Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ THẮNG Năm học 2011 – 2012
Đề đề xuất Mơn: TỐN, LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi: – 10 – 2011 Câu 1: (4,0 điểm)
Tính giá trị tổng :
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
1 2 3 99 100
B
Câu2 :( 3,0 điểm)
Chứng minh A = (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + ) + số phương Câu 3:( 3,0 điểm)
Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2b2c2 1 Chứng minh :
2 2
1
1 1
a b c
b a c b a c
Câu 4:( 3,0 điểm)
Giải phương trình 33 x 5 x 0 x R Câu : (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , từ điểm I thuộc miền tam giác vẽ đoạn thẳng IH , IK , IL vng góc với BC, CA, AB Tìm vị trí I cho AL2 + BH2 + CK2
nhỏ
Câu 6: (4,0 điểm)
Xét tam giác ABC có độ dài cạnh a , b , c cho thoả mãn hệ thức : 15bc + 10ca + 1964ab = 2006abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
1974 1979 25 M
p a p b p c
(2)ĐÁP ÁN
Câu Đáp án Điểm
Câu 1: (4,0 điểm)
Trước hết ta chứng minh
2 2
1 1 1
1 1
1 1
1
a a
a a a a a a a a
( với a > 0)
Thaät vaäy :
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 1 1 1
2 1 1
1
1
1
a a a a
a a a a
a a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
2
1 1 1
1 1
1 1
1
a a
a a a a a a a a
( với a > 0)
Do
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
1 2 3 99 100
1 1 1 1
1 1
1 2 3 99 100
1 1 1 1
99 100 99,99
1 2 99 100 100
B
1,0 1,0 1,0 1,0 Câu 2:
(3,0 điểm)
Ta coù A = (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + ) + 1
=
10
9 (10n + 10n-1 + … + 10 + 1)( 10n+1 + ) + 1
=
1
1
10 10
9
n n
=
1
1
10 4.10
9
n n
= 2
1 10
10
9
n n
Mà 10n+1 + có tổng chữ số Nên 10n+1 + 3
Vaäy A số phương Câu 3:
(3,0 điểm)
Từ giả thiết suy a , b , c thuộc (0 ; 1)
2 2 2
1 1 1
1
1 1
a b a a b a b a
a
a b a
b a b a b a
(3)Tương tự :
2
2 1 ; 1
1
b c
b c b c a c
c b a c
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta :
2 2
3 3 2
1
1 1
a b c
a b c a b b c c a b a c b a c
(1)
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số dương nhận : 3 3 ; 3 3 ; 3 3
a a b a b b b c b c c c a c a (2)
Từ (1) (2)
2 2
1
1 1
a b c
b a c b a c
Đẳng thức xảy
3 a b c
0,5
1,0 0,5
0,5
Câu 4:
(3,0 điểm) Điều kiện x
6
Đặt t = 33x
3
3 3 2
3 t
t x x
Khi phương trình cho trở thành : 2t +
3
8
3
3 t
3
2
2
8 8 2 0
8
8 9. 64 32 4
3
3
4
2 15 26 20
15 32 40
2
t t
t
t t t
t
t t
t t t
t t t
t x
1,0
1,0
1,0
Câu 5: (3,0 điểm)
- Vẽ hình
Ta có AI2 = AL2 + LI2 ; AI2 = AK2 + KI2
Suy AL2 + LI2 = AK2 + KI2
Tương tự BH2 + HI2 = BL2 + LI2 CK2 + KI2 = CH2 + HI2
Cộng (1) ; (2) (3) ta có : AL2 + BH2 + CK2 = AK2 + BL2 + CH2
Do AL2 + BH2 + CK2 =
1
2[(AL2 + BL2 ) + (BH2 + CH2 ) + (CK2 + AK2 )]
2 2
1
( )
4 AB BC AC
Ta có AL2 + BH2 +CK2
1
4(AB2 + BC2 + AC2 ) ( không đổi )
Dấu “ = “ xảy <=> AL = BL, BH = BL , CK = AK <=> I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
0,25
1,0
(4)Câu 6:
(4,0 điểm ) Với x > , y >
1
x y x y (1)
Ta có
1974 1979 25 M
p a p b p c
=
1 1 1
1964 10 15
4 4
1964 10 15
1964 10 15 1964 15 10 2006
4 4 8024
p a p b p a p c p b p c
p a p b p a p c p b p c
ab bc ca abc
c b a abc abc
Đẳng thức xảy
1989 117
1964 15 10 2006 2006 118
p a p b p c
a b c
ab bc ca abc
Vậy MinM = 8024
117 118 a b c
0,25
1,0 0,75
0,5
1,0