Bài toán tìm quỹ tích

CUNG CHỨA GÓC • Cho đoạn thẳng AB, quỹ tích ( tập hợp ) các điểm M cho góc bằng • α khơng đởi (0 o < α < 180o ) ·AMB 360o − 2α là hai cung tròn có số đo α với qua AB (được gọi là cung chứa góc dựng đoạn AB) Cách giải bài toán quỹ tích: có số đo đối xứng Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn quỹ tính chất T là một hình nào đó, ta phải chứng minh hai thành phần: - Phần thuận: mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H Phần đảo: mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T Từ đó rút kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H Ví dụ 21: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M chuyển động nửa đường tròn đó Trên tia AM lấy điểm N cho AN = BM Tìm quỹ tích các điểm N Giải: • Phần thuận: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tia Ax ⊥ AB , tia Ax lấy điểm AB1 = AB cho Tam giác AB1 = AB ANB1 · MAB ) và tam giác BMA có: ; ·NAB = MBA · B1 (vì cùng phụ với góc AN = BM (gt) Do đó Mà ∆ANB1 = ∆BMA (c-g-c) suy ·ANB = BMA · ·AMB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)), nên AB1 N thuộc đường tròn đường kính ·ANB = 90o Vậy điểm Giới hạn: Vì điểm M chuyển động nửa đường tròn (O) nên: - Khi M trùng B thì N trùng với A Khi M trùng với A thì tia AM trùng với tia Ax, đó BM = BA, vì thế điểm N B1 trùng với Vậy điểm N chạy nửa đường tròn (O’) có đường kính • AB1 AB1 Phần đảo: Trên nửa đường tròn (O’) đường kính lấy điển N’ tùy ý Tia AN’ cắt nửa đường tròn (O) đường kính AB ở M’, Ta có: ·AN ' B = 90o ·AM ' B = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) · ' AB = M · ' BA N (cùng phụ với góc ·N 'AB ), AB1 = AB Do đó ∆AM 'B = ∆B1 N ' A (cạnh huyền - góc nhọn), suy BM’ = AN’ Kết luận: Quỹ tích các điểm N là nửa đường tròn (O’) đường kính AB1 · xOy =α Ví dụ 22: Cho góc nhọn , hai điểm P và Q nằm góc đó Hãy tìm cạnh Ox điểm M cho phân giác của góc PMQ vng góc với Oy Giải: • Phân tích: Giả sử đã dựng được điểm M thỏa mãn các yêu cầu của đề bài, · · · PMQ OMP = OMP đó tia phân giác MH của góc vuông góc với Ox, ta có ( · · · · · PMQ = PMP + PMQ = OMP + PMH 1 ) = · 2OMH = ( 90o − α ) = 180o − 2α Điểm M phải thỏa mãn hai điều kiện: - M thuộc tia Ox M thuộc cung chứa góc 180o − 2α đoạn PQ dựng Vậy M là giao điểm của tia Ox với cũng chứa góc nói • - Cách dựng: P1 Dựng đới xứng với P qua Ox Dựng cung chứa góc 180o − 2α • nửa mặt PQ phẳng bờ khơng chứa điểm O, cắt tia Ox ở M Chứng minh: Theo cách dựng điểm M thuộc tia Ox Ta có: · · OMP = OMP · PMQ Kẻ phân giác góc cắt Oy ở H, ta có ( · · PMH = HMQ Do đó ) · 1· · · OMH = PMP + PMQ = PMQ = ( 180o − 2α ) = 90o − α 1 2 Trong tam giác OMH có Suy • · MHO = 90o , hay · · MOH + OMH = α + 90o − α = 90o MH ⊥ Oy 180o − 2α PQ Biện luận: Cung chứa góc vẽ đoạn thẳng cố định bao giờ cững dựng được và chỉ cắt tia Ox tại một điểm M nhất Bài toán luôn dựng được và chỉ có một nghiệm hình BÀI TẬP 155 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M nửa đường tròn Trên tia đối của tia MA lấy điểm N cho MN = MB Tìm quỹ tích các điểm N điểm M chuyển động nửa đường tròn (O) Giải: * Phần thuận: Tam giác BMN vuông cân ở M, ta có ·ANB = 45o Điểm N thuộc cung chứa góc đoạn AB Giới hạn: 45o dựng Vẽ tia Ax ⊥ AB , Ã cắt cung chứa góc 45o tại N1 Khi M trùng B thì N trùng với B Khi M trùng A thì N trùng với Vậy N chạy cung ¼B N N1 tḥc cung chứa góc 45o dựng AB * Phần đảo: Lấy điểm N’ cung ¼B N Nới N’ với A cắt nửa đường tròn (O) ở M’ Bạn đọc hãy chứng minh BM’ = M’N’ Kết luận: Quỹ tích các điểm N là cung ¼B N tḥc cung chứa góc 45o vẽ AB 156 Cho tam giác ABC vuông ở A Về phía ngoài của tam giác vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC Một cát tuyến thay đổi qua A cắt hai nửa đường tròn nói lần lượt ở D và E Tìm quỹ tích các trung điểm I của đoạn DE Giải: * Phần thuận: Tứ giác BCED là hình thang vuông Gọi M là trung điểm của BC, ta có ·AIM = 90o Vậy điểm I thuộc đường tròn đường kính AM Giới hạn: Gọi giao điểm của đường tròn đường kính AM với AB là O1 O2 dễ thấy là trung điểm của AB, là trung điểm của AC Điểm I chạy cung ¼AO O O1 với AC là O2 , của đường tròn đường kính AM * Phần đảo: ¼AO O Lấy điểm I’ bất kỳ cung của đường tròn đường kính AB Qua I’ kẻ cát tuyến vuông góc với MI’ cắt các nửa đường tròn đường kính AB, AC ở D’ và E’ Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I’ là trung điểm của D’ E’ Kết luận: Quỹ tích các điểm I là cung ¼AO O thuộc đường tròn đường kính AM 157 A là điểm đường tròn (O; R), tiếp tuyến Ax Gọi P là một điểm Ax Qua P kẻ tiếp tuyến PB với đường tròn, PO cắt AB ở I Tìm tập hợp các điểm I P chuyển động Ax Giải: * Phần thuận: PA và PB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt ở P nên OP ⊥ AB ở I Như vậy I nhìn OA cố định dưới 90o một góc , đó I chạy đường tròn đường kính OA Giới hạn: Vì P chỉ chạy tia Ax nên dây cung AB chỉ nằm nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OA Do đó I chuyển động nửa đường tròn đường kính OA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm P *Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc nửa đường tròn nói phần giới hạn đường thẳng OI’ cắt tia Ax ở P’, AI’ cắt đường tròn (O) ở B’ Bạn đọc hãy chứng minh P’B’ là tiếp tuyến của đường tròn (O) Kết luận: tập hợp các điểm I là nửa đường tròn đường kính OA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm P bờ là đường thẳng OA ( trừ hai điểm O và A) 158 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm chuyển động nửa CD ⊥ AB đường tròn đó Kẻ Trên đoạn OC lấy điểm E cho OE = CD Tìm tập hợp các điểm E Giải: *Phần thuận: Kẻ nên OF ⊥ AB thì F cố định và OF // CD · · OCD = EOF ∆OEF = ∆CDO (hai góc so le trong) (c-g-c), suy · · OEF = CDO = 90o 90o Điểm E nhìn OF cố định dưới góc nên E thuộc đường tròn đường kính OF *Phần đảo: Trên đường tròn đường kính OF, lấy điểm E’, tia OE’ cắt nửa đường tròn (O) ở C’, kẻ C ' D ' ⊥ AB Bạn đọc hãy chứng minh OE’ = C’D’ Kết luận: Tập hợp các điểm E là đường tròn đường kính OF 159 Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Một cát tuyến thay đổi cắt hai tia Ax, By lần lượt ở M và N tạo thành hình thang AMNB có diện tích không đổi Gọi E là trung điểm của AB, I là hình chiếu của điểm E MN Tìm tập hợp các điểm I Giải: *Phần thuận: Gọi E là trung điểm của AB Qua E kẻ đường vuông góc với AB cắt MN ở F, ta có EF là đường trung bình của hình thang AMNB nên EF = AM + BN không đổi, đó EF cố định Điểm I nhìn EF cố định dưới 90o góc nên I nằm đường tròn đường kính EF Giới hạn: Gọi giao điểm của AF, BF N1 , M với By, Ax theo thứ tự là với đường tròn đường kính EF lần lượt là I1 I2 và Khi M trùng với A thì N trùng với I1 , I trùng với N1 Khi N trùng với B thì M trùng với M1 I2 , I trùng với Vậy I chạy cung * Phần đảo: I¼ FI của đường tròn đường kính EF I¼ FI Trên cung của đường tròn đường kính EF, lấy điểm I’ Đường thẳng FI’ cắt tia Ax ở M’, cắt tia By ở N’ Bạn đọc hãy chứng minh diện tích hình thang ABN’M’ không đổi Kết luận: Tập hợp các điểm I là cung I¼ FI của đường tròn đường kính EF 160 Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh CD Giải: Phân tích: Giả sử hình vuông ABCD thỏa mãn các yêu cầu đề bài đã dựng được Ta thấy: · MCN = 90o nên C nằm đường tròn đường kính MN cố định Gọi giao điểm của tia CA với đường tròn là E, ta có · · ¼ = EN » MCE = NCE = 45o EM nên , suy E là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính MN( Khác phía với điểm C qua MN) Vậy C là giao điểm của tia AE với đường tròn đường kính MN với cung chứa góc 45o dựng đoạn AN) Từ đó xác định được các đỉnh B và D 161 Cho hình chữ nhật ABCD Tìm điểm E đường thẳng AB cho E nhìn AD và BC dưới những góc bằng Giải: Giả sử đã xác định được các điểm E AB thỏa mãn yêu cầu đề bài ·AED = CED · Ta có mà cân ở C, ta có CE = CD ·AED = CDE · (so le trong), suy · · CED = CDE Vậy C là giao điểm của đường tròn (C; CD) và đường thẳng AB đó ∆CDE ... suy BM’ = AN’ Kết luận: Quỹ tích các điểm N là nửa đường tròn (O’) đường kính AB1 · xOy =α Ví dụ 22: Cho góc nhọn , hai điểm P và Q nằm góc đó Hãy tìm cạnh Ox điểm M cho... giờ cững dựng được và chỉ cắt tia Ox tại một điểm M nhất Bài toán luôn dựng được và chỉ có một nghiệm hình BÀI TẬP 155 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm... kính AB và điểm M nửa đường tròn Trên tia đối của tia MA lấy điểm N cho MN = MB Tìm quỹ tích các điểm N điểm M chuyển động nửa đường tròn (O) Giải: * Phần thuận: Tam giác