Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K. a) Chứng minh hai tam giác ABF và ADK bằng nhau, suy ra tam giác AFK là tam giác [r]
(1)BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Bùi Văn Chi
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂ SIH VÀO LỚP 10
BÌH ĐNH TRƯỜG THPT CHUYÊ LÊ QUÝ ĐÔ
ĂM HỌC 2011 – 2012
Đề thức Mơn thi: TỐ
gày thi: 18/06/2011 Thời gian: 150 phút Câu (2,0 điểm)
Hãy tính giá trị biểu thức P = a b
1 ab
−
+ , biết: a =
2
2
x x
x x
+ −
− − ; b =
1 x x
−
(với x < < ) Câu (2,5 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x2 + 4x + m + =
a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2
x x 10
x +x = Câu (1,5 điểm)
Cho x, y hai số dương Chứng minh rằng:
1
x+ ≥y x y+ Câu (3,0 điểm)
Cho hình vng ABCD điểm E di động đoạn CD (E khác D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K
a) Chứng minh hai tam giác ABF ADK nhau, suy tam giác AFK tam giác vng cân
b) Hãy xác định vị trí điểm E cho độ dài đoạn EK nhỏ
Câu (1,0 điểm)
Tìm cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn hệ thức: m2 + n2 = m + n +
(2)BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Bùi Văn Chi
GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHU THPT CHU LÊ Q ĐƠ BÌH ĐNH
MƠ TỐ ĂM HỌC 2011 – 2012 gày thi: 18/06/2011 – Thời gian: 150 phút Câu 1.(2,0 điểm)
Giá trị biểu thức P = a b ab
−
+ , biết:
a =
2
2
x x
x x
+ −
− − ; b =
2
1 x x
−
(với x
2 < < )
Ta có: P = 2 2 2
x x x
x
x x
x x x
1
x
x x
+ − − − − − + − − + − − = ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2
2
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
+ − − − + − − −
− − + − + − − −
=
2 2
1
1
x x x x x x
= − − + − + −
Câu 2.(2,5 điểm)
a) Giá trị m để phương trình có nghiệm kép
Phương trình x2 + 4x + m + = có nghiệm kép khi:
∆’ = – (m + 1) = ⇔ m =
b) Giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2
x x 10
x +x =
Điều kiện để phương cho trình có hai nghiệm là: ∆’ = – m ≥ ⇔ m ≤ Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = - 4, x1x2 = m + ≠ ⇔ m ≠ -
Biến đổi điều kiện:
2
x x 10
x +x = ⇔
( )2
2
1 2
1
1 2
x x 2x x
x x 10 10
x x x x
+ − +
= ⇔ = ⇔ ( ) ( )
2
4 m 10
m
− − + = +
⇔ (14 – 2m).3 = 10(m + 1) ⇔ 42 – 6m = 10m + 10 ⇔ m = (thỏa điều kiện) Vậy m = phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2
x x 10
x +x = Câu 3.(1,5 điểm)
Chứng minh: 1
x+ ≥y x y+ (x, y > 0) (1)
BĐT (1) ⇔ (x + y)2≥ 4xy ⇔ x2 + 2xy + y2≥ 4xy
⇔ x2 – 2xy + y2≥ ⇔ (x – y)2≥ 0:
BĐT Dấu ‘=” xảy x = y
Câu 4.(3,0 điểm)
a) Chứng minh ∆ABF = ∆ADK Ta có: AB = AD,
BAF DAK= (cùng phụ với DAF),
ABF ADK= = 900
Do ∆ABF = ∆ADK (g.c.g),
(3)BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN Bùi Văn Chi suy AF = AK, ta lại cĩ KAF = 900,
nên tam giác AKF vng cân A
b) Vị trí E ∈ CD để EK ngắn
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AEK với AD đường cao, ta có:
DK.DE = AD2 = a2
(a độ dài cạnh hình vng ABCD) Mặt khác, ta có BĐT:
(DK + DE)2≥ 4DK.DE = 4a2
⇔ DK + DE ≥ 2a ⇔ EK ≥ 2a Dấu “=” xảy DK = DE = a ⇔ E trùng với C
Vậy E trùng với đỉnh C EK có độ dài ngắn 2a
Câu 5.(1,0 điểm)
Các cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn hệ thức m2 + n2 = m + n + (1)
Biến đổi (1) ⇔ 4(m2 + n2) = 4(m + n + 8) ⇔ 4m2 – 4m + 4n2 – 4n = 32
⇔ 4m2 – 4m + + 4n2 – 4n + = 34 ⇔ (2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 34
⇔ (2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 32 + 52
Suy ra: 2m m
2n n
− = =
⇔ − = =
,
2m m
2n n
− = =
⇔ − = =
Vậy cặp số (m; n) thỏa mãn (1) là: (2; 3) (3; 2)
gày 19 tháng 06 năm 2011 A
D
B
C E