Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi I, H lần lượt là trực tâm của các tam giác ACD và SAC.[r]
(1)TTBDVH KHAI TRÍ ĐỀ SỚ 4
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2010 - 2011 Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
2 Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với
Câu II (3 điểm)
1.Giải phương trình sau: sin(2
+ 2x)cot3x + sin( + 2x) – 2cos5x = Giải phương trình 2x21 x2 3x 2 2x22x 3 x2 x2
3 Giải hệ phương trình
2
x y x y
x y x y
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I =
2
4 d
x x
x x
Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a,ABC 600;SD =a vng góc với đáy Gọi I, H trực tâm tam giác ACD SAC Tính thể tích khối tứ diện HIAC
Câu VI.( điểm)
Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: (d1):
¿
x=2t y=t z=4
¿{ {
¿
( d2) :
3
x t
y t z
.Chứng
minh (d1) ( d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1) ( d2)
Câu VII (1 điểm) Giải phương trình sau tập hợp số phức: (z2 i z)( z) 0
(2)-Đáp án
Câu Ý Nội dung Điểm
I y = x3 + 3x2 + mx + 1 (C m)
1 m = : y = x3 + 3x2 + 3x + (C 3)
+ TXÑ: D = R
+ Giới hạn: xlim y , limx y
+ y’ = 3x2 + 6x + = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2
0; x
* Bảng biến thiên:
+ y” = 6x + = 6(x + 1)
y” = x = –1 tâm đối xứng I(-1;0)
* Đồ thị (C3):
1đ
2 Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là:
x3 + 3x2 + mx + =
x(x2 + 3x + m) =
x
x 3x m (2)
* (Cm) cắt đường thẳng y = C(0;1), D, E phân biệt:
Phương trình (2) có nghiệm xD, xE 0.
2
m 4m
4 m
0 m 9
Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD=y’(xD)=
2
D D D
3x 6x m (3x 2m);k
E= y’(xE) =
2
E E E
3x 6x m (3x 2m)
Các tiếp tuyến D, E vuông góc khi: kDkE = –1 (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1
9m + 6m (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo
định lý Vi-ét) 4m2 – 9m + = m =
65
ÑS: m =
1 9 65 hay m 9 65
8
0,5
(3)II ĐK: sin3x 0 Khi pt cos3x
cos sin 2 cos cos cos sin sin sin cos sin
2
cos (1 sin ) ; ; ( )
10 12
x x x x x x x x x
x
k k k
x x x x x k Z
0,5 0,5 Đặt: 2 2
2
3
2
2
u x
v x x
p x x
q x x
Điều kiện:
2
2
3
x x x (*)
Ta thấy: u2 – v2 = p2 – q2 = x2 + 3x + 1
Ta có hệ: 2 2
u v p q u v p q
u v p q
u v p q
2 2
u p u v
v q v q
2 2
2 2
2
3 2
x x x
x
x x x x
Vậy nghiệm pt: x = -2 (thoả điều kiện (*))
0,5 0.5 3
x y x y
x y x y
ĐS:
3 2 1 x x y y III I =
1 1
2 2
0 0
4 d d d
2
4 5
x x x x x
x x x x x x
1 1
2
2 0
0
1 d d
2 2ln
2 4 5 2 1
x x x
x x x x x
x x x
10
10 ln 10 ln 10 ln
2 1đ IV
H¹ HH' BD t¹i H'
1. '.
HIAC IAC
V HH S
Cã
2 . 1. 3.
2 12
IAC a a
S IO AC a
C/m ΔIHO vuông H suy ra:
2 2 2 6 15 3
6 15 15
a a
IH IO IO SD a
SDO IHO IH
SD SO SO a
a
a a a
OH IO IH
Cã: HH'//SD
' '
15 15
HH OH HH a
SD OS
VËy
2
1 3
'
3 15 12 180
HIAC IAC
a a a
V HH S
0,5
0,5 VI (C) có tâm I(3;0) bán kính R = 2; M Oy M(0;m)
(4)Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB ( A B hai tiếp điểm) Vậy 0 60 (1) 120 (2) AMB AMB
Vì MI phân giác AMB (1) AMI = 300 sin 300
IA MI
MI = 2R m29 4 m
(2) AMI = 600 sin 600
IA MI
MI =
2 3 R
2 9
3 m
Vơ nghiệm Vậy có hai điểm M1(0; 7) M2(0;- 7)
0,5
,5
2
(d1) qua điểm A(0; 0; 4) có vectơ phương u1 (2; 1; 0)
(d2) qua điểm B(3; 0; 0) có vectơ phương u2 (3; 3; 0)
AB (3; 0; 4)
AB.[u ; u ] 36 01 AB, u , u1
khơng đồng phẳng
Vậy, (d1) (d2) chéo
Gọi MN đoạn vuông góc chung (d1) (d2) M (d ) M(2t; t; 4),
/ /
2
N (d ) N(3 t ; t ; 0)
/ /
MN (3 t 2t; t t; 4)
Tacoù: / / / / /
MN u 2(3 t 2) (t t) t M(2; 1; 4) N(2; 1; 0) t
3 t 2t (t t) MN u
Tọa độ trung điểm I MN: I(2; 1; 2), bán kính
1
R MN
2
Vậy, phương trình mặt caàu (S):
2 2
(x 2) (y 1) (z 2) 4
0,5
0,5
VII
Giải phương trình sau tập hợp số phức: (z2 i z)( z) 0
2
2
(1) ( )( )
(2)
z i
z i z z
z z
.Đặt z = a + bi.(1) (a + bi)2 = -i a2 - b2 + 2abi
= -i
2
2
2
0 2 2
2 2 2
2 2
hc
a b
a a
ab
a b
ab a b
b b ab
(2) (a + bi)2 = a -
bi 2 2 0
2 1
1 2 hc a a b a b
a b a b
a b ab b a a b
.Vậy phương trình có nghiệm:
2 2 3
, , , , 0,
2 2 2 2
z i z i z i z i z z
0,5
(5)