V× vËy lo¹i to¸n nµy chiÕm vÞ trÝ quan träng trong ch¬ng tr×nh cÊp häc... Chøng minh r»ng: AH..[r]
(1)I Đặt vấn đề
Trong chơng trình hình học lớp THCS phần tam giác đồng dạng có 20 tiết tổng số 71 tiết học Vì loại tốn chiếm vị trí quan trọng chơng trình cấp học Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức vào giải toán cụ thể học sinh nhiều hạn chế
Trong giảng dạy tơi thấy để học sinh tự minh giải đợc toán việc sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng, cần giúp học sinh định hớng tập trung khai thác kiến thức nêu số ví dụ cụ thể, đề tài mong muốn đợc trao đổi kinh nghiệm mà thân tơi rút q trình giảng dạy phân mơn hình học lớp 8, việc khai thác vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng để giải
Các ví dụ cách giải viết ví dụ có tính minh họa cho vấn đề nêu cịn có nhiều cách giải khác hay hơn, xin dành lại cho bạn đọc
II N«i dung:
Các toán tam giác đồng dạng tập trung dạng toỏn ch yu sau:
1- Các toán tính toán 2- Các tóa chứng minh 3- Các toán khác
Sau õy l 11 vớ dụ thể dạng nêu Ngoài bạn đọc cịn tự giải tập theo kin thc ny
1 Các toán tính to¸n:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 12cm; AC = 15cm; BC = 18 cm Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm; cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN
Gi¶i
XÐt ABC ANM Ta có =
Nên
Mặt khác có A chung hai tam giác nên
ABC ANM (c-g-c) Ta cã hay MN = = 12 (cm)
VÝ dơ 2: H×nh thang ABCD (AB//CD) cã AB = 4cm; CD = 16cm vµ BD = 8cm, gãc ADB b»ng 40O TÝnh sè đo góc C hình thang
Giải:
Xét ABD vµ BDC cã
18cm
12cm 15cm
A
B C
M
N
8cm 10cm
D C
B A
16cm 4cm
40O
(2)AB//CD ABD = BCD (so le) =
=
= =
Vậy ABD BDC (g.c.g) ABD = BCD = 40O hay C = 40O. Ví dụ 3: Tam giác vng ABC (A = 90O) có đờng cao AH trung tuyến AM Tính diện tích tam giác AMH, biết BH = 4cm, CH = 9cm
Giải:
Xét hai tam giác vuông HBA HAC Ta có BAH = ACH (Góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Nên HBA HAC
HA2 = HB.HC = 4.9 = 36
AH = 6(cm)
Mặt khác AM lµ trung tun cđa ABC BM = = 6,5(cm)
HM = 6,5 - = 2,5 (cm)
VËy SAHM = AH HM = 6.2,5 = 6,5 (cm2) 2 Các toán chứng minh:
Vớ dụ 4: Cho hình thang vng ABCD (A = D = 90O), AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm Trên cạnh AD đặt đoạn thẳng AE = 8cm Chứng minh BEC = 90O.
Gi¶i:
Xét hai tam giác vng ABE DEC Ta có DE = AD - AE = 17-8=9(cm) Từ ta có (vì )
VËy ABE DEC
Do đó: AEB = DCE (1)
ABE = DEC (2)
Tõ (1) vµ (2) AEB + DEC = 90O nªn BEC = 90O.
A
C
B H M
4
9
D
C
B
A
E
12
17
S
S
(3)Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông A, AC = 4cm; BC = 6cm Kẻ tia Cx vng góc với BC (tia Cx điểm A khác phía so với đờng thẳng BC) Lấy tia Cx điểm D cho BD = 9cm Chứng minh BD//AC
Giải:
Xét hai tam giác vuông ABC CDB cã
(v× )
Suy ABC CDB Và có góc
t¬ng øng b»gn CBD = ACB
VËy BD// AC (v× cã hai gãc so le b»ng nhau)
Ví dụ 6: Trong lục giác lồi ABCDEF, góc đỉnh A, C, E ABF = CBD, AFB = EFD Chứng minh A' điểm đối xứng A qua BF không nằm đờng thẳng CE ACDE hình bình hành
Giải:
EDF A'BF có DEF = BA'F (= BAF) vµ EFD = A'FB (= AFB)
Do (1)
Ta l¹i cã: A'FE = EFB -A'FB
= EFB - EFD = DFB (2) Tõ (1) vµ (2) suy A'EF BDF (c.g.c) Chứng minh tơng tự BCA' BDF
Nên A'EF BCA' (tính chất bắc cầu) Suy ra: A'C = DE (3)
T¬ng tù ta cã A'E = CD (4)
Tõ (3) vµ (4) ta kÕt luËn: ACDE hình bình hành
Vớ d7: Chng minh trung điểm hai đáy hình thang, giao điểm hai đờng chéo giao điểm hai cạnh bên kéo dài hình thang thẳng hàng
Gi¶i:
Trong hình vẽ bên ta phải chứng minh bốn điểm H,E,G,F thẳng hàng Nối EG, FG ta đợc
B
D
C A
4
9
x
E D
F A
B
C
A'
C
B F
A D
H
E
G
S
S
(4)ADG CBG (g.g)
Hay (1)
Ta l¹i cã EAG = FCG (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) AEG CFG (c.g.c)
Nªn AGE = CGF Vậy E, G, F thẳng hàng (3)
Ni EH, FH Chứng minh tơng tự ta đợc AEH BFH
AHE = BHF
VËy H, E, F thẳng hàng (4)
Từ (3) (4) ta kết luận H, E, G, F thẳng hàng
Ví dụ 8: Tam giác ABC có ba đờng cao AD, BE, CF đồng quy H Chứng minh rằng: AH DH = BH EH = CH FH
Giải:
Ta có tam giác AFH
tam giác CDH hai tam giác vng có AHF = CHD hai góc đối đỉnh
Nªn AFH CDH (g.g)
AH DH = CH.FH (1)
Chøng minh t¬ng tù ta cã BFH CEH
BH EH = CH.FH (2)
Tõ (1) vµ (2) suy AH.DH = BH.EH = CH FH
Ví dụ 9: Lấy điểm M đờng chéo AC tứ giác ABCD có B=D = 90O, kẻ MN BC (NBC) MPAD (PAD) Chứng minh
Giải: Vì AB BC (gt) MNBC (gt) Nên MN//AB
CNM CBA (1)
Ta cã MP//CD nªn AMP ACD
(2)
Cộng vế với vế (1) (2) ta c: Vy
3 Các toán khác:
C
B D
F
E A
H
D C B
N
A M
S
S
S
S
S
S
(5)Ví dụ 10: Dựng tam giác ABC biết B = 60O; C = 40O ng cao AH =h
Giải: Cách dựng:
- Dựng AB'C' có B' =60O C' = 40O - Vẽ ng cao AH'
- Trên tia AH' lấy điểm H cho AH = h
- Dựng đờng thẳng d qua H song song với B'C cắt AB' AC' lần lợt B,C
ABC tam giác cần dựng
Chứng minh: Theo cách dùng cã AB//B'C'
ABC AB'C' B = B' = 60O ; C =C' = 40O AH' B'C' AHBC vµ AH = H
Phần cịn lại ngời đọc tự giải tiếp
Ví dụ 11: Cho tam gac ABC có A = 60O, AB = 6cm, AC = 9cm. Dựng tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỷ số đồng dạng K=
Gi¶i: C¸ch dùng:
- Dùng xA'y = A = 60O Trên A'x A'y theo thứ tự lấy điểm B',C' cho (lÊy A'B' = AB = 2(cm)) (hay A'C' = AC = 3(cm))
Tam giác A'B'C' tam giác phải chứng minh Theo cách dựng ta có (1)
(2) A' = A
Suy ra: vµ A' = A vËy A'B'C' ABC (Trêng hỵp thø ba)
4 Bài tập áp dụng:
Bi 1: Giả sử AC đờng chéo lớn củ hình bình hành ABCD Từ C, vẽ đờng vng góc CE với đờng thẳng AB, đờng vng góc CF với đờng
A
C C' H'
B' B
H d
h
60
O 40O
A'
C'
y x
B'
60 O
S
S
(6)th¼ng AD (E,F thuộc phần kéo dài cạnh AB AD) Chøng minh r»ng AB.AE+AD.AF = AC2.
Bài 2: Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với AC cắt cạnh AB, BC M P Gọi D tâm PMB, E trung điểm AP Tính góc DEC
Bài 3: Cho hình bảy cạnh A1 A1 A7 Chứng minh rằng:
Bài 4: Hình thang ABCD (BC//AD) có BC = 6cm; AD = 11cm AB=4cm Tính độ dài đờng cao hình thang biết BAD + CDA = 90O.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, AMPN 9MAB NAD, P hình bình hành ABCD) Gọi Q giao điểm DM BN Chứng minh điểm Q,P,C thẳng hàng
III KÕt luËn:
Việc xác định đợc vận dụng tam giác đồng dạng dễ dàng tốn Trong q trình giảng dạy năm học vừa qua thực nghiệm nội dung đề tài thấy đợc tác dụng tính tích cực Từ chỗ học sinh lúng túng để xác định đợc lời giải đến em chủ động vấn đề Nhất tốn hình học có nội dung chứng minh, trở thành quen thuộc với em, làm cho khơng khí lớp học trở nên sôi động, học sinh tự tin trỡnh gii bi
(7)phòng giáo dục hun nga s¬n Trêng THCS nga hng
-
-Sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng để giải số tốn hình học THCS
********
Họ tên: Mai Thị Hải Yến
Đơn vị: Trờng THCS Nga Hng-Nga S¬n