vị trí tương đối của hai đường tròn

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỚI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN • Gọi O, O’ là tâm của hai đường tròn Đường thẳng OO’ gọi là đường nối tâm, đoạn thẳng OO’ gọi là đoạn nối tâm Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn (O) và (O’) • Nếu hai đường tròn tiếp xúc thì tiếp điểm nằm đường nới tâm • Nếu hai đường tròn cắt thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và qua trung điểm của dây chung • Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có R  r > Vị trí tương đối giữa hai đường tròn ứng với hệ thức giữa R, r và OO’ được cho theo bảng sau: Vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O’; r) Số điểm chung Hệ thức giữa OO’ với R và r Hai đường tròn cắt điểm chung R – r < OO’ < R + r Hai đường tròn tiếp xúc - Tiếp xúc ngoài - Tiếp xúc Hai đường tròn không giao - Ở ngoài - Ở điểm chung OO’ = R + r OO’ = R – r điểm chung OO’ > R + r OO’ < R - r • Trên hình 18, các đường tròn d1 , d là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’), các đường thẳng m1 , m2 là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) m1 d1 O' O d2 O' O m2 Ví dụ 12: Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn có tiếp điểm với đường tròn (O) ở M với đường tròn (O’) ở N, tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A cắt MN tại I a) Chứng minh tam giác MAN và OIO’ là các tam giác vuông b) Xác minh vị trí tương đối của đường thẳng MN với đường tròn đường kinh (OO’) Giải: a) IM và IA là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), ta có IA = IM IN và IA là hai tiếp tuyến của đường tròn (O’), ta có: IA = IN Suy IM = IA = IN, đó tam giác MAN là tam giác vuông ở A Theo tính chất hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt M I N O I' A O' , ta lại có: IO và IO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù MIA và NIA , đó IA ⊥ IO ' Vậy tam giác OIO’ vuông ở I b) Gọi I’ là trung điểm của OO’ ta có I 'I = I'O = I'O' nên I’I là bán kính đường tròn đường kính OO’ OM ⊥ MN và O ' N ⊥ MN nên OM // O’N, suy tứ giác OMNO’ là hình thang, I’I là đường trung bình của hình thang OMNO’ nên I’I//OM, suy I ' I ⊥ MN Đường thẳng MN vuông góc với bán kính I’I tại I nên đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (I’) Ví dụ 13: Hai đường tròn ( O1;6,5cm ) và ( O2 ;7,5cm ) giao tại A và B Tính độ dài đoạn nối tâm O1O2 biết AB = 12cm Giải: Ta có O1O2 ⊥ AB tại H nên HA = HB = 6cm Tam giác AO2 H vuông ở H, ta có: O2 H = O2 A2 − AH = 7,52 − 62 = 56,25 − 36 = 20,25 Suy O2 H = 4,5cm A A O2 H H O2 O1 O1 B B Tam giác AO1H vuông ở H, ta có: O1H = O1 A2 − AH = 6,52 − 62 = 42,25 − 36 = 6,25 Suy O1H = 2,5cm - Nếu O1 ,O thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB thì O1O2 = O1H + HO2 = 2,5 + 4,5 = ( cm ) - Nếu O1 , O2 thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB thì: O1O2 = O2 H − O1H = 4,5 − 2,5 = ( cm ) Trả lời: Độ dài đoạn nối tâm O1O2 là 7cm hoặc 2cm Bài tập 93 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính OA Qua A vẽ dây cung AC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) ở M Chứng minh: a) Đường tròn (O’) và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau; b) O’M song song với OC; c) M là trung điểm của AC và OM song song với BC Giải: C a) OO’ = OA – O’A Đường tròn tâm O và đường tròn tâm O’ tiếp xúc tại A M 1 A O' O B b) AOC cân ở O, ta có A1 = C1 AO ' M cân ở O’, ta có A1 = M Do đó O’M // OC c) O’M // OC mà O’A = O’O nên M là trung điểm AC OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM // BC 94 Cho tam giác ABC vuông ở A Vẽ đường tròn (O1 ) qua A tiếp xúc với BC tại B Vẽ đường tròn (O2 ) qua A và tiếp xúc với BC tại C Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: a) Đường tròn (O1 ) và ( O2 ) tiếp xúc với nhau; b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) Giải: a) AO1C cân ở O1 , ta có A1 = B1 AO2C cân ở O2 , ta có A2 = C1 Mà B1 = 90o − B2 , C1 = 90o − C2 , đó A1 + A2 = B1 + C1 ( = 180o − B2 + C2 ) O2 = 180o − 90o = 90o Suy A O1 O1 AB + BAC + CAO2 = 90o + 90o Nên ba điểm O1 , A, O2 thẳng hàng 1 B O1O2 = O1 A + AO2 Vậy hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) tiếp xúc ngoài ở A b) O1 AM = O1BM ( c.c.c ) suy O1 AM = O2 BM = 90o hay O1O2 ⊥ AM tại A M C Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) 95 Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt tại A và B Biết OAO ' = 90o , R = 6cm và R’=4,5cm a) Tính OO’, AB b) Gọi P là trung điểm của OO’, qua A kẻ cát tuyến vuông góc với AP cắt đường tròn (O) ở C, cắt đường tròn (O’) ở D So sánh AC, AD và AB Giải: a) Tam giác OAO’ vuông tại A: OO '2 = OA2 + O ' A2 = 62 + 4,52 C M 36 + 20,25 = 56,25 A N Suy OO’ = 7,5cm D OO’ cắt AB ở H, ta có: OO ' ⊥ AB tại H và HA = AB Trong tam giác vuông OAO’ ta lại có: O P H B AO.AO ' = AH OO ' Suy AH = AO AO ' 6.4,5 = = 3,6 ( cm ) OO ' 7,5 Do đó AB = AH = 7,2cm b) Kẻ OM ⊥ AC , O ' N ⊥ AD Ta có MA = MC = 1 AC và NA = ND = AD Dễ thấy A là trung điểm của MN nên MA = NA Suy AC = AD MOA = OAP (hai góc so le ) O' APO cân ở P, ta có OAP = AOP , đó MOA = AOP AOM = AOH (cạnh huyền – góc nhọn ), ta có MA = AH suy AC = AB Vậy AC = AD = AB 96 Cho hai đường tròn (O1;17cm) và ( O2 ;10cm ) AB là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn có tiếp điểm với đường tròn ( O1 ) ở A, với đường tròn ( O2 ) ở B Đường thẳng AB cắt đường nối tâm O1O2 ở C Tính độ dài các đoạn CO1 , CO2 biết O1O2 = 21cm Giải: Đặt O1C = x, O2C = y , ta có x − y = O1O2 = 21cm Do O2 B / / O1 A vì cùng A vuông góc với AB nên: CO1 O1 A = CO2 O2 B B C O1 O2 x 17 Suy = y 10 x − y 17 − 10 = = y 10 10 Hay Hay 21.10 21 = 30 ( cm ) = , đó y = y 10 Từ đó, tìm được x = 51cm 97 Cho tứ giác ABCD Biết rằng đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ADC tiếp xúc Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD và CBD cũng tiếp xúc Giải: Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( O1 ) nội tiếp tam giác ABC và tiếp điểm của đường tròn ( O2 ) nội tiếp ACD với cạnh AC, ta có: AE = AB + AC − BC Và AF = AD + AC − CD Vì đường tròn ( O1 ) tiếp xúc với đường tròn ( O2 ) nên E  F , tức AE = AF, từ đó ta có: B AB + AC - BC = AD + AC – CD O1 Suy AB – AD = BC – CD (1) A Gọi I và K lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABD và tam giác BCD với cạnh BD, ta có: BI = BA + BD − AD ; (2) BC + BD − CD (3) BK = C E O2 D Từ (1), (2) và (3), ta có BI + BK , tức I  K Vậy hai đường tròn nội tiếp tam giác ABD và tam giác BCD tiếp xúc với 98 Cho hai đường tròn ( O1 ) và ( O2 ) tiếp xúc ngoài tại A Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( O1 ) ở B, tiếp xúc với đường tròn ( O2 ) ở C Biết AB = 6cm, AC = 8cm a) Tính độ dài đoạn BC b) Tính bán kính của các đường ( O1 ) và ( O2 ) Giải: a) Qua A kẻ tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O1 ) và ( O2 ) cắt BC ở M, ta có: MA = MB = MC O2 A Do đó tam giác ABC vuông ở A O1 Khi đó: BC = AB2 + AC = 82 + 62 = 100 K E C M B Suy BC = 10cm b) Hai tam giác cân O2 AC và MBA có O2 AC = MAB (vì cùng phụ với góc nhọn MAC ) đó O2 AC Suy O2 A = AC O2 A = AB MA MAB (g-g), ta có: AC.MA 8.5 = = ( cm ) AB Tương tự O1 AB MAC (g-g), ta có O1 A = 3 (cm) Cách khác: kẻ O1K ⊥ AB, O2 F ⊥ AC Ta có: KA = KB = 3cm, FA = FC = 4cm BC BA , đó = CO2 CF BCA CO2 F (g-g), suy CO2 = BC.CF 10.4 = = ( cm ) AB CBA BO1K ( g − g ) , suy O1B = BC.O1K 10.3 = = ( cm ) CA BC CA , đó = BO1 O1K 99 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở A Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) ở B, cắt đường tròn (O’) ở C DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( D  ( O ) , E  ( O ') ) Gọi M là giao điểm cùa hai đường thẳng BD và CE Chứng minnh: a) Góc EMD = 90o b) MA là tiếp tuyến chung của hai đưởng tròn (O) và (O’); c) MB.MD = ME MC Giải: a) Góc AOD là góc ngoài ở đỉnh O của tam giác cân BOD, ta có M AOD = BOD hay OBD = AOD D Tương tự O ' CE = EO ' A B O Do OD // O’E vì cùng vuông góc với DE nên I A E O' C AOD + AO ' C = 180o Suy MBC + MCB = ( ) 1 AOD + AO ' E = 180o = 90o 2 b) Tứ giác ADME là hình chữ nhật vì có D = M = E = 90o Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật , ta có: IA = ID IAO = IDO (c.g.c) suy IAO = IDO = 90o hay IA ⊥ BC tại A Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) c) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: MA2 = MD.MB; MA2 = ME.MC Suy MD.MB = ME.MC 100 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở A Gọi OM và O’M’ là các bán kính của hai đường tròn OM // O’M’ a) Chứng mịnh rằng đường thẳng MM’ luôn qua một điểm cố định S các bán kính OM và OM’ thay đổi b) Tính SO và SO’ biết bán kính hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt bằng 5cm và 3cm c) Tam giác AMM’ là tam giác gì ? vì ? Giải: a) Gọi S là giao điểm của MM’ với OO’, ta có: SOM SO ' M ' nên SO OM R không đổi = = SO ' O 'M' R ' Vậy điểm S cố định b) Từ câu a, ta có: OS O'S = OM O ' M ' (1) Qua O’ kẻ đường thẳng song song với O O' A MM’ cắt OM ở I Ta có: I OIO ' OMS nên M' OO ' IO hay = OS MO M OS OO ' = OM OI (2) OS O'S OO ' = = Từ (1) và (2) suy ra: OM O ' M ' OI Tứ giác MIO’M’ là hình bình hành nên IM = O’M’ = 3cm, Suy IO = OM – IM = 5- = 2(cm) Khi đó từ (3) ta được OS = 20cm và O’S = 12 cm S (3) 180o − AOM 180o − AO ' M ' c) Ta có OAM = và M ' AO ' = , đó 2 MAO + M ' AO ' = ( 360o − AOM + AO ' M ' ) = 360 o − 180o = 90o Từ đó suy MAM ' = 90o vậy tam giác AMM’là tam giác vuông ở A 101 Cho hai đường tròn ( O1 ) và (O2 ) tiếp xúc ngoài ở K AD là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( A  ( O1 ) , D  ( O2 ) ) Vẽ đường kính AB của đường tròn ( O1 ) Chứng minh AB2 = BK BD Giải: Tam giác AKB có trung tuyến KO1 = AB nên AKB = 90o Qua K kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt AB ở I, ta có: IK = A I D AD nên AKD = 90o O1 Suy BKA + AKD = 180o , đó ba điểm B, K, D thẳng hàng O2 K Tam giác ABD vuông ở A, có AK ⊥ BD mêm AB2 = BK BD 102 Cho hai đường tròn (O1;5cm) và ( O2 ;2cm ) nằm B ngoài Một tiếp tuyến chung ngoài AB của hai đường tròn ( A  ( O1 ) , B  ( O2 ) ) và một tiếp tuyến chung C của hai đường tròn ( C  ( O1 ) , D  ( O2 ) ) Tính độ dài đoạn nối tâm O1O2 , biết AB = 1,5CD Giải: Kẻ O2 I ⊥ O1 A và O2 E ⊥ O1C , ta có: O2 I = AB, O2 E = CD IA = O2 B = 2cm , suy A IO1 = 3cm D CE = O2 D = 2cm , suy I O1E = 7cm O1 Đặt CD = x thì O2 E = x O2 còn lại IO2 = AB = 1,5 x C Áp dụng định lý Pi – ta – go với các tam giác vuông O1IO2 và O1EO2 , ta có: O1O2 = IO12 + IO2 = 32 + (1,5 x ) B E O1O2 = O1E + O2 E = + x Suy 32 + (1,5 x ) = + x 2 Giả phương trình này được x = 32 , đó O1O2 = 49 + 32 = 81 nên O1O2 = 9cm ... minh vị trí tương đối của đường thẳng MN với đường tròn đường kinh (OO’) Giải: a) IM và IA là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), ta có IA = IM IN và IA là hai tiếp tuyến của. .. nửa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính OA Qua A vẽ dây cung AC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) ở M Chứng minh: a) Đường tròn (O’) và đường. .. Cho hai đường tròn (O1;17cm) và ( O2 ;10cm ) AB là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn có tiếp điểm với đường tròn ( O1 ) ở A, với đường tròn ( O2 ) ở B Đường