lại đơn vị ( phấn màu )
- Khi bút chì điểm 2, hiệu
+ Giáo viên giải thích khơng trừ đợc di chuyển bút từ điểm theo chiều ngợc chiều mũi tên đơn vị bút vợt ngồi tia số ( Hình 16 SGK ) GV yêu cầu HS làm ?
GV nhÊn m¹nh:
a) Sè bÞ trõ = Sè trõ ⇒ hiƯu b»ng
b) Sè trõ = ⇒ Sè bÞ trõ = hiƯu c) Sè bÞ trõ ≥ Sè trõ
+ GV : xÐt xem cã sè tù nhiªn x mà: a) 6.x = 18 hay không?
b) 5.x = 17 hay kh«ng ?
NhËn xÐt : ë c©u a ta cã phÐp chia 12 : =
+ GV : Khái quát trng lên bảng phụ: Cho số tự nhiên a b ( b ≠ ), nÕu cã sè tù nhiên x cho: b.x = a ta có phÐp chia hÕt a : b = x
+ GV yêu cầu HS làm ?2
+ GV giới thiÖu phÐp chia
18 13
+ GV :Hai phép chia có khác ?
+GV : Giíi thiƯu phÐp chia hÕt,phÐp chia có d ( nêu thành phần phép chia )
+ GV trng lên bảng phụ:
a = b.q + r ( ≤ r < b)
NÕu r = th× a = b.q ( phÐp chia hÕt ) NÕu r ≠ th× phÐp chia cã d
+GV hái :
Bốn số : số bị chia, số chia, thơng, số d có quan hệ gì?
- Theo cách tìm tìm hiệu
- HS tr¶ lêi miƯng ?1 a) a – a =
b) a – = a
c) Điều kiện để có hiệu a – b a ≥ b
2.PhÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d
(22’) HS tr¶ lêi
a) x = v× = 18
b) Khơng tìm đợc giá trị x khơng có số tự nhiên nhân với 17
- HS theo dõi, ghi phần chữ đậm tr.21 vào
HS trả lời miệng ?2 a) : a = b) a : a = c) a : = a
HS : PhÐp chia thø nhÊt cã sè d b»ng 0, phÐp chia thø cã sè d kh¸c
HS đọc phần tổng quát SGK tr.22 ghi vào
HS : Trả lời
- Số chia cần có điều kiện gì? - Số d cần có điều kiện ?
- Yêu cầu HS làm ?3 vào bảng phụ - GV kiểm tra kết
Số bị chia = Số chia thơng + d ( Sè chia ≠ 0)
Sè d < Sè chia
(18)Cho HS lµm bµi 44(a,d) Bµi tËp 44a,d
Gọi HS lên bảng làm tập HS dới lớp độc lập làm
GV kiểm tra HS lại
c) Không xảy số chia d) Không xảy số d > Số chia Bài 44:
a) Tìm x biết :
x : 13 = 41 x = 41.13
x = 533 d) T×m x biÕt :
7x – = 713 7x = 713 + 7x = 721
x = 721 : = 103
D.Cñng cè :( ) ’
GV cđng cè l¹i kiến thức - Nêu cách tìm số bị chia
- Nêu cách tìm số bị trõ
- Nêu điều kiện để thực đợc phép trừ N - Nêu điều kiện để a chia ht cho b
- Nêu điều kiện sè chia, sè d cña phÐp chia N
E.H íng dÉn vỊ nhµ: ( 1’)
- Häc thuéc lÝ thuyÕt
- Lµm bµi tËp 41 – 45 ( SGK ) - Bµi 70 – 72 SBT/ 11
c.KÕt qu¶ thùc nghiƯm:
Trên tốn nâng cao điển hình vể tính chất chia hết N đợc phân dạng, giúp HS dễ dàng việc tìm lời giải toán giúp giáo viên làm tài liệu bồi dỡng HS khá, giỏi Qua thực tế giảng dạy thấy cha áp dụng chuyên đề HS tiếp thu cịn khó khăn, sau thời gian gặp lại làm lại quên cách giải Khi áp dụng kinh nghiệm dới hình thức giảng dạy theo chuyên đề cho HS thấy kết có tới 80% HS hiểu sâu sắc chất vấn đề nên gặp toán khác em nhận dạng vận dụng cách giải linh hoạt với dạng Số lại làm tốt dạng hay gặp
(19)Kỹ Trớc
ỏp dng ỏp dụngSau Nhận dạng giải đợc tốn áp dụng tính
chÊt chia hÕt 40% 80%
Nhận dạng giải đợc toán v CLN,
BCNN 30% 75%
Nhận dạng toán vận dụng cách giải linh hoạt với
mỗi 32% 80%
Tỡm c li gii cỏc tốn đặc biệt, có nội dung phức
hỵp 10% 50%
D.Bµi häc kinh nghiƯm :
Qua giảng dạy đại chà bồi dỡng HS giỏi, với HS lớp 6, thấy để giúp HS hiểu sâu sắc vấn đề việc nghiên cứu kỹ dạng tập, chuẩn bị cách chu đáo, giáo viên cần có “nghệ thuật giảng dạy” – Ph-ơng pháp giảng dạy hợp lý Kinh nghiệm cho thấy, với tập nâng cao tính chia hết cho HS lớp cần phải hớng dẫn em cách dần dần, từ vấn đề đơn giản, bản, sau thay đổi vài chi tiết để nâng dần đến tập phức tạp Sau giáo viên cần củng cố phơng pháp giải khai thác thành toán cách thay đổi kiện để HS tự vân dụng
Việc bồi dỡng chuyên đề giúp HS có thêm kiến thức kỹ giải tập kỳ thi HS giỏi, góp phần nâng cao chất lợng mũi nhọn nhà trờng
E.Điều kiện áp dụng:
Để hớng dẫn HS lớp giải số dạng tập tính chia hết Z có hiệu quả, nên thực số điều kiện sau :
1/ Đối với học sinh: Các em cần phải nắm đợc kiến thức tình chia hết, cỏc
kiến thức có liên quan, em cần có say mê, hứng thú với loại toán chia hết có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng tập điển hình
2/ Đối với giáo viên : Ngời thầy giáo phải có trách nhiệm đem lại niềm say mê
hng thỳ vi mụn học, hớng dẫn em cách khai thác, vận dụng vấn đề mảng kiến thức mà em có Để đạt hiệu cao áp dụng chuyên đề giáo viên nên dành thời gian bồi dỡng từ – buổi /tuần cho HS giỏi Cịn HS đại trà tuỳ theo đối tợng (có thể giới thiệu dạng bản, lấy ví dụ minh hoạ đơn giản, nhằm khắc sâu lý rhuyết làm tập đơn giản )
F.Vấn đề hạn chế, bỏ ngỏ, h ớng tiếp tục nghiên cứu :
(20)PhÇn III : KÕt luËn
Sau thời gian tự nghiên cứu với phơng pháp tìm đọc tài liệu tham khảo su tầm tập, ví dụ, kết hợp với thực tế giảng dạy, với kiến thức, lý luận tích luỹ Tơi cố gắng hệ thống số vấn đề xung quanh tính chất chia hết Z từ đơn giản đến phức tạp, đặc biệt kiến thức, tập nâng cao dành cho HS giỏi Tuy nhiên với lực thời gian có hạn, tài liệu cách nhìn nhận vấn đề phơng pháp giảng dạy nh cách trình bày chắn khơng tránh khỏi thiếu sót
Rất mong đợc góp ý, bổ sung trân thành từ đồng nghiệp
*Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa, sách tập toán 6- NXBGD
Cỏc chuyờn s hc Nguyn V Thanh
Cách tìm lời giải toán số học Lê Hải Châu
Chuyên đề phân số tỷ số – Nguyễn c Tõn
Hạ Hoà, ngày 15/12/2010
Ngêi viÕt
(21)