100 cau lien quan den KSHS

[r]

›š & ›š

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2011

Thạc sĩ Nguyễn Thạo

Website: http://nguyenthao.edu.vn email : info@nguyenthao.edu.vn

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Câu Cho hàm số y 1(m 1)x3 mx2 (3m 2)x

= - + + - (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1) m=2

2) Tìm tất giá trị tham sốmđể hàm số (1) đồng biến tập xác định

· Tập xác định: D = R y¢=(m-1)x2+2mx+3m-2 (1) đồng biến R Û y¢³ "0, x Û m³2

Câu Cho hàm số y mx

x m

4 + =

+ (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m= -1

2) Tìm tất giá trị tham sốmđể hàm số (1) nghịch biến khoảng ( ;1)-¥

· Tập xác định: D = R \ {–m} y m x m

2

( )

-¢=

+

Hàm số nghịch biến khoảng xác định Û y¢< Û - < <0 m (1) Để hàm số (1) nghịch biến khoảng( ;1)-¥ thì ta phải có - ³ Û £ -m m (2) Kết hợp (1) (2) ta được: - < £ -2 m 1

Câu Cho hàm số y x= 3+3x2-mx-4 (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m=0

2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng ( ;0)-¥

· m£ -3

Câu Cho hàm số y=2x3-3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđể hàm sốđồng biến khoảng (2;+¥)

· y' 6= x2-6(2m+1)x+6 (m m+1) có D=(2m+1)2-4(m2+m) 0= >

x m y' 0= Û ê = +é =x m 1

ë Hàm sốđồng biến khoảng ( ; ), (-¥ m m+ +¥1; ) Do đó: hàm sốđồng biến (2;+¥ Û) m+ £ Û1 m£1

Câu Cho hàm số y=x4-2mx2-3m+1 (1), (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm mđể hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 2)

· Ta có y' 4= x3-4mx=4 (x x2 -m) + m£0, y¢³ "0, x ị mÊ0 tho

+ m>0, yÂ=0 cú nghiệm phân biệt: - m, 0, m

Hàm số (1) đồng biến (1; 2) khi m £ Û < £1 m 1 Vy mẻ -Ơ( ;1]

Cõu Cho hàm sốy x= 3+ -(1 )m x2+ -(2 m x m) + +2.

· Hm ng bin trờn (0;+Ơ) yÂ=3x2+2(1 )- m x+ -(2 m) 0 vi " ẻx ( ;0 +Ơ)

f x x m

x x

2 2 ( )

4 +

Û = ³

+ +

vi " ẻx ( ;0 +Ơ)

Ta cú: f x x x x x x

x

2

2

2(6

( ) 3) 73

(4 1) 12

+ - + - = Û = - ±

¢ = = Û

+

Lập bảng biến thiên hàm f x( ) (0;+¥), từđó ta đến kết luận:

f 73 m 73 m

12

ỉ- + +

ỗ ữ

ỗ ữ

è ø

KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Câu Cho hàm số y x= 3+3x2+mx m+ – (m tham số) có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Xác định mđể (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hoành

· PT hoành độ giao điểm (C) trục hoành:

x3+3x2+mx m+ – 0= (1) Û x

g x x2 x m

1

( ) 2 (2)

é =

-ê = + + - = ë

(Cm) có điểm cực trị nằm phía trục 0x ÛPT (1) có nghiệm phân biệt

Û (2) có nghiệm phân biệt khác –1 Û m

g( 1)3 m 00

D

ì ¢= - > í - = - ạ

ợ m<3

Cõu Cho hàm số y= - +x3 (2m+1)x2-(m2-3m+2)x-4 (m tham số) có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Xác định mđể (Cm) có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung

· y¢= -3x2+2(2m+1)x-(m2-3m+2)

(Cm) có điểm CĐ CT nằm hai phía trục tung Û PT y¢ =0 có nghiệm trái

dấu Û 3(m2-3m+ <2) Û1< <m 2.

Câu Cho hàm số (2 1) 3

y= x -mx + m- x- (m tham số) có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Xác định mđể (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung

· TXĐ: D = R ; y¢=x2– 2mx+2 –1m

Đồ thị (Cm) có điểm CĐ, CT nằm phía trục tung Û y¢=0 có nghiệm phân

biệt dấu Û 2

2

ì ¢

ïD = - + > í

- > ïỵ

m m

m

1 m m

¹ ì ï Û í

> ïỵ

Câu 10 Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 (m tham số) có đồ thị (C

m)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

· Ta có: y' 3= x2-6x m

-Hàm số có CĐ, CT Û y' 3= x2-6x m- =0 có nghiệm phân biệt 1; x x Û D = +' 3m> Û > -0 m 3 (*)

Gọi hai điểm cực trị A(x1;y1) (;B x2;y2)

Thực phép chia y cho y¢ ta được: 1 ' 2

3 3

m m

y=ỗổ x- ửữy -ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ

ố ứ ố ứ ố ø

Þ 1 ( )1 2 1 ; 2 ( )2 2 2

3 3

ỉ ỉ ỉ ổ

-ỗ + ữ +ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ø è ø

= =

ø

= =

è

y y x m x m y y x m x m

Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị D: 2

3

m m

y= -ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ ố ứ ố ứ Các điểm cực trị cách đường thẳng y x= - Û1 xảy trường hợp:

TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y x= -1

2

2

3

m

m

ổ

-ỗ + = Û

Û ÷ =

-è ø (thỏa mãn)

TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y x= -1

( ) ( )

2

1

1

2

2

1

2 3

2

3

3

ỉ ỉ

-ỗ + ữ + + ỗ - ữ= +

-è ø è ø

ỉ

Û + =

-+ +

Û = - Û = -

=

ỗ ữ

ố ø

I I

x m m

x x x x

x

m m

y y

m y x

Vậy giá trị cần tìm m là: 0; m=ìí - ỹý

ợ ỵ

Cõu 11 Cho hm số y x= 3-3mx2+4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Xác định mđể (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x

· Ta có: y¢ =3x2-6mx; y¢ = Û ê =0 é =xx 02m

ë Để hàm số có cực đại cực tiểu m ¹ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ uurAB=(2 ; )m - m3

Trung điểm đoạn AB I(m; 2m3)

A, B đối xứng qua đường thẳng d: y = x Û AB d

I d

ỡ ^ ẻ

ợ Û

m m

m m

3

2

2

ìï - = í

=

ïỵ Û m

2 = ±

Câu 12 Cho hàm số y= - +x3 3mx2-3m-1

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x+8y-74 0=

· y¢= -3x2+6mx; y¢= Û = Ú =0 x x 2m

Hàm số có CĐ, CT Û PT y¢=0 có nghiệm phân biệt Û m¹0

Khi điểm cực trị là: A(0; 3- m-1), (2 ;4B m m3-3m-1) Þ uuurAB m m(2 ;4 )3 Trung điểm I AB có toạđộ: I m m( ;2 3-3m-1)

A B đối xứng với qua d Û I d AB d

ẻ ỡ ^

ợ Û

3

8(2 1) 74

m m m

AB u

ì + -

-ï í

=

ïỵuuur r Û m=2

Câu 13 Cho hàm số y x= 3-3x2+mx (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x– – 0y =

· Ta có y x= 3-3x2+mx Þy' 3= x2-6x m+

Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y¢=0 có hai nghiệm phân biệt ÛD¢ = -9 3m> Û <0 m Ta có: y 1x y 2m x 1m

3 3

ỉ ¢ ổ

=ỗ - ữ +ỗ - ữ +

è ø è ø

Tại điểm cực trị y¢=0, tọa độ điểm cực trị thỏa mãn phương trình:

y 2m x 1m

3

ổ

=ỗ - ÷ +

è ø

Như đường thẳng Dđi qua điểm cực trị có phương trình y 2m x 1m

3

æ

=ỗ - ữ +

ố ứ

nên D có hệ số góc k1 2m

= - d: x– – 0y = y 1x

2

Û = - Þ d có hệ số góc k2 = Để hai điểm cực trịđối xứng qua d ta phải có d ^D

Þ k k1 2 1 2m m

2

ổ

= - ỗ - ÷= - Û =

è ø

Với m = đồ thị có hai điểm cực trị (0; 0) (2; –4), nên trung điểm chúng I(1; –2) Ta thấy I Ỵ d, hai điểm cực trịđối xứng với qua d

Vậy: m =

Câu 14 Cho hàm số y x= 3-3(m+1)x2+9x m+ -2 (1) có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: y 1x

2 =

· y' 3= x2-6(m+1)x+9

Hàm số có CĐ, CT Û D' 9(= m+1)2-3.9 0> ẻ -Ơ - -m ( ; 3) ( 1È - + 3;+¥) Ta có y 1x m y 2(m2 2m 2)x 4m

3

ổ + Â

=ỗ - ÷ - + - + +

è ø

Giả sử điểm cực đại cực tiểu A x y B x y( ; ), ( ; )1 1 2 2 , I trung điểm AB

y1 2(m2 2m 2)x1 4m

Þ = - + - + + ; y2 = -2(m2+2m-2)x2+4m+1 và: x x m

x x11 22

2( 1)

ì + = +

í =

ỵ

A, B đối xứng qua (d): y 1x

2

= ỡớ ẻI dAB d^

ợ m=1

Câu 15 Cho hàm số y=x3 -3(m+1)x2 +9x-m, với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số cho ứng với m=1 2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị x1,x2 cho x1-x2 £2

· Ta có y'=3x2 -6(m+1)x+9

+ Hàm sốđạt cực đại, cực tiểu x1, x2 ÛPT y'=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Û PT x2 -2(m+1)x+3=0 có hai nghiệm phân biệt

2 1, x x ê

ê ë é

-<

+ -> Û > -+ = D Û

3

3

3 ) (

'

m m

m (1) + Theo định lý Viet ta có x1+x2 =2(m+1); x1x2 =3. Khi đó:

( ) 4 4( 1) 12

2 2 2

2

1-x £ Û x +x - x x £ Û m+ - £ x

Û(m+1)2£ Û - £ £4 m (2)

+ Từ (1) (2) suy giá trị m cần tìm -3£m<-1- 3 -1+ 3<m£1

Câu 16 Cho hàm số y x= 3+ -(1 )m x2+ -(2 m x m) + +2, với m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số cho ứng với m=1

2) Xác định m để hàm sốđã cho đạt cực trị x x1, 2 cho x1 x2 - > ·Ta có: y' 3= x2+2(1 2- m x) + -(2 m)

Hàm số có CĐ, CT Ûy' 0= có nghiệm phân biệt x x1, 2 (giả sử x1<x2)

m

m m m m

m

2

' (1 ) 3(2 ) 4

1

D éê >

Û = - - - = - - > Û

ê < -ë

(*)

Hàm sốđạt cực trị điểm x x1 2, Khi ta có:

m x x

m x x

1 2

(1 )

2

3 ì + = - -ï

í

-ï =

ỵ x1 x2 (x1 x2) (2 x1 x2)2 x x1 2

3

1

9

Û - = + - >

- >

4(1 )m 4(2 m) 16m2 12m m 29 m 29

8

+

-Û - - - > Û - - > Û > Ú < Kết hợp (*), ta suy m 29 m

8 +

> Ú <

-Câu 17 Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 3(m 2)x

3

Hàm số có cực đại cực tiểu Û y¢=0có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Û D¢ > Û0 m2-5m+ > 0 (luôn với "m) Khi ta có: xx x1 x2 mm

1

2( 1) 3( 2)

ì + =

-í =

-ỵ Û ( )

x m

x22 x2 m

3

1 3( 2) ì =

-ï

í - =

-ïỵ

m2 m m 34

8 16

4 - ±

Û + - = Û =

Câu 18 Cho hàm số y=4x3+mx2– 3x

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = 2) Tìm mđể hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa x1= -4x2

· y¢=12x2+2mx– 3 Ta có: D¢ =m2+36 0,> "m Þ hàm số ln có cực trị x x1, 2

Khi đó:

1

1

1

6

x x

m x x

x x ì ï = -ï

ï + = -í

ï

ï = -ïỵ

2 m Þ = ±

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 3+3x2+mx+1; x1+ 2x2 =3 ĐS: m= -105

Câu 19 Cho hàm số y=(m+2)x3+3x2+mx-5, m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m =

2) Tìm giá trị mđể điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm sốđã cho có hồnh độ số dương

· Các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm sốđã cho có hồnh độ số dương ÛPT y' 3(= m+2)x2+6x m = + 0 có nghiệm dương phân biệt

a m

m m m m m

m m m m

P

m m m

S m

2 ( 2)

' ( 2) ' 2 3 0 3 1

0

0

3( 2) 2 0 2

3 0

D D

ì = + ¹

ï = - + > ì = - - + > ì- < <

ïï ï ï

Ûí = > Ûí < Ûí < Û < < -+

ï ïỵ + < ïỵ <

-ï = >

ï +

ỵ

Câu 20 Cho hàm số y x= 3– 3x2+2 (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1)

2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y=3x-2sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ

· Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2) Xét biểu thức g x y( , ) 3= x y- -2 ta có:

A A A A B B B B

g x y( , ) 3= x -y - = - <2 0; ( , ) 3g x y = x -y - = >2

Þ điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng d: y=3x-2

Tọa độđiểm M nghiệm hệ:

4

3 5

2 2

5 x y x

y x

y ì = ï =

-ì Ûï

í = - + í

ợ ù =

ùợ

ị 2;

5 Mổỗ ửữ

ố ứ

Cõu 21 Cho hàm số y x= 3+(1– )m x2+(2 – )m x m+ +2 (m tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ

· y¢=3x2+2(1 )- m x+ - =2 m g x( )

YCBT Û phương trình y¢=0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn: x1<x2<1

Û g m mm

S m

2

4

(1) 1

2

D

ì ¢ = - - > ïï = - + >

í

-ï = < ïỵ

Û m

4< < 5

Câu 22 Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3+m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m =

2) Tìm mđể hàm số (1) có cực trịđồng thời khoảng cách từđiểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từđiểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

· Ta có y¢=3x2-6mx+3(m2-1)

Hàm số (1) có cực trị PT y¢=0 có nghiệm phân biệt

2 2 1 0

x mx m

Û - + - = có nhiệm phân biệt Û D = > "1 0, m

Khi đó: điểm cực đại A m( -1;2 )- m điểm cực tiểu B m( + - -1; 2 )m

Ta có 2 6 1 0 2

3 2 m

OA OB m m

m é = - +

= Û + + = Û ê

=

-êë

Câu 23 Cho hàm số y= - +x3 3mx2+3(1-m x m2) + 3-m2 (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m=1

2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) · y¢= -3x2+6mx+3(1-m2)

PT yÂ=0 cú D= >1 0,"m ị th hm s (1) ln có điểm cực trị ( ; ), ( ; )x y1 1 x y2 2 Chia y cho y¢ ta được: y 1x m y 2x m2 m

3

ỉ ư ¢

=ỗ - ữ + - +

ố ứ

Khi đó: y1=2x1-m2+m; y2 =2x2-m2+m

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) y=2x m- 2+m.

Câu 24 Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 có đồ thị (C

m)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđể (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song

·Ta có: y' 3= x -6x m

-Hàm số có CĐ, CT Û y' 3= x2-6x m- =0 có nghiệm phân biệt 1; x x Û D = +' 3m> Û > -0 m 3 (*)

Gọi hai điểm cực trị A(x1;y1) (;B x2;y2)

Thực phép chia y cho y¢ ta được: 1 ' 2

3 3

m m

y=ỗổ x- ửữy-ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ

ố ứ ố ứ ố ø

Þ 1 ( )1 2 1 ; 2 ( )2 2 2

3 3

ỉ ỉ ỉ ổ

-ỗ + ữ +ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ữ

ố ứ ố ø è ø

= =

ø

= =

è

y y x m x m y y x m x m

Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị d: 2

3

m m

y= -ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ

ố ứ ố ø

Đường thẳng qua điểm cực trị song song với d: y= -4x+3

2

2

3

3

2

3 m

m m

ì ổ- + ử=

-ỗ ữ

ùù ố ø

Ûí Û =

ỉ

ï -ỗ ữạ ùố ứ ợ

(tha món)

Câu 25 Cho hàm số y x= 3-3x2-mx+2 có đồ thị (C

m)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị tạo

với đường thẳng d: x+4 – 0y = góc 45 0 ·Ta có: y' 3= x2-6x m

-Hàm số có CĐ, CT Û y' 3= x2-6x m- =0 có nghiệm phân biệt 1; x x Û D = +' 3m> Û > -0 m 3 (*)

Gọi hai điểm cực trị A(x1;y1) (;B x2;y2)

Thực phép chia y cho y¢ ta được: 1 ' 2

3 3

m m

y=ỗổ x- ửữy-ổỗ + ửữx+ổỗ - ửữ

è ø è ø è ø

Þ 1 ( )1 2 1 ; 2 ( )2 2 2

3 3

ổ ổ ổ ổ

-ỗ + ữ +ỗ - ữ -ỗ + ữ +ỗ - ÷

è ø è ø è ø

= =

ø

= =

è

y y x m x m y y x m x m

Þ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị D: 2

3

m m

y= -ổỗ + ửữx+ổỗ - ö÷

è ø è ø

Đặt 2

3 m k = -ổỗ + ửữ

è ø Đường thẳng d: x+4 – 0y = có hệ số góc -

Ta có:

3 39

1

1 1

5 10

4

4 tan 45

1 1

1

4 4

k m

k k

k

k k k k m

é é

é + = - = =

-+ ê ê ê

= Ûê Ûê Ûê

ê ê

ê

- + = - + ê = - ê =

-êë ë ë

o

Kết hợp điều kiện (*), suy giá trị m cần tìm là: m=

-Câu 26 Cho hàm số y x= 3+3x2+m (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m= -4

· Ta có: y¢=3x2+6x; yÂ= = ị =0 ộ = - ị = +xx 0 2 y my m ë

Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) B(-2 ; m + 4)

OAuur =(0; ),m OBuur= -( 2;m+4) Để ·AOB=1200thì cosAOB =

-( ) ( ) m

m m m m m m

m m

m m

2

2

2

4

( 4) 4 ( 4) 2 ( 4)

2 24 44

4 ( 4)

ì- < < +

Û = - Û + + = - + Û í

+ + =

ỵ + +

m

m m

4 12 3

12 3

3

ì- < < - + ï

Ûí - ± Û =

= ïỵ

Câu 27 Cho hàm số y x= 3– 3mx2+3(m2–1) –x m3 (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m= -2

2) Chứng minh (Cm) ln có điểm cực đại điểm cực tiểu chạy đường thẳng cốđịnh

· y¢=3x2-6mx+3(m2-1); y¢= Û ê = -0 é = +x mx m 11 ë

Điểm cực đại M m( –1;2 – )m chạy đường thẳng cốđịnh:

x t

y t

= - + ì

í = -ỵ Điểm cực tiểu N m( + -1; – )m chạy đường thẳng cốđịnh:

2

x t

y t

= + ì

í = -ỵ

Câu 28 Cho hàm số y 1x4 mx2

2

= - + (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m=3

2) Xác định mđểđồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại

· y¢=2x3-2mx=2 (x x2-m) y x

x2 m

0 é = ¢= Û ê =

ë

Đồ thị hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại Û PT y¢=0 có nghiệm Û m£0

Câu 29 Cho hàm số y= f x( )=x4+2(m-2)x2+m2 -5m+5

m

C

( ) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m =

2) Tìm giá trị mđểđồ thị (Cm) hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vng cân

· Ta có ( )

2

4 4( 2)

2 = é ¢ = + - = Û ê

= -ë

x

f x x m x

x m

Hàm số có CĐ, CT Û PT f x¢( ) 0= có nghiệm phân biệt Û m<2 (*)

Khi toạđộ điểm cực trị là: A(0;m2-5m+5 ,) (B 2-m;1-m C) (, - 2-m;1-m)

Þ uurAB=( 2-m m;- 2+4m-4 ,) uuurAC= -( 2-m m;- 2+4m-4) Do DABC cân A, nên tốn thoả mãn DABC vng A

Câu 30 Cho hàm số y= x4 +2(m-2)x2 +m2 -5m+5 ( )Cm 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị (Cm) có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác

·Ta có ( )

2

4 4( 2)

2 = é ¢ = + - = Û ê

= -ë

x

f x x m x

x m

Hàm số có CĐ, CT Û PT f x¢( ) 0= có nghiệm phân biệt Û m<2 (*)

Khi toạđộ điểm cực trị là: A(0;m2-5m+5 ,) (B 2-m;1-m C) (, - 2-m;1-m)

Þ uurAB=( 2-m m;- 2+4m-4 ,) uuurAC= -( 2-m m;- 2+4m-4)

Do DABC cân A, nên tốn thoả mãn µA=600 Û cosA

2 =

Û AB AC

AB AC

2

=

uuur uuur

uuur uuur Û m=2-3 3

Câu hỏi tương tựđối với hàm số: y x= 4-4(m-1)x2+2m-1

Câu 31 Cho hàm số y x= 4+2mx2+m2+m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = –2

2) Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200

· Ta có y¢ =4x3+4mx; y x x m x

x m

2

0 ( ) é = ¢ = Û + = Û ê

= ±

-êë (m < 0) Khi điểm cực trị là: A m(0; 2+m B), ( -m m C; ) (, - -m m; )

AB=( - -m m; 2) uur

; uuurAC= - - -( m m; 2) DABC cân A nên góc 120o µA

µA=120o A AB AC m m m

m m

AB AC

4

1

cos

2 . 2

- - - +

Û = - Û = - Û =

-uur u-uur

uur uuur

m loại

m m m m m m m m

m

m m

4

4 4

4

3

0 ( )

1 2 2 3 0 1

2

3 é =

+ ê

Û = - Þ + = - Û + = Ûê =

êë

Vậy m 31 = -

Câu 32 Cho hàm số y x= 4-2mx2+ -m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp

· Ta có y x mx x x m x

x m

3

2

4 4 ( ) é =

¢= - = - = Û ê

= ë

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ÛPT y¢=0 có ba nghiệm phân biệt y¢ đổi dấu

ABC B A C B

S y y x x m m2

2

= - - =

V ; AB AC= = m4+m BC, =2 m

ABC

m

AB AC BC m m m

R m m

S m m m

4

3

1

1 ( )2 1 2 1 0

5

4 4

2 é =

+ ê

= = Û = Û - + = Û

-ê = ë V

Câu hỏi tương tự:

a) y x= 4-2mx2+1 ĐS: m 1, m - +

= =

Câu 33 Cho hàm số y x= 4-2mx2+2m m+ có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có diện tích

· Ta có

2

' 4

( )

x

y x mx

g x x m =

é = - = Û ê

= - = ë

Hàm số có cực trịÛ y' 0= có nghiệm phân biệtÛ D = > Û >g m m 0 (*)

Với điều kiện (*), phương trình y¢=0có nghiệm x1= - m x; 2 =0; x3 = m Hàm sốđạt cực trị x x x G1; ;2 3 ọi A(0;2m m+ 4);B( m m; 4-m2+2m C) (; - m m; 4-m2+2m ) điểm cực trị (Cm)

Ta có: AB2 =AC2 =m4+m BC; =4mÞ DABC cân đỉnh A

Gọi M trung điểm BCÞM(0;m4-m2+2 )m ÞAM m= =m2 Vì DABC cân A nên AM đường cao, đó:

ABC

S AM BC m m m m m

5

2 2 5

1 . 1 4 4 4 16 16

2

D = = = Û = Û = Û =

Vậy m=516 Câu hỏi tương tự:

a) y x= 4-2m x2 2+1, S = 32 ĐS: m= ±2

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO

Câu 34 Cho hàm sốy = x3 + 3x2 + mx + (m tham số) (1) 1) Khảo sát vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđể đường thẳng d: y = cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) B C vng góc với

· PT hồnh độ giao điểm (1) d: x3+3x2+mx+ = Û1 x x( 2+3x m+ ) 0= d cắt (1) điểm phân biệt A(0; 1), B, C Û 9,

4 < ¹

m m

Khi đó: x xB, C nghiệm PT: x2+3x m+ =0 Þ xB+xC = -3; x xB C =m

Hệ số góc tiếp tuyến B k1=3xB2 +6xB +m C k2 =3xC2+6xC +m Tiếp tuyến (C) B C vng góc với Û k k1 2 = -1 Û 4m2-9m+ =1

Û 65 65

8

- +

= Ú =

Câu 35 Cho hàm số y x= 3– 3x+1 có đồ thị (C) đường thẳng (d): y mx m= + +3 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm m để (d) cắt (C) M(–1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với

· Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): x3– (m+3) – – 0x m =

Û (x+1)( – – – 2) 0x2 x m = Û x y

g x x2 x m

1 ( 3)

( )

é = - =

ê = - - - = ë

d cắt (1) điểm phân biệt M(–1; 3), N, P Û 9,

> - ¹

m m

Khi đó: xN,xP nghiệm PT: x2- - - =x m Þ xN +xP =1; x xN P = - -m Hệ số góc tiếp tuyến N k1=3x2N -3 P k2=3xP2 -3

Tiếp tuyến (C) N P vng góc với Û k k1 2 = -1 Û 9m2+18m+ =1

Û 2 2

3

- +

-= Ú =

m m

Câu 36 Cho hàm số y x= 3-3x2+4 (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Gọi (d) đường thẳng qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M N vng góc với

· PT đường thẳng (d): y k x= ( -2)

+ PT hoành độ giao điểm (C) (d): x3-3x2+ =4 k x( -2)

Û (x-2)(x2- - -x k) 0= Û x xA

g x x2 x k

2

( )

é = = ê

= - - - = ë

+ (d) cắt (C) điểm phân biệt A, M, N Û PT g x( ) 0= có nghiệm phân biệt, khác

Û

(2) k

f D > ì

Û - <

ớ ạ

ợ (*)

+ Theo định lí Viet ta có:

M N M N

x x

x x k

+ = ì

í = -ỵ

+ Các tiếp tuyến M N vng góc với nhauÛ y x¢( M) ( )y x¢ N = -1

Û (3 -6 )(3 -6 )= -1

M M N N

x x x x Û 9k2+18k+ =1 2 k - ±

Û = (thoả (*))

Câu 37 Cho hàm số y x= 3-3x (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (d): y m x= ( + +1) cắt đồ thị (C) điểm M cốđịnh xác định giá trị mđể (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với

· PT hoành độ giao điểm (x+1)(x2- - -x m) 0= (1) Û x

x2 x m

1

2 (2)

é + =

ê - - - =

ë

(d) cắt (C) điểm phân biệt Û (2) có nghiệm phân biệt, khác –1 Û

9 m m ì > -ù ù ợ

(*)

Tiếp tuyến N, P vng góc Û y x'( ) '( )N y xP = -1 Û m 2

3 - ±

= (thoả (*))

Câu 38 Cho hàm số y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2-1) (m tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m=0

2) Tìm giá trị mđểđồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương

·ĐểĐTHS (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương, ta phải có: CĐ CT

CĐ CT

có cực trị

y y

x x

a y

(1)

0,

(0) ì

ï < ï

í > > ï

< ïỵ

(*)

Trong đó: + y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2-1) ị y =3x2-6mx+3(m2-1) + Dy =m2-m2+ = >1 0,"m

+ CÑ

CT

x m x

y¢= Û ê0 é = - =x m= + =11 x ë

Suy ra: (*)

m m

m

m m m m

m

2 2

2 1

3

( 1)( 3)( 1) ( 1)

ì - > ï + > ï

Ûí Û < < +

- - - - < ï

ï- - < ỵ

Câu 39 Cho hàm số 2

3

y= x -mx - + +x m có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = –1

2) Tìm mđể (Cm)cắt trục hồnh điểm phân biệt có tổng bình phương hồnh độ lớn 15

· YCBT Û 1x3 mx2 x m

3 - - + + =3 (*) có nghiệm phân biệt thỏa x12+x22+x32 >15 Ta có: (*) Û(x-1)(x2+ -(1 )m x- -2 ) 0m = Û x

g x x2 m x m

1

( ) (1 ) é =

ê = + - - - =

ë

Do đó: YCBT Û g x( ) 0= có nghiệm x x1, 2 phân biệt khác thỏa x12+x22 >14 Û m >1

Câu hỏi tương tựđối với hàm số: y x= 3-3mx2-3x+3m+2

Câu 40 Cho hàm số y=x3 -3x2 -9x+m, đó m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm sốđã cho m=0

2) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

ÛPhương trình x3-3x2-9x= -m có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

ÛĐường thẳng y= -m đi qua điểm uốn đồ thị (C)

11 11

m m

Û - = - Û =

Câu 41 Cho hàm số y x= 3-3mx2+9x-7 có đồ thị (Cm), m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm sốđã cho m=0

2) Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

· Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: x3-3mx2+9x- =7 0 (1) Gọi hoành độ giao điểm x x x1 2; ; 3 ta có: x1+x2+x3=3m

Để x x x1 2; ; 3 lập thành cấp số cộng x2=m nghiệm phương trình (1)

Þ -2m3+9m- =7 Û

m m m

1

1 15 15

2 é

ê = ê - + ê = ê

ê -= ê ë Thử lại ta có m 15

2

-= giá trị cần tìm

Câu 42 Cho hàm số y x= 3-3mx2-mx có đồ thị (C

m), m tham số thực 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm sốđã cho m=1

2) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d: y x= +2 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) d:

x3-3mx2 -mx x= + Û2 g x( )=x3-3mx2-(m+1)x- =2 0

Đk cần: Giả sử (C) cắt d điểm phân biệt có hồnh độ x x x l1; ;2 3 ần lượt lập thành cấp số nhân Khi ta có: g x( ) (= x x- 1)(x x- 2)(x x- 3)

Suy ra:

1

1 2 3

1

3

1

x x x m

x x x x x x m x x x

+ + = ì

ï + + =

-í

ï =

ỵ

Vì 3

1 2 2

x x =x Þx = Þx = nên ta có:

3 2.3

3

m m m

- - = + Û = -+ Đk đủ: Với

3 m=

-+ , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn Vậy

3 m=

-+

Câu 43 Cho hàm sốy x= 3+2mx2+(m+3)x+4 có đồ thị (Cm) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C1) hàm số m =

2) Cho đường thẳng (d): y x= +4 điểm K(1; 3) Tìm giá trị mđể (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích

· Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) d là:

x y

g x x2 mx m

0 ( 4)

( ) 2 (1)

é = =

Û ê = + + + = ë

(d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C Û(2) có nghiệm phân biệt khác

m m

m m

m

g m

/ 2 0 1 2

2 (0)

D

ì = - - > ì £ - Ú ³

Ûí Ûí ¹

-= + ợ

ợ (*)

Khi ú: xB+xC = -2 ;m x xB C = +m 2 Mặt khác: d K d( , )

2 - +

= = Do đó: KBC

S 1BC d K d ( , ) BC 16 BC2 256

D = Û = Û = Û =

B C B C

x x y y

( ) ( ) 256

Û - + - = Û(xB-xC)2+((xB+ -4) (xC +4))2 =256

B C B C B C

x x x x x x

2( ) 256 ( ) 128

Û - = Û + - =

m2 m m2 m m 137

4 4( 2) 128 34

2 ±

Û - + = Û - - = Û = (thỏa (*))

Vậy m 137 ±

=

Câu 44 Cho hàm số y x= 3-3x2+4 có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Gọi dk đường thẳng qua điểm A( 1;0)- với hệ số góc k k( Ρ) Tìm k đểđường thẳng dk cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C giao điểm B, C với gốc toạ độ O tạo thành tam giác có diện tích

· Ta có: d y kx kk : = + Û kx y k- + =0

Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) d là:

x3-3x2+ =4 kx k+ Û(x+1) (ëé x-2)2-kûù= Û = -0 x 1 (x-2)2 =k k

d cắt (C) điểm phân biệt Û í ¹ì >kk 09 ỵ

Khi giao điểm A( 1;0), 2- B( - k k k k C;3 - ) (, 2+ k k k k;3 + )

k k

BC k k d O BC d O d

k

2

2 , ( , ) ( , )

1

= + = =

+

OBC k

S k k k k k k

k

2

2

1. .2 1 1 1 1 1

2

D = + = Û = Û = Û =

+

Câu 45 Cho hàm số y x= 3-3x2+2 có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Gọi E tâm đối xứng đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB

· Ta có: E(1; 0) PT đường thẳng D qua E có dạng y k x= ( -1) PT hoành độ giao điểm (C) D: (x-1)(x2-2x- -2 k) 0=

OAB

S 1d O( , ).AB k k

D = D = + Þ k k+ =3 Û é = -ê = - ±kk 11 3 ë

Vậy có đường thẳng thoả YCBT: y= - +x 1; y= - ±( () x-1)

Câu 46 Cho hàm số y x= 3+mx+2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = –3 2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm

· Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) với trục hoành:

x3+mx+ =2 m x x x

2 ( 0) Û = - - ¹

Xét hàm số: f x x f x x x

x x x

3

2

2 2

( )= - - Þ '( )= -2 + = - + Ta có bảng biến thiên:

f xÂ( )

f x( )

-Ơ +Ơ

-¥ +¥

-¥ -¥

Đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm Û > -m 3 Câu 47 Cho hàm số y=2x3-3(m+1)x2+6mx-2 có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m = 2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh điểm

· 1- 3< < +m

Câu 48 Cho hàm số y x= 3-6x2+9x-6 có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Định mđểđường thẳng ( ) :d y mx= -2m-4 cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt

· PT hoành độ giao điểm (C) (d): x3-6x2+9x- =6 mx-2m-4

Û (x-2)(x2-4x+ -1 m) 0= Û x

g x x2 x m

2

( )

é =

ê = - + - = ë

(d) cắt (C) ba điểm phân biệt Û PT g x( ) 0= có nghiệm phân biệt khác Û m> -3

Câu 49 Cho hàm số y x= 3– 3x2+1

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm m để đường thẳng (D): y=(2m-1) – –1x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt

· Phương trình hồnh độ giao (C) (D): x3– – (2 –1)x2 m x+4m+ =2

Û (x-2)( – – –1) 0x2 x m = x

f x x2 x m

2

( ) (1) é =

Û ê = - - - = ë

(D) cắt (C) điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: x x1 xx2

1

2 é ¹ = ê = ¹

Û

b a f

0 2

0 (2)

D D

ộỡ =ù ờớ -ùợ

êì > í êỵ = ë

Û

m m m

8 2

8 éìï + = êí

ờùợ

ỡ

ờ + > í

ê - + =ỵ ë

Û m

m

5 é

= -ê ê ê = ë Vậy: m

8

= - ; m

2 =

Câu 50 Cho hàm số y x= 3-3m x2 +2m có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt

·Để (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt (Cm) phải có điểm cực trị

ị yÂ=0 cú nghim phõn bit 3x2-3m2 =0 cú nghiệm phân biệt Û m¹0 Khi y' 0= Û = ±x m

(Cm) cắt Ox điểm phân biệt ÛyCĐ = yCT =

Ta có: + y m(- ) 0= Û2m3+2m= Û =0 m 0 (loại) + y m( ) 0= Û -2m3+2m= Û = Ú = ±0 m 0 m 1 Vậy: m= ±1

Câu 51 Cho hàm số y x= 4-mx2+ -m có đồ thị ( )Cm

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số m=8 2) Định m đểđồ thị ( )Cm cắt trục trục hồnh bốn điểm phân biệt · ì >ớ ạmm 12

ợ

Cõu 52 Cho hm số y x= 4-2(m+1)x2+2m+1 có đồ thị ( ) m

C 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số cho m=0

2) Định m đểđồ thị ( )Cm cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4-2(m+1)x2+2m+ =1 0 (1) Đặt t x t= 2, ³0 (1) trở thành: f t( )= -t2 2(m+1)t+2m+ =1 0

Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt f t( ) 0= phải có nghiệm dương phân biệt

( )

2

' 1

2

0

2

m

m

S m

m

P m

ìD = > ì >

-ï ï

Ûí = + > Ûí ù = + > ù ạợ ợ

(*)

Với (*), gọi t1<t2 nghiệm f t( ) 0= , hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox lần

lượt là: x1= - t x2; 2 = - t x1; 3 = t x1; 4 = t2

x x x x1, 2, ,3 4 lập thành cấp số cộng Ûx2- =x1 x3-x2 =x4-x3Û =t2 9t1

( ) ( ) 4

1 4

5 4

9 = é = +

é ê

Û + + = + - Û = + Ûê Û

ê

- = + =

-ë ë

m

m m

m m m m m m

Vậy 4; m=ìí - ỹý

ợ ỵ

Cõu hi tng ti với hàm số y= -x4+2(m+2)x2-2m-3 ĐS: m 3,m 13

9 = = - .

Câu 53 Cho hàm số y x= 4– (3m+2)x2+3m có đồ thị (Cm), m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm m đểđường thẳng y= -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

· Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y= -1:

x4– (3m+2)x2+3m= -1 Û x4– (3m+2)x2+3m+ =1 0Û x

x2 m

1

3 (*) é = ±

ê = + ë

Đường thẳng y= -1cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ

phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 nhỏ

Û m

m

0 1 ì < + < ï

í

+ ¹

ïỵ Û

m m

1 1

3 ì

- < < ï

í ù ợ

Cõu 54 Cho hm s y x= 4-2(m+1)x2 +2m+1 có đồ thị (C

m), m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm mđểđồ thị (Cm) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

· Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x4-2(m+1)x2+2m+ =1 0 (1) Đặt t x t= 2, ³0 (1) trở thành: f t( )= -t2 2(m+1)t+2m+ =1 0

(Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

( ) f t

Û có nghiệm phân biệt t t cho: 1, 2

1

0

0

t t

t t

= < < é

ê < < £ ë

( )

( )

( )

2

2 '

'

3 4 1

(0) 1

2

2

2

2

ìD = > ìD = > ï

= - £

ï ï

Ûí = + = í Û = - Ú ³

= + > ï = + < ï

ỵ ï = + >

ỵ m m

f m

f m m m

S m

S m

P m

Vậy: 1

m= - Ú ³m

Câu 55 Cho hàm số y x= 4-2m x2 2+m4+2m (1), với m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1)khi m=1

2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox hai điểm phân biệt, với

m<

· Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (1) trục Ox: 2 2 2 0

x - m x +m + m= (1)

Đặt t =x t2( ³0), (1) trở thành : t2-2m t m2 + 4+2m=0 (2)

Ta có : D = -' 2m>0 S =2m2 >0 với m>0 Nên (2) có nghiệm dương

Câu 56 Cho hàm số y x x

2 + =

+ có đồ thị (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Chứng minh đường thẳng d: y= - +x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm mđểđoạn AB có độ dài nhỏ

· PT hoành độ giao điểm (C) d: x x m

x

2

+ = - +

+

Û x

f x x2 m x m

2

( ) (4 ) (1) ì ¹

-í = + - + - =

ỵ

Do (1) có D=m2+ >1 0 f( 2) ( 2)- = - 2+ -(4 m).( 2) 2- + - m= - ¹3 0,"m nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B

Ta có: yA = -m x yA; B = -m xB nên AB2 =(xB -xA)2+(yB -yA)2=2(m2+12) Suy AB ngắn Û AB2 nhỏ Û m=0 Khi đó: AB= 24

Câu hỏi tương tựđối với hàm số:

a)

1 x y

x -=

- ĐS: m = 2 b)

x y

x

1

-= ĐS: m

2 =

Câu 57 Cho hàm số x y

x -=

+

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm ( 1;1)I - cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I là trung điểm đoạn MN

· Phương trình đường thẳng d y k x: = ( + +1 1)

d cắt (C) điểm phân biệt M, N 1

-Û = + +

+ x

kx k

x có nghiệm phân biệt khác -1

Û f x( )=kx2+2kx k+ + =4 0 có nghiệm phân biệt khác -1

Û

0

4 0

( 1) ¹

ì

ïD = - > Û < í

ï - = ¹ ỵ

k

k k

f

Mặt khác: xM +xN = - =2 2xI Û I trung điểm MN với " <k 0 Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm y kx k= + +1 với k<0

Câu 58 Cho hàm số

x y

x + =

- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Gọi (d) đường thẳng qua A(1; 1) có hệ số góc k Tìm kđể (d) cắt (C) hai điểm M, N cho MN =3 10

· Phương trình đường thẳng ( ) :d y k x= ( - +1)

Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm ( ; ), ( ; )x y1 1 x y phân bi2 2 ệt sao cho (x2-x1) (2+ y2-y1)2 =90 (a)

2

( 1) 1

( 1) +

ì = - +

ï - + í

ï = - +

ỵ x

k x x

y k x

(I) Ta có:

2 (2 3) 3 0

( )

( 1)

kx k x k

I

y k x

ì - - + + =

Û í = - +

(I) có hai nghiệm phân biệt Û PT kx -(2k-3)x k+ + =3 ( )b có hai nghiệm phân biệt

Û 0,

8 k ¹ k<

Ta biến đổi (a) trở thành: ( )2 ( )2

2 2

(1+k ) x -x =90Û +(1 k )ëé x +x -4x x ûù=90 (c) Theo định lí Viet cho (b) ta có: x1 x2 2k 3,x x1 2 k 3,

k k

- +

+ = = thế vào (c) ta có phương trình: 8k3+27k2+8k- = Û3 0 (k+3)(8k2+3k- =1) 0

3; 41; 41

16 16

- +

-Û = -k k = k= Kết luận: Vậy có giá trị k thoả mãn

Câu 59 Cho hàm số 2 x y

x -=

+ (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm m để đường thẳng (d): y=2x m+ cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho

=

AB

· PT hoành độ giao điểm: 2 2

- = + +

x

x m

x Û x mx m x

2

2 + + + =2 ( ¹ -1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt A, B Û (1) có nghiệm phân biệt x x1, 2 khác –1

Û m2-8m-16 > (2)

Khi ta có: 2

2 2

m x x

m x x

ì + = -ïï

í +

ï =

ïỵ

Gọi A x( 1;2x1+ m) ( , B x2;2x2+ m)

AB2 = Û 2

1 2

(x -x ) +4(x -x ) =5 Û

1 2

(x +x ) -4x x =1 Û m2-8m-20 0= Û é =ê = -mm 102

ë (thoả (2)) Vậy: m=10;m= -2

Câu 60 Cho hàm số y x

x m

1 -=

+ (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1) m=1

2) Tìm giá trị tham sốm cho đường thẳng (d): y x= +2 cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A và B cho AB=2

· PT hoành độ giao điểm: x x x m

x m x2 m x m

1 2

( 1) (*) ì ¹

-= + Û í

+ ỵ + + + + =

d cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác -m

m m

m m

x m m m

2

0 3 3

1

D ì ì

ì > - - > < - Ú > +

Ûí Ûí ớ

ạ - ạ - ạ

-ợ î î (**)

Khi gọi x x1, 2 nghiệm (*), ta có xx x1 x2 m m

( 1)

ì + = - +

í = +

ỵ

Suy AB2=2(x1-x2)2 =2 (ëé x1+x2)2-4x x1 2ûù=2(m2-6m-3) Theo giả thiết ta 2(m2-6m- = Û3) m2-6m- = Û ê =7 é = -mm 71

ë Kết hợp với điều kiện (**) ta m=7 giá trị cần tìm

Câu 61 Cho hàm số 1 x y

x -=

- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm mđể đường thẳng d: y x m= + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho DOAB vuông O

· Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: x2+(m-3)x+ - =1 m 0, x¹1 (*) (*) có D=m2-2m+ >5 0," Ỵm R (*) khơng có nghiệm x =

Þ (*) ln có nghiệm phân biệt x xA, B Theo định lí Viét: A B A B

x x m

x x 13m

ì + =

-í =

-ỵ Khi đó: A x x( A; A+m B x x) (, B; B +m)

OAB

D vng O OA OBuur uur = Û0 x xA B+(xA+m x)( B+m)=0

Û2x x +m(x +x )+m2 =0Ûm=-2

B A B

A

Vậy: m = –2

Câu 62 Cho hàm số: y x

x

2 + =

-

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Chứng minh với giá trịm (C) ln có cặp điểm A, B nằm hai nhánh (C) thỏa A A

B B

x y m

x y m

0 ì - + = í - + =

ỵ

· Ta có: A A A A

B B B B

x y m y x m A B d y x m

x y m y x m

0 , ( ) :

0

ì - + = ỡ = +

ị ẻ = +

í - + = í = +

ỵ î

Þ A, B giao điểm (C) (d) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d):

x

x m f x x m x m x

x

2

2 ( ) ( 3) (2 2) ( 2)

+

+ = Û = + - - + = ¹

- (*)

(*) có D=m2+2m+17 0,> "m Þ (d) ln cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Và 1 (2)f = - < Þ4 xA< <2 xB xB < <2 xA (đpcm)

KSHS 04: TIẾP TUYẾN

Câu 63 Cho hàm số y=x3 +(1-2m)x2 +(2-m)x+m+2 (1) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số (1) với m =

2) Tìm tham sốmđểđồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x+ y+7=0 góc a , biết

· Gọi k hệ số góc tiếp tuyến Þ tiếp tuyến có VTPT nr1=( ; 1)k -Đường thẳng d có VTPT nr2 =(1;1)

Ta có n n k k k k

n n k k

1 2

2

3

1 1 2

cos 12 26 12 2

26 2 1

3 a é = ê -= Û = Û - + = Û ê ê + = ë r r r r

YCBT thoả mãn Û hai phương trình sau có nghiệm:

y y 2 é ¢= ê ê ¢ ê = ë Û ê ê ê ê ë é = -+ -+ = -+ -+ 2 ) ( 3 ) ( 2 m x m x m x m x Û ê ê ë é ³ D ³ D 0 / / Û ê ê ë é ³ -³ -0 2 m m m m Û ê ê ê ê ë é ³ -£ ³ -£ ; ; m m m m Û -£

m ³ m

Câu 64 Cho hàm số y x= 3-3x2+1 có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB =

· Giả sử A a a( ; 3-3a2+1), ( ;B b b3-3b2+1) thuộc (C), với a b¹ Vì tiếp tuyến (C) A B song song với nên:

y a¢( )=y b¢( ) Û 3a2-6a=3b2-6bÛa2-b2-2(a b- ) 0= Û(a b a b- )( + - =2)

Û a b+ - = Û = -2 b a Vì a b¹ nên a¹ - Û ¹2 a a

Ta có: AB= (b a- )2+(b3-3b2+ -1 a3+3a2-1)2= (b a- )2+(b3-a3-3(b2-a2 2))

b a b a ab b a b a b a

( ) é( ) ( ) 3( )( )ù

= - +ë - + - - - + û

b a b a b a ab

( ) ( ) (é ) 3.2ù

= - + - ë - + - û

b a b a b a ab

( ) ( ) (é ) 6ù

= - + - ë + - - û = (b a- )2+ -(b a) ( 22 - -ab)2 2

AB =(b a- ) ( 22ëé + - -ab)2ûù= -(2 ) (a 2ëé + a2-2a-2)2ùû

a a 2 a a a

4( 1) (é é 1) 3ù ù 4( 1) (é 1) 6( 1) 10ù = - êë +ë - - û úû= - ë - - - + û

a a a

4( 1) 24( 1) 40( 1)

= - - - +

-Mà AB=4 nên 4(a-1)6-24(a-1)4+40(a-1)2 =32

a a a

( 1) 6( 1) 10( 1)

Û - - - + - - = (*)

Đặt t=(a-1) ,2 t>0 Khi (*) trở thành:

t3-6t2+10 0t- = Û -( 4)(t t2- +2 2) 0t = Û =t Þ(a-1)2 = Û ê = - Þ =4 é = Þ = -aa 31 bb 31 ë

Câu 65 Cho hàm số y=3x x- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm đường thẳng (d): y= -x điểm mà từđó kẻđược tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

· Các điểm cần tìm là: A(2; –2) B(–2; 2)

Câu 66 Cho hàm số y= - +x3 3x2-2 (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từđó kẻđược tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

· Gọi M m( ;2) ( )Ỵ d

PT đường thẳng Dđi qua điểm M có hệ số góc k có dạng : y k x m= ( - ) 2+

D tiếp tuyến (C) Û hệ PT sau có nghiệm x x k x m x x k

3

2 ( ) (1)

3 (2)

ìï- + - = - +

í

- + =

ïỵ (*)

Thay (2) (1) ta được: 2x3-3(m+1)x2+6mx- = Û4 (x-2) 2ëé x2-(3m-1)x+2ùû=0

Û éê =

= - - + =

ë

2

( ) (3 1) (3)

x

f x x m x

Từ M kẻđược tiếp tuyến đến đồ thị (C)Û hệ (*) có nghiệm x phân biệt Û(3) có hai nghiệm phân biệt khác

ì

D > < - >

ì ï

Ûí Ûí

¹

ợ ù ạợ

5

0

3 (2)

2

m hc m f

m

Vậy từ điểm M(m; 2) Ỵ (d): y = với ì < -ùớ > ù

ợ

5

3

m hc m m

kẻđược tiếp tuyến đến (C)

Câu 67 Cho hàm số y f x( ) 1mx3 (m 1)x2 (4 )m x

= = + - + - + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số m =

2) Tìm giá trịm cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x+2y- =3

· (d) có hệ số góc

- Þ tiếp tuyến có hệ số góc k=2 Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì:

f x'( ) 2= Ûmx2+2(m-1)x+ -(4 ) 2m = Ûmx2+2(m-1)x+ -2 3m=0 (1) YCBT Û (1) có nghiệm âm

+ Nếu m=0 (1)Û -2x= - Û =2 x 1 (loại)

+ Nếu m¹0thì dễ thấy phương trình (1) có nghiệm x hay x= m

m

2

1

-= Do để (1) có nghiệm âm

m m

m m

0 0

2 é < - < Ûê

ê > êë Vậy m hay m

Câu 68 Cho hàm số y=( x +1 ) (2 x -1)2

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Cho điểm A a( ;0) Tìm ađể từ A kẻđược tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

· Ta có y x= 4-2x2+1

Phương trình đường thẳng d qua A a( ;0) có hệ số góc k : y k x a= ( - )

d tiếp tuyến (C) Û hệ phương trình sau có nghiệm: I x x k x a

x x k

4

3

2 ( )

( )

4

ì - + =

-ï í

- = ïỵ

Ta có: I k A

x2

0

( ) ( )

1 ì = Û í - =

ỵ hoặc

x x k B

f x x ax

2

4 ( 1) ( )

( ) (1) ìï - =

í

= - + =

ïỵ

+ Từ hệ (A), cho ta tiếp tuyến d y1: =0

+ Vậy để từ A kẻđược tiếp tuyến phân biệt với (C) điều kiện cần đủ hệ (B) phải có nghiệm phân biệt ( ; )x k với x¹ ±1, tức phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt khác ±1 Û a

f

2

4 ( 1)

D

ì Â = - > ạ

ợ a a

3

1

2

- < - >

Câu 69 Cho hàm số y f x= ( )=x4-2x2

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a bđể hai tiếp tuyến (C) A B song song với

· Ta có: f x'( ) 4= x3-4x

Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B kA = f a'( ) 4= a3-4 ,a kB = f b'( ) 4= b3-4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là:

y f a x a= ¢( )( - +) f a( )Û =y f a x f a af a¢( ) + ( )- ¢( )

y f b x b= ¢( )( - +) f b( )Û =y f b x f b bf b¢( ) + ( )- ¢( )

Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi:

3 3

A B

k =k Û4a -4a = 4b -4bÛ(a b a- )( 2+ab b+ 2- =1) 0 (1) Vì A B phân biệt nên a b¹ , (1) Û a2+ab b+ 2- =1 (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng khi:

a ab b a b a ab b

a a b b

f a af a f b bf b

2 2

4

1 ( )

3

( ) ( ) ( ) ( )

ì ì

ï + + - = ï + + - =

ớ ớ

  - + = - +

- = - ï

ï ỵ

ỵ

Giải hệ ta nghiệm ( ; ) ( 1;1)a b = - ( ; ) (1; 1)a b = - , hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị ( 1; 1)- - (1; 1)

-Vậy điều kiện cần đủđể hai tiếp tuyến (C) A B song song với là:

a ab b

a a b

2 1 0

1;

ì + + - = í ¹ ± ạ ợ

Cõu 70 Cho hm s 2 x y

x =

+ (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

· Tiếp tuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a¹ -2 thuộc (C) có phương trình:

a

y x a x a y a

a a

2

2

4 ( ) 4 ( 2) 2 0

2 ( 2)

= - + Û - + + =

+ +

Tâm đối xứng (C) làI(-2;2) Ta có:

a a a

d I d

a

a a

8 8

( , ) 2

2 2 16 ( 2) 2.4.( 2)

+ + +

= £ = =

+

+ + +

d I d( , ) lớn (a+2)2= Û ê = -4 é =aa 04 ë Từđó suy có hai tiếp tuyến y x= y x= +8

Câu 71 Cho hàm số y x

x

2

+ =

+ (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (1)

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O

· Gọi ( ; )x y0 0 toạđộ tiếp điểm Þ y x

x

0 2

0

( )

(2 3)

-¢ = <

+

DOAB cân O nên tiếp tuyến D song song với đường thẳng y= -x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm) Nghĩa là: y x

x

0 2

0

( )

(2 3)

-¢ = =

-+ Þ

x y

x y

0

0

1

2

é = - Þ = ê

= - Þ =

êë

+ Với x0 = -1; y0 =1 ÞD: y- = - + Û = -1 (x 1) y x (loại) + Với x0 = -2;y0 =0 ÞD: y- = - +0 (x 2)Û = - -y x 2 (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= - -x 2

Câu 72 Cho hàm số y =

1

-x

x

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB

· Giả sử tiếp tuyến d (C) M x y( ; ) ( )0 0 Ỵ C cắt Ox A, Oy B cho OA=4OB Do DOAB vuông O nên A OB

OA

1 tan

4

= = Þ Hệ số góc d 1 4

1 - Hệ số góc d y x

x x

0 2 2

0

1 1

( )

4

( 1) ( 1)

 = - < ị - =

- Û

x y

x y

0

0

3 ( )

2

3 ( )

2 é

= - = ê

ê

ê = =

ë Khi có tiếp tuyến thoả mãn là: y x y x

y x y x

1( 1)

4 4

1( 3) 13

4 4

é é

= - + + = - +

ê ê

Û

ê ê

ê = - - + ê = - +

ë ë

Câu 73 Cho hàm số y x

x

2 -=

- có đồ thị (C)

2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn

· Lấy điểm M m m ; 2 ổ + ỗ - ÷

è øỴ( )C Ta có: y m m

1 ( )

( 2) ¢ =

-Tiếp tuyến (d) M có phương trình: y x m

m

m

1 ( ) 2

2 ( 2)

= - - + +

-Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là: A

m 2;2 ổ + ỗ - ÷ è ø

Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là: B m(2 – 2;2) Ta có: AB m

m

2

2

4 ( 2)

( 2)

é ù

= ê - + ú³

-ê ú

ë û Dấu “=” xảy Û

m m 13 é = ê = ë Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: M(3;3) M(1;1)

Câu 74 Cho hàm số y x

x -= -

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B. Gọi I là giao điểm đường tiệm cận Tìm toạđộđiểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ

· Giả sử M x x x

x

0

0

2

; ,

2

ổ -

ạ

ỗ ữ

ỗ - ữ

ố ứ , y x0 (x0 )2

1 '( ) -= -Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) M:

( )

x

y x x

x x 0 0

1 ( )

2 -= - +

-Toạđộ giao điểm A, B (D) với hai tiệm cận là: A x B x( )

x00

2

2; ; 2;2

2 æ - -ỗ ữ ỗ - ữ ố ứ

Ta thấy xA xB 2x0 x0 xM

2

+ +

-= = = , yA yB x yM x00

2

2

+

-= =

- suy M trung điểm của AB

Mặt khác I(2; 2) DIAB vuông I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

S = IM x x x

x x

2

2 2

0 2

0 0

2

( 2) ( 2)

2 ( 2)

p =pờộờ - +ỗỗổ - - ÷÷ư úùú=pêé - + ùú³ p

- ê - ú

è ø ë û

ë û

Dấu “=” xảy x xx x 0 2 0 1

( 2) 3

( 2)

é =

- = Û ê =

- ë

Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3)

Câu 75 Cho hàm số

1 -+ = x x

y có đồ thị (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

· Giao điểm tiệm cận I(1;2) Gọi M ÷÷ ứ ỗỗ ố ổ -+ ; 0 x

x Ỵ (C)

+ PTTT M có dạng: y x x

x

x0 0

3 ( ) 2

1 ( 1) -= - + +

-+ Toạđộ giao điểm tiếp tuyến với tim cn: A ữữ

ứ ỗỗ ố ổ -+ ;

x , B(2x0-1;2)

+ Ta có: S IAB IA IB x

x0

1 . 2 1 2.3 6

2

D = = × - × - = = (đvdt)

+ DIAB vng có diện tích khơng đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ IA= IB

Û ê ê ë é -= + = Þ -=

- 1 3

3 1 0 0 x x x x

Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1(1+ 3;2+ 3), M2(1- 3;2- 3) Khi chu vi DAIB = 4 3+2 6

Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (không đổi) biểu thức P = a b+ + a2+b2 nhỏ nhất a = b

Thật vậy: P = a b+ + a2+b2 ³ ab+ 2ab = +(2 2) ab= +(2 2) S Dấu "=" xảy Û a = b

Câu 76 Cho hàm số: y x

x

2 + =

- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Cho điểm A a(0; ) Tìm ađể từ A kẻđược tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh

· Phương trình đường thẳng d qua A a(0; ) có hệ số góc k: y kx a= +

d tiếp tuyến (C) Û Hệ PT

x kx a

x k x 2 ( 1) ì + = + ïï -í -= ï ï -ỵ

có nghiệm

Û PT: (1-a x) 2+2(a+2)x a- +( 2) 0= (1) có nghiệm x¹1 Để qua A có tiếp tuyến (1) phải có nghiệm phân biệt x x1, 2

Û a aa

a

1

2

D

ì ¹ ì ¹

Û

ớ Â = + > > -ợ

ỵ (*)

Khi ta có: x x a x x a

a a

1+ =2( -+12); 2= +-12 y1 x y2 x

1

3

1 ;

1

= + = +

-

-Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y y1 2 <0

Û

x1 x2

3

1

1

ỉ + ỉ + ử< ỗ - ữ ỗ - ữ

ố ứ è ø Û

x x x x

x x1 21 2 x11 x22

2( )

0

( )

+ + +

<

- + + Û 3a+ >2 Û a > -Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a

a

2 ỡù > -ớ ù ợ

Câu 77 Cho hàm số y x

x

3 + =

-

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Cho điểm M x yo( ; )o o thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB

· M x yo( ; )o o ẻ (C) ị y

x

0

0

1 = +

-

Phương trình tiếp tuyến (d) M0 : y y x x

x

0 2

0

4 ( )

( 1)

- = -

-Giao điểm (d) với tiệm cận là: A x(2 0-1;1), (1;2B y0-1)

Þ xA xB x0; yA yB y0

2

+ +

= = Þ M0 trung điểm AB

Câu 78 Cho hàm số : y x

x

2 + =

- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi

· Giả sử M a a

a

2 ;

1 ổ + ỗ - ữ

ố ứ Ỵ (C)

PTTT (d) (C) M: y y a x a a

a

2 ( ).( )

1 + ¢

= - +

- Û

a a

y x

a a

2

2

3

( 1) ( 1)

- +

-= +

-

-Các giao điểm (d) với tiệm cận là: A a

a

5 1;

1 ổ + ỗ - ÷

è ø, B a(2 -1;1)

IA

a

6 0;

1

® ỉ ử

= ỗ - ữ

ố ứ ị IA a

1 =

- ; IB (2a 2;0) đ

= - ịIB=2a-1 Din tớch DIAB: SDIAB= 1IA IB

2 = (đvdt) ÞĐPCM Câu hỏi tương tựđối với hàm số y x

x

2 -=

+ ĐS: S = 12

Câu 79 Cho hàm số y = + + x x

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Gọi I giao điểm đường tiệm cận, D tiếp tuyến đồ thị (C) d khoảng cách từ I đến D Tìm giá trị lớn d

· y

x

1 ( 1)

-¢ =

+ Giao điểm hai đường tiệm cận I(–1; 1) Giả sử

x

M x C

x0

0

2

; ( )

1

ổ +

ẻ

ỗ + ữ

è ø

Phương trình tiếp tuyến D với đồ thi hàm số M là:

( )

x

y x x

x x

0

0

2

1 ( )

1

+

-= - +

+

+ x (x ) y x (x )(x )

2

0 0

Khoảng cách từ I đếnD d =

( )

x x

0

2

1

+ + +

=

(x ) (x ) 2

2 2

1 1

1

£ + + +

Vậy GTLN d 2 x0=0 x0 = -2

Câu 80 Cho hàm số y x

x

2 1 -=

-

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến

· Tiếp tuyến (C) điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0 Ỵ C có phương trình:

y f x x x= '( )(0 - 0)+ f x( )0 Û x+(x0-1)2y-2x02+2x0- =1 0 (*) Khoảng cách từđiểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) x

x

0 2

2 ( 1)

-Û =

+ - Û

x x00

0 é = ê = ë Các tiếp tuyến cần tìm : x y+ - =1 0 x y+ - =5

Câu 81 Cho hàm số y x

x

1 + =

- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm Oy tất điểm từđó kẻđược tiếp tuyến tới (C)

· Gọi M(0; )yo điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y kx y= + o (d)

(d) tiếp tuyến (C) o o o o

x kx y y x y x y

x

x k

k x

x

2 2

1 ( 1) 2( 1) 1 (1)

1 2

2 1;

( 1) ( 1)

ì + ì

= + - - + + + =

ïï - ï

Ûí - Ûí ¹ - =

=

ï ï

-ỵ ï

-ỵ

(*) YCBT Û hệ (*) có 1nghiệmÛ(1) có nghiệm khác

o o

o

o o o o

y y x y k

x y y y x y k

1 1 1; 1 8

1 ' ( 1) ( 1)( 1) 0

0;

2 D

ì = ì ¹ é

ï ï ê = = Þ =

-Ûí Ú í Û

ê

= ï = + - - + =

ù ợ = = ị =

-ỵ ë

Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) M(0; –1)

Câu 82 Cho hàm số y x x

2 1 + =

+

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(-4; -2)

· Gọi x0 hoành độ tiếp điểm (x0 ¹ -1)

PTTT (d) y x x x x x

0

2

0

2

1 ( )

1 ( 1)

+

= - +

+

+ Û x x y x x

2

0 0

( 1) 2

- + + + + =

Ta có: d A d( , )=d B d( , ) Û 4(- x0+1)2+2x02+2x0+ = - +1 2(x0+1)2+2x02+2x0+1

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y 1x 5; y x 1; y x 4

= + = + = +

Câu 83 Cho hàm số 1

-=

-x y

x

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hồnh độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ

· I A a a

a

2 (1; 2), ;

1 ổ -

- ỗ ÷

-è ø PT tiếp tuyến d A:

1

( )

(1 )

-= - +

-

-a

y x a

a a

Giao điểm tiệm cận đứng tiếp tuyến d: 1;

ỉ

ỗ ữ

-ố ứ

a P

a Giao điểm tiệm cận ngang tiếp tuyến d: Q a(2 –1; 2) -Ta có: xP+ xQ =2a=2xA Vậy A trung điểm PQ

IP = 2

1

a

a+ = a

- - ; IQ = 2(a-1) SIPQ = 1

2IP.IQ = (đvdt)

Câu 84 Cho hàm số y x

x

2 -=

- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho cơsin góc ·ABI

17 , với I giao tiệm cận

· I(2; 2) Gọi M x x C

x0

0

2

; ( )

2

ỉ -

Ỵ

ỗ - ữ

ố ứ , x0 ạ2

Phương trình tiếp tuyến D M: y x x x x x

0

2

0

2

1 ( )

2 ( 2)

-= - - +

Giao điểm D với tiệm cận:A x

x00

2

2;

ỉ -

ỗ - ữ

ố ứ, B x(2 0-2;2) Do cos·ABI

17

= nên ·ABI IA

IB

1 tan

4

= = Û IB2 =16.IA2 Û (x0-2)4 =16 Û xx0

0 é = ê = ë Kt lun: Ti M 0;3

2 ổ ỗ ÷

è ø phương trình tiếp tuyến: y x = - + Tại M 4;5

3 ổ ỗ ữ

KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Câu 85 Cho hàm số y= - +x3 3x2+1

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm mđể phương trình x3-3x2 = m3-3m2 có ba nghiệm phân biệt

· PT x3-3x2 = m3-3m2 Û - +x3 3x2+ = -1 m3+3m2+1 Đặt k= -m3+3m2+1 Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng d: y k=

Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có nghiệm phân biệt Û1< <k Û mỴ -( 1;3) \ {0;2}

Câu 86 Cho hàm số y x= 4-5x2+4 có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số 2) Tìm mđể phương trình

2

|x -5x + =4 | log m có nghiệm

· Dựa vào đồ thị ta có PT có nghiệm Û 94 12

9

log 12 144 12

4

m= Û =m = .

Câu 87 Cho hàm số y f x= ( ) 8= x4-9x2+1

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình:

x x m

4

8cos -9cos + =0 với xỴ[0; ]p

· Xét phương trình: 8cos4x-9cos2x m+ =0 với xỴ[0; ]p (1) Đặt t=cosx, phương trình (1) trở thành: 8t4-9t2+ =m 0 (2)

Vì xỴ[0; ]p nên tỴ -[ 1;1], x t có tương ứng đối một, số nghiệm phương trình (1) (2)

Ta có: (2)Û8t4-9t2+ = -1 m (3)

Gọi (C1): y=8t4-9t2+1 với tỴ -[ 1;1] (d): y= -1 m Phương trình (3) phương trình

hồnh độ giao điểm (C1) (d)

Chú ý (C1) giống nhưđồ thị (C) miền - £ £1 x 1

Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:

m<0 m=0 0< <m 1 m 81

32

£ < m 81

32

= m 81

32 > vô nghiệm 1 nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

Câu 88 Cho hàm số y x

x

3 -=

- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm giá trị mđể phương trình sau có nghiệm đoạn 0;2

p

é ù

ê ú

ë û:

x x m x x

6 4

sin +cos = (sin +cos )

· Xét phương trình: sin6x+cos6x m= (sin4x+cos )4 x (*)

x m x

2

3

1 sin sin

4

ỉ

- = ỗ - ữ

ố ứ x m x

2

4 3sin 2- =2 (2 sin )- (1)

Đặt t=sin 22 x Với x 0;2

p

é ù

Ỵ ê ú

t m

t

3

2 -=

- với tỴ ë ûé0;1ù

Nhận xét : với tỴ ë ûé0;1ùta có : x t x t

x t

sin sin 2 sin

é =

-Û =

ê

= ë

Để (*) có nghiệm thuộc đoạn 0;2

p

é ù

ê ú

ë ûthì t t

3;1 3;1

2

é ö é ử

ẻờ ữữị ẻờ ữ ứ ờở ứ

Dưa vào đồ thị (C) ta có: y(1) 2m y 2m

4

æ

< Ê ỗ ữ < Ê

ố ø Û m

1

2< £10

Câu 89 Cho hàm số 1 x y

x + =

-1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình

1 x

m x

+ = -· Số nghiệm

1 x

m x

+ =

- số giao điểm đồ thị (C¢):

1 x y

x + =

- y m= Dựa vào đồ thị ta suy được:

1; < - >

m m m= -1 - < £1 m nghiệm nghiệm vô nghiệm

Câu 90 Cho hàm số: y x= 4-2x2+1

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4-2x2+ +1 log2m=0 (m > 0)

· x4-2x2+ +1 log2m=0 Û x4-2x2+ = -1 log2m (*)

+ Số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị y x= 4-2x2+1 y= -log2m + Từđồ thị suy ra:

m

0

2

< < m

2

= m

2< < m=1 m>1 2 nghiệm 3 nghiệm 4 nghiệm 2 nghiệm vô nghiệm

KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ

Câu 91 Cho hàm số 1 x y

x + =

+ (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ

· Gọi M x y( ; )0 0 Ỵ (C), (x0 ¹ -1) y x

x0 x

0

0

2 2

1

+

= =

-+ +

MA x MB y

x

0

0

1 ,

1

= + = - =

+

Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: MA MB MA MB x

x

0

0

2

1

+ ³ = + =

+ Þ MA + MB nhỏ x xx

x

0

0

0

1 2

1

é = + = Û ê =

-+ ë

Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3) Câu hỏi tương tự:

a) 1 -=

+ x y

x ĐS: x0 = - ±1

Câu 92 Cho hàm số y x

x

3 -=

- (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận

· Gọi M x y( ; )Ỵ (C) cách tiệm cận x = y =

Ta có: x y x x x x

x x

3

2 2

2

= Û = - Û - =

-

-x x x

x x ( 2) é =14 Û = ± - Û ê =

- ë

Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6) Câu 93 Cho hàm số y x

x

2 -=

+

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1)

· MNuuur=(2; 1)- Þ Phương trình MN: x+2y+ =3 0 Phương trình đường thẳng (d) ^ MN có dạng: y=2x m+ Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d):

x x m

x

2 2

-= +

+ Û x mx m x

2

2 + + + =4 ( ¹ -1) (1)

(d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Û D=m2– – 32 0m > (2) Khi A x( ;21 x1+m B x), ( ;22 x2+m) với x x1, 2 nghiệm (1) Trung điểm AB I x1 x2;x1 x2 m

2

ỉ +

+ +

ỗ ữ

ố ứ

m m

I ;

4

ỉ

-ỗ ữ

ố ứ (theo nh lý Vi-et) A, B đối xứng qua MN Û I Ỵ MN Û m= -4

Suy (1) Û 2x2-4x= Û ê =0 é =xx 20

ë Þ A(0; –4), B(2; 0)

Câu 94 Cho hàm số y= - +x3 3x+2 (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: –x y+ =2

· Gọi M x y( 1; 1) (;N x y thu2; 2) ộc (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d I trung điểm AB nên 2;

2

x x y y Iổỗ + + ửữ

Có: ( ) ( )

3

1 2

1 3 2. 2

2 2

x x x x

y +y = - + + + - + + = x +x +

( 1 2)3 1 2( 1 2) ( 1 2) ( 1 2) 12 2

1 2

0

3

1 + = é Þ - + + + + + = + Þ ê - + = ë x x

x x x x x x x x x x

x x x x Lại có: MN ^ Þd (x2-x1).1+(y2 -y1).2 0=

( ) ( )( 2) 2

2 1 2 1 2

7

7

2 Þ x -x - x -x x +x x +x = Þx +x x +x = - Xét x1+x2 =0 1 7; 2

2

x x

Þ = ± =m

- Xét

2

2

1

1 2

2

1 2

1 5 4 x x x x x x

x x x x x x

ì ì - + = ï + = ï Ûï Þ í í + + = ï ï = ỵ ïỵ

vơ nghiệm

Vậy điểm cần tìm là: 7; ; 7;

2 2 2

æ ổ

- - +

ỗ ữ ç ÷

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

Câu 95 Cho hàm số y x

x

2 1 -=

+ (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc –9

· Giao điểm tiệm cận I( 1;2)-

Gọi IM M I

M I

y y

M x C k

x x x x

0 2

0 0

3

;2 ( )

1 ( 1)

-ổ - ửẻ ị = =

-ỗ + ữ

-+

ố ø

+ Hệ số góc tiếp tuyến M:

( )

M

k y x

x 2 ( ) ¢ = = + + YCBT Ûk kM IM = -9 Û x

x00

0 é = ê =

-ë Vậy có điểm M thỏa mãn: M(0; –3) M(–2; 5)

Câu 96 Cho hàm số y x3 x2 3x 11

3

= - + + -

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung

· Hai điểm M x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 N x y2 2 Ỵ C đối xứng qua Oy Û x x

y y 1 ỡ = - ù = ùợ x x x x

x x x x2

2

3

2

1

1

0

11 11

3

3 3

ì = - ¹ ï í - + + - = - + + -ï ỵ Û x x 3 ì = ï í =

-ïỵ

x x 3 ì = -ï í = ïỵ Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng qua Oy là: M 3;16 , N 3;16

3

ỉ ổ-

ỗ ữ ỗ ữ

Câu 97 Cho hàm số x y x = -

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0)

· Ta có C y

x ( ) :

1

= +

- Gọi B b b C c c

2

;2 , ;2

1

+ +

-

-ổ ổ

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø với b< <1 c Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox

Ta có: AB AC BAC= ;· =900 Þ·CAK BAH+· =900=·CAK ACK+· · ·ÞBAH ACK=

và: BHA CKA· · ABH CAK {AH CK

HB AK

0

90 D D =

= = Þ = Þ

=

Hay: {

b b c c c b 2 1 2 - = + = Û = + = -ì ïï í ï ïỵ Vậy B( 1;1),- C(3;3)

Câu 98 Cho hàm số

1 + -= x x y

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm tọa độđiểm M Ỵ (C) cho khoảng cách từđiểm I(-1;2)tới tiếp tuyến (C) M lớn

· Giả sử ( )

1 ;

0

0 x C

x

M ữữẻ

ứ ỗỗ ố ổ +

- PTTT D (C) M là: ) ( ) ( 3

2 2 0

0 x x x x y -+ = + +

- Û 3( ) ( 1)2( 2) 3( 0 1) 0

0 - + - - + =

-x x y x

x Khoảng cách từ I(-1;2) tới tiếp tuyến D là:

( )

0 0 0 ) ( ) ( ) ( 9 ) ( ) ( + + + = + + + = + + + -= x x x x x x x d

Theo BĐT Cô–si: ( 1) ) ( 2 = ³ + + + x

x Þ d £ 6

Khoảng cách d lớn 6 ( 1) ( 1) 3 ) ( 2 ± -= Û = + Û + =

+ x x x

x

Vậy có hai điểm cần tìm là: M(-1+ 3;2- 3) M(-1- 3;2+ 3)

Câu 99 Cho hàm số y= - +x3 3x+2 (C)

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3)

· Gọi A x y( 0 0; ), B điểm đối xứng với A qua điểm M( 1;3)- ÞB(- -2 x0;6-y0) A B C, Ỵ( ) Û y x x

y x x

3

0 0

3

0 0

3

6 ( ) 3( )

ì = - + + ï í - = - - - + - - + ïỵ ( ) ( )

x03 x0 x0 x0 x02 x0

6 2 2 12

Û = - + + - - - + - - + Û + + =

H K

B

A

Vậy điểm cần tìm là: (-1;0) (-1;6)

Câu 100 Cho hàm số y x x

2

+ =

-

1) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) hàm số

2) Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) B(0; 2)

· PT đường trung trực đọan AB: y x=

Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hoành độ nghiệm PT:

x x

x

2

+ =

- Û

x

x x

x

2

1

1

é

-= ê ê - - = Û

+ ê = êë

Hai điểm cần tìm là: 1, ; 1,

2 2

æ - - ổ + +

ỗ ữ ç ÷

ç ÷ ç ÷