Bài 5 : Cho lục giác đều ABCDEF. Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6.. Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C. Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và A[r]
(1)Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Vectơ đoạn thẳng có dịnh hướng Ký hiệu : AB
;CD a;b Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối : Ký hiệu 0
Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng Hai vectơ phương hướng ngược hướng Hai vectơ chúng hướng độ dài B NỘI DUNG BÀI TẬP :
Bài 1: Bài tập SGK : 1, 2, 3, 4, trang SGK nâng cao
Bài 2: Cho điểm A, B, C, D, E Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối điểm
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O a) vectơ AB ; OB
b) Có độ dài OB
Bài : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MNQP; NPMQ
Bài : Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH B'C
Bài : Cho hình bình hành ABCD Dựng AM BA, MN DA, NPDC, PQBC Chứng minh AQ O
§2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Cho AB a; BC b Khi ACab Tính chất : * Giao hoán : a b = b a
* Kết hợp (a b) +c = a(b
+c) * Tín h chất vectơ –khơng a+0=a
Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB+BC
=AC
Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB
+AD
=AC
Quy tắc hiệu vec tơ : Cho O , B ,C tùy ý ta có : OBOCCB
B NỘI DUNG BÀI TẬP : B1: TRẮC NGHIỆM
Câu1: Phát biểu sau đúng:
a) Hai vectơ khơng có độ dài khơng b) Hiệu vectơ có độ dài vectơ – không
c) Tổng hai vectơ khác vectơ –không vectơ khác vectơ -không
d) Hai vectơ phương với vec tơ khác 0 vec tơ phương với Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD, goi O giao điểm AC BD, phát biểu
a) OA=OB=OC=OD b) AC=BD c) OA+OB+OC+OD = d) AC AD = AB Câu 3: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Phát biểu
a) AB=AC b) GA=GB=GC c) AB+AC = 2a d) AB+AC=
3
AB-AC Câu 4: Cho AB khác cho điểm C Có điểm D thỏa AB=CD
(2)Câu 5: Cho a bkhác thỏa a=b Phát biểu sau đúng:
a) avà b nàm đường thằng b) a+b=a+b c) a-b= a - b d) a-b=
Câu 6: Cho tam giác ABC , trọng tâm G Phát biểu a) AB+BC
= AC
b) GA+GB+GC= c) AB+BC =AC d) GA+GB+GC = B2: TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 12 SGK ; Bài 17, 18, 19, 20 trang 17, 18 SGK nâng cao
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b Tính AB
; BC ; CD ; DA
theo a b Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a Tính BC
+ AB ; AB - AC theo a
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm Tìm tập hợp điểm M , N thỏa a) AO
- AD= MO
b) AC
- AD= NB
Bài 5: Cho điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh :
a) AB
+ CD + EA
= CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD c) AB + CD
+ EF + GA
= CB
+ ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài : Cho tam giác OAB Giả sử OAOBOM,OAOBON Khi điểm M nằm đường phân giác góc AOB? Khi N nằm đường phân giác ngồi góc AOB ?
Bài : Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh :
O OE OD OC
OB
OA
Bài : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ điểm đối xứng với C qua B, C’ điểm đối xứng A qua C với điểm O bất kỳ, ta có:
' ' ' OB OC OA
OC OB
OA
Bài 9: Cho lụ giác ABCDEF có tâm O CMR :
a) OA+ OB+ OC+ OD+ OE+ OF= 0 b) OA+ OC+ OE = 0
c) AB+ AO+AF =AD d) MA+ MC+ME = MB+MD+MF ( M tùy ý ) Bài 10: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngồi hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS
Chứng minh : RF + IQ + PS = 0
Bài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh HB
+ HC = HD
b) Gọi H’ đối xứng H qua O Chứng minh HA + HB + HC = HH ' Bài 12: Tìm tính chất tam giác ABC, biết : CA + CB = CA - CB
§3: TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho kR , ka vectơ xác định:
* Nếu k k a hướng với a ; k < ka ngược hướng với a * Độ dài vectơ ka k .a
(3) b phương a(a 0) có số k thỏa b =ka
Điều kiện cần đủ để A , B , C thẳng hàng có số k cho AB
=kAC
Cho b không cùngphương a, x biểu diễn x= ma + nb ( m, n ) B NỘI DUNG BÀI TẬP :
B1: trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm AC BD Tìm câu sai a) AB+AD = AC b) OA =
2
(BA+CB) c) OA+OB=OC+OD d ) OB+OA = DA Câu 2: Phát biểu sai
a) Nếu AB=ACthì AB =AC b) AB= CD A, B,C, D thẳng hàng c) 3AB+7AC = 0 A,B,C thẳng hàng d) AB-CD = DC-BA
Câu 3: Cho tứ giác ABCD có M,N trung điểm AB CD Tìm giá trị x thỏa AC+ BD= xMN
a) x = b) x = c) x = -2 d) x = -3
Câu 4: Cho tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm G G’ Đặt P = AA'BB'CC'
Khi ta có
a) P = GG' b) P = 2GG' c) P = 3GG' d) P = -GG' Câu 5: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Phát biểu
a) AB=AC b) AB+AC = 2a c) GB+GC = 3 3
a
d)AB
+ AC= 3AG Câu 6: Cho tam giác ABC ,có điểm M thỏa MA+ MB+MC =
a) b) c) vơ số d) Khơng có điểm
Câu 7: Cho tam giác ABC cạnh a có I,J, K trung điểm BC , CA AB Tính giá trị AI BJ CK
a) b) 3 3
2 a
c) 3
2 a
d) 3a
Câu 8: Cho tam giác ABC , I trung điểm BC ,trọng tâm G Phát biểu
a) GA = 2GI b) IB+IC= c) AB+IC =AI d) GB + GC = 2GI B2: TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK : Bài 4, trang 17 SGK ; 21 đến 28 trang 23, 24 SGK nâng cao
Bài : Cho tam giác ABC có AM trung tuyến Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK =
3 1
AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài : Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức
O AC NA
AB O MA
BC ; 3 Chứng minh MN // AC
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O , điểm M điểm : a) Tính MS
= MA + MB + MC
+ MD theo MO
Từ suy đường thẳng MS quay quanh điểm cố định
b) Tìm tập hợp điểm M thỏa MA + MB + MC + MD= a ( a > cho trước ) c) Tìm tập hợp điểm N thỏa NA
+ NB
= NC
+ ND
Bài 5: Cho tam giác ABC ; BC lấy D ; E thỏa BD = DE = EC Gọi I trung điểm BC S điểm thỏa SA = AB
+ AD
+ AE
+ AC Chứng minh điểm I ; S ; A thẳng hàng Bài :Cho tam giác ABC Điểm I nằm cạnh AC cho CI =
4 1
CA, J điểm mà BJ AC AB 3 2 2
1
(4)a) Chứng minh : BI ACAB
4 3
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng c) Hãy dựng điểm J thỏa điều kiện đề
Bài : Cho tam giác ABC
a) Tìm điểm K cho KA2KBCB b) Tìm điểm M cho MAMB2MCO
Bài 8: Cho tam giác ABC BI=
3
BC;CJ=
3
CA; AK=
3
AB
a) Chứng minh rằng: IC+JA+KB=
AI+BJ+CK = Suy ABC IJK trọng tâm b) Tìm tập hợp M thỏa: MA+ MB+MC=
2
MB+MC; 2MB+MC=2MA+MB c) Tính IK;IJ theo ABvà AC
Bài 9: Cho tam giac ABC có I, J , K trung điểm BC , CA , AB G trọng tâm tam giác ABC
1) Chứng minh AI+ BJ+ CK= Suy tam giác ABC IJK trọng tâm 2) Tìm tập hợp điểm M thỏa :
a) MA+MB+MC=
2
MB+MC b) MB+MC = MB-MC 3) D, E xác định : AD= 2ABvà AE=
5
AC Tính DEvàDG theo ABvà AC Suy điểm D,G,E thẳng hàng
Bài 10 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G , M điểm nằm tam giác Vẽ MD ; ME ; MF vng góc với cạnh tam giác Chứng minh MD + ME+ MF =
2 MG
§4 :TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ : A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trục đường thẳng xác định điểm O vectơ i có độ dài Ký hiệu trục (O; i
) hoắc x’Ox A,B nằm trục (O; i
) AB=AB i Khi AB gọi độ dài đại số AB Hệ trục tọa độ vng góc gồm trục Ox Oy Ký hiệu Oxy (O; i; j
) Đối với hệ trục (O; i; j
), a=xi +y j
(x;y) toạ độ a Ký hiệu a = (x;y) Cho a = (x;y) ;b = (x’;y’) ta có
a b = (x x’;y y’) ka
=(kx ; ky) ; k R b
phương a
(a
0
) có số k thỏa x’=kx y’= ky Cho M(xM ; yM) N(xN ; yN) ta có
P trung điểm MN xp = 2
M N
x x
yP = 2
M N
y y
MN
= (xM – xN ; yM – yN)
Nếu G trọng tâm tam giác ABC xG =
3
A B C
x x x
yG =
2
A B C
(5)
B NỘI DUNG BÀI TẬP : B1 : BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho a=(1 ; 2) b= (3 ; 4) Vec tơ m= 2a+3b có toạ độ a) m
=( 10 ; 12) b) m
=( 11 ; 16) c) m
=( 12 ; 15) d) m
= ( 13 ; 14) Câu 2: Cho tam giác ABC với A( -3 ; 6) ; B ( ; -10) G( 1
3 ; 0) trọng tâm Tọa độ C : a) C( ; -4) b) C( ; 4) c) C( -5 ; 4) d) C( -5 ; -4)
Câu 3: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4) Tìm giá trị m để A ; B ; C thẳng hàng
a) m = b) m = c) m = -2 d) m =
Câu 4: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3) Tìm D để ABDC hbh a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6) Câu :Cho a
=3i
-4j b
=i
-j Tìm phát biểu sai :
a) a = b) b = c) a - b=( ; -3) d) b = 2 Câu 6: Cho A(3 ; -2) ; B (-5 ; 4) C( 1
3 ; 0) Ta có AB
= xAC
giá trị x
a) x = b) x = -3 c) x = d) x = -4
Câu 7: Cho a
=(4 ; -m) ; b
=(2m+6 ; 1) Tìm tất giá trị m để vectơ phương a) m=1 m = -1 b) m=2 m = -1 c) m=-2 m = -1 d) m=1 m = -2 Câu 8: Cho tam giác ABC có A(1 ; 2) ; B( ; 2) C(1 ; -3) có tâm đường trịn ngoại tiếp I
a) I = (3 ;
) b)I = (3 ; -1) c) I = (-3 ;
) d) I = (3 ;
2) Câu 9:Cho a=( ; 2) b= (3 ; 4) ; cho c = a- b tọa độ c :
a) c=( -1 ; 4) b) c=( ; 1) c) c=(1 ; 4) d) c=( -1 ; -4)
Câu 10:Cho tam giác ABC với A( -5 ; 6) ; B (-4 ; -1) C(4 ; 3) Tìm D để ABCD hình bình hành a) D(3 ; 10) b) D(3 ; -10) c) D(-3 ; 10) d) D(-3 ; -10)
B2: TỰ LUẬN :
Bài 1: Bài tập SGK :29 đến 36 TRANG 30, 31 SGK nâng cao
Bài : Cho tam giác ABC Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) trung điểm cạnh BC, CA, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác
Bài : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để điểm A, B, C thẳng hàng
Bài : Cho tam giác ABC cạnh a Chọn hệ trục tọa độ (O; i; j ), O trung điểm BC, i hướng với OC, j hướng OA
a) Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm E AC
c) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài : Cho lục giác ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O; i; j ), O tâm lục giác , i hướng với OD, j hướng EC
Tính tọa độ đỉnh lục giác , biết cạnh lục giác Bài 6:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D biết:
a) AD – 2BD + CD = 0
b) AD
– 2AB
= 2BD
+ BC c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy BC, AD với BC = 2AD
(6)a) Tìm tọa độ A, B
b) Tìm tọa độ điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6) Bài 8: Cho a=(2; 1) ; b=( ; 4) c=(7; 2)
a) Tìm tọa độ vectơ u= a - b + c b) Tìm tọa độ vectơ x thỏa x + a = b - c c) Tìm số m ; n thỏa c = m a+ n b
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao
Bài 2:Tam giác ABC tam giác thỏa mãn điều kiện sau ? a) AB AC ABAC
b) Vectơ ABAC vng góc với vectơ ABCA
Bài :Tứ giác ABCD hình thỏa mãn điều kiện sau ? a) ACBCDC
b) DB mDCDA
Bài 3:Cho tam giác ABC , với số thực k ta xác định điểm A’ , B’ cho AA'kBC , BB'kCA Tìm quĩ tích trọng tâm G’ trung điểm A’B’C
Bài 4: Cho tứ giác ABCD Các điểm M,, N, P Q trung điểm AB, BC, CD DA Chứng minh hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ vMAMB2MC không phụ thuộc vào vị trí điểm M Hãy dựng điểm D cho CD v
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H trực tâm tam giác , D điểm đối xứng A qua O
a) Chứng minh tứ giác HCDB hình bình hành
b) Chứng minh : HAHD2HO ; HAHBHC 2HO ; OA OBOC OH
c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH 3OG Từ kết luận điểm G, H, O Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh :
a) BB'C'CDD'0 b) Hai tam giác BC’D B’CD’ có trọng tâm
Chương II: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 00 đến 1800) A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM = M( x ; y) * sin góc y; ký hiệu sin = y * cos góc x0; ký hiệu cos = y0 * tang góc lày
x ( x 0); ký hiệu tan = y
x * cotang góc
x
(7) Bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt
Hai góc bù nhau:
Sin( 1800- ) = sin Cos ( 1800-) = - cos
Tan (1800-) = - Tan ( 900) Cot ( 1800-) = - Cot ( << 1800) B.VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác góc
a 45 b 1200
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600 C : BÀI TẬP
Bài 1: Tính giá trị biểu thức:
a A=( 2sin 300 + cos 135 – tan 1500)( cos 1800 -cot 600) b B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350
Bài 2: Đơn gian biểu thức:
a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640
b) B= Sin (1800- ) cot - cos(1800- ) tan cot(1800- ) (Với 00< <900) Bài : a) Chứng minh sin2x +cos2x = ( 00 x 1800)
b)Tính sinx cosx =
5 c) Tính sinx.cosx sinx – cosx =
00 300 450 600 900
Sin
2
2
2
1
Cos
2
2
2
0
tan
3
1
Cot
3
(8)d) Chứng minh + tan2 x = 12
cos x ( Với x 90
0 )
e) Chứng minh + cot2 x = 12
sin x ( Với
0
< x < 18000 ) Bài : Tính giá trị biểu thức:
A = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700 B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350
Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh
a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B =
c) tan( A – C) + tan( B + 2C) =
Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Tính góc a) AB
AC b) AB
BC c) AG BC d) GB
GC
c) GA
AC
§2: TÍCH VƠ HƯỚNG VÉCTƠ
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho OA
= a
OB
=b
Khi góc AOB góc giũa vectơ a
b
Ký hiệu (a
;b
) Nếu a
=0
hoặc b
=0
góc (a
;b
) tùy ý Nếu (a
;b
) = 900 ta ký hiệu a
b
a =.b a bcos(a,b)
Bình phương vơ hướng a
2 = a
2 Các quy tắc: Cho a b c ; k R
a.b = b.a ( Tính giao hốn)
a.b = <=> a b
(ka,b = k (a b)
a (bc) = a b a c (Tính chất phân phối phép cộng trừ ) Phương tích điểm đường tròn
Cho đường tròn (O,R) điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi, ln qua điểm M cắt đường trịn (O,R) A, B
(9)Nếu M ngồi đường trịn (O,R), MT tiếp tuyến PM/(O) = MT2 Biểu thức toạ độ tích vơ hướng
Cho →
a = (x, y) , →
b= (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có
→ a
→
b= x.x' + y.y' |
→
a| = x2+ y2 Cos (
→ a,
→ b) =
2 2
' + ' +
' + '
y x y x
yy xx
→ a
→
b xx' + yy' = MN = |
→
MN| = (xM _xN)2+(yM _yN)2 B : CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ 1: Cho →
a = (1, 2), →
b = (-1, m) a) Tìm m để
→ a,
→
b vng góc b) Tính độ dài
→ a,
→
b; tìm m để | → a| = |
→ b|
Ví dụ2: cho ABC cạnh a trọng tâm G; tính
AB.AC;AC.CB;AG.AB;GB.GC;BG.GA;GA.BC
Ví dụ 3: Trong Mp oxy cho điểm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm trục ox điểm P cách điểm M,N M b)Tính cos góc MON C BÀI TẬP:
A Trắc nghiệm :
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = a ; BC = 2a * Tính tích vô hướng CA.CB
a) a2 b) 3a2 c) a2 d)
2 a
* Tính tích vơ hướng BA
.BC
a) a2 b)a2 c) - a2 d)
2 a
Câu 2: Cho a=(3; -1) b=(-1; 2) Khi góc a b
a) 300 b) 450 c) 1350 d) 900
Câu 3:Cho a=( ; 5) b= (3 ; -7) Khi góc a b
a) 450 b) 300 c) 1350 d) 1200
Câu 4: Cho A(m - 1; 2) , B(2;5-2m) C(m-3;4) Tìm giá trị m để A ; B ; C thẳng hàng
a) m = b) m = c) m = -2 d) m =
Câu 5: Cho tam giác ABC với A ( 3; -1) ; B(-4;2) ; C(4; 3) Tìm D để ABDC hbh a) D( 3;6) b) D(-3;6) c) D( 3;-6) d) D(-3;-6)
Câu 6: Cho tam giác ABC với A ( -2; 8) ; B(-6;1) ; C(0; 4) Tam giác ABC tam giác
a) Cân b)Vuông cân c) Vuông d)Đều
Câu 7: Cho AB=(2x - ; 2) ; AC=(3 – x; -2) Định x để A , B , C thẳng hàng
a) x = b) x = -2 c) x = d) x = -1
(10)a) AB=AC b) AG=
3
AC c) AG.AB=AG AC d) GA2 +GB2 + GC2 = 02 Câu 9:Cho (O,5), điểm I (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 9, IB = 16
a) IO= 13 b) IO= 12 c) IO= 10 d) IO= 15
C âu 10: Cho A( 1;4) ;B(3 ; -6) ; C(5;4) Tìm tọa độ tm I đường trịn ngoại tiếp ABC: a) I(2;5) b) I(
2
; 2) c)I(9; 10) d)I(3;4)
Câu 11:Đường tròn qua điểm A(1;2) ; B(5;2) C(1 ; -3) có tâm I :
a) I( 2; 1) b) I( -2; 1) c) I( 3; -0.5) d) I( 2; -0.5) Câu 12: Phát biểu sai
a) Nếu AB=AC AB =AC b) Nếu a b=a.c b=c c) AB.AC = BA.CA d) AB-CD = DC-BA Câu 13: Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Phát biểu
a) AB=AC b) AB+AC = 2a c) AB.AC = a2 d) AG.BC= Câu 14: Cho hình vng ABCD cạnh a Kết
a) AB.AC = a2 b) AB.AD = a2 c) AC.BD = 2a2 d) AB.CD = Câu 15:Cho (O,30), điểm I (O), vẽ cát tuyến IAB với IA = 54, IB = 96
a) IO= 69 b) IO= 78 c) IO=84 d) IO=81
Câu 16:Chỉ công thức
a) a2 = a b) a2 = a c) a2 = a d ) a2 = a Câu 17 : Cho tam giác ABC cạnh a.Tích vơ hướng AB.BC nhận kết a) a2
2
b) -
2
a c)
2
a d) a2
Câu 18:Cho AB.CD = AB CD phát biểu sau đúng:
a) AB ngược hướng CD b) A, B, C, D thằng hàng c) AB hướng CD d) AB=CD Cu19: Cho A(2;3) ; B(9;4) ; C(5;m) Tam gic ABC vuơng C gi trị m l :
a) m = hay m = b) m = hay m = c) m = hay m = -7 d) m = hay m = Câu 20: Cho a=(m2 -2m+2 ; 3m-5), b=(2;1) Tìm giá trị m để ab
a) m = b)m = -1
2 c)m = m = -1
2 d) Cả a ; b ; c
Câu 21: Cho a=(4;3) b=(1;7) Khi góc vec tơ (a, b) :
a) 300 b) 450 c) 600 d) Kết khác
Câu 22: Cho tam giác ABC cạnh a có G trọng tâm: * Phương tích G với đường trịn đường kính BC a) -
2
a
6 b)
2
a
4 c) -
2
a
3 d)
-2
a 2 * Phương tích A với đường trịn đường kính BC
a)
a
2 b)
2
a
4 c) a
d)
3a 4 Câu 23: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a:
* Phương tích A với đường trịn đường kính CD
a) a b)a2 c)2a2 d) a
2
(11)a)
a
2 b)
2
a
4 c) a
d) 2a2
B.Tư luận
Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1) a) Chứng minh tam giác vuông
b) Xác định tâm đương trịn ngoại tiếp
c) Tính diện tích tam giác diện tích đường trịn ngoại tiếp tam giác Bài 2: Cho A (-1 ; -1) B (5; 6)
a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM cân M b) Tìm N y’Oy để tam giác ABN vuông N
c) Xác định H,K để ABHK hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm d) Xác định C thỏa 3AC - BC= 2AB
e) Tìm G cho O trọng tâm tam giác ABG
f) Xác định I x’Ox để IA+IB+ IN đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho A(-2;1) B(4;5)
a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM vng M b) Tìm C để OACB hình bình hành
Bài 4: Cho a=(1
2; -5) b
=( k ; -4) Tìm k để:
a) a phương b b) a vng góc b c) a = b Bài 5: Cho a=(-2; 3) ; b=( ; 1)
a) Tính cosin góc hợp a b ; avà i ; a j; a+ b a- b b) Tìm số m n cho m a+n b vng góc a+ b
c) Tìm d biết a d= b d= -2
Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2) a) Tam giác ABC tam giác Tính diện tích tam giác
b) Gọi G , H , I trọng tâm , trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính G, H , I CMR GH+2 GI = 0
Bài 7: Cho tam giác ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) a) Chứng minh A ; B ; C khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành
c) Tìm điểm M trục x’Ox để tam giác ABM vuông B d) Tam giác ABC tam giác ?
e)Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Bài 8: Cho ABC có AB=7, AC=5, Â = 1200
a) Tính AB.AC,AB.BC
b) Tính độ dài trung tuyến AM (M trung điểm BC) Bài 9: Cho điểm A,B,C.D: chứng minh rằng:
DA BC+DBCA+DC AB=0
(12)Bài 11 : Cho ABC có AC= b, AB= c, góc BAC = AD phân giác góc BAC ( D thuộc cạnh BC)
a) Hãy biểu thị AD qua AB,AC b) Tính độ dài đoạn AD 5) Cho điểm M,N nằm đường trịn đường kính AB= R, AM∩ BN =I
a) Chứng minh: AM AI=AB AI; BN BI =BA BI
b) Tính AM AI+BN BI theo R
Bài 11: Cho đoạn AB cố định, AB= 2a, k IR, Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA MB = k b) MA2 - MB2 = k2
Bài 12: Từ điển M đt (0) vẽ tuyến MAB với đt (0) (A,B (0) ; tiếp tuyến A,B đường tròn (0) cắt I, IO AB D; đường thẳng qua I vng góc với MO H cắt AB C; cắt đường tròn (0) E, F
Chứng minh :
a MA.MB=MC.MD b OF2 = OH.OM c IE.IF=IC.IH
d PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2 ( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: : ICD, MCH)
Bài 13: Cho hai đường thẳng AB CD cắt M chứng minh điểm A,B,C,D thuộc đường tròn MA.MB=MC.MD
Bài 14: Trong mặt phẳng toạ độ cho
→ → →
j
-i =
u
→ → →
i k = -4 j v
Tìm giá trị k để : a → →
⊥ v
u b
→ →
v = u
Bài 15: Cho →
a = (-2, 3), →
b = (4,1)
a Tim côsin góc cặp vectơ sau : *
→
avà →
b, →
a →
i , →
a + →
b →
a - →
b b Tìm số k l cho
→
c = k →
a + l →
b Vng góc với →
a + →
b c Tìm vectơ d biết a d
b.d
Bài 16: Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ a Điểm M ox cho MAB vuông M b Điểm N oy cho NA = NB
(13)a Tính chu vi diện tích ABC
b Gọi A’ hình chiếu vng góc A BC; tìm toạ độ A’
c Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC; từ chứng minh điểm I,H,G thẳng hàng
Bài 18: Cho điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh điểm A,B,C,D thuộc đường tròn Bài 19: Biết A(1,-1), B (3,0) hai đỉnh hình vng ABCD; tìm toạ độ đỉnh C D
Bài 20: Cho M cố định ngồi dường trịn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến CT CT’ Gọi D giao điểm TT’ AB H I trung điểm của TT’ AB
a) CMR : MA.MB=MO MH=MI MD
b) Cho AB = cm Gọi (C1) đường trịn tâm A, bán kính = cm, (C2) đường trịn tâm B, bán kính = 3cm Tìm tập hợp N thoả P N/(C1) + PN/(C2) = 15
Bài 21: Cho (O;7), điểm I thỏa OI =11 Qua I vẽ cát tuyến IAB ICD Cho IA = 12, tính IB
Cho CD = 1; tính IC ; ID
Bài 22: Điểm I nằm (O;R), qua I vẽ dây AB CD Tính IC ; ID a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32
b) IA =12 ; IB = 18 ;
8 IC
ID
Bài 23: Cho (O;20) OM = 30, vẽ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB Cho AB = a) Tính MT ; MA ; MB
b) Đường trịn ngoại tiếp AOB cắt MO E Tính OE
Bài 24: Cho (O;30); I ngồi đường trịn , vẽ cát tuyến IAB ICD ; tiếp tuyến IT Đường thẳng IO cắt đường tròn E F Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64 Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF
Bài 25: Cho tam giác ABC có đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy H CMR : HA HA. '=HB HB. '=HC HC. '
Bài 26:Hai đường tròn (O) (O’) cắt A B M điểm cạnh AB kéo dài Qua M vẽ tiếp tuyến MT, MT’, cát tuyến MCD, MC’D’ (O) (O’)
CMR MT = MT’ CDD’C’ nội tiếp
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Trên đường trịn tâm C, bán kính CA lấy điểm M ( không đường BC kéo dài) CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM)
Bài 28: tam giác ABC nội tiếp (O), M trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC điểm thứ E cắt (O) D AD cắt BC F.Chứng minh rằng:
a) FB FC. =FE FM. b) EB EC. =EF EM.
c) EA tiếp xúc với (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF
Bài 29: Cho P nằm (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A B cắt M Vẽ MH vuông góc với OP
a) CMR : điểm O , A , B, M , H đường trịn b) Tìm tập hợp M PAB quay quanh P
c)Gọi I trung điểm AB, N giao điểm PAB MH CMR PA PB. =PI PN.
Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Trên đường thẳng AB lấy điểm M (O) cho MA =
2 R
Từ M vẽ tiếp tuyến MT a) Tính MT theo R
(14)d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp
e) AD BC cắt N CMR : AN AD. +BN BC. = 4R2
Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) (B,3) Tìm tập hợp M thỏa M/(A) +M/(B) = 15
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB M, N điểm phía tiếp tuyến kẻ từ B AM AN cắt (O) M1 N1
a) CMR tứ giác MNN1M1 nội tiếp
b) Giả sử AB = BN = 10; BM = Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1
Bài 32: M diểm nửa đường trịn đường kính AB H hình chiếu M xuống AB Đường tròn đườg kính MH cắt MA ; MB P,Q cắt nửa đường tròn E
a) CMR tứ giác APQB nội tiếp
b) CMR đường AB ; PQ ; ME đồng quy
Bài 33: Cho điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự AB = ; BC = Đường tròn di động qua A , B có tâm O Vẽ tiếp tuyến CT ; CT’ Gọi D giao điểm TT’ với AB Gọi H; I trung điểm đọan TT’, AB
a) Tìm tập hợp T; T’
b) CMR : CA CB. =CO CH. =CI CD.
c) CMR : Điểm D cố định Suy tập hợp H
Bài 34 : Cho đường trịn tâm O đường kính BC = 4; A (O), AB = ; AC = AC , AB cắt (O) D E a) Tính AO , AE , AD
b) Qua A vẽ AH BC cắt (O) F ; K Lấy M (O) Gọi BMAH = I ; CMAH = J Chứng minh IF IK. =IH IJ.
Bài 35: Cho đường tròn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc A Tiếp tuyến chung BB’ cắt OO’ I cắt tiếp tuyến chung qua A M
a) Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’
b) CMR: IA2 = IB.IB’ Suy OO’ tiếp xúc đường tròn đường kính BB’ c) CMR : IM2 = IO.IO’ Suy BB’ tiếp xúc đường trịn đường kính OO’
§3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT : Các ký hiệu ABC
Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c
ma, mb, mc : độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C ha, hb, hc : Độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C P =
2 + +b c a
: chu vi ABC S : diện tích tam giác
R,r : bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp Định lý Côsin : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
Định lý sin : R
c c B b A a
2 = sin = sin =
sin
Công thức trung tuyến :
4 c + b =
2
2
2 a
a -m
Công thức tính diện tích
B a
A
C
c b
(15)a S =
2 a.ha =
2 b.hb = c.hc
b S =
2 b.c sinA =
2 c.a sinB =
2 a.b sinC
c S =
R abc
4 d S = p.r
e S = p(p-a)(p-h)(p-c) ( Công thức Hê – rông) B VÍ DỤ :
Cho ABC có a = 7, b = 8, c = 5; tính : Â, S, ha, R, r, ma C: BÀI TẬP
C 1: TRẮC NGHIỆM
Câu1 : Cho tam giác ABC có a= 6 cm ; b= 2cm ; c= ( 3 + 1) cm ; * Khi số góc A
a) 600 b) 450 c) 1200 d) 300
* Khi số góc B
a) 600 b) 450 c) 900 d) 300
* Bán kính đường tròn ngoại tiếp R :
a) cm b) 3 cm c) 2cm d) cm
* Chiều cao : a) (1 3)
2
b)(1 3)
2
c) (1 2)
2
d)
2
Câu2 : Cho tam giác ABC có b= ; c = ; góc A = 1200 diện tích
a) S = 10 b) S = c) S =5 d)S = 20 Câu3 : Cho tam giác ABC có b= ; c = ; a = 19 giá trị góc A :
a) 450 b) 600 c) 900 d)1200
Câu 4: Cho tam giác ABC có a= ; c= ; góc B = 600 Độ dài cạnh b
a) b = 49 b) b= 61 c) b = d)b= 97
Câu 5: Cho tam giác ABC có a= ; b= ; c= ; góc B
a) 600 b) 300 c) 450 d) 720
Câu 6: Cho tam giác ABC vng A có a= 10 cm ; c= 6cm ; bán kính đường tròn nội tiếp r
a) cm b) cm c) 2cm d) cm
Câu 7: Cho tam giác ABC có a= 10 cm ; b= 6cm ; c= cm ; đường trung tuyến AM có độ dài
a) cm b) cm c) 6cm d) cm
Câu 8: Cho hình bình hành ABCD có AB = a ; BC = a góc BAC = 450 Diện tích hình bình hành a) 2a2 b) a2 c) a2 2
2 d) a
2 Câu 9: Cho tam giác ABC có b= cm ; c= 5cm góc A = 600
* Cạnh BC
a) 14cm b) 7cm c) 12cm d) 10cm
* Diện tích tam giác :
(16)* Bán kính đường trịn ngoại tiếp R : a) R= 7
3 b) R =
7 3
3 c)R =
2
7
2 d) R =
* Chiều cao : a) ha=
20
7 b) ha= 20
3 c) = 10
7 d) = 10
3 C2 : TỰ LUẬN
Bài 1: Cho tam giác ABC
1) a=5 ; b = ; c = Tính S, ha, hb , hc R, r 2) a= ; b= 2 ; c= - Tính góc 3) b=8; c=5; góc A = 600 Tính S , R , r , , ma 4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , , ma 5) A = 600; hc = ; R = tính a , b, c 6) A=1200;B =450 ;R =2 tính cạnh
7) a = , b = , c = Tính SABC, suy SAIC ( I trung điểm AB) 8) Cho góc A nhọn, b = 2m ,c = m , S = m2 Tính a la
9) C = , b = ; S = 3 Tính a 10)Nếu A = 900 CMR:
* la =
2 sin ( )sin
bc A A b c
*.r = 2
2(b c b c ) *
1 1
a b c
r h h h
* M BC; góc BAM = CMR: AM =
.cos .sin
bc
b c
11) Cho A=1200 CMR : 1
a b c
l
12) CMR : * cotA + cotB + cotC =
2 2
a b c
R abc
*
2 2
2 2
tan tan
A a c b
B b c a 13)
3 3
2
2 .cos
b c a
a
b c a
a b C
Tam giác ABC tam giác 14) S = p(p – c) Tam giác ABC tam giác 15) S =
4(a + b – c)(a + c - b) Tam giác ABC tam giác
(17)18) sin 2 cos sin
A
C
B Tam giác ABC tam giác
19) Cho AB = k Tìm tập hợp M thỏa MA2 + MB2 =
5 k
20) Gọi G trọng tâm tam giác Chứng minh *.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2) * ma2 +mb2 +mc2 =
3 4(a
2
+b2 +c2) * 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA 21) CMR S =2R2sinA.sinB.sinC
S=Rr(sinA + sinB + sinC) a =b.cosC + c.cosB = 2RsinBsinC
sinB.cosC +sinC.cosB = sinA 22) Chứng minh
2 2
2
a b c
p
b c a Nếu dấu “=” xảy ABC tam giác ?
2b 2c 2a
a b c
h h h
r h h h
23) Cho b + c = 2a Chứng minh 1
a b c
h h h
24) Định x để x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 cạnh tam giác Khi CMR tam giác có góc = 1200 25) Đường trịn nội tiếp tiếp xúc cạnh tam gíac A1;B1;C1 CMR : SA1B1C1 =
2
2 pr
R 26) trung tuyến BM = 6, CN = hợp với góc 1200 tính cạnh ABC Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi góc hợp đường chéo AC BD
a) CMR SABCD =
1
2AC.BD.sin
b) Vẽ hình bình hành ABDC’ Chứng minh : SABCD = SACC’