10 bai HH on thi vao lop 10 nam hoc 20122013

Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By.. Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I. Chứng minh tứ giác [r]

Phần hình học

Câu Cho đường (O, R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB

1) Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn

2) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

3) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé

Câu 2: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MIAB, MKAC (IAB,KAC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Vẽ MPBC (PBC) Chứng minh: MPK MBC  .

c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường trịn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng:

a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn b) NM tia phân giác góc ANI

c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2.

Câu 4: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD khơng qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M

a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC

b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD

c) Chứng minh: OK.OS = R2.

Câu 5: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D

a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD

c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh IK //AB Câu 6: Cho đường tròn (O) (O ) cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O ) điểm thứ hai C, D Đường thẳng OA cắt (O),(O ) điểm thứ hai E, F

2 Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Cho PQ tiếp tuyến chung (O) (O ) (P  (O), Q (O ) ) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ

Câu 7: Cho đường trịn (O,R) điểm S ngồi đường trịn Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) M N, với M nằm S N (đường thẳng a không qua tâm O)

a) Chứng minh: SO  AB

b) Gọi H giao điểm SO AB; gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp đường tròn

c) Chứng minh OI.OE = R2.

Câu Cho đường trịn (O) có đường kính AB điểm C thuộc đường trịn (C khác A , B ). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F

1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC

3) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O)

Câu Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) với R > R’ cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung DE hai đường tròn với D  (O) E  (O’) cho B gần tiếp tuyến so với A

1) Chứng minh DAB BDE  .

2) Tia AB cắt DE M Chứng minh M trung điểm DE

3) Đường thẳng EB cắt DA P, đường thẳng DB cắt AE Q Chứng minh PQ song song với DE

Câu 10 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn điểm D nằm đoạn OA Vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn Đường thẳng qua C, vng góc với CD cắt cắt tiếp tun Ax, By M N

1) Chứng minh tứ giác ADCM BDCN nội tiếp đường trịn 2) Chứng MDN 900.

3) Gọi P giao điểm AC DM, Q giao điểm BC DN Chứng minh PQ song song với AB

Phần HD

Câu Cho đường (O, R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB

2) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

3) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé

Giải

Câu 1

1) Vì H trung điểm AB nên OH AB hay OHM 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có ODDM hay ODM 900 Suy điểm M, D, O, H nằm đường trịn. 2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD MCD cân M  MI đường phân giác của CMD Mặt khác I điểm cung nhỏ CD nên



2

DCI

sđDI =

2sđCI = MCI  CI phân giác MCD Vậy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

3) Ta có tam giác MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích tính:

2 ( )

2

OQM

S  S  OD QM R MD DQ

d

I

B A

O M

C

D H

Q P

Câu 2: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MIAB, MKAC (IAB,KAC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Vẽ MPBC (PBC) Chứng minh: MPK MBC  .

c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn giải

Câu 2:

a) Ta có:AIM AKM 90   0(gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM. b) Tứ giác CPMK có MPC MKC 90   0(gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp MPK MCK  (1) Vì KC tiếp tuyến (O) nên ta có: MCK MBC  (cùng chắn MC ) (2) Từ (1) (2) suy ra MPK MBC  (3)

Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI tứ giác nội tiếp

Suy ra: MIP MBP  (4) Từ (3) (4) suy ra  

MPK MIP .

Tương tự ta chứng minh MKP MPI 

Suy ra: MPK

~ ∆MIP

MP MI

MK MP

 MI.MK = MP2  MI.MK.MP = MP3

Do MI.MK.MP lớn MP lớn (4)

- Gọi H hình chiếu O BC, suy OH là số (do BC cố định).

Lại có: MP + OH  OM = R MP  R – OH Do MP lớn R – OH O, H, M thẳng hàng hay M nằm cung nhỏ BC (5) Từ (4) (5) suy max

(MI.MK.MP) = ( R – OH )3  M nằm

giữa cung nhỏ BC.

H

O P

K I

M

C B

A

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường trịn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng:

a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn b) NM tia phân giác góc ANI

c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2. Giai

a) Ta có:

 0

MAB 90 (gt)(1).MNC 90  0(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  MNB 90  0 (2) Từ (1) (2) suy ABNM tứ giác nội tiếp. Tương tự, tứ giác ABCI có: BAC BIC 90  

 ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn.

I N

M C

B

A

b) Tứ giác ABNM nội tiếp suy MNA MBA  (góc nội tiếp chắn cung AM) (3). Tứ giác MNCI nội tiếp suy MNI MCI  (góc nội tiếp chắn cung MI) (4). Tứ giác ABCI nội tiếp suy MBA MCI  (góc nội tiếp chắn cung AI) (5). Từ (3),(4),(5) suy MNI MNA   NM tia phân giác ANI .

c) ∆BNM ∆BIC có chung góc B BNM BIC 90   0 ∆BNM ~ ∆BIC (g.g)

BN BI

BM BC

 

  BM.BI = BN BC

Tương tự ta có: CM.CA = CN.CB Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6).

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vng A ta có: BC2 = AB2 + AC2 (7).

Từ (6) (7) suy điều phải chứng minh.

Câu 4: Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD khơng qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M

a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC

b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD

a) ∆SBC ∆SMA có:  

BSC MSA , SCB SAM  (góc nội tiếp chắn MB ).

SBC SMA

  ~  .

b) Vì AB  CD nên AC AD  Suy MHB MKB  (vì cùng bằng

 

1

(sdAD sdMB)

2   tứ

giác BMHK nội tiếp đường tròn  HMB HKB 180   0(1) Lại có: HMB AMB 90   0 (2) (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

Từ (1) (2) suy HKB 90  0, HK // CD (cùng vng góc với AB). c) Vẽ đường kính MN, suy MB AN  .

Ta có:

 

OSM ASC

 

(sđAC - sđBM );

 

OMK NMD

 

sđND =

2(sđAD - sđAN ); mà AC AD  và MB AN  nên suy OSM OMK 

OSM OMK

  ~  (g.g)

2

OS OM

OK.OS = OM R

OM OK

   

@@@@@ Câu 5: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D

a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD

Giải

Câu 5:

a) Tứ giác ACNM có: MNC 90  0(gt) MAC 90  0( tínhchất tiếp tuyến).

 ACNM tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD.

b) ∆ANB ∆CMD có:  

ABN CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp)  

BAN DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp)  ∆ANB ~ ∆CMD (g.g)

c) ∆ANB ~ ∆CMD CMD ANB  = 900 (do



ANBlà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)). Suy IMK INK 90   0 IMKN tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK  IKN IMN  (1).

Tứ giác ACNM nội tiếp  IMN NAC  (góc nội tiếp chắn cung NC) (2)

K I

y x

D

C N

M O B

A

Lại có:

 

NAC ABN (

 

sđAN ) (3).

Từ (1), (2), (3) suy IKN ABN   IK // AB (đpcm).

Câu 6: Cho đường tròn (O) (O ) cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O ) điểm thứ hai C, D Đường thẳng OA cắt (O),(O ) điểm thứ hai E, F

I

Q

O O'

F H

P E

D

C B

A

Giải

Câu 6 :

1 Ta có: ABC = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 

ABF = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B, C, F thẳng hàng AB, CE DF đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy.

2 Do IEF IBF 90   0 suy BEIF nội tiếp đường tròn. 3 Gọi H giao điểm AB PQ

Ta chứng minh tam giác AHP PHB đồng dạng 

HP HA

HB HP  HP2 = HA.HB

Tương tự, HQ2 = HA.HB Vậy HP = HQ hay H trung điểm PQ.

Câu 7: Cho đường trịn (O,R) điểm S ngồi đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S cắt đường tròn (O) M N, với M nằm S N (đường thẳng a không qua tâm O)

a) Chứng minh: SO  AB

b) Gọi H giao điểm SO AB; gọi I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt E Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp đường tròn

c) Chứng minh OI.OE = R2.

Câu 7: a) ∆SAB cân S (vì SA = SB - theo t/c tiếp tuyến cắt nhau) nên tia phân giác SO đường cao  SO  AB

b) SHE = SIE = 90    IHSEnội tiếp đường trịn đường kính SE.

c) ∆SOI ~ ∆EOH (g.g)

OI SO

=

OH OE



 OI OE = OH OS = R2 (hệ thức lượng tam giác vuông SOB)

Câu Cho đường trịn (O) có đường kính AB điểm C thuộc đường trịn (C khác A , B ). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F

1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC

của đường tròn (O)

Câu 8 1) Tứ giác FCDE có góc đối : FED FCD 90   o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy tứ giác FCDE nội tiếp.

2) Xét hai tam giác ACD BED có: ACD BED 900,  

ADC BDE (đối đỉnh) nên ACDBED Từ ta có tỷ số :

DC DE

DC DB DA DE

DA DB   .

3) I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE  tam giác ICD cân  ICD IDC FEC   (chắn cung FC) Mặt khác tam giác OBC cân nên OCB OBC DEC   (chắn cung AC của (O)) Từ đó

      900

ICO ICD DCO FEC DEC FED       IC  CO hay IC tiếp tuyến đường tròn (O).

Câu Cho hai đường tròn (O, R) (O’, R’) với R > R’ cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung DE hai đường tròn với D  (O) E  (O’) cho B gần tiếp tuyến so với A

1) Chứng minh DAB BDE  .

2) Tia AB cắt DE M Chứng minh M trung điểm DE

3) Đường thẳng EB cắt DA P, đường thẳng DB cắt AE Q Chứng minh PQ song song với DE

@@@@@ Câu

1) Ta có DAB =

2sđDB (góc nội tiếp) BDE =

2sđDB (góc tiếp tuyến dây cung). Suy DAB BDE  .

2) Xét hai tam giác DMB AMD có: DMA chung, DAM BDM nên DMB AMD



MD MA

MB MD hay

MD MA MB.

D

O F

B A

C

E

Tương tự ta có: EMB AME 

ME MA

MB ME hay ME2 MA MB.

 .

Từ đó: MD = ME hay M trung điểm DE 3) Ta có DAB BDM  , EAB BEM

 PAQ PBQ  =     

0 180 DAB EAB PBQ BDM BEM DBE     

 tứ giác APBQ nội tiếp  PQB PAB  Kết hợp với PAB BDM suy PQB BDM  Hai góc vị trí so le nên PQ song song với AB

A B

O O'

M D

E

P

Q

Câu 10 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn điểm D nằm đoạn OA Vẽ tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn Đường thẳng qua C, vng góc với CD cắt cắt tiếp tuyên Ax, By M N

1) Chứng minh tứ giác ADCM BDCN nội tiếp đường trịn 2) Chứng MDN 900.

3) Gọi P giao điểm AC DM, Q giao điểm BC DN Chứng minh PQ song song với AB

1) Ta có Ax tiếp tuyến nửa đường trịn nên MAD 900 Mặt khác theo giả thiết  900

MCD nên suy tứ giác ADCM nội tiếp. Tương tự, tứ giác BDCN nội tiếp.

2) Theo câu tứ giác ADCM BDCN nội tiếp nên: DMC DAC , DNC DBC  Suy DMC DNC DAC DBC    900 Từ MDN 900.

3) Vì ACB MDN 900 nên tứ giác CPDQ nội tiếp Do CPQ CDQ CDN  

Lại tứ giác CDBN nội tiếp nên CDN CBN  Hơn ta có CBN CAB  , suy ra  