Qua áp dụng thực tế, bản thân đã thu được một số kết quả nhất định: Học sinh có hứng thú với môn hình học hơn; khả năng thực hiện các yêu cầu chứng minh tốt hơn, và đặc biệt đã tạo cho c[r]
(1)A ĐẶT VẤN ĐỀ:
1 Trong giải Toán, việc xét tương tự từ toán thơng qua đặc điểm đặc biệt tốn để mở rộng phát biểu toán dạng khác đưa lại cho ta tốn hay, cách nhìn nhận tốn - giúp em củng cố nhiều kiến thức rèn luyện kỹ giải toán tốt Vấn đề phù hợp với lý luận dạy học từ cụ thể, đơn giản, phương pháp tương tự để phát triển lên thành vấn đề khó hơn, tổng qt hơn, tồn diện phù hợp với lực trình độ nhận thức học sinh
2 Ở chương trình THCS nói chung mà cụ thể hình học lớp 8, việc rèn luyện cho em kỹ mở rộng tập cụ thể đưa lại nhiều hiệu quả: Học sinh có kỹ thói quen xem xét tốn góc độ khác nhau; củng cố cho học sinh kiến thức khác Ví dụ: Nếu ta xét đến đề toán lien quan đến tam giác, vận động học sinh sau giải xong đề tốn đó, tương tự để xét tam giác cân, đều, có tính chất hay không Khi xét điểm H trực tâm tam giác để chứng minh tính chất vận động học sinh xét xem H trọng tâm, giao ba đường phân giác, … có tính chất hay khơng; …
Mặt khác, học sinh thường có thói quen giải tốn giải tập cụ thể, gặp dạng khác khơng biết sử dụng phương pháp tương tự để đưa toán dạng dễ hơn, đơn giản hơn, quen thuộc hơn, để thu kết mạnh
(2)+ + = 1; từ toán tương tự cho toán khác đưa tốn tổng qt hơn, tơi thu kết quả:
- Tổng số học sinh khảo sát: 25 em - Số HS ngại gặp toán này: 68% (17/25 em); - Tỉ lệ HS thực toán khảo sát: 20% (5/25 em); - Tỉ lệ HS tự mở rộng toán: 04% (1/25 em)
Rõ ràng đa số em (17/25) ngại gặp vấn đề này, số em thực lời giải toán khảo sát 5/25 em có 1/25 em đưa toán tương tự đơn giản toán Từ kết thực tế việc khảo sát kiến thức hạn hẹp mình, mạnh dạn đưa vấn đề: “Sử dụng phương pháp tương tự để mở rộng giải số toán liên quan đến chứng minh hệ thức tam giác”
Ở nội dung đề tài này, tơi nêu lên vấn đề áp dụng tính chất tam giác để chứng minh số hệ thức mà q trình dạy hình học tơi rút đạt số kết định
B GIẢI QUYÊT VẤN ĐỀ: Trước hết ta xét toán mở đầu sau đây:
Bài toán 1: Ba đường trung tuyến AA, BB, CC ABC cắt G Chứng minh rằng:
+ + = Chứng minh:
Dựa vào tính chất ba đường trung tuyến tam giác, ta thấy ngay:
= = = Từ ta có + + =
Nếu xét tương tự, với ba đường cao tam giác cắt điểm H, ta có tốn sau:
Bài toán 2: Cho tam giác ABC (ba góc nhọn), ba đường cao AA, BB, CC cắt điểm H Chứng minh rằng:
+ + =
A
C
B
A B
C G
A C
(3)Chứng minh: Ta có: S = S =
Suy ra: = =
Chứng minh tương tự ta có: = ; =
Vậy: + + = = =
Mở rộng toán, ta xét giao ba đường trung trực tam giác, ta có toán 3:
Bài toán 3: Ba đường trung trực tam giác (có ba góc nhọn) cắt nhau điểm T Các tia AT, BT, CT kéo dài cắt BC, AC, AB A, B, C Chứng minh rằng: + + =
Chứng minh:
Ta chứng minh toán dựa vào diện tích tam giác kiến thức tam giác
đồng dạng
Gọi h độ dài đường cao thuộc đỉnh T BTC h độ dài đường cao ứngvới đỉnh A ABC Ta có:
S = ;S = Suy ra: = =
Mặt khác, TH’A ∽ AHA, suy ra:
= = Vậy: =
Chứng minh tương tự ta có: = =
Từ suy ra: + + = = = (đpcm)
Nếu xét tương tự với giao điểm ba đường phân giác tam giác ta có tốn:
A B
C C
H
A
A
B C
C B
T
(4)Bài toán 4: Ba đường phân giác AA, BB, CC tam giác ABC cắt P Chứng minh rằng: + + =
Ở bốn toán trên, ta xét điểm đặc biệt tam giác Tuy nhiên, ta mở rộng toán đến việc xét điểm O nắm tam giác ta chứng minh tính chất tương tự toán Ta xét tốn 5:
Bài tốn 5: Cho ABC có ba góc nhọn O điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO kéo dài cắt BC, AC AB A, B, C Chứng minh rằng: + + =
Chứng minh:
Chứng minh tương tự toán 3, ta có: = = ;
= ; =
Từ suy ra: + + = + + =
= = = (đpcm)
Mở rộng tốn, với tốn có cách phát biểu khác hoàn toàn tương tự tốn Ta có tốn 6:
Bài tốn 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với ba đường cao AA’, BB’, CC’ cắt H A, B, C điểm đối xứng H qua BC, AC AB Chứng minh tổng: + + không đổi
Chứng minh: Xét tỉ số : ta có: = =
= + = +
(Vì H A đối xứng với qua BC nên HA’ = A’A)
Áp dụng kết toán ta có : = = + (1)
Tương tự ta có :
= + (2)
H A
B C
H O
B C
O
C’ A
C B’
B
H B C
(5)= + (3)
Cộng vế với vế đẳng thức (1), (2), (3), ta : + + = + = + = + =
Vậy tổng + + khơng đổi
Tương tự tốn 6, ta có tốn khác sau (cách giải hồn tồn tương tự)
Bài toán 7: Ba đường trung tuyến AA, BB, CC tam giác ABC cắt G Gọi A’, B’, C’ điểm đối xứng G qua A, B C Chứng minh rằng: + + =
Ta phát biểu tương tự điểm tam giác giao điểm ba đường trung trực, điểm O tam giác
Ở toán 7, ta xét thêm điểm đối xứng điểm G qua tâm A, B, C Bây ta xét điểm đối xứng G qua trục BC, AC AB Ta có tốn sau:
Bài toán 8: Ba đường trung tuyến AA, BB, CC tam giác ABC cắt G Gọi A’, B’ C’ điểm đối xứng G qua đường thẳng BC, AC AB Chứng minh rằng: + + =
Chứng minh:
Với tính chất đối xứng, ta có ngay: AA’ = GA;
BB’ = GB; CC’ = GC
Từ từ tốn ta có diều phải chứng minh
Trường hợp điểm nằm tam giác làtrực tâm tam giác, điểm đối xứng tâm qua A, B, C H điểm
đối xứng trục qua đường thẳng BC, AC, AB điểm H trùng ta xét toán
A
B C
B C
B G
(6)Như vậy, từ toán mở đầu (Bài toán 1), thông qua việc xét tương tự, ta xét tốn khác có u cầu tương tự ta giải tốn có kết mạnh hơn, tổng quát
C KẾT QUẢ:
Qua thực tế giảng dạy số năm toán lớp thực tế triển khai đề tài cho nhóm học sinh cách áp dụng phương pháp dạy chương trình hệ thức tam giác toán mở rộng; cụ thể sau thực đề tài, toi tiến hành khảo sát tiếp với nhóm đối tượng học sinh thu kết sau:
* Sau thực đề tài:
- Tỉ lệ HS có hứng thú với nội dung: 80% (20/25 em); - Tỉ lệ HS thực toán khảo sát: 60% (15/25 em); - Tỉ lệ HS tự mở rộng toán: 28% (7/25 em)
Rõ ràng, chưa xét đến việc chất lượng tập mà em mở rộng lời giải việc em có hứng thú với nội dung, biết cách tự mở rộng tốn, thành công to lớn việc dạy học thân
Ngoài ra, kết đạt cịn chỗ thơng qua đó, GV củng cố, tổng hợp lại nhiều kiến thức liên quan mà tìm hiểu tốn gặp đến -Giúp HS nắm vững kiến thức học
D KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Qua áp dụng thực tế, thân thu số kết định: Học sinh có hứng thú với mơn hình học hơn; khả thực yêu cầu chứng minh tốt hơn, đặc biệt tạo cho em thói quen mở rộng tốn q trình giải tốn từ đó, gặp tốn, em có thói quen xem xét toán tương tự đặc biệt hơn, cụ thể để tìm cách giải cho tốn Đây sở cho việc sử dụng phương pháp đặc biệt hóa Từ góp phần nâng cao hiệu giảng dạy giáo viên, tạo cho học sinh ý thức tự học, tự khám phá kiến thức
(7)Bên cạnh đó, để nâng cao hiệu đề tài, người giáo viên, mà cụ thể giáo viên dạy tốn cịn cần làm tốt vấn đề sau:
- Cần cố thật vững kiến thức học sinh, tìm thiết lập mối liên hệ kiến thức mà em học, từ làm sở cho em tìm tương tự kết tổng quát cho toán cụ thể đưa
- Trong tập mà giáo viên đưa ra, cần luôn yêu cầu khuyến khích em có thói quen mở rộng tốn, tìm kết tương tự mạnh hơn, tăng cường thói quen giải tốn đưa việc giải toán lại gần với việc học em
- Đi đôi với phương pháp phương pháp tương tự hoá, em gặp tốn khó, cần hướng dẫn em đưa dạng đặc biệt hơn, cụ thể hơn, quen thuộc để giải, từ tốn tương tự đó, tìm mấu chốt để giải tốn cần
E KIẾN NGHỊ - ĐỀ XUẤT:
Đề tài kinh nghiệm nhỏ việc nâng cao hiệu việc giải toan, thành tố quan việc dạy học toán Nội dung đề tài bó hẹp tốn chương trình mơn tốn lớp cấp THCS vận dụng để hướng dẫn học sinh giải toán nói chung
Để vận dụng tốt vấn đề mà dưa ra, toi xin kiến nghị thêm số ý kiến sau:
- Đối với cấp chun mơn Trường Phịng GD: Cần có thêm buổi chuyên đề nâng cao chất lượng dạy học, có triển khai việc hướng dẫ giáo viên sử dụng phương pháp tương tự hoá, tổng quát hoá, để hướng dẫn học sinh học tốn giải tốn nói riêng
(8)quyết tốn theo nhiều hướng, từ rèn cho em khơng học thuộc máy móc lời giải mà giáo viên hướng dẫn
Ngoài ra, cấp độ chuyên môn Trường, cần tạo điều kiện mở cho giáo viên việc lên chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy ôn tập cho em học sinh để từ giáo viên chủ động soạn giảng, tránh tình trạng rập khn theo khuôn mẫu định