Bài viết sử dụng lý thuyết nhóm để nghiên cứu cấu trúc đại số của tập các phép quay SO(3) trong không gian thực 3 chiều. Tiếp đó, bằng phương pháp đại số, bài viết gửi đến biểu diễn ma trận của một phép quay trong không gian 3 chiều. Đặc biệt, bài viết cũng giới thiệu một số nhóm con đặc biệt của nhóm SO(3) và mô hình thực tế trong nghiên cứu cấu trúc hình học tinh thể của các nhóm con đó.
NHĨM SO (3) VÀ ỨNG DỤNG TRONG CẤU TRÚC HÌNH HỌC TINH THỂ Ngơ Quốc Hồn Khoa Tốn - Khoa học Tự nhiên Email: hoannq@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 31/8/2020 Ngày PB đánh giá: 07/10/2020 Ngày duyệt đăng: 16/10/2020 TÓM TẮT: Bài viết sử dụng lý thuyết nhóm để nghiên cứu cấu trúc đại số tập phép quay SO(3) khơng gian thực chiều Tiếp đó, phương pháp đại số, viết gửi đến biểu diễn ma trận phép quay không gian chiều Đặc biệt, viết giới thiệu số nhóm đặc biệt nhóm SO(3) mơ hình thực tế nghiên cứu cấu trúc hình học tinh thể nhóm Từ khóa: Phép quay, Nhóm SO(3), Nhóm SO(2) THE GROUP SO (3) AND APPLICATIONS IN MOLECULAR STRUCTURES ABSTRACT: This paper uses the theory of groups to study the algebraic structure of set SO3 of rotations in Nextly, via the algebraic method, this paper gives the matrix of rotations in In particular, this paper also presents some special subgroups of SO(3) and their applications to research the molecular structures Keywords: Rotation, Group SO(3), Group SO(2) GIỚI THIỆU Phép quay khái niệm Toán học thường xuyên xuất thực tế, chẳng hạn Trái Đất quay quanh mặt trời; bánh xe quay xung quanh trục;… Chính thế, nghiên cứu tính chất tập phép quay nhiều nhà khoa học thực tiễn quan tâm Về mặt toán học, phép quay thuộc lớp ánh xạ không gian điểm, biến điểm thành điểm khác bảo toàn khoảng cách điểm, gọi phép dời hình [1] Chính vậy, tập phép quay, ta xây dựng tích hợp thành ánh xạ tìm hiểu cấu trúc đại số (cấu trúc nhóm) [3,5,6] Nhóm phép quay SO (3) có ý nghĩa quan trọng khơng Tốn học mà cịn nhiều lĩnh vực khác, đặc biệt vật lý Trong vật lý lượng tử, nhóm SO(3) , thường gọi nhóm đối xứng phân tử [3], có ý nghĩa quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc hình học tinh thể vật chất (phân tử, nguyên tử,…) Bài viết giới thiệu lý thuyết bản, thuật ngữ tính chất lý thuyết nhóm sử dụng Tiếp đó, sử dụng lý thuyết nhóm áp dụng tập phép 30 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 quay, viết xây dựng cấu trúc nhóm SO (3) phân loại nhóm đặc biệt nhóm Cuối cùng, viết tổng hợp số ví dụ mơ hình nhóm quay sử dụng để nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật lý lượng tử KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2.1 Nhóm Định nghĩa: Cho tập G trang bị phép toán *, gọi phép nhân, sau *: G G G ( x, y ) xy Ta nói (G,*) nhóm phép nhân * G thỏa mãn tính chất sau: o Tính kết hợp: Với a, b,c G, ta có (ab)c = a(bc) o Tồn phần tử e G cho eg = ge = g với g G o Với g G, tồn x G cho gx = xg = e Ta kí hiệu x= g-1 gọi x nghịch đảo g 2.2 Nhóm hữu hạn Định nghĩa: Cho nhóm (G,*) với phần tử đơn vị e (i) Phần tử g G gọi có cấp vô hạn không tồn số nguyên dương n cho gn = e Phần tử g gọi có cấp hữu hạn m m số nguyên dương bé cho gm = e (ii) Lực lượng G, kí hiệu |G|, gọi cấp nhóm G Nhóm G gọi nhóm hữu hạn |G| hữu hạn Mệnh đề: Cho nhóm (G,*) với phần tử đơn vị e g G có cấp n Khi đó, k thỏa mãn gk = e n | k Chứng minh: Giả sử k thỏa mãn gk = e Theo thuật toán chia Euclid, tồn số q, r cho k nq r;0 r n Do ta có e = gk = gnq+r = gnq gr = gr Mặt khác, ta có r < n n cấp G, vậy, r = Điều dẫn đến k = nq, điều phải chứng minh Ngược lại, k chia hết cho n tồn q cho k = nq Do gk = gnq= eq = e Mệnh đề chứng minh 2.3 Nhóm Định nghĩa: Cho nhóm (G,*) với e phần tử đơn vị Tập hợp H G đóng với phép toán cảm sinh G (tức xy H với x H, y H) gọi nhóm nhóm G (H, *) nhóm Mệnh đề [4]: Tập H nhóm G nhóm điều kiện sau thỏa mãn (i) Nếu a,b H ab H (ii) e H (iii) Nếu a H a-1 H Chứng minh: ( ) Giả sử H nhóm có phần tử đơn vị eH Khi ta có, mệnh đề (i) hiển nhiên Bây ta có eH eH = eH =e eH Vì vậy, theo luật giản ước ta có eH = e Mệnh đề (ii) chứng minh Mặt khác, a H có nghịch đảo G Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 | 31 H a-1 g Khi ta có aa-1 = e = ag Do đó, theo luật giản ước a-1 = g H Mệnh đề (iii) chứng minh ( ) Giả sử H thỏa mãn mệnh đề (i), (ii) (iii) Khi đó, từ điều kiện (i), ta suy H đóng với phép tốn cảm sinh G Do phép tốn H có tính chất kết hợp Kết hợp với điều kiện (ii) (iii), ta suy H nhóm NHĨM CÁC PHÉP QUAY TRONG KHƠNG GIAN 3.1 Cấu trúc nhóm tập phép quay Ta nhắc lại rằng, mặt phẳng, cho điểm O cho trước, phép biến hình Q (O, ) biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM = OM’ góc lượng giác (OM; OM’) gọi phép quay tâm O góc quay Điểm O gọi tâm quay gọi góc quay Ta kí hiệu tập tất phép quay q( ) mặt phẳng (các phần tử xác định góc quay thỏa mãn 2 ) SO(2) Trên tập SO(2), phép nhân phép thực liên tiếp phép quay mặt phẳng Tức là: q (1 ) q ( ) q (1 ) với 1 , 2 thỏa mãn 1 , 2 (1) Mệnh đề: Tập SO (2) phép nhân xác định (1) lập thành nhóm Chứng minh: Thật vậy, phép nhân xây dựng SO (2) kết hợp q (1 ) q ( ) q (3 ) q (1 ) q ( 3 ) q (1 3 ) q (1 ) q (3 ) (q(1 ) q ( )) q (3 ) với 1 , , 3 thỏa mãn 1 , 2 , 3 2 Mặt khác, phần tử đơn vị SO (2) phép quay góc (phép đồng e) Cuối cùng, với phép quay q( ), phần tử nghịch đảo q(- ) Mệnh đề chứng minh Cho n số tự nhiên khác Gọi qn phép quay mặt phẳng góc quay 2 Bây giờ, với n * , ta đặt C n : {e, q n ,q n2 , ,q nn 1} n Mệnh đề: C n nhóm hữu hạn SO(2), với số tự nhiên n Chứng minh: Dễ dàng chứng minh C n đóng với phép nhân xây dựng phép quay Rõ ràng e C n Hơn nữa, ta dễ dàng thấy ( q nk ) 1 q nn k với k Trong không gian, ý phép quay tâm I, góc 32 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 quay xác định cần phải cố định thêm trục d quay đường thẳng d qua I Ảnh điểm M qua phép quay điểm M’ tạo cách quay điểm M quanh trục d cho góc lượng giác (IM; IM’) IM = IM’ M Cho tứ diện không gian I Oxyz, ký hiệu ABCD Gọi T tập phép quay làm cho tứ diện thành Khi T nhóm ta dễ dàng chứng minh T có nhóm sau: Bốn nhóm C : {e, q ,q 32 } , nhóm bao gồm phép quay quanh trục qua đỉnh tâm mặt đối diện đỉnh Ba nhóm C : {e,q } , nhóm bao gồm phép quay quanh trục qua trung điểm cặp cạnh đối diện Điều có nghĩa T nhóm hữu hạn, cấp 12 Cuối cùng, ta xét tập SO(3) tất phép quay không gian chiều, quanh điểm cố định cho trước.1 Phép nhân SO(3), ta định nghĩa trình thực hai phép quay liên tiếp (*) Mệnh đề: SO (3) với phép toán nhân xác định (*) lập thành nhóm liên tục khơng giao hoán Hơn nữa, phần tử SO(3) xác định trục quay d góc quay , ký hiệu qd( ) Chứng minh: Tính chất kết hợp phép toán SO (3) hiển nhiên phép nhân phép hợp thành ánh xạ Hơn nữa, phần tử đơn vị phép quay góc (phép đồng e), phần tử nghịch đảo qd ( ) qd(- ) Vì SO (3) nhóm Dễ dàng thấy rằng, không gian phép quay xác định biết trục quay góc quay Cuối cùng, tính khơng giao hốn nhóm suy trục quay khơng giống Cho ví dụ, ta có điểm M nằm trục Ox hai phép quay góc tương ứng quanh trục Ox, Oz M’’ O y M’ z z N M x y O M x Thực tế, phép quay xác định góc quay, tâm I trục quay đường thẳng quay I Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 | 33 Khi ảnh M’’ M qua phép quay qOx( )qOz( ) (thực qOz( nằm trục Oz Trong đó, ảnh N’’ M qua phép quay qOx( Oy Do qOx( )qOz( ) qOx( )qOz( )qOz( ) trước) ) lại nằm ) 2 2 Hệ quả: Các nhóm T SO (2) nhóm SO(3) 3.2 Ma trận phép quay không gian Giả sử cho phép quay q không gia ba chiều Oxyz Khơng tính tổng qt, ta giả sử tâm quay gốc tọa độ (nếu khơng, ta thực đổi hệ trục tọa độ cho hợp lý) Ta biết rằng, phép quay xác định biết tọa độ ảnh điểm khơng gian Điều có nghĩa ta biết cách tính tọa độ ảnh phép quay xác định Do cần tìm ảnh trục tọa độ qua phép quay đủ Giả sử qua phép quay q, ảnh trục tọa z x’ độ Ox’, Oy’ Oz’ Giả sử giao tuyến mặt xOy mặt x’Oy’ Ot giao tuyến nằm nửa khơng gian tọa độ dương Oz Gọi góc Ox Ot 1 ; góc Ot với Ox’ ; góc Oz với Oz’ t O Bây ta thực liên tiếp phép quay với trục quay qOz( 1 ) biến Ox thành Ot; qOt( ) y y’ x biến Oz thành Oz’ qOz’( ) biến Ox thành Ox’ Oy thành Oy’ Với phép quay trên, ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng biến thành Ox’, Oy’, Oz’ Do q= qOz’( ) qOt( ) qOz( 1 ) (2) Chú ý Ot tạo từ Ox qua phép quay qOz( 1 ) nên ta có qOt( ) = qOz( 1 )qOx( ) (qOz( 1 ))-1 Tương tự ta có qOz’( ) = (qOt( )qOz( 1 ))qOz( )(qOt( )qOz( 1 ))-1 = (qOz( 1 )qOx( ))qOz( )(qOz( 1 )qOx( ))-1 Do đó, kết hợp với (2), ta thu q = (qOz( 1 )qOx( ))qOz( )(qOz( 1 )qOx( ))-1qOz( 1 )qOx( ) (qOz( 1 ))-1 qOz( 1 ) = qOz( 1 )qOx( ) qOz( ) 34 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 Chú ý ta lấy góc thỏa mãn 0, ; 1 [0,2 ); [0,2 ) Hơn nữa, ý ma trận phép quay qOz( 1 ) qOx( ) tương ứng cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 ; cos sin sin ; cos Do ta có ma trận q cos 1 cos cos sin 1 sin cos 1 sin cos sin 1 cos sin 1 sin A= sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin 2 2 sin sin Hệ [3,5]: Nhóm SO (3) nhóm phép biến đổi có định thức làm bất biến dạng toàn phương x2 + y2 + z2 3.3 Một số nhóm đặc biệt ứng dụng cấu hình vật chất Thực tế, có nhiều phân tử mà nguyên tử xếp theo cấu trúc khối mà phép quay, phép phản xạ gương,… ta làm thay đổi vị trí nguyên tử mà không làm thay đổi phân tử Đặc biệt, phép biến hình có đặc điểm chung giữ cố định Chính vậy, nhóm T nhóm giữ cố định cấu trúc phân tử CH4 nhóm điểm phân tử (ii) Xét phân tử 1,1,1trichloroethane, C2H3Cl3 Mỗi phân tử C2H3Cl3 bao gồm nguyên tử C, cos sin cos điểm phân tử (ví dụ phép quay,…) tập phép biển đổi kiểu lại lập thành cấu trúc nhóm với phép hợp thành ánh xạ, gọi nhóm đối xứng phân tử [3,6] Sau số ví dụ: (i) Xét phân tử mêtan CH4 Mỗi phân tử mêtan bao gồm nguyên tử Cacbon (C) nguyên tử Hidro (H) Về mặt hình học, nguyên tử H đặt đỉnh tứ diện đều, nguyên tử C đặt tâm tứ diện [2] nguyên tử H nguyên tử Cl Về mặt cấu trúc, phân tử C2H3Cl3 có dạng phễu đối xứng, trịn hai ngun tử C đặt thân phễu; đáy phễu tam giác tam giác thứ có nguyên tử H đặt đỉnh, tam giác thứ có nguyên tử Cl đặt đỉnh Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 | 35 Với cấu trúc hình học này, nhóm phép quay giữ ngun cấu trúc phân tử 1,1,1-trichloroethane nhóm C (iii) Cuối cùng, xét phân tử quen thuộc phân tử nước, H2O Mỗi Do đó, nhóm đối xứng phân tử nước bao gồm tất phép quay làm hình tháp đáy cạnh trùng với Nhóm nhóm nhóm C KẾT LUẬN Bài báo chứng minh tập phép quay không gian chiều với phép hợp thành ánh xạ nhóm khơng giao hốn, gọi nhóm SO (3) Tiếp đó, báo gửi đến dạng ma trận phần tử SO (3) giới thiệu số nhóm đặc biệt nhóm SO (3) Đồng thời, viết tổng hợp số ví dụ ứng dụng nhóm nhóm SO (3) nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật chất 36 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 phân tử nước có nguyên tử H nguyên tử O Về mặt hình học, phân tử nước tạo thành tam giác cân có góc đỉnh khoảng 1040[2] TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ giáo dục đào tạo (2018), Hình học 11, Nhà xuất giáo dục Việt Nam Bộ giáo dục đào tạo (2018), Hóa học 10,11,12, Nhà xuất giáo dục Việt Nam Nguyễn Hồng Phương (2002), Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lượng tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Robert Gilmore (1974), Lie Groups, Lie algebras and some of their applications, Inc., New York M Hamermesh (1964), Group theory and its applications to physical problems, London ... gọi nhóm SO (3) Tiếp đó, báo gửi đến dạng ma trận phần tử SO (3) giới thiệu số nhóm đặc biệt nhóm SO (3) Đồng thời, viết tổng hợp số ví dụ ứng dụng nhóm nhóm SO (3) nghiên cứu cấu trúc tinh thể. .. xây dựng cấu trúc nhóm SO (3) phân loại nhóm đặc biệt nhóm Cuối cùng, viết tổng hợp số ví dụ mơ hình nhóm quay sử dụng để nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật lý lượng tử KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2.1 Nhóm Định... [3,5]: Nhóm SO (3) nhóm phép biến đổi có định thức làm bất biến dạng toàn phương x2 + y2 + z2 3.3 Một số nhóm đặc biệt ứng dụng cấu hình vật chất Thực tế, có nhiều phân tử mà nguyên tử xếp theo cấu