Bài tập lớn cơ học lý thuyết 1

LỜI NĨI ĐẦU Quyển BÀI TẬP LỚN CƠ HỌC LÍ THUYẾT thực sinh viên, nhằm giúp cho sinh viên củng cố lại kiến thức học thuận tiện việc ôn tập chuẩn bị cho kì thi cuối kì Bên cạnh đó, đánh giá mức độ hiểu sinh viên, cách trình bày, kí hiệu, Qua đó, Thầy Cơ giáo đánh giá tốt so với hình thức kiểm tra trắc nghiệm, ăn may Đồng thời, giúp sinh viên thấy kết cấu từ thể đến máy móc toán học, liên quan đến thực tiễn, tạo hấp dẫn cho môn học, không mang đậm chất lí thuyết, nhàm chán Quyển gồm có chủ đề, nằm chương: Chủ đề - Thu gọn hệ lực Chủ đề – Tìm phản lực Chủ đề – Bài toán giàn phẳng Chủ đề – Bài toán ma sát Chủ đề – Bài toán chuyển động quay Chủ đề – Bài toán chuyển động song phẳng Chủ đề – Bài toán cấu vi sai Chủ đề – Bài toán động lực học bậc tự Trong trình thực tập lớn khơng tránh khỏi sai sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q Thầy Cơ bạn sinh viên để BÀI TẬP LỚN CƠ HỌC LÍ THUYẾT hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gởi địa chỉ: Đoàn Văn Thanh Phong Trường Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Khoa Cơ Khí Lớp: CK14CK12 E-mail: 1412875@hcmut.edu.vn MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU I Chủ đề - Thu gọn hệ lực II Chủ đề – Tìm phản lực .5 III Chủ đề – Bài toán giàn phẳng IV Chủ đề – Bài toán ma sát 13 V Chủ đề – Bài toán chuyển động quay .16 VI Chủ đề – Bài toán chuyển động song phẳng 20 VII Chủ đề – Bài toán cấu vi sai 23 VIII Chủ đề – Bài toán động lực học bậc tự 26 I Chủ đề – Thu gọn hệ lực Bài Cho hệ gồm khung OAB (đầu O cố định) dây CB có kích thước hình vẽ Cho biết dây CB có đầu C cố định có cường độ lực căng dây đo T=250λ (N) � � � a Hãy biểu diễn vector lực căng dây T theo thành phần vector đơn vị i , j � k b Thu gọn lực căng dây tâm O Bài Làm �Chiếu hệ lên mặt phẳng Oyz mặt phẳng Oxy, ta hình vẽ: Hình 1.1 Ta có: C(0 ; 0,7 ; 1,2) uuur OC =(0 ; ; 0,7 ; 1,2) o o B(1,6 ; -0,8sin30 ; 0,8cos30 ) 62 uuur BC =(-1,6 ; 1,1 ; ) uuur BC = ( 1, 6)2  (1,1)  ( 62 ) �2,007 62 1,6 1,1 r uuur n BC =( 2,007 ; 2,007 ; 2,007 )=(-0,797; 0,548; 0,253) T=250  (N)=250.5,5=1375(N) r r r r ur j n i k BC T =T =(-1095,875; 753,5; 347,875)=-1095,875 +753,5 +347,875 �Khi thu gọn lực căng dây tâm O, tâm O có hai thành phần là: uuur ur r r r uu r ur j T ' = T =-1095,875 i +753,5 +347,875 k M o (T ) uuur ur uuur ur M o (T ) OC �T = = r r r i j k 0, 1, 1095,875 753,5 347,875 r r r j i k =-660,688 -1315,05 +767,113 uur ur M o (T ) = (660,688)2  (1315,05)  (767,133) =1659,626(Nm) II Chủ đề – Tìm phản lực Bài Một người cầm vật nặng ms   (kg) tay hình vẽ Một nhóm cánh tay nhóm hình Tính độ lớn lực F nhóm cánh tay độ lớn phản lực liên kết khuỷu tay E có vị trí hình vẽ Biết vị trí lực tác dụng nhóm vị trí nằm ngang bên phải điểm E, cách điểm E đoạn 50 mm, hướng đến điểm nằm phía điểm E cách điểm E đoạn 200 mm Khối lượng cánh tay 1,5 kg có khối tâm điểm G hình vẽ Bài Làm Hình 2.1 200 O Ta có: tan  = 50 =>   76 , chọn g=10 m / s Với   5,5 Tại thời điểm này, hệ cân �Ta khảo sát cân toàn hệ: �F jx  X E  X A  F cos   (1) �F jy  YE  YA  F sin   P  PS  (2) uur M ( � A Fj )  X E AE  P.EG  PS EK  (3) => XE  (3) 2250  3500  107,5 200 (N) > �Khảo sát cân nút A Hình 2.2 �F jy  YA  F '.sin   �F jx  X A  F '.cos   (4) (5) Mà F  F ' Từ (1) (5) => X E  2.F cos   => F  222, (N) (4) => YA  F sin   215,6 (N) > (2) => YE  P  PS  2.F sin   361, (N) < Vì YE < nên chiều YE ngược chiều chọn Vậy F= 222,2 (N) ; X E = 107,5 (N) ; YE = 361,2 (N) III Chủ đề – Bài toán giàn phẳng Bài Cho hệ giàn phẳng hình bên Hãy xác định ứng lực DF, EF, phản lực theo phương thẳng đứng A trường hợp tải P  200 (kN) IE =12m, EF = 8m Bài Làm Coi giàn phẳng vật rắn cân bằng, chịu tác động hệ lực bao ur ur gồm lực hoạt động P , 5P phản lực liên kết A B, ta lập phương trình cân cho lực nêu trên: Hình 3.1 Ta có: � �Fjx  X A  X B  � � � �Fjy uur P  5P  YA  YB  � � �M A ( Fj )  P.16  5P.12  YB 36  � �X A  X B  � 43 � YA  P  � � � 11 YB  P  � => � Với S k ký hiệu ứng lực thứ k, chiều hình vẽ coi bị kéo, kết tính tốn âm bị nén �Khảo sát cân hệ giàn phẳng IJE Hình 3.2 Ta có: uu r M ( F � E j )  P.IE  S1.JE   S1  P  �Khảo sát cân hệ giàn phẳng HKBGF Hình 3.3 10 Bài Làm �Phân tích chuyển động vật rắn hệ: + Thanh AB chuyển động quanh tâm A cố định + Thanh BC chuyển động song phẳng mặt phẳng hình vẽ + Bánh chuyển động tịnh tiến thẳng theo phương ngang �Bài tốn vận tốc Hình 6.1 21 Chọn B làm điểm cực Áp dụng định lý hợp vận tốc: ur C ur C ur C V a  V e V r Với:   5,5   AB  2,75(rad / s ) urC urC* ur B V e �V a  V a urC ur B � V e ��V a �  � VeC  VaB   AB AB  1,1m / s � ur urC ur � V BC  BC � V r  V BC  � VBC  BC BC � ur chiều V BC quay quanh B theo chiều BC Ta có: B O gVBC = Va cos a = 1,1.cos 60 = 0,55( m / s) => wBC = 11 (rad / s ) > 12 C B gVa = wO OC = Va sin a => wO = 11 (rad / s) > �Bài tốn gia tốc Hình 6.2 22 Chọn B làm điểm cực Áp dụng định lý hợp gia tốc rC rC rC rC aa = ar + ae + ac r C r BC r B r C => a a = a + a a + a c r BC r BC r B rC = (a t + a n ) + a n + a c (1) ( Do AB quay nên eAB = ) rC rC rC a Mặt khác: a = a t + a n (2) Đồng hai phương trình (1) (2) , ta có: rC at Phương Chiều Độ lớn + rC an  ^ OC uuu r � �CO eO OC ? wO2 OC =9,075 (m / s ) = r BC a ( t + ^ BC eBC BC ? r BC an ) + rB an uur � �BA uur � �CB wBC BC 121 = (m/ s ) 240 wAB AB =3,025 (m / s ) 2.wBC VrC = 121 (m / s ) 120 atC =- anBC - anB cos a - acC 121 121 - 3,025 240 120 => eO =- 30, 25(rad / s ) < => eO 0,1 =   Vậy C quay chậm dần quanh tâm O theo chiều kim đồng hồ 23 (3) uur � �CB Chiếu (3) lên trục Ox: Chiếu (3) lên trục Oy, ta được: + rC ac - anC = atBC - anB sin a =>- wO2 0,1 = eBC 0,6 - 3,025.sin 60O => eBC =- 10,759( rad / s ) <    eBC = 10,759( rad / s ) Vậy BC quay chậm dần có gia tốc góc là:    �Bánh O quay chiều kim đồng hồ, chậm dần lăn không trượt nên chuyển động điểm C bánh vận tốc tâm R VaO = VaC = wO r dVaO d (wO r ) a = = = eO r = 3,025( m / s ) dt dt O a VII Chủ đề – Bài toán cấu vi sai Bài Cho hệ thống bánh hành tinh hình vẽ.Bánh trung tâm R giữ cố định Bánh trung tâm S quay với vận tốc S   rad/s Lấy chiều quay bánh S chiều dương Hãy tính vận tốc góc bánh hành tinh P trục quay A 24 Bài Làm Hình 7.1 25 �Nhận xét: + Hai bánh P hệ thống bánh hành tinh hình vẽ có vai trị + Trục quay A tốn có vai trị cần nên vận tốc góc trục quay A vận tốc góc cần �Áp dụng cơng thức Willis cho toán: + Tỷ số truyền tương đối bánh trung tâm R bánh P là: wR - wC r = (- 1) m P wP - wC rR => - wC = wP - wC ( Do bánh trung tâm R giữ có định nên wR = ) => 3wC =- wP (1) + Tỷ số truyền tương đối bánh trung tâm S bánh P là: wS - wC r = (- 1) m P wP - wC rS Với l = 5,5 => 5,5 - wC =wP - wC => 3wC - wP = 11 (2) Từ (1) (2) , giải hệ phương trình ta được: � 11 � w = >0 C � � � � 11 � wP = (VaB ) = x&2 + r j&2 + r.cos160O.x&.j& �Động toàn hệ: T he = T A +T B Với: 1 T A = mA (VaA ) = m A x&2 2 1 T B = mB (VaB ) + J B w2 2 = mB ( x&2 + r j&2 + 2.r.cos160O x&.j&) J B = mB r 2 2 ( Với ) Suy ra: T he = ( mA + mB ).x&2 + mB r j&2 + mB r.cos160O.x&.j& � Xác định lực suy rộng Q1 �Qx tương ứng với tọa độ suy rộng q1 �qx + Cho hệ di chuyển đặc biệt: dq1 = dx > dq2 = dj = , + Tổng công tải: 29 ur �dA = dA( P ur ur ) + d A ( N A ) + dA( P B ) = A + Lực suy rộng: Q1 �Qx = �dA = dx �Xác định lực suy rộng Q2 �Qj tương ứng với tọa độ suy rộng q2 �j + Cho hệ di chuyển đặc biệt: dq1 = dx = dq2 = dj > , + Tổng công tải: ur ur d A = d A ( P ) + d A ( NB) � B ur = dA( P B ) = mB g dhB = mB g ds B sin 20O = mB g r.dj sin 20O + Lực suy rộng: Q2 �Qj = �dA = m dj B g.r.sin 20O �Dùng phương trình Lagrange: d� dT � dT � � = Q1 � � � � dt � dq& � � dq1 Với: dT = (mA + mB ).x&+ mB r.cos160O.j& dq& dT =0 dq1 Q1 = O & & & & Suy ra: (mA + mB ).x + mB r.cos160 j = (1) 30 Tương tự: � dT d� dT � � � = Q2 � � dt � dq&2 � � � dq2 &+ mB r j& &= mB g r.sin 20O => mB r.cos160O.x& (2) Từ (1) (2), ta được: � &+ mB r.cos160O.j& &= (mA + mB ).x& � � � � &+ mB r j& &= mB g r.sin 20O mB r.cos160O.x& � � � Với: r=16,5 (cm) chọn g = 10 (m / s ) Suy ra: �x& &= 1,99 (m/s ) � � � &= 21,36 (rad/s ) j& � Vậy: Ngay dây C bị đứt, nêm A chuyển động nhanh dần với gia tốc 1,99 (m / s ) , trụ tròn, đặc B chuyển động nhanh dần với gia tốc góc 21,36 (rad/s )  Xét hình b: 31 Hình 8.3 (giả sử C khối tâm nêm A) �Phân tích chuyển động vật rắn hệ sau dây C bị đứt: + Nêm A có dạng chuyển động tịnh tiến theo phương nghiêng + Trụ tròn, đặc B thực đồng thời hai chuyển động: Tịnh tiến với nêm A lăn không trượt mặt nêm A �Bậc tự hệ: Dof he = +2 + Chọn hai tọa độ suy rộng: x, j �Phân tích chuyển động phức hợp tâm B: + Chuyển động kéo theo: Tịnh tiến nêm A + Chuyển động tương đối: Lăn không trượt mặt mặt nêm A �Áp dụng định lý hợp vận tốc điểm: ur B ur B ur B V a = V r +V e � VeB = VaA = x& � �B � Vr = r.w= r.j& � Với: 32 Hình 8.4 Suy ra: (VaB ) = (VaA )2 + (VrB ) + 2.VaA VrB cos160O => (VaB ) = x&2 + r j&2 + r.cos160O x&.j& �Động toàn hệ: T he = T A +T B Với: 1 T A = mA (VaA ) = m A x&2 2 1 T B = mB (VaB ) + J B w2 2 = mB ( x&2 + r j&2 + 2.r cos160O.x&.j&) J B = mB r 2 2 ( Với ) Suy ra: T he = ( mA + mB ).x&2 + mB r j&2 + mB r.cos160O.x&.j& � Xác định lực suy rộng Q1 �Qx tương ứng với tọa độ suy rộng q1 �q x + Cho hệ di chuyển đặc biệt: dq1 = dx > dq2 = dj = , + Tổng công tải: ur ur ur ur O d A = d A ( P ) + d A ( N ) + d A ( P ) = d A ( P B A ) = m A g dhA = m g dx.sin 20 A � A A + Lực suy rộng: 33 Q1 �Qx = �dA = m dx A g sin 20O �Xác định lực suy rộng Q2 �Qj tương ứng với tọa độ suy rộng q2 �j + Cho hệ di chuyển đặc biệt: dq1 = dx = dq2 = dj > , + Tổng công tải: ur ur d A = d A ( P ) + d A ( NB) =0 � B + Lực suy rộng: Q2 �Qj = �dA = dj �Dùng phương trình Lagrange: d� dT � dT � � = Q1 � � � � dt � dq& � � dq1 Với: dT = (mA + mB ).x&+ mB r.cos160O.j& dq& dT =0 dq1 Q1 = m A g sin 20O Suy ra: � &+ mB r.cos160O.j& &= mA g.sin 20O (mA + mB ).x& (3) Tương tự: d� dT � dT � � = Q2 � � � � dq2 dt � dq&2 � � 34 &+ mB r j& &= (4) => mB r.cos160O.x& Từ (3) (4), ta được: � &+ mB r.cos160O.j& &= mA g sin 20O (mA + mB ).x& � � � � &+ mB r j& &= mB r.cos160O.x& � � � Với: r=16,5 (cm) chọn g = 10 (m / s ) Suy ra: �x& &= 2,12 (m/s ) � � � &= 8,03 (rad/s ) j& � Vậy: Ngay dây C bị đứt, nêm A chuyển động nhanh dần với gia tốc 2,12 (m / s ) , trụ tròn, đặc B chuyển động nhanh dần với gia tốc góc 8,03 (rad/s ) Hết 35 ... S1.28  S 22  S3 (cos ? ?1. 14  sin ? ?1 )  � � 11 12 248 � O O �S  S3 cos 51  S cos80   99 P � 34 � O O �S3 sin 51  S sin 80   P � � O O 28  S 22  S (cos 51 14  sin 51 )  40 P � 11 ... r r r i j k 0, 1, ? ?10 95,875 753,5 347,875 r r r j i k =-660,688 -13 15,05 +767 ,11 3 uur ur M o (T ) = (660,688)2  (? ?13 15,05)  (767 ,13 3) =16 59,626(Nm) II Chủ đề – Tìm phản lực Bài Một người cầm... uur � �CB wBC BC 12 1 = (m/ s ) 240 wAB AB =3,025 (m / s ) 2.wBC VrC = 12 1 (m / s ) 12 0 atC =- anBC - anB cos a - acC 12 1 12 1 - 3,025 240 12 0 => eO =- 30, 25(rad / s ) < => eO 0 ,1 =   Vậy C quay