Phép ñổi biến này dùng khi tính tích phân có cận trên là a, hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức lượng giác và các biểu thức này liên quan ñến cận trên a ( mối liên hệ của các hàm [r]
(1)CHUYÊN ðỀ: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ðỀ 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm
Bài: (KD-09) 1 x dx e −
∫ Bài: (KB-08)
4
sin( )
sin 2(1 sin cos ) x
dx
x x x
π π − + + + ∫ Bài: (KA-06) /2 2 sin cos sin
x
dx
x x
π
+
∫ Bài : (KD-05) ( )
/2 sin
cos cos x
e x xdx
π + ∫ Bài: (KB-03) /4
1 sin sin
x dx x π − + ∫ Bài: (DB-02) x dx x +
∫ Bài: (DB-02)
( ) ln 3 1 x x e dx e + ∫
Nhận xét:PP dùng bảng nguyên hàm phép ñổi biến ñơn giản Phương pháp có hai thuận lợi:
- Khơng cần thực phép đổi cận khơng cần thiết - Cách trình bày đơn giản
Bài :
3
(sin cos ) sin cos x x dx x x π π + −
∫ Bài :
3
2
4
sin cos cos
x dx x x π π + ∫
B Phương pháp ñổi biến số
Loại 1: Sử dụng công thức [ ( )] '( ) ( )
b
a
f u x u x dx f t dt
β α
=
∫ ∫
Giả sử cần tính ( )
b
a
g x dx
∫ , ta biến ñổi: ( )g x dx= f u x u x dx[ ( )] '( ) = f u x d u x[ ( )] ( ( ))= f u du( ) Khi ta có ( ) ( )
b
a
g x dx f u du
β α
=
∫ ∫ , với α=u a( ),β =u b( ) Bài : (KA-08)
4 tan cos x dx x π
∫ Bài : (KB-04)
1
1 3ln ln e x x dx x + ∫
Bài : (KB-05) /2
sin cos cos x x dx x π +
∫ Bài : (KB-06)
ln
ln 3
x x
dx
dx e + e− −
∫
Bài :
2
0
sin xtanxdx
π ∫
Loại 2: ðổi biến hàm dưới dấu tích phân chứa biểu thức dạng n f x( )
Bài : (KA-04)
11
x dx x
+ −
∫ Bài : (KB-04)
1
1 3ln ln e x x dx x + ∫
Bài : (KA-05) /2
sin 2x sinx dx
π +
∫ Bài : ln
e
x dx
−
(2)Bài :
2
0 2
x
dx x + + +x
∫
Loại 3: ðổi biến hàm dấu tích phân chứa biểu thức a2−x2 x2−a2
2 (a +x )k
Hàm dấu tích phân chứa Cách ñặt 2
a −x x=a sint x=acost 2
x −a
sin a x
t
=
cos a x
t
=
2
(a +x )k x=tant x=cott
Bài : ( Trích KB-02)
2
0
16−x dx
∫ Bài :
3
2 3
2
(9 )
dx x
− −
∫
Bài :
2
3
dx x x −
∫ Bài :
3
2 3
3
(1 ) dx
x
− +
∫
Loại 4: ðổi biến biểu thức dấu tích phân có chứa hàm số lượng giác Các phép ñặt thường dùng: t= sinx t=cosx t=tanx hoặct=cotx
Bài : (KA-09)
3
0
(cos x 1).cos x dx
π
−
∫ Bài : (KB-05)
/2
sin cos cos
x x dx x
π
+
∫
Bài : (DB-02) /2
6
0
1 cos x.sin cosx xdx
π
−
∫ Bài : (KA-08)
4
tan os2
x dx c x
π
∫ Loại 5: Một số phương pháp ñổi biến đặc biệt để tính tích phân
Dạng 1: ðổi biến x=-t Phép ñổi biến dùng khi:
1 Tích phân cần tính có dạng ( )
a
a
f x dx
−∫
, f(x) hàm số chẵn lẻ [-a;a]
2.Tích phân có dạng ( )
a x a
f x dx b
−∫ +
, ñó f(x) hàm số chẵn [-a;a] k>0 Khi ta tách thành phần: từ -a ñến từ ñến a Với tích phân thuộc phần thứ ta ñặt x=-t
Bài :
2
ln(x x dx)
−
+ +
∫ Bài :
2
21
x
x dx e
−∫ + Dạng 2: ðổi biến x=a-t
Phép đổi biến dùng tính tích phân có cận a, hàm dấu tích phân chứa biểu thức lượng giác biểu thức liên quan ñến cận a ( mối liên hệ hàm lượng giác của góc liên quan đặc biệt)
Bài : (Cð SPHN-04)
2004
2004 2004
sin
sin os
x
dx
x c x
π
+
∫ Bài :
2
0 cos x xdx
π ∫
(3)Loại 1: Các dạng tốn phép lấy tích phân phần
Dạng tích phân Cách đặt
( )
b
kx a
P x e dx
∫ ( ),
kx
u=P x dv=e dx
( ) sin
b
a
P x kxdx
∫ ( ) cos
b
a
P x kxdx
∫ u=P x dv( ), =sinkx (dv=coskx)
( ).ln
b
k a
P x xdx
∫ (một số trường hợp: ln ( )
b k
a
x dx P x
∫ ) ln , ( )
k
u= x dv=P x dx
sin
b kx a
e αxdx
∫ cos
b kx a
e βxdx
∫ , sin ( os )
kx
u=e dv= αxdx dv=c βxdx
Bài : (KB-09)
2
3 ln ( 1)
x dx x
+ +
∫ Bài : (KD-08)
2
lnx dx x
∫
Bài : (KD-07)
ln e
x xdx
∫ Bài : (KD-06) ( )
1
2
2 x
x− e dx
∫
Bài : (KD-04) ( )
2
ln x −x dx
∫ Bài :
1
0
x
x e dx
∫
Bài :
2
0
cos
x
e xdx
π ∫
Loại 2: Phương pháp tích phân phần với dạng tích phân khác
Bài : (CðGT-04) 2
2 0( 2)
x
x e dx x+
∫ Bài :
4
tan x xdx
π ∫
Bài : (CðSP TrV)
2 os
x dx c x
π
∫ Bài :
1 0(1 )
x dx x
+
∫
CHỦ ðỀ 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I Lý thuyết bản:
1 Các công thức:
a) { ( ), , , } ( )
b D
a
D= y= f x ox x=a x=b ⇒S =∫ f x dx
b) { ( ), ( ), , } ( ) ( )
b D
a
D= y= f x y=g x x=a x=b ⇒S =∫ f x −g x dx
2.Lược ñồ chung ñể giải tốn tính diện tích hình phẳng: Vẽ hình( thấy cần thiết dễ vẽ, nên vẽ phác họa) Tìm giao điểm ñường tạo nên hình phẳng
Sử dụng công thức nêu 3 Một số ý:
(4)Loại 1: Các tốn vẽ phác họa hình cần tính diện tích.
Bài : (KA-02) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường y= x2−4x+3 ;y=3 Bài : (KB-02) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường
2
4 ;
4
x x
y= − y=
Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường
2
2
, , ,
4 x
y x y y y
x x
= = = =
Loại 2: Các tốn tính diện tích hình phẳng mà việc vẽ hình khó thực
Bài (KA-07) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường y=(e+1) ,x y= +(1 ex)x Bài: KD-02 Cho hàm số
2 (2 1)
( )
1 m
m x m
y C
x
− −
=
− Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường
cong (C−1)và hai trục tọa ñộ
Bài: TK-06 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường y=x2− +x 3;y=2x+1
Bài: CðSPMG TW3-04 Cho hàm số y=x3−3x2+4m (m=1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường cong trục ox ñường x=1,x=3
Bài: CðSPMG TW3-06 Cho hàm số y=x3−3x2+2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường y=-2
Bài: TK-04 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường y=x2−2x+1;x=0,y=2x−2 Bài: Cð KA 08 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường y=x2+4 ;x y=x
B TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ I Lý thuyết
1 Các công thức:
a) { ( ), , , } Ox [ ( )]2
b
a
D= y= f x ox x=a x=b ⇒V =π∫ f x dx
b) { ( ), ( ), , } Ox 2( ) 2( )
b
a
D= y= f x y=g x x=a x=b ⇒V =π∫ f x −g x dx
c) { ( ), , , } Oy [ ( )]2
d
c
D= x=g y oy y=c y=d ⇒V =π∫ g y dy
2 Một số ý:
a) Phân chia bổ sung miến phẳng b) Khử dấu trong cơng thức tính V
c) Chú ý yêu cầu ñề quay hình phẳng quanh Ox hay Oy để lựa chọn cơng thức tính thể tích cho
II Các dạng tập
Bài : (KB-08) Cho hình phẳng H giới hạn đường y=xln ,x y=0,x=e Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay H quanh ox
Bài : Cho hình phẳng S giới hạn đường
2 27
, ,
27 x
y x y y
x
(5)Bài: TK-04 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh trục ox hình phẳng giới hạn trục ox ñường y= x.sinx (0≤ ≤x π)
BÀI TẬP TỰ GIẢI Sử dụng PP bảng nguyên hàm, tính tích phân sau: Bài 1:
3
4 sin cos
x dx x
π
+
∫ Bài 2: (CðKTTC-05)
1
3 0( 1)
x dx x+
∫
Bài 3: (CðNL)
2
0
1 x x + dx
∫ Bài 4: (CðYT-06)
2
4
sin - cos sin
x x
dx x
π
π∫ +
Bài 5: ln
3 ( 1)
x x
e dx e +
∫ Bài 6:
2
0 sin 3cos
x dx x
π
+
∫
Bài 7:
01
x
dx e
+
∫
Sử dụng phép đổi biến, tính tích phân: Bài 8:
0
x x dx
− +
∫ Bài 9:
ln
ln
x x
e dx e −
∫
Bài 10: /2
6
0
1 cos x.sin cosx xdx
π
−
∫ Bài 11:
1
0( 1) x
dx x+ +x
∫
Bài 12: ln
0
1
x
e − dx
∫ Bài 13: 2
0 sin cos x x
dx x
π
+
∫ HD: ðặt t= −π x Bài 14:
1
5
0
(1 ) x −x dx
∫
Sử dụng phép tính tích phân phần để tính tích phân sau: Bài 15:
2 sin
0
sin
x
e xdx
π
∫ Bài 16:
2
1 ln x xdx
∫
Bài 17:
0
(x 1) sin 2xdx
π
+
∫ Bài 18:
2
ln(1 x) dx x
+
∫
Sử dụng phép đặc biệt tính tích phân sau: Bài 19:
2 04
dx x
+
∫ Bài 20:
3
2
1 x dx x
+
∫
Bài 21:
4
0
xdx x +x +
∫ Bài 22:
2 2
2
x dx x
−
∫
Bài 23: Tính diện tích hình phẳng giới hạn Parabol y=x2
+4x+5 hai tiếp tuyến (P) ñiểm A(1;2), B(4;5) (P)
(6)Bài 25: Cho hình phẳng tạo hai ñường y=2x-x2