LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG. A.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG
TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC
A KIẾN THỨC CƠ BẢN :
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C)
1.Nếu f(x) hàm số chẵn : Đồ thị có đối xứng qua trục Oy - Có nghĩa ,trục Oy trục đối xứng
2 Nếu f(x) hàm số lẻ : Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
3 Cho hai điểm A x y 1; 1 ;B x y2; 2và đường thẳng d : mx+ny+p=0 Nếu A B đối xứng
nhau qua đường thẳng d phải thỏa mãn hệ sau :
2 AB
2
; i:k êm I d
AB d
k k y y
vo
Trungdi x x
4 Cho điểm I(x y0; )0 Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương véc tơ OI công thức chuyển trục :
0
x x X
y y y
Khi phương trình đồ thị (C) hệ : Y=F(X;y0;x0)
B GHI NHỚ :
- Đối với đồ thị hàm phân thức , giao hai tiệm cận tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba tọa độđiểm uốn tọa độ tâm đối xứng
- Đối với hàm số trùng phương trục Oy trục đối xứng đồ thị hàm số C CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG CÁCH GIẢI
Có hai cách * Cách
- Giả sử trục đối xứng có phương trình : xx0 Gọi điểm I x 0;0
- Chuyển
Oxy OI IXY x x X
y Y
- Viết phương trình đường cong (C) tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*)
- Buộc cho (*) hàm số chẵn : ( Cho hệ số ẩn bậc lẻ ) - Giải hệ ẩn số bậc lẻ ta suy kết cần tìm
* Cách Nếu với xx0 trục đối xứng : f(xx0) f x x với x , ta
cũng thu kết
Ví dụ Cho hàm số 4 7 6 4
yx x x x C Chứng minh đường thẳng x=1
trục đối xứng đồ thị (C)
( Hoặc : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình trục đối xứng ? )
(2)- Giả sửđường thẳng x=x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I(x0;0)
- Chuyển :
Oxy OI IXY x x X
y Y
- Phương trình (C) hệ tọa độ :
4
0 0
4 2
0 0 0 0 0
4
4 5 7
Y x x x x x x x x
Y X x X x x X x x x X x x x x
- Để hàm số chẵn hệ số ẩn bậc lẻ số hạng tự không :
0
0 0
4
0 0
4
4
4 x
x x x x
x x x x
Chứng tỏđồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình trục đối xứng : x=1 Ví dụ Tìm tham số m đểđồ thị hàm số : 4
m
yx x mx C có trục đối xứng song
song với trục Oy
GIẢI
- Giả sửđường thẳng x=x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I(x0;0) - Chuyển : Oxy OI IXY x x0 X
y Y
- Phương trình (C) hệ tọa độ :
4 2
0 0 0 0 0
4 12
Y X x X x x m X x x mx X x x mx - Để hàm số chẵn :
3
0 0
4 1
4 12
x x
m
x mx
II Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng
CÁCH GIẢI Ta có hai cách giải
Cách
- Giả sửđồ thị (C) có tâm đối xứng I x y 0; 0
- Chuyển : 0
Oxy OI IXY x x X
y y Y
- Viết phương trình (C) hệ tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số lẻ : ( Cho hệ số ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số ẩn bậc chẵn ) ta suy kết Cách 2
Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng :
0 0
( ) ( )
(3)VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 ( ĐH-QG-98) Cho (C) :
1 x y
x
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)
b Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng
GIẢI a Học sinh tự vẽđồ thị (C)
b Giả sử (C) có tâm đối xứng II x y 0; 0
- Phương trình (C) viết lại thành dạng : 1 y x
x
- Chuyển : 0
Oxy OI IXY x x X
y y Y
- Phương trình (C) hệ :
0
0
0
0
1
1 1
1
Y y x X
x X
Y X x y
X x
- Để hàm số lẻ : 0
0
1
1;
1
x y x
I
x y
Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2)
Ví dụ 2 (ĐH-NNI-99) Cho hàm số x
y C
x
a Khảo sát vẽ đồ thị (C)
b Chứng minh giao hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị (C)
GIẢI a Học sinh tự vẽđồ thị (C)
b Hàm số viết lại : 1 y
x
- Giả sử (C) có tâm đối xứng I x y 0; 0
- Chuyển : 0
Oxy OI IXY x x X
y y Y
- Phương trình (C) hệ :
0
0
0
1
1 1
1 Y y
x X
Y y
X x
(4)- Để hàm số lẻ : 0
0
1
1;1
1
y x
I
x y
Nhận xét : Giao hai tiệm cận (-1;1) trùng với I Chứng tỏ giao hai tiệm cận tâm đối xứng (C)
III Tìm tham số m để (Cm): y=f(x;m) nhận điểm I(x y0; )0 tâm đối xứng
CÁCH GIẢI Nếu f(x;m) hàm số phân thức hữu tỷ :
- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận J(a;b) - Để I tâm đối xứng buộc J trùng với I ta suy hệ :
0 a x
m b y
2 Nếu f(x;m) hàm số bậc ba
- Tìm tọa độ điểm uốn : ''( ; ) ; ( ; )
y x m x a
J a b y f x m y b
- Tương tự , đẻ I tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy hệ : 0 a x
m b y
Vídụ 3 Tìm m đểđồ thị hàm số 3 2 ; 0
m x
y mx C m
m
nhận điểm I(1;0) tâm đối xứng
GIẢI Ta có : y' 3x2 6mx y'' 6x 6m
m m
Cho y''=0 6 0;
u x
m x m x
m
- Tính ; 3 2 2 2 2; 2 2
u u
m
y y x m m m m U m m
m
- Để I tâm đối xứng : cho U trùng với I : 5
5
1
1
2 m m
m m
m
- Vậy với m=-1 m=1 I(1;0) tâm đối xứng đồ thị Ví dụ 4 (ĐH-Luật -99)
Cho hàm số 2 4
2 m
x m x m
y C
x
Tìm m đểđồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng GIẢI
- Ta viết lại hàm số ; 2
y x m
x
Chứng tỏ với m đồ thị ln có tiệm cận xiên
(5)- Để I làm tâm đối xứng ta buộc J trùng với I , nghĩa ta có hệ : 2 m m
- Vậy với m=-3 I tâm đối xứng đồ thị Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000)
Cho hàm số 3 3 3 4
m
yx x mx m C
Tìm m để Cm nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng GIẢI - Tìm tọa độđiểm uốn :
Ta có : ' 3 6 3 ; '' 6 6 '' 0 6 6 ; 1
u y x x m y x y x x x Tính yu y 1 1 3m3m 4 6m 2; U1;6m2
- Để I tâm đối xứng : 1 6m 2 m
- Vậy với m=0 , I tâm đối xứng đồ thị
IV TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ
Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm đồ thị cặp điểm M,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )
CÁCH GIẢI - Giả sử M x y 0; 0( )C y0 f x 0
- Tìm tọa độđiểm N theo x y0, 0 cho N điểm đối xứng M qua A ( qua d ) Nên ta có : yN f x N
- Từ (1) (2) ta tìm tọa độ điểm M,N Ví dụ 6 ( ĐH-GTVT-97)
Cho hàm số 9 4
yx mx x Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O
GIẢI
Giả sử M x y 0; 0 và N -x ; 0 y0 cặp điểm đối xứng qua O, nên ta có :
3
0 0
3
0 0
9
y x mx x
y x mx x
Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có : mx
Để (3) có nghiệm m<0 Khi : x0 m
(6)Ví dụ 7 ( ĐH GQTPHCM-97) Cho hàm số 2 x x y C x
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)
b Tìm tất cặp điểm đối xứng qua điểm I(0;5/2) GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị
b Giả sử M x y 1; 1 ;N x y2; 2 thuộc (C) I trung điểm M N Ta có :
1 2
1
1 2
2
;5
2 5
I I
x x x x x
N x y
y y y y y
M N thuộc (C) nên ta có hệ :
1 1 1 1 1 x x y x x x y x
; Lấy (1) cộng với (2) ta : 12 12
1
2
5
1
x x x x
x x
1 1 1 1
2
5 1 2
9
x x x x x x x
x x
- Với
1
2
3 2; 3; , 3; 7; 3;7 , 3;
x y M N
x y M N
Ví dụ 8 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số x y C x
a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
b Tìm hai điểm A,B nằm (C) đối xứng qua đường thẳng d : y= x-1 GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Ta có hai cách giải * Cách
- Viết lại phương trình (C) 1 y x
x
Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2 C Nên ta có
-
2
2 1 2
2
1
1 1
AB
x x y y
k
x x x x x x x x
; kd 1
- Nếu A,B đối xứng qua d :
2
1
1 2
1 :1 1; 1 1; (*)
1
AB d k k
x x x x x x
x x I d
Nếu I trung điểm AB :
1
1 2 2 ; 2 I I
x x x
I d y y x x
y y y
(7)
1 2
1
1
1
1
1
1
2
1
4
1 (**)
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
Từ (*) (**) ta có hệ : 2
1
6
; n :
x x
x x l pt X X
x x
Vậy : 1 5, 2 1 5
X X Y
Chú ý : Ta cịn có cách giải khác
- Gọi d' đường thẳng vng góc với d suy d': y=-x+m ( m tham số ) - Do A,B thuuộc d' đồng thời thuộc (C) , tọa độ A,B nghiệm hệ :
2
1 x
x m x
y x m
( có hai nghiệm khác 1)
2
( ; ) (1)
g x m x m x m
( có nghiệm khác 1) Điều kiện :
2
2
1
6 2 2(*) (1; ) 1
m m
m m m m
g m m m
Với điều kiện (*) (1) có hai nghiệm khác , hồnh độ A B
- Gọi I trung điểm AB tọa độ I :
1
1
1
2 4
2
4
2
I I I
I I
I
x x m m
x x x
x x m m m
y m y
y
- Để A B đối xứng qua d I thuộc d : 1
1 1; 2;
4 I I
m m
y x m m
Với m=-1 , thỏa mãn (*)
- Khi m=-1 (1) trở thành :
1
2
2
1 1
1
1 2 2 2
1
2
2
1 1
1
2 1 2
2
y x
x
x y
Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) Cho hàm số 2
x x
y C
x
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (C)
b Tìm m đểđường thẳng d : y=-x+m cắt (C) hai điểm A,B cho A,B đối xứng qua đường thẳng d': y= x+3
(8)b Đường thẳng d cắt (C) hai điểm A,B có hồnh độ nghiệm phương trình :
2
2
2
1 ( ; ) 2
x x
x m g x m x m x m
x
( có hai nghiệm khác 1)
2
2
3
2 ; 10 10(*) (1; )
m m
m m o m m
g m m m
- Gọi I trung diểm AB :
1
2
3 3 4 I
I I
x x m
x
m m
y x m m
- Để A,B đối xứng qua d I phải thuộc d : 3
3 3; 18;
4 I I
m m
y x m m
- Với m=9 (2) trở thành : 1
2
6 14 14 12 14
2 2
2 12 11
6 14 14 12 14
2 2
x y
x x
x y
Ví dụ 10. ( ĐH-Huế -2001) Cho hàm số 3
2 m
yx mx m C
a Tìm tham số m để đồ thị Cmcó CĐ, CT đồng thời điểm CĐ,CT đối xứng qua đường thẳng d : y=x
b Tìm m để Cmcắt trục OX ba điểm A,B,C cho : AB=BC GIẢI
a Ta có : ' 3 3 3 0 x
y x mx x x m
x m
- Để tồn cực đại , cực tiểu : m0(*)
- Gọi A(0;
2m ) B(m; 0) hai điểm cực trị
- Tính :
3
2
1
0 1
2 ; 1
0 A B
AB d
A B
m y y
k m k
x x m
- Gọi I trung điểm AB : 3
3
0
2 2
1
0 1
2
2 2 4
A B I I
A B I
I
m m
x x x
x
y y m
y
y m
- Để A,B đối xứng qua d :
2
3
1
1
;
2 1
4 AB d
I I
m
k k m
m m
I d y x m
(9)b Nếu Cmcắt Ox ba điểm phân biệt A,B,C :
3 3 0 1
2
x mx m , có ba nghiệm Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ A,B,C theo thứ tự :
1, ,2
x x x Áp dụng vi ét cho phương trình (1)
1
1 2 2
2 3
1 2 3 2
1
3
3 2 1 3
1 3
1
2
3 3
1
2 2
2
2
4
1 .
2 1
2
2 2
b
x x x m
x x x m x m x m
a c
x x x x x x x x x x x
x x x m x
a
d x x x m
x x x m
m m m
a
x x x
x x x x
x m m
Nhưng m=0 ,thì đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm Cho nên , không tồn giá trị m để hàm số cắt Ox ba điểm lập thành cấp số cộng
Ví dụ 11 ((HVKTQS-2001) Cho hàm số 2
1 m
x m x m
y C
x
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) m=2
b Tìm m để Cmcó hai điểm A,B cho : 5xAyA 3 0;5xB yB 3 Tìm m để A,B đối xứng qua đường thẳng x+5y+9=0
GIẢI a Học sinh tự vẽđồ thị (C)
b Từ giả thiết ta thấy tọa độ A,B thỏa mãn phương trình : 5x-y+9=0 Có nghĩa A,B nằm đường thẳng d' : y=5x+9 Nhưng A,B lại nằm Cm, A,B giao d'
với Cm
2
2
2 ( ; ) 4 10 2 0 1
5
5
x m x m
g x m x m x m
x x y x y x
2 4 68 0
( 1; ) 10 2
m m
m R
g m m m
- Gọi I trung điểm AB :
1 10
2
10 26
5
8
I
I I
x x m
x m m y x
- Nếu A,B đối xứng qua d : x+5y+9=0 , I phải thuộc d ( Thỏa mãn tính chất d' vng góc với d )
5 26
10 34
9 0;
8 13
m m m
Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số 2
2 m
x mx m
y C
x
(10)b Chứng minh với điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến M cắt (C) hai điểm A,B tạo với I ( giao hai tiệm cận ) tam giác có diện tích khơng đổi ,khơng phụ thuộc vào vị trí M
c Chứng minh hàm số ln có cực đại ,cực tiểu với m Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x+2y+8=0
GIẢI a Khi m=3 (C) : 3 1
2
x x
y x
x x
( Học sinh tự vẽ đồ thị (C) )
b Ta có :
2
1 '
2 y
x
Gọi 0 0
1
; ( ) (*)
2
M x y C y x
x
Tiếp tuyến với (C) M
2 0
0
1
: 1
2
y x x x
x x
- Nếu x điểm A ,
2 0 0
0
0
1
1
2
2 A
x
y x x
x x
x
0
2;
2
x A
x
- Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 điểm B
2 0 0
0
1
1 1; 2
2
2 xB x x x xB xB x yB xB x x
2 2; 3
B x x
- Nếu I giao hai tiệm cận , I có tọa độ I(-2;-1)
- Gọi H hình chiếu vng góc B tiệm cận đứng : x=-2 suy H(-2;2x03)
- Diện tích tam giác AIB
0
1 1
2
2 A I B H 2
x
S AI BH y y x x x
x
0
1
.2 2 dvdt
2
S x
x
Chứng tỏ S số , không phụ thuộc vào vị trí điểm M
c.Ta có :
2 2
2
2 2
'
3
2
x m x x mx m x x x
y
x
x x
Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với m hàm số ln có hai điểm cực trị - Gọi hai điểm cực trị :M1;m2 ; N 3;m6
- Tính : 6 2 2;
3
MN d
m m
k k
Gọi J trung điểm MN ,
1 2
2
4
J
J x
m m
y m
(11)- Để M,N đối xứng qua d :
1
2
2
2
MN d
k k
m J d
m
Vậy m=1 hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua d
V LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
A BÀI TOÁN :
Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) điểm M x y 0; 0 (cho sẵn)
1.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua điểm M Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua đừng thẳng d: y=kx+m
B.CÁCH GIẢI Gọi N(x;y) thuộc (C) : y=f(x) điểm
- Gọi N' điểm đối xứng với N qua M :
0
' ' '; ' '
' 2
x x x
N x y C
y y y
- Từ (1) (2) ta có : 0
2 '
2 '
x x x
y y y
, Thay x,y tìm vào : y=f(x) ,ta suy y'=g(x';x0;y0)
Đó phương trình đường cong (C') Gọi A x y ; C y f x B x y( ); '; ' C'
- Nếu (C) (C') đối xứng qua d A,B đối xứng qua d :
'
1
'
' '
2
2
AB d
y y k
k k x x
I d y y x x
k b
Ở (1) (2) k,b số biết Ta tìm cách khử x y (1) (2) đểđược phương trình có dạng y'=g(x') Đó phương trình (C') cần tìm
C MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 Cho hàm số 1
2
x x
y x C
x x
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)
b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1) GIẢI
(12)b Gọi điểm ; 1 ; '; ' '
A x x C B x y C
x
- Khi A chạy (C) qua điểm I , B chạy (C'), (C') đối xứng với (C) qua I A B đối xứng qua I
2 ' ' 1
2 ' ' ; ' '
2 ' ' ' '
I I
x x x x x
y x y x
y y y y y x x
Vậy (C') có phương trình : y x C' x
Ví dụ 2 Cho hàm số 3
2
x
y x C a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2) GIẢI
a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b Gọi ; 3 5; '; ' '
2
x
A x y C y x B x y C
- Nếu (C') đối xứng với (C) tức A B đối xứng qua I
- Do :
4 4
2 2
2.0 ' ' '
4 ' ' ' '
2.2 ' 2 2
x x x x
y x y x
y y
-Kết luận : phương trình (C') : 3
2
x
y x , đối xứng với (C) qua I Ví dụ Cho hàm số 3 1
2
x x
y x C
x x
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0 GIẢI
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Gọi A(x;y) thuộc (C) B(x';y') thuộc (C')
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , A B đối xứng qua d
'
' 2 ' ' '
'
1 ' '
' 2 ' 1 0 ' ' 2
2
2
AB d
y y
y y x x
y y x x
k k x x
I d x x y y x x y y y y x x
2 ' ' ' ' ; ' ' ' '
y x y x y y x
y x x y x x y
Từ phương trình hàm số : 5 10 ' ' 4 ' ' 10
5 10 ' ' 10
y x x y y x
x y x
(13)Ví dụ 4 (ĐHLâm Ngiệp -2001 ) Cho hàm số x
y C
x
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)
b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0 GIẢI
a Học sinh tự vẽđồ thị (C)
b Gọi ; ( ); '; ' ' ; 10
A x y C B x y C y
x
- Gọi I trung điểm AB
'
' I
I
x x x
y y y
; Và ';
'
AB d
y y
k k
x x
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , A B phải đối xứng qua d :
'
1
' ' ' ' '
;
' ' ' ' ' '
3 2
AB d
y y
k k x x y y x x y x y x
x y x y y x y x
x x y y I d
' 10 10
' 3 '
' ' 3 '
y x
x y
x y y x
- Vậy phương trình (C') đối xứng với (C) : y 10 x
Ví dụ 5 (HVKTQS-99) Cho hàm số 2
2
x x
y x C
x x
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)
b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2 GIẢI
a Học sinh tự vẽđồ thị (C)
b Gọi : ; ( ); ' ; ' ' ;
A x y C B x x y C y x
x
- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , A B phải đối xứng qua d : - Ta có : y'+y=2.2 Suy : y=4-y'
- Do A thuộc (C) , : ' ' ; ' '
' '
y x y x
x x
- Vậy phương trình (C') đối xứng với (C) qua d :
y x
x
Ví dụ 6 Cho hàm số y (4x x) C a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)
b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox Chứng minh (C) cắt (C') theo E-líp, viết phương trình E-Líp ?
(14)b Gọi A(x;y) điểm thuộc (C) B(x';y') điểm thuộc (C') đồng thời đối xứng với A qua Ox Khi : x=x' y=-y'
- Do A thuộc (C) : y' ' 4x x' y' 2 ' 4x x'(*)
- Phương trình (*) phương trình (C') : y 2 4x x
- Nếu (C) cắt (C') phương trình hồnh dộ điểm chung :
2 2
2 2
2
4
2 2
2 4 1(*)
4
2 x
y x x x y
y x x y x x
y x x
y x x
- Vậy (C) giao với (C') E-Líp :
2 2
2
1
x y
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.( Đề 27) Cho hàm số 4 2 12
a
yx ax x ax C
Tìm a đểđồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy Bài 2.( Đề 66) Cho hàm số
2
x x
y C
x
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b Tìm (C) hai điểm A ,B đối xứng qua đường thẳng d : y=x Bài 3.(Đề 89) Cho hàm số 2
1
x x
y H
x
đường thẳng d' : y=-x+m ( m tham số )
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b Tìm m để d cắt (H) hai điểm A,B cho A B đối xứng qua đường thẳng d : y=x+3
Bài 4 ( Đề 142) Cho hàm số 3 2 1
m
yx m x m x C
Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ? Bài 5 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số
1 x
y C
x
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b Tìm (C) hai điểm A,B cho A B đối xứng qua đường thẳng d : y=x-1 Bài 6 ( HVKTQS-99) Cho hàm số 1
y x x x C
a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) : 2 2 x y
x
qua đường thẳng y=2
Bài 7 ( ĐH-Luật -99 ) Cho hàm số 2 4
2 m
x m x m
y C
x
(15)a Vẽ đồ thị (C) với m=-3 Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y=x+4
b Tìm tham số m để đồ thị (Cm) nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng Bài 8 ( ĐH-Thủy Lợi-99) Cho hàm số 3 3 1 1
m yx mx m x m C a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) với m=2
b Tìm m đểđồ thị (Cm) chứa hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O Bài 9 ( ĐH-QGA-2001) Cho hàm số 3
m
yx m xm C
a Khỏa sát biến thiên vẽđồ thị (C) với m=0
b Tìm m đểđồ thị hàm số có CĐ,CT đồng thời hai điểm CĐ,CT đối xứng qua đường thẳng d : x-2y-5=0
Bài 10.( ĐH-PCCC-2001) Cho hàm số 3 3 yx x C
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)
b Viết phương trình đường thẳng d mà điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua Bài 11 (ĐH-Thủy sản-2000) Cho hàm số
2 m
x mx m
y C
x
a Khảo sát biến thiên vẽ dồ thị (C) với m=1
b Tìm m để đồ thị Cm có hai điểm đối xứng qua O Bài 12 ( CĐKS-2000) Cho hàm số 4 ax2
a
yx x C
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) với a=4
b Tìm a đểđồ thị Ca có trục đối xứng song song với Oy.Viết phương trình trục đối xứng Bài 13.(ĐH-YHP-2000) Cho hàm số
1 x
y C
x
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)
b Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d : y=x+1
Bài 14.(ĐH-YHP-2001) Cho hàm số 3 1 3 2 1 4
m
y x m x m x C
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) với m=1
b.Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu đối xứng qua điểm I(0;4) Bài 15 ( VDDH-Mở-2001) Cho hàm số 3 2 1 2
m
ymx mx m x C
a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) với m=1
b Tìm điểm cố định mà với m Cm qua Chứng tỏ điểm cố dịnh
(16)