c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng m[r]
(1)TỔNG HỢP 40 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CỦA 40 TỈNH THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012 – 2013
MƠN TỐN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM
Năm học: 2012 – 2013
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm)
Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x2 x 0
b)
2
3
x y x y c) x4x212 0 d) x2 2x 0 Bài 2: (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
2 y x
đường thẳng (D):
1 2
y x
hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) câu phép tính
Bài 3: (1,5 điểm)
Thu gọn biểu thức sau:
1
1
x A
x
x x x x với x > 0; x1 (2 3) 26 15 (2 3) 26 15
B
Bài 4: (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 2mx m 0 (x ẩn số)
a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình
Tìm m để biểu thức M = 12 22 24
6
x x x x đạt giá trị nhỏ nhất Bài 5: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) có tâm O điểm M nằm ngồi đường trịn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME<MF) Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO)
a) Chứng minh MA.MB = ME.MF
b) Gọi H hình chiếu vng góc điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp
c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường trịn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳng MS vng góc với đường thẳng KC
d) Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS T trung điểm KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng
BÀI GIẢI Bài 1: (2 điểm)
(2)Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x2 x 0 (a)
Vì phương trình (a) có a - b + c = nên (a)
3
2 x hay x
b)
2 (1)
3 (2)
x y
x y
2 (1)
5 (3) ((2) (1) )
x y x y
13 13 ((1) 2(3))
5 (3) ((2) (1) )
y x y
1
y x
c) x4x212 0 (C)
Đặt u = x2 0, phương trình thành : u2 + u – 12 = (*)
(*) có = 49 nên (*)
1
u
hay
1
u
(loại) Do đó, (C) x2 = x =
Cách khác : (C) (x2 – 3)(x2 + 4) = x2 = x = d) x2 2x 0 (d)
’ = + = (d) x = 3 Bài 2:
a) Đồ thị:
Lưu ý: (P) qua O(0;0), 2;1 , 4; 4 (D) qua 4;4 , 2;1
b) PT hoành độ giao điểm (P) (D)
1
2
4x 2x x2 + 2x – = x4 hay x2
y(-4) = 4, y(2) =
(3)M E F K S A B T P Q C H O V
1
1 x A x
x x x x
2
x x x x x
x x x
2
( 1)
x x
x x x
2 1 x x x
2 ( 1)
( 1) x x x x
x với x > 0; x1 (2 3) 26 15 (2 3) 26 15
B
1
(2 3) 52 30 (2 3) 52 30
2
2
1
(2 3) (3 5) (2 3) (3 5)
2
1
(2 3)(3 5) (2 3)(3 5)
2
Câu 4:
a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > với m nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt
với m
b/ Do đó, theo Viet, với m, ta có: S = b
m a
; P = c
m a
M = 2 24
( )
x x x x = 2
24
4 16
m m m m
2
( 1)
m Khi m = ta có ( 1)2 3
m nhỏ nhất
2
( 1)
M
m lớn m = 1
6
( 1)
M
m nhỏ m = 1 Vậy M đạt giá trị nhỏ - m =
Câu
a) Vì ta có hai tam giác đồng dạng MAE MBF Nên
MA MF
ME MB MA.MB = ME.MF
(Phương tích M đường tròn tâm O) b) Do hệ thức lượng đường trịn ta có MA.MB = MC2, mặt khác hệ thức lượng
trong tam giác vuông MCO ta có MH.MO = MC2 MA.MB = MH.MO
nên tứ giác AHOB nội tiếp đường tròn c) Xét tứ giác MKSC nội tiếp đường tròn đường kính MS (có hai góc K C vng) Vậy ta có : MK2 = ME.MF = MC2 nên MK = MC.
Do MF đường trung trực KC nên MS vng góc với KC V
d) Do hệ thức lượng đường trịn ta có MA.MB = MV.MS đường trịn tâm Q
(4)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
TP.ĐÀ NẴNG Năm học: 2012 – 2013
MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2) = 2) Giải hệ phương trình:
2
2
x y x y Bài 2: (1,0 điểm)
Rút gọn biểu thức A( 10 2) 3 Bài 3: (1,5 điểm)
Biết đường cong hình vẽ bên parabol y = ax2.
1) Tìm hệ số a
2) Gọi M N giao điểm đường thẳng
y = x + với parabol Tìm tọa độ điểm M N Bài 4: (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m tham số.
1) Giải phương trình m =
2) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác thỏa điều kiện
1 2
8 x x x x . Bài 5: (3,5 điểm)
Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B (O), C (O’) Đường thẳng BO cắt (O) điểm thứ hai D
1) Chứ`ng minh tứ giác CO’OB hình thang vuông 2) Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng
3) Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E tiếp điểm) Chứng minh DB = DE BÀI GIẢI
Bài 1:
1) (x + 1)(x + 2) = x + = hay x + = x = -1 hay x = -2 2)
2 (1)
2 (2)
x y
x y
5y 15 ((1) 2(2)) x 2y
y
x
Bài 2: A( 10 2) 3 = ( 1) 5 =
2
( 1) ( 1) = ( 1)( 1) = 4 Bài 3:
1) Theo đồ thị ta có y(2) = = a.22 a = ½
x
ĐỀ CHÍNH THỨC
y
y=ax2
2
(5)B
C
E
D
A
O O’
x + =
2x x2 – 2x – = x = -2 hay x = 4
y(-2) = ; y(4) = Vậy tọa độ điểm M N (-2 ; 2) (4 ; 8) Bài 4:
1) Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – = x = -1 hay x = (có dạng a–b + c = 0)
2) Với x1, x2 0, ta có :
1 2
8 x x
x x 2
1 2 3(x x ) 8 x x
3(x1 + x2)(x1 – x2) = 8x1x2
Ta có : a.c = -3m2 nên 0, m
Khi ta có : x1 + x2 =
2 b
a x1.x2 =
2 c
m a 0
Điều kiện để phương trình có nghiệm mà m > x1.x2 < x1 < x2
Với a = x1 = b' ' x2 = b' ' x1 – x2 =
2 ' 3 m Do đó, ycbt 3(2)( 3 m2) 8( 3 m2) m
3 m2 2m2(hiển nhiên m = không nghiệm)
4m4 – 3m2 – = m2 = hay m2 = -1/4 (loại) m = 1 Bài 5:
1) Theo tính chất tiếp tuyến ta có OB, O’C vng góc với BC tứ giác CO’OB hình thang vng 2) Ta có góc ABC = góc BDC góc ABC + góc BCA = 900 góc BAC = 900
Mặt khác, ta có góc BAD = 900 (nội tiếp nửa đường tròn)
Vậy ta có góc DAC = 1800 nên điểm D, A, C thẳng hàng.
3) Theo hệ thức lượng tam giác vng DBC ta có DB2 = DA.DC
Mặt khác, theo hệ thức lượng đường tròn (chứng minh tam giác đồng dạng) ta có DE2 =
(6)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MƠN : TỐN
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21 tháng năm 2012
Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức :P=
3
1 1
x x
x x x
1 Tìm điều kiện xác định biểu thức P Rút gọn P
Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình :
2
ax
x ay y
1 Giải hệ phương trình với a=1
2 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
Câu (2,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng nửa chiều dài Biết giảm chiều 2m diện tích hình chữ nhật cho giảm nửa Tính chiều dài hình chữ nhật cho
Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) điểm M nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C tiếp điểm ) (O) tia Mx nằm hai tia MO MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng cắt (O) điểm thứ hai A Vẽ đường kính BB’ (O) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BB’,đường thẳng cắt MC B’C K E Chứng minh rằng:
1 điểm M,B,O,C nằm đường tròn Đoạn thẳng ME = R
3 Khi điểm M di động mà OM = 2R điểm K di động đường tròn cố định, rõ tâm bán kính đường trịn
Câu (1,0 điểm) Cho a,b,c số dương thỏa mãn a+ b + c =4 Chứng minh :
3 3
4 a 4b c 2 2
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN : TỐN
Ngày thi: 21 tháng năm 2012
Câu Đáp án, gợi ý Điểm
(7)C1.1 (0,75 điểm)
Biểu thức P xác định
⇔
x −1≠0
x+1≠0
x2−1≠0 ¿{ {
⇔
x ≠1
x ≠ −1 ¿{
0,5 0,25
C1.2 (1,25 điểm) P=
x x −1+
3
x+1−
6x −4 (x+1)(x −1)=
x(x+1)+3(x −1)−(6x −4) (x+1)(x −1)
¿x
2
+x+3x −3−6x+4 (x+1)(x −1) =
x2−2x+1 (x+1)(x −1)
x −1¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
0,25 0,5 0,5
C2.1 (1,0 điểm) Với a = 1, hệ phương trình có dạng:
¿ 2x+y=−4
x −3y=5 ¿{
¿
¿ ⇔ 6x+3y=−12
x −3y=5 ⇔ ¿7x=−7
x −3y=5 ¿ ⇔
x=−1
−1−3y=5 ⇔ ¿x=−1
y=−2 ¿ ¿{
¿
Vậy với a = 1, hệ phương trình có nghiệm là:
¿
x=−1
y=−2 ¿{
¿
0,25 0,25 0,25 0,25
C2.2 (1,0 điểm) -Nếu a = 0, hệ có dạng: 0,25
(8)¿ 2x=−4
−3y=5 ⇔ ¿x=−2
y=−5 ¿{
¿
=> có nghiệm
nhất
-Nếu a , hệ có nghiệm khi: 2a≠ a
−3 ⇔a2≠ −6 (ln đúng,
a2≥0 với a)
Do đó, với a , hệ ln có nghiệm
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm với a
0,25 0,25
C3 (2,0 điểm) Gọi chiều dài hình chữ nhật cho x (m), với x >
Vì chiều rộng nửa chiều dài nên chiều rộng là: x2 (m) => diện tích hình chữ nhật cho là: x.x
2=
x2
2 (m
2)
Nếu giảm chiều m chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật là: x −2 va x
2−2 (m)
khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm nửa nên ta có phương trình: (x −2)(x
2−2)= 2⋅
x2
2 ⇔ x2
2 −2x − x+4=
x2
4 ⇔x
2−12x
+16=0 ………….=> x1=6+2√5 (thoả
mãn x>4);
x2=6−2√5 (loại
vì khơng thoả mãn x>4)
Vậy chiều dài hình chữ nhật cho 6+2√5 (m)
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,5 0,25
C4.1 (1,0 điểm) 1) Chứng minh M, B, O, C thuộc đường trịn
Ta có: ∠MOB=900 (vì MB tiếp tuyến)
∠MCO=900 (vì MC tiếp tuyến)
0,25 0,25 0,25
B
(9)= 900 + 900 = 1800
=> Tứ giác MBOC nội tiếp (vì có tổng góc đối =1800)
=>4 điểm M, B, O, C thuộc đường tròn
0,25
C4.2 (1,0 điểm) 2) Chứng minh ME = R:
Ta có MB//EO (vì vng góc với BB’)
=> ∠ O1 = ∠ M1 (so le
trong)
Mà ∠ M1 = ∠ M2 (tính chất
2 tiếp tuyến cắt nhau) => ∠ M2
= ∠ O1 (1)
C/m MO//EB’ (vì vng góc với BC)
=> ∠ O1 = ∠ E1 (so le trong)
(2)
Từ (1), (2) => ∠ M2 = ∠ E1
=> MOCE nội tiếp
=> ∠ MEO = ∠ MCO = 900
=> ∠ MEO = ∠ MBO = ∠ BOE = 900 => MBOE
hình chữ nhật
=> ME = OB = R (điều phải chứng minh)
0,25 0,25 0,25 0,25
C4.3 (1,0 điểm) 3) Chứng minh OM=2R K di động đường trịn cố định: Chứng minh Tam giác MBC => ∠ BMC = 600
=> ∠ BOC = 1200
=> ∠ KOC = 600 - ∠ O =
600 - ∠ M
1 = 600 – 300 = 300
Trong tam giác KOC vng C, ta có:
CosKOC=OC
OK⇒OK= OC
Cos 300=R: √3
2 = 2√3R
3 Mà O cố định, R không đổi => K
di động đường trịn tâm O, bán kính = 2√3R
3 (điều phải chứng minh)
0,25 0,25 0,25 0,25
C5 (1,0 điểm)
3 3
4 4
3 3
4 4
4 4
4 4
4 4
4
a b c
a b c a a b c b a b c c
a b c
a b c
(10)3 3
4 4
4
4
2
4
a b c Chú ý: -Câu 4, thừa giả thiết “tia Mx” “điểm A” gây rối
-Mỗi câu có cách làm khác câu 5
Cach 2: Đặt x = 4a;y4b;z4 c=> x, y , z > x4 + y4 + z4 = 4.
BĐT cần CM tương đương: x3 + y3 + z3 > 2
hay 2(x3 + y3 + z3 ) > = x4 + y4 + z4
x3( 2-x) + y3( 2-y)+ z3( 2-z) > (*).
Ta xét trường hợp:
- Nếu sô x, y, z tồn it nhât sơ 2, giả sử x 2 x3 2 2.
Khi đo: x3 + y3 + z3 > 2 2 ( y, z > 0).
- Nếu sô x, y, z nhỏ 2 BĐT(*) ln đung. Vậy x3 + y3 + z3 > 2 2được CM.
(11)SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013
ĐĂKLĂK MÔN THI : TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút,(khơng kể giao đề) Ngày thi: 22/06/2012
Câu (2,5đ)
1) Giải phương trình:
a) 2x2 – 7x + = 0. b) 9x4 + 5x2 – = 0.
2) Tìm hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;5) ; B(-2;-3) Câu (1,5đ)
1) Hai ô tô từ A đến B dài 200km Biết vận tốc xe thứ nhanh vận tốc xe thứ hai 10km/h nên xe thứ đến B sớm xe thứ hai Tính vận tốc xe
2) Rút gọn biểu thức:
1
A= x x ;
x
với x ≥ 0.
Câu (1,5 đ)
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m
2) Tìm giá trị m để biểu thức A = x21 x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu (3,5đ)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D E trung điểm đoạn AD EC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh rằng:
1) Tứ giác OEBM nội tiếp 2) MB2 = MA.MD.
3) BFC MOC . 4) BF // AM Câu (1đ)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng:
1 x y Bài giải sơ lược:
Câu (2,5đ)
1) Giải phương trình: a) 2x2 – 7x + = 0.
= (-7)2 – 4.2.3 = 25 > 0
= Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
7
x
4 x
4
b) 9x4 + 5x2 – = Đặt x2 = t , Đk : t ≥ 0.
Ta có pt: 9t2 + 5t – = 0.
a – b + c = t1 = - (không TMĐK, loại) t2 =
4
9 (TMĐK) t2 =
4
9 x2 =
4
9 x =
4
9 3.
(12)E F D A O C B
Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x1,2 =
2
2) Đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A(2;5) B(-2;-3)
2a b a
2a b b
Vậy hàm số càn tìm : y = 2x + Câu
1) Gọi vận tốc xe thứ hai x (km/h) Đk: x > Vận tốc xe thứ x + 10 (km/h)
Thời gian xe thứ quảng đường từ A đến B : 200 x 10 (giờ) Thời gian xe thứ hai quảng đường từ A đến B :
200 x (giờ)
Xe thứ đến B sớm so với xe thứ hai nên ta có phương trình:
200 200 1 x x 10 Giải phương trình ta có x1 = 40 , x2 = -50 ( loại)
x1 = 40 (TMĐK) Vậy vận tốc xe thứ 50km/h, vận tốc xe thứ hai 40km/h
2) Rút gọn biểu thức:
1 x 1
A x x x x
x x
=
x x x 1
x
= x, với x ≥ 0.
Câu (1,5 đ)
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m
Ta có
2 2
(m 2) m 4m
> với m
Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m
2) phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m Theo hệ thức Vi-ét ta có :
1 2
x x 2(m 2) x x m 4m
A = x12x22 = (x1 + x2)2 – x
1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10
= 2(m2 + 4m) + 10
= 2(m + 2)2 + ≥ với m.
Suy minA = m + = m = - Vậy với m = - A đạt =
Câu
1) Ta có EA = ED (gt) OE AD ( Quan hệ đường kính dây) OEM = 900; OBM = 900 (Tính chất tiếp tuyến)
E B nhìn OM góc vng Tứ giác OEBM nội tiếp. 2) Ta có
MBD
sđ BD ( góc nội tiếp chắn cung BD)
MAB
(13) MBD MAB Xét tam giác MBD tam giác MAB có:
Góc M chung, MBD MAB MBDđồng dạng với MAB
MB MD MA MB MB2 = MA.MD
3) Ta có:
MOC
BOC=
2 sđ BC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);
1 BFC
2
sđ BC (góc nội tiếp) BFC MOC .
4) Tứ giác MFOC nội tiếp ( F C = 1800) MFC MOC ( hai góc nội tiếp chắn cung MC), mặt
khác MOC BFC (theo câu 3) BFC MFC BF // AM. Câu
2 2 a b a b
x y x y
Ta có x + 2y = x = – 2y , x dương nên – 2y > 0 Xét hiệu
1 x y =
2 3 y 4y 3y(3 2y) 6(y 1)
3 2y y y(3 2y) y(3 2y)
≥ ( y > – 2y > 0)
1 3
x 2y dấu “ =” xãy
x 0,y x 0,y
x
x 2y x
y
y y
(14)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012- 2013
Mơn thi: TỐN (khơng chun) Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi 19 tháng năm 2012
Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm)
1) Giải phương trình
1
x x
2) Giải hệ phương trình
3 3
3 11
x x y
.
Câu II ( 1,0 điểm)
Rút gọn biểu thức
1 a +
P = + :
2 a - a - a a - a
với a > a 4 . Câu III (1,0 điểm)
Một tam giác vng có chu vi 30 cm, độ dài hai cạnh góc vng 7cm Tính độ dài cạnh tam giác vng
Câu IV (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):y = 2x - m +1 parabol (P):
2 y = x
2 .
1) Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 3)
2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) (x2; y2) cho
1 2
x x y + y 48 0
Câu V (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường trịn lấy điểm C cho AC < BC (CA) Các tiếp tuyến B C (O) cắt điểm D, AD cắt (O) E (E A)
1) Chứng minh BE2 = AE.DE.
2) Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB H, DO cắt BC F Chứng minh tứ giác CHOF nội tiếp
3) Gọi I giao điểm AD CH Chứng minh I trung điểm CH Câu VI ( 1,0 điểm)
Cho số dương a, b thỏa mãn 1
2
a b Tìm giá trị lớn biểu thức 2 2
1
2
Q
a b ab b a ba
.
(15)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN (không chuyên) Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
- Thí sinh làm theo cách riêng đáp ứng yêu cầu cho đủ điểm - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải thống Hội đồng chấm - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu Nội dung Điểm
Câu I (2,0đ)
1) 1,0 điểm
1 3( 1)
3 x
x x x
0,25
1 3
x x
0,25
2x
0,25
2 x
.Vậy phương trình cho có nghiệm x = -2 0,25 2) 1,0 điểm 3 3 0(1)
3 11 (2)
x x y
Từ (1)=>x 3 3
0,25
<=>x=3 0,25
Thay x=3 vào (2)=>3.3 2 y11 <=>2y=2 0,25 <=>y=1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y)=(3;1) 0,25 Câu II (1,0đ)
1 a +1
P= + :
2- a
a 2- a a a
0,25
1+ a
=
a (2 ) a +1
a a a 0,25
a a
=
a 2- a
0,25 a = 2- a =-1 0,25 Câu III
(1,0đ) Gọi độ dài cạnh góc vng nhỏ x (cm) (điều kiện 0< x < 15)=> độ dài cạnh góc vng cịn lại (x + )(cm)
Vì chu vi tam giác 30cm nên độ dài cạnh huyền 30–(x + x +7)= 23–2x (cm)
0,25
Theo định lí Py –ta- go ta có phương trình x + (x + 7) = (23 - 2x)2 2 0,25
x - 53x + 240 =
(1) Giải phương trình (1) nghiệm x = 5; x = 48 0,25 Đối chiếu với điều kiện có x = (TM đk); x = 48 (không TM đk)
Vậy độ dài cạnh góc vng 5cm, độ dài cạnh góc vng cịn lại 12 cm, độ dài cạnh huyền 30 – (5 + 12) = 13cm
0,25 Câu IV
(2,0đ)
1) 1,0 điểm Vì (d) qua điểm A(-1; 3) nên thay x = -1 y = vào hàm số y = 2x – m +
(16) -1 – m = 0,25
m = -4 0,25
Vậy m = -4 (d) qua điểm A(-1; 3) 0,25
2) 1,0 điểm
Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình
x
2 x m
0,25
x 4x 2m (1)
; Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nên (1) có hai nghiệm phân biệt ' 2m 0 m3
0,25 Vì (x1; y1) (x2; y2) tọa độ giao điểm (d) (P) nên x1; x2 nghiệm
phương trình (1) y = 21 x1 m1,y = 22 x2 m1
Theo hệ thức Vi-et ta có x + x = 4, x x = 2m-21 2 Thay y1,y2 vào
1 2
x x y +y 48 0
có x x 2x +2x -2m+21 2 48 0 (2m - 2)(10 - 2m) + 48 =
0,25
2
m - 6m - =
m=-1(thỏa mãn m<3) m=7(không thỏa mãn m<3) Vậy m = -1 thỏa mãn đề
0,25 Câu V (3,0đ)
1) 1,0 điểm Vẽ hình theo yêu cầu chung đề 0,25
VìBD tiếp tuyến (O) nên BD OB => ΔABD vuông B 0,25
Vì AB đường kính (O) nên AE BE 0,25
Áp dụng hệ thức lượng ΔABD (ABD=90 0;BE AD) ta có BE2 =
AE.DE
0,25 2) 1,0 điểm
Có DB= DC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau), OB = OC (bán kính (O))
=> OD đường trung trực đoạn BC => OFC=90 (1)
0,25
Có CH // BD (gt), mà AB BD (vì BD tiếp tuyến (O)) 0,25 => CH AB => OHC=90 0 (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có OFC + OHC = 180 => tứ giác CHOF nội tiếp 0,25 3)1,0 điểm Có CH //BD=>HCB=CBD
(hai góc vị trí so le trong) mà
ΔBCD cân D => CBD DCB nên CB tia phân giác HCD
0,25
AI CI
=
(17)(3)
Trong ΔABDcó HI // BD =>
AI HI
=
AD BD (4)
0,25
Từ (3) (4) =>
CI HI
=
CD BD mà CD=BD CI=HI I trung điểm CH
0,25 Câu VI
(1,0đ) Với a0;b0ta có:
2 2 2
(a b) 0 a 2a b b 0 a b 2a b 2 2 2
a b ab a b ab
2
1
(1)
2
a b ab ab a b
0,25
Tương tự có 2
1
(2)
2
b a a b ab a b Từ (1) (2)
1 Q
ab a b
0,25
Vì 1
2 a b 2ab
a b mà a b 2 ab ab1
1
2( )
Q
ab
0,25
Khi a = b =
1 Q
Vậy giá trị lớn biểu thức
(18)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2011 - 2012 MƠN THI: TỐN
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu 1(3,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 6 9 0
x x
b) Giải hệ phương trình:
4 3 6
3 4 10
x y y x
c) Giải phương trình:
2 6 9 2011
x x x Câu (2,5 điểm)
Một ca nơ chạy xi dịng từ A đến B chạy ngược dòng từ B đến A hết tất Tính vận tốc ca nơ nước n lặng, biết quãng sông AB dài 30 km vận tốc dòng nước km/giờ
Câu 3(2,5 điểm)
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm M, N cho M, O, N không thẳng hàng Hai tiếp tuyến M , N với đường tròn (O) cắt A Từ O kẻ đường vng góc với OM cắt AN S Từ A kẻ đường vng góc với AM cắt ON I Chứng minh:
a) SO = SA
b) Tam giác OIA cân Câu 4(2,0 điểm).
a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = 0
b) Cho tam giác ABC vuông A Gọi I giao điểm đường phân giác Biết AB = cm, IC = cm Tính BC
Hướng dẫn chấm, biểu điểm MƠN THI: TOÁN CHUNG
Nội dung Điểm
Câu (3,0 điểm)
a) Giải phương trình:
2 6 9 0
x x 1,0
(19)Bài giải: Ta có ' ( 3)2 0 0,5 Phương trình có nghiệm:
6 x
0,5
b) Giải hệ phương trình:
4 (1)
3 10 (2)
x y
y x
1,0 Bài giải: Cộng (1) (2) ta có: 4x - 3y + 3y + 4x = 16 8x = 16 x = 2 0,5
Thay x = vào (1): – 3y = y =
3 Tập nghiệm:
2 x y
0,5
c) Giải phương trình:
2 6 9 2011
x x x (3) 1,0
Bài giải: Ta có
2
2 6 9 3 3
x x x x 0,5
Mặt khác:
2 6 9 0 2011 0 2011 3 3
x x x x x x
Vậy: (3) x 3 x 2011 3 2011 Phương trình vơ nghiệm
0,5
Câu (2,5 điểm ) 2,5
Bài giải: Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng x km/giờ ( x > 4) 0,5
Vận tốc ca nơ xi dịng x +4 (km/giờ), ngược dòng x - (km/giờ) Thời gian ca nơ xi dịng từ A đến B
30
x giờ, ngược dòng từ B đến A
30 x giờ.
0,5
Theo ta có phương trình:
30 30
4
4
x x (4) 0,5
2
(4) 30(x 4)30(x4)4(x4)(x 4) x 15x 16 0 x 1
hoặc x = 16 Nghiệm x = -1 <0 nên bị loại 0,5
Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 16km/giờ 0,5
Câu (2,5 điểm)
A
S
O N
M
I 0,5
(20)Vì AM, AN tiếp tuyến nên: MAO SAO (1) 0,5 Vì MA//SO nên: MAO SOA (so le trong) (2) 0,5 Từ (1) (2) ta có: SAO SOA SAO cân SA = SO (đ.p.c.m)
b) Chứng minh tam giác OIA cân 1,0 Vì AM, AN tiếp tuyến nên: MOA NOA (3) 0,5
Vì MO // AI nên: góc MOA góc OAI (so le trong) (4)
0,5
Từ (3) (4) ta có: IOA IAO OIA cân (đ.p.c.m) Câu 4(2,0 điểm).
a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = (1) 1,0 Bài giải: (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0
0,5
(x+ y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0
(y - 1)(y + 4) = - (x+ y)2 (2)
Vì - (x+ y)2 với x, y nên: (y - 1)(y + 4) -4 y 1
0,5
Vì y nguyên nên y 4; 3; 2; 1; 0; 1
Thay giá trị nguyên y vào (2) ta tìm cặp nghiệm nguyên (x; y) PT cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1)
b) Cho tam giác ABC vuông A Gọi I là giao điểm đường phân giác Biết AB = cm, IC = cm Tính BC.
5
x
D
B
A
C I
E Bài giải:
Gọi D hình chiếu vng góc C đường thẳng BI, E giao điểm AB CD.BIC có DIC góc ngồi
nên: DIC =
0
( ) 90 : 45
2
IBC ICB B C
DIC vuông cân DC = : Mặt khác BD đường phân giác đường cao nên tam giác BEC cân B
EC = DC = 12: 2 BC = BE
0,5
Gọi x = BC = BE (x > 0) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ACE ta có: AC2 = BC2 – AB2 = x2 – 52= x2 -25
EC2 = AC2 + AE2 = x2 -25 + (x – 5)2 = 2x2 – 10x
(21)(22)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013
Mơn thi: Tốn Ngày thi: 21 tháng năm 2012 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm)
1) Cho biểu thức
x A
x
Tính giá trị A x = 36 2) Rút gọn biểu thức
x x 16
B :
x x x
(với x 0; x 16 )
3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên
Bài II (2,0 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung cơng việc
12
5 xong Nếu người làm người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong công việc?
Bài III (1,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
2
x y
6 x y
2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân
biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện :
2 2 x x 7 Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB
1) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ACM ACK
3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C
4) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB
AP.MB R
MA Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK
Bài V (0,5 điểm) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2
x y
M
xy
(23)GỢI Ý – ĐÁP ÁN Bài I: (2,5 điểm)
1) Với x = 36, ta có : A =
36 10 36
2) Với x , x 16 ta có :
B =
x( x 4) 4( x 4) x
x 16 x 16 x 16
=
(x 16)( x 2) x (x 16)(x 16) x 16
3) Ta có:
2 2
( 1)
16 16 16
x x x
B A
x x x x x
Để B A( 1) nguyên, x nguyên x 16 ước 2, mà Ư(2) = 1; Ta có bảng giá trị tương ứng:
16
x 1 2
x 17 15 18 14
Kết hợp ĐK x0, x16, để B A( 1) nguyên x14; 15; 17; 18 Bài II: (2,0 điểm)
Gọi thời gian người thứ hồn thành xong cơng việc x (giờ), ĐK 12
5 x Thì thời gian người thứ hai làm xong cơng việc x + (giờ)
Mỗi người thứ làm
x(cv), người thứ hai làm được
2 x (cv) Vì hai người làm xong công việc
12
5 giờ nên hai đội làm được 12 1:
5 = 12(cv) Do ta có phương trình
1
x x 12
2
( 2) 12
x x
x x
5x2 – 14x – 24 =
’ = 49 + 120 = 169, , 13 =>
7 13
5
x
(loại)
7 13204
5
x
(TMĐK) Vậy người thứ làm xong công việc giờ,
người thứ hai làm xong công việc 4+2 =
Bài III: (1,5 điểm) 1)Giải hệ:
2 x y x y
(24)Hệ
4 10
4
2
2 2
6
2
1
x
x
x y x x x
y y
x y x y
x y
.(TMĐK)
Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;1)
2) + Phương trình cho có = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt m
+ Theo ĐL Vi –ét, ta có:
1
2
4
3
x x m
x x m m
Khi đó: x12x22 7 (x1x2)2 2x x1 7
(4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 10m2 – 4m – = 5m2 – 2m – = Ta thấy tổng hệ số: a + b + c = => m = hay m =
3
Trả lời: Vậy
Bài IV: (3,5 điểm)
1) Ta có HCB 900( chắn nửa đường tròn đk AB) 900
HKB (do K hình chiếu H AB)
=> HCB HKB 1800 nên tứ giác CBKH nội tiếp đường trịn đường kính HB. 2) Ta có ACM ABM (do chắn AM (O))
và ACK HCK HBK (vì chắn HK .của đtrịn đk HB) Vậy ACM ACK
3) Vì OC AB nên C điểm cung AB AC = BC sd AC sd BC 900 Xét tam giác MAC EBC có
MA= EB(gt), AC = CB(cmt) MAC = MBC chắn cung MC (O)
A B
C M
H
(25)MAC EBC (cgc) CM = CE tam giác MCE cân C (1) Ta lại có CMB 450(vì chắn cung CB 900)
CEM CMB 450(tính chất tam giác MCE cân C)
Mà CME CEM MCE 1800(Tính chất tổng ba góc tam giác)MCE 900 (2) Từ (1), (2) tam giác MCE tam giác vuông cân C (đpcm)
4) Gọi S giao điểm BM đường thẳng (d), N giao điểm BP với HK Xét PAM OBM :
Theo giả thiết ta có
AP MB AP OB R
MA MA MB (vì có R = OB) Mặt khác ta có PAM ABM (vì chắn cung AM của (O)) PAM ∽ OBM
1
AP OB
PA PM
PM OM .(do OB = OM = R) (3)
Vì AMB900(do chắn nửa đtrịn(O)) AMS 900 tam giác AMS vng M PAM PSM 900
PMA PMS 900 PMS PSM PSPM(4) Mà PM = PA(cmt) nên PAM PMA
Từ (3) (4) PA = PS hay P trung điểm AS
Vì HK//AS (cùng vng góc AB) nên theo ĐL Ta-lét, ta có:
NK BN HN
PA BP PS hay
NK HN
PA PS mà PA = PS(cmt) NKNH hay BP qua trung điểm N HK (đpcm)
Bài V: (0,5 điểm)
A B
C M
H
K O
S
P E
(26)Cách 1(không sử dụng BĐT Co Si) Ta có M =
2 2 2 2
( 4 ) ( )
x y x xy y xy y x y xy y
xy xy xy
=
2
( )
4
x y y
xy x
Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy x = 2y
x ≥ 2y
1 3
2
y y
x x
, dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ +
-3 2=
5
2 , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M
5
2, đạt x = 2y
Cách 2: Ta có M =
2 2 3
( )
4
x y x y x y x y x
xy xy xy y x y x y
Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ;
x y
y x ta có 4
x y x y
y x y x , dấu “=” xảy x = 2y
Vì x ≥ 2y
3
2
4
x x
y y , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ +
3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M
5
2, đạt x = 2y Cách 3:
Ta có M =
2 2 4 3
( )
x y x y x y x y y
xy xy xy y x y x x
Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương ; x y y x ta có
4
2
x y x y
y x y x , dấu “=” xảy x = 2y
Vì x ≥ 2y
1 3
2
y y
x x
, dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥
4-3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M
5
(27)Ta có M =
2 2 2
2 2
2 3 3
4 4 4
4
x x x x x
y y y y
x y x x
xy xy xy xy xy xy y
Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương
2 ; x
y
ta có
2
2 2 .
4
x x
y y xy
, dấu “=” xảy x = 2y
Vì x ≥ 2y
3
2
4
x x
y y , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥
xy xy +
3 2= 1+
3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M
5
(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN
THANH HOÁ NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi : TỐN
(Đề gồm có 01 trang) (Mơn chung cho tất cảc thí sinh)
Thời gian làm :120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17 tháng năm 2012
Câu 1: (2.0 điểm ) Cho biểu thức :
1 1
4
1
a a
P a
a a a a
, (Với a > , a 1) Chứng minh :
2 P
a
Tìm giá trị a để P = a
Câu 2 (2,0 điểm ) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) : y = 2x + 3
1 Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt
2 Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ) Câu (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + = 0
1 Giải phơng trình m =
2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Câu (3.0 điểm) : Cho đường trịn (O) có đờng kính AB cố định, M điểm thuộc (O) ( M khác A B ) Các tiếp tuyến (O) A M cắt C Đường tròn (I) qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C CD đờng kính (I) Chứng minh rằng:
1 Ba điểm O, M, D thẳng hàng Tam giác COD tam giác cân
3 Đờng thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động đường tròn (O)
Câu (1.0 điểm) : Cho a,b,c số dương không âm thoả mãn : a2 b2c2 3
Chứng minh : 2
1
2 3
a b c
a b b c c a
(36)BÀI GIẢI
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1
1 Chứng minh :
2 P a
1 1
4
1
a a
P a
a a a a
2
1 1 1
1
a a a a a
P a a a a
2 4
1
a a a a a a a
P a a a a
4
1
a a P
a a a a
(ĐPCM)
1.0
2 Tìm giá trị a để P = a P = a =>
2
2
1 a a a
a
Ta có + + (-2) = 0, nên phương trình có nghiệm a1 = -1 < (không thoả mãn điều kiện) - Loại
a2 =
2 c a
(Thoả mãn điều kiện) Vậy a = P = a
1.0
2 Chứng minh (d) (P) có hai điểm chung phân biệt
Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phương trình x2 = 2x + => x2 – 2x – = có a – b + c = 0
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -1 x2 =
3 c a
Với x1 = -1 => y1 = (-1)2 = => A (-1; 1)
Với x2 = => y2 = 32 = => B (3; 9)
Vậy (d) (P) có hai điểm chung phân biệt A B
1.0
2 Gọi A B điểm chung (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc toạ độ)
Ta biểu diễn điểm A B mặt phẳng toạ độ Oxy hình vẽ
(37)1
.4 20
2
ABCD
AD BC
S DC
9.3
13,5
2
BOC
BC CO
S
1.1
0,5
2
AOD
AD DO
S
Theo công thức cộng diện tích ta có: S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO)
= 20 – 13,5 – 0,5 = (đvdt)
3
1 Khi m = 4, ta có phương trình
x2 + 8x + 12 = có ’ = 16 – 12 = > 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - + = - x2 = - - = -
1.0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x2 + 2mx + m2 – 2m + = 0
Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – 4
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt D’ > => 2m – > => 2(m – 2) > => m – > => m > Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt
1.0
4
1 2
N K
H
D I
C
O
A B
M
1 Ba điểm O, M, D thẳng hàng:
Ta có MC tiếp tuyến đường tròn (O) MC MO (1) Xét đường trịn (I) : Ta có CMD 900 MC MD (2) Từ (1) (2) => MO // MD MO MD trùng O, M, D thẳng hàng
1.0
2 Tam giác COD tam giác cân
CA tiếp tuyến đường tròn (O) CA AB(3) Đờng tròn (I) tiếp xúc với AC C CA CD(4) Từ (3) (4) CD // AB => DCO COA (*) ( Hai góc so le trong)
CA, CM hai tiếp tuyến cắt (O) COA COD (**) Từ (*) (**) DOC DCO Tam giác COD cân D
1.0
(38)động đờng tròn (O)
* Gọi chân đường vng góc hạ từ D tới BC H CHD 900 H (I) (Bài toán quỹ tích)
DH kéo dài cắt AB K
Gọi N giao điểm CO đường tròn (I) =>
900 can tai D
CND NC NO
COD
Ta có tứ giác NHOK nội tiếp
Vì có H2 O1DCO ( Cùng bù với góc DHN) NHO NKO 1800(5) * Ta có : NDH NCH (Cùng chắn cung NH đường tròn (I))
CBO HND HCD
DHN COB (g.g)
HN OB HD OC
OB OA HN ON
OC OC HD CD
OA CN ON OC CD CD
Mà ONH CDH NHO DHC (c.g.c)
NHO 900 Mà NHO NKO 1800(5) NKO900, NK AB NK // AC K trung điểm OA cố định (ĐPCM)
5 Câu (1.0 điểm) : Cho a,b,c số dơng không âm thoả mãn : a2 b2 c2 3
Chứng minh : 2
1
2 3
a b c
a b b c c a
* C/M bổ đề:
2 2 a b a b
x y x y
2
2 2 a b c a b c
x y x x y z Thật 2 2
2 0
a b a b
a y b x x y xy a b ay bx x y x y
(Đúng) ĐPCM Áp dụng lần , ta có:
2
2 2 a b c a b c
x y x x y z
* Ta có : a22b 3 a22b 1 2a2b2, tương tự Ta có: … 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c
A
a b b c c a a b b c c a
1
(1)
2 1
B
a b c
A
a b b c c a
Ta chứng minh 1 1
a b c
a b b c c a
(39)
2 2
3
1 1
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2 (2)
1 1 1
B
a b c
a b b c c a
b c a
a b b c c a
b c a
a b b c c a
b c a
a b b b c c c a a
* Áp dụng Bổ đề ta có:
3
1 1 1
a b c B
a b b b c c c a a
2
2 2
3
3 (3)
3( )
a b c B
a b c ab bc ca a b c * Mà:
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
3( )
2 2 2 6 6
2 2 2 6 6 ( : 3)
2 2 6
3
3
3( )
a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca a b c
a b c ab bc ca a b c Do a b c a b c ab bc ca a b c
a b c
a b c
a b c ab bc ca a b c
32 (4) Từ (3) (4) (2)
Kết hợp (2) (1) ta có điều phải chứng minh Dấu = xảy a = b = c =
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ
(40)Khóa ngày:21/6/2012 MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình , phương trình sau đây:
43 19
x y
x y
2 x5 2x 18 x2 12x36 0
4 x 2011 4x 8044 3 Câu 2: (1,5 điểm)
Cho biểu thức:
2
1 1
2 :
1
a K
a a
a a
(với a0,a1) Rút gọn biểu thức K
2 Tìm a để K 2012 Câu 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình (ẩn số x): x2 4x m 2 3 *
1 Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa x2 5x1.
Câu 4: (1,5 điểm)
Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau tơ bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do để đến B hạn xe phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc đầu ô tô
Câu 5: (3,5 điểm)
Cho đường tròn O , từ điểm Aở ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến ABvàAC(B C, tiếp điểm) OAcắtBCtại E
1 Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
2 Chứng minh BC vng góc với OA BA BE AE BO .
3 GọiI trung điểm BE, đường thẳng quaIvà vng góc OI cắt tia AB AC, theo thứ tự Dvà F Chứng minh IDO BCO DOFcân O.
4 Chứng minh F trung điểm củaAC
GỢI Ý GIẢI: Câu 1: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình , phương trình sau đây:
43 2 86 105 21
3 19 19 43 22
x y x y x x
x y x y x y y
2 x5 2x 18 ; ÐK x: 9
(41)23( ) 18
13
5 18 ( )
3
x TMÐK
x x
x x x KTMÐK
3 x2 12x36 0 (x 6)2 0 x6
4
2011 8044 3; : 2011
3 2011 2012( )
x x ÐK x
x x TMÐK
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho biểu thức:
2
1 1
2 : a K a a a a
(với a0,a1)
2
1 1 1
2 : :
( 1)
1 ( 1)
1 1
2 : : ( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
a a a a
K
a a a a
a a a a
a a a
a a a a a a
2012
K a = 2012 a = 503 (TMĐK) Câu 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình (ẩn số x):
2
2
4 *
16 12 4 0;
x x m
m m m
Vậy (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m
2 Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa x2 5x1.
Theo hệ thức VI-ET có :x1.x2 = - m2 + ;x1+ x2 = 4; mà x2 5x1 => x1 = - ; x2 =
Thay x1 = - ; x2 = vào x1.x2 = - m2 + => m = 2
Câu 4: (1,5 điểm)
Gọi x (km/h) vt dự định; x > => Thời gian dự định : 120
( )h x Sau h ô tô x km => quãng đường lại 120 – x ( km) Vt lúc sau: x + ( km/h)
Pt
1 120 120
1 6 x x x
=> x = 48 (TMĐK) => KL HD C3
Tam giác BOC cân O => góc OBC = góc OCB
Tứ giác OIBD có góc OID = góc OBD = 900 nên OIBD nội tiếp => góc ODI = góc OBI
Do IDO BCO
Lại có FIOC nội tiếp ; nên góc IFO = góc ICO Suy góc OPF = góc OFP ; DOFcân O. HD C4
(42)Tam giác ABC có EB = EC ; BA // FE; nên EF ĐTB tam giác ABC => FA = FC
Sở GD – ĐT NGH AN Đề thi vào THPT năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán
Thêi gian 120 phót Ngày thi 24/ 06/ 2012
C©u 1: 2,5 ®iÓm:
Cho biÓu thøc A =
1
2
x
x x x
a) Tìm điều kiện xác định tú gọn A
b) Tìm tất giá trị x để
1 A
c) Tìm tất giá trị x để
7 B A
đạt giá trị nguyên Câu 2: 1,5 điểm:
Quảng đờng AB dài 156 km Một ngời xe máy tử A, ngời xe đạp từ B Hai xe xuất phát lúc sau gặp Biết vận tốc ngời đI xe máy nhanh vận tốc ngời đI xe đạp 28 km/h Tính vận tốc ca mi xe?
Câu 3: điểm:
Chjo phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 =0 ( m tham số).
a) GiảI phơng trình m =
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
2 2 16 x x
C©u 4: ®iĨm
Cho điểm M nằm ngồi đờng trịn tâm O Vẽ tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không đI qua tâm O ( C nằm M D), OM cắt AB (O) lần lợt H I Chứng minh
a) Tø gi¸c MAOB néi tiÕp
b) MC.MD = MA2
c) OH.OM + MC.MD = MO2
d) CI tia phân gi¸c gãc MCH
HƯỚNG DẪN GIẢI
(43)Câu 1: (2,5 điểm)
a, Với x > x 4, ta có:
A =
1
2
x
x x x
=
2 2
( 2)( 2)
x x x
x x x
= =
2 x
b, A =
2 x
2 x >
1
2 x > 4.
c, B = 3
2 x =
14
3( x2) số nguyên x2 ước 14 hay x2 = 1, x2 = 7, x2 = 14.
(Giải pt tìm x) Câu 2: (1,5 điểm)
Gọi vân tốc xe đạp x (km/h), điều kiện x > Thì vận tốc xe máy x + 28 (km/h)
Trong giờ:
+ Xe đạp quãng đường 3x (km),
+ Xe máy quãng đường 3(x + 28) (km), theo ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156
Giải tìm x = 12 (TMĐK)
Trả lời: Vận tốc xe đạp 12 km/h vận tốc xe máy 12 + 28 = 40 (km/h) Câu 3: (2,0 điểm)
a, Thay x = vào phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - = giải phương trình:
x2 - 4x + = nhiều cách tìm nghiệm x
1 = 1, x2 =
b, Theo hệ thức Viét, gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình
x2 - 2(m - 1)x + m2 - = , ta có:
1 2
2( 1)
x x m
x x m
và x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = 16
Thay vào giải tìm m = 0, m = -4 Câu 4: (4,0 điểm)
Tự viết GT-KL
(44)D C
M
I H
B
a, Vì MA, MB tiếp tuyến đường tròn (O) A B nên góc tứ giác MAOB vng A B, nên nội tiếp đường tròn
b, MAC MDA có chung M MAC = MDA (cùng chắn AC), nên đồng dạng Từ suy ra
MA MD
MC MD MA
MC MA (đfcm)
c, MAO AHO đồng dạng có chung góc O AMO HAO (cùng chắn hai cung của đường tròn nội tiếp tứ giác MAOB) Suy OH.OM = OA2
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông MAO hệ thức OH.OM = OA2 MC.MD = MA2 để suy điều
phải chứng minh
d, Từ MH.OM = MA2, MC.MD = MA2 suy MH.OM = MC.MD
MH MC MD MO (*) Trong MHC MDO có (*) DMO chung nên đồng dạng.
M O
MC MO MO
HC D A hay O
MC MO CH A (1)
Ta lại có MAIIAH (cùng chắn hai cung nhau) AI phân giác MAH . Theo t/c đường phân giác tam giác, ta có: A
MI MA IH H (2)
MHA MAO có OMA chung MHA MAO 900 đồng dạng (g.g)
O A
MO MA A H (3) Từ (1), (2), (3) suy
MC MI
CH IH suy CI tia phân giác góc MCH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
H
(45)HÀ NAM NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi : 22/06/2012 Câu 1 (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau:
a) A 45 500 12
b) B
3
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phương trình: x2 – 5x + = 0
b) Giải hệ phương trình:
3x y x 2y
Câu 3: (2 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 đường thẳng (d) có phương trình: y =
2mx – 2m + (m tham số)
a) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) biết tung độ chúng
b) Chứng minh (P) (d) cắt hai điểm phân biệt với m Gọi y , y1 2là tung độ giao điểm (P) (d), tìm m để y1y29 Câu 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường trịn (O) A lấy điểm M ( M khác A) Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C tiếp điểm) Kẻ CH vng góc với AB (H AB ), MB cắt (O) điểm thứ hai K cắt CH N Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKNH tứ giác nội tiếp b) AM2 = MK.MB
c) Góc KAC góc OMB d) N trung điểm CH Câu 5(1 điểm)
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1; b 4;c 9 Tìm giá trị lớn biểu thức :
bc a ca b ab c P
abc
(46)(47)(48)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO QUẢNG TRỊ
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 KHÓA NGÀY : 19/6/2012
MƠN : TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2 điểm)
1.Rút gọn biểu thức (khơng dùng máy tính cầm tay): a) √50 - √18
b) P=(
√a−1+ √a+1)÷
1
a −1 , với a 0,a 2.Giải hệ phương trình (khơng dùng máy tính cầm tay):
¿
x+y=4 2x − y=5
¿{ ¿ Câu 2:(1,5 điểm)
Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2−5x −3=0 Khơng giải phương trình, tính giá trị
biểu thức sau:
a, x1 + x2 b,
1
x1+x2 c, x1
2
+x22 Câu 3:(1,5 điểm)
Trên mặt phảng tọa độ, gọi (P) đồ thị hàm số y=x2 a, Vẽ (P)
b, Tìm tọa độ giao điểm (P) đường thẳng d: y = -2x+3 Câu 4:(1,5 điểm)
Hai xe khởi hành lúc từ địa điểm A đến địa điểm B cách 100km Xe thứ chạy nhanh xe thứ hai 10km/h nên đến B sớm hơm 30 phút, Tính vận tốc xe
Câu 5:(3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) Đường thẳng (d) khơng qua tâm (O) cắt đường trịn hai điểm A B theo thứ tự, C điểm thuộc (d) ngồi đường trịn (O) Vẽ đường kính PQ vng góc với dây AB D ( P thuộc cung lớn AB), Tia CP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K
a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh CI.CP = CK.CD
c) Chứng minh IC phân giác góc đỉnh I tam giác AIB
d) Cho ba điểm A, B, C cố định Đường tròn (O) thay đổi qua A B Chứng minh IQ qua điểm cố định
(49)SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NINH THUẬN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
Khóa ngày: 24 – – 2012 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2 3 x y x y
b) Xác định giá trị m để hệ phương trình sau vơ nghiệm:
( 2) ( 1)
3
m x m y
x y
( m tham số)
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho hai hàm số y = x2 y = x + 2.
a) Vẽ đồ thị hai hàm số cho hệ trục tọa độ Oxy
b) Bằng phép tính xác định tọa độ giao điểm A, B hai đồ thị (điểm A có hồnh độ âm)
c) Tính diện tích tam giác OAB (O gốc tọa độ) Bài 3: (1,0 điểm)
Tính giá trị biểu thức H = ( 10 2) 3 Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đường trịn tâm O, đường kính AC = 2R Từ điểm E đoạn OA (E không trùng với A O) Kẻ dây BD vuông góc với AC Kẻ đường kính DI đường trịn (O)
a) Chứng minh rằng: AB = CI
b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2
c) Tính diện tích đa giác ABICD theo R OE =
3 R
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh rằng:
4(AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA ĐÁP ÁN:
Bài 1: (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2 3 5
3
x y x y y x
x y x y x y y
b) Hệ phương trình vô nghiệm khi:
2
3
2 3
1 4
1
3 m m m m m m m m m Bài 2: (3,0 điểm)
a) Vẽ (d) (P) hệ trục tọa độ
x -2 -1
2
y = x (P) 1
(50)x -
y = x + 2(d)
b) Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phương trình:
2 2
1
1
1;
2
1;
2 2
x x
y x x x x x
y y
y x y x y x
Tọa độ giao điểm (d) (P): A (-1;1) B (2;4) c) SOAB =
1
2.(1+4).3 - 2.1.1 -
1
2.2.4 = Bài 3: (1,0 điểm)
H = ( 10 2) 3 5 1 1 5 4 Bài 4: (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: AB = CI Ta có: BDAC (gt)
DBI = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BDBI
Do đó: AC // BI AB CI AB = CI
b) Chứng minh rằng: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2
Vì BDAC ABAD nên AB = AD
Ta có: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = AB2 + CD2 = AD2 + CD2 = AC2 = (2R)2 = 4R2
c) Tính diện tích đa giác ABICD theo R OE =
3 R
SABICD = SABD + SABIC =
1
2.DE.AC +
2.EB.(BI + AC)
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 10
2 O
A
B
1 -2
E
O
A C
B
D
(51)* OE =
3 R
AE = R
EC =
3 R
+ R =
3 R
* DE2 = AE.EC = 3
R R = R
DE = R
Do đó: EB = R
* BI = AC – 2AE = 2R – R
=
3 R
Vậy: SABICD =
1 2. R 2R + R ( R
+ 2R) = R 16 R = R (đvdt) Bài 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh rằng:
4(AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA
Gọi G trọng tâm ABC, ta có: GM =
3AM; GN =
3BN; GP = 3CP
Vì AM, BN, CP trung tuyến, nên: M, N, P trung điểm BC, AC, AB Do đó: MN, NP, MP đường trung bình ABC
Nên: MN =
2AB; NP =
2BC; MP = 2AC Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
* AM < MN + AN hay AM < 2AB +
1
2AC (1) Tương tự: BN <
1 2AB +
1
2BC (2) CP <
1 2BC +
1
2AC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AM + BN + CP < AB + BC + CA (*) * GN + GM > MN hay
1 3BN +
1
3AM >
2AB (4) Tương tự:
1 3BN +
1
3CP >
2BC (5)
1 3CP +
1
3AM >
2AC (6) Từ (4), (5), (6) suy ra:
1 3BN +
1
3AM + 3BN +
1 3CP +
1 3CP +
1
3AM > 2AB +
1 2BC+ 2AC
3 (AM + BN + CP) >
2(AB + AC + BC)
3
4(AB + BC + CA) < AM + BN + CP (**) Từ (*), (**) suy ra:
3
4(AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA
G
M
P N
A
(52)(53)(54)(55)(56)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO THỪA THIÊN HUẾ
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày : 24/6/2012
Mơn thi : TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(2,0 điểm)
a).Cho biểu thức: C =
5 3
5
5
Chứng tỏ C =
b) Giải phương trình : 3 x 2 x2 4 = 0 Bài 2:(2,0 điểm)
Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) đường thẳng (d) qua điểm M (1;2) có hệ số góc k0.
a/ Chứng minh với giá trị k0 đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B.
b/ Gọi xA xB hoành độ hai điểm A B.Chứng minh x + xA B x xA B 2 = 0 Bài 3:(2,0 điểm)
a/ Một xe lửa từ ga A đến ga B.Sau 40 phút, xe lửa khác từ ga A đến ga B với vận tốc lớn vận tốc xe lửa thứ km/h.Hai xe lửa gặp ga cách ga B 300 km.Tìm vận tốc xe, biết quãng đường sắt từ ga A đến ga B dài 645 km
b/ Giải hệ phương trình :
2
20 20
7 x y x y
x y x y
Bài 4:(3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Lấy điểm A tia đối tia CB.Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn (O) ( F tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn (O) D ( tia tiếp tuyến Bx nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)) Gọi H giao điểm BF với DO ; K giao điểm thứ hai DC với nửa đường tròn (O)
a/ Chứng minh : AO.AB=AF.AD b/ Chứng minh tứ giác KHOC nội tiếp
c/ Kẻ OM BC ( M thuộc đoạn thẳng AD).Chứng minh
BD DM
= 1
DM AM
Bài 5:(1,0 điểm)
Cho hình chử nhật OABC, COB = 30 0.Gọi CH đường cao tam giác COB, CH=20 cm.Khi hình chữ nhật OABC quay vịng quanh cạnh OC cố định ta hình trụ, tam giác OHC tạo thành hình (H).Tính thể tích phần hình trụ nằm bên ngồi hình (H)
(Cho 3,1416)
30
12 cm
K H
C B
A O
0
(57)(58)(59)(60)(61)Câu (2đ)
a) Giải phương trình 2x – =1 b) Giải bất phương trình 3x – > Câu (2đ)
a) Giải hệ phương trình
¿ 3x+y=3 2x − y=7
¿{ ¿ b) Chứng minh
3+√2+ 3−√2=
6 Câu (2đ)
Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = 0
a) Giải phương trình m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ
Câu (3đ)
Cho tam giác ABC vuông A Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường trịn tâm C bán kính AC, hai đường trịn cắt điểm thứ D.Vẽ AM, AN dây cung đường tròn (B) (C) cho AM vng góc với AN D nằm M; N
a) CMR: ABC=DBC
b) CMR: ABDC tứ giác nội tiếp c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng
d) Xác định vị trí dây AM; AN đường trịn (B) (C) cho đoạn MN có độ dài lớn
Câu (1đ) Giải Hệ PT
¿
x2−5y2−8y=3
(2x+4y −1)√2x − y −1=(4x −2y −3)√x+2y ¿{
¿
-Hết -GỢI Ý GIẢI
Câu (2đ) a) Giải phương trình 2x – = b) Giải bất phương trình 3x – > Đáp án a) x = ; b) x >
Câu (2đ) a) Giải hệ phương trình
¿ 3x+y=3 2x − y=7
¿{ ¿ b) Chứng minh
3+√2+ 3−√2=
6 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2012-2013
Mơn tốn
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang
(62)-Đáp án a) x = ; y = – b) VT = 3−√2+3+√2
9−2 =
7 =VP (đpcm) Câu (2đ) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = 0
c) Giải phương trình m =
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ
Đáp án a) x1 = −2−√5 ; x2 = −2+√5
e) Thấy hệ số pt : a = ; c = A – pt ln có nghiệm Theo vi- ét ta có x1 + x2 =2(m – 3) ; x1x2 = –1
Mà A=x12 – x1x2 + x22 = (x1 + x2 )2 – 3x1x2 = 4(m – 3)2 + 3
GTNN A = m = 3 Câu (3đ)
Hướng dẫn
a) Có AB = DB; AC = DC; BC chung ABC = DBC (c-c-c)
b) ABC = DBC góc BAC =BDC = 900 ABDC tứ giác nội tiếp c) Có gócA1 = gócM1 ( ABM cân B)
gócA4 = gócN2 ( ACN cân C)
gócA1 = gócA4 ( phụ A2;3 )
gócA1 = gócM1 =gócA4= gócN2
gócA2 = gócN1 ( chắn cung AD (C) )
Lại có A1+A2 + A3 = 900 => M1 + N1 + A3 = 900
Mà AMN vuông A => M1 + N1 + M2 = 900
=> A3 = M2 => A3 = D1
CDN cân C => N1;2 = D4
D2;3 + D1 + D4 =D2;3 + D1 + N1;2 = D2;3 + M2 + N1 + N2
= 900 + M
2 + N1 + M1 ( M1 = N2)
= 900 + 900 = 1800
M; D; N thẳng hàng d) AMN đồng dạng ABC (g-g)
Ta có NM2 = AN2 +AM2 để NM lớn AN ; AM lớn nhất
Mà AM; AN lớn nhât AM; AN đường kính (B) (C) Vậy AM; AN đường kính (B) (C) NM lớn Câu (1đ): Giải Hệ PT
¿
x2−5y2−8y=3
(2x+4y −1)√2x − y −1=(4x −2y −3)√x+2y ¿{
¿ Hướng dẫn
¿
x2−5y2−8y
=3
(2x+4y −1)√2x − y −1=(4x −2y −3)√x+2y ¿{
¿
¿
x2−5y2−8y=3(1)
(2<x+2y>−1)√2x − y −1=(2<2x − y −1>−1)√x+2y(2) ¿{
¿
Từ (2) đặt x +2y = a ; 2x–y –1 = b (a:b 0)
Ta dc (2a-1) √b =(2b –1) √a ( √a −√b )(2 √ab+1¿ = a = b
2
3
2 2
1
M
D
N C B
(63)2y2 – y – 1= => y
1 = ; y2 = –1/2
=> x1 = ; x2 = –1/2
Thấy x2 + 2y2 = –1 < (loại)
Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4 ; 1)
Sở giáo dục đào tạo Hng yên
(§Ị thi cã 01 trang)
kú thi tun sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2012 - 2013
Môn thi: Toán
(Dành cho thí sinh dự thi lớp chuyên: Toán, Tin)
Thời gian làm bµi: 150 phót
Bài 1: (2 điểm)
a) Cho A = 201222012 20132 220132 Chứng minh A số tự nhiên
b) Giải hệ phương trình
2
1 x
x
y y x
x
y y
Bài 2: (2 điểm)
a) Cho Parbol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m +2)x – m + Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ dương
b) Giải phương trình: + x + (4 x)(2x 2) 4( x 2x 2)
Bài 3: (2 điểm)
a) Tìm tất số hữu tỷ x cho A = x2 + x+ số phương.
b) Cho x > y > Chứng minh :
3 2
(x y ) (x y ) (x 1)(y 1)
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S, gọi BC OS cắt M
a) Chứng minh AB MB = AE.BS
b) Hai tam giác AEM ABS đồng dạng
c) Gọi AM cắt EF N, AS cắt BC P CMR NP vng góc với BC
(64)Bài 5: (1 điểm)
Trong giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn lượt (hai đội thi đấu với trận)
a) Chứng minh sau vòng đấu (mỗi đội thi đấu trận) ln tìm ba đội bóng đơi chưa thi đấu với
b) Khẳng định cịn khơng đội thi đấu trận?
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2 điểm)
a) Cho A = 201222012 20132 220132
Đặt 2012 = a, ta có 201222012 20132 220132 a2a (a 1)2 2(a 1)
2 2
(a a 1) a a b) Đặt x a y x b y
Ta có
2 x x y y x x y y x x y y x x y y nên 2
b a b b b a b a
a a v
b b
Bài 2:
a)ycbt tương đương với PT x2 = (m +2)x – m + hay x2 - (m +2)x + m – = có hai nghiệm dương phân biệt
b) Đặt t = x 2x 2 Bài 3:
a) x = 0, x = 1, x= -1 không thỏa mãn Với x khác giá trị này, trước hết ta chứng minh x phải số nguyên
+) x2 + x+ số phương nên x2 + x phải số nguyên. +) Giả sử
m x
n
với m n có ước nguyên lớn Ta có x2 + x =
2
2
m m m mn
n n n
số nguyên m2mn chia hết cho n2
nên m2mn chia hết cho n, mn chia hết cho n nên m2 chia hết cho n m n có ước nguyên
lớn 1, suy m chia hết cho n( mâu thuẫn với m n có ước nguyên lớn 1) Do x phải số nguyên
Đặt x2 + x+ = k2
(65)3 2 2
(x y ) (x y ) x (x 1) y (y 1) (x 1)(y 1) (x 1)(y 1)
=
2
x y
y x 1
2
(x 1) 2(x 1) (y 1) 2(y 1)
y x
2
(x 1) (y 1) 2(y 1) 2(x 1) 1
y x x y y x
Theo BĐT Côsi
2 2
(x 1) (y 1) (x 1) (y 1)
2 (x 1)(y 1)
y x y x
2(y 1) 2(x 1) 2(y 1) 2(x 1)
x y x y
1 1
2
y x 1 y x 1
1 1
2 (x 1)(y 1) 2.2 (x 1)(y 1)
y x y x
Bài
a) Suy từ hai tam giác đồng dạng ABE BSM
b) Từ câu a) ta có
AE MB AB BS (1)
Mà MB = EM( tam giác BEC vng E có M trung điểm BC Nên
AE EM ABBS
Có MOB BAE, EBA BAE 90 ,MBO MOB 90 P
N
F E
M S
O
A
B
C
(66)Nên MBO EBA MEB OBA( MBE) Suy MEA SBA (2)
Từ (1) (2) suy hai tam giác AEM ABS đồng dạng(đpcm.)
c) Dễ thấy SM vng góc với BC nên để chứng minh toán ta chứng minh NP //SM + Xét hai tam giác ANE APB:
Từ câu b) ta có hai tam giác AEM ABS đồng dạng nên NAE PAB , Mà AEN ABP ( tứ giác BCEF nội tiếp)
Do hai tam giác ANE APB đồng dạng nên
AN AE AP AB Lại có
AM AE
AS AB( hai tam giác AEM ABS đồng dạng) Suy
AM AN
AS AP nên tam giác AMS có NP//SM( định lí Talet đảo) Do tốn chứng minh
Bài 5
a Giả sử kết luận toán sai, tức ba đội có hai đội đấu với Giả sử đội gặp đội 2, 3, 4, Xét (1; 6; i) với i Є{7; 8; 9;…;12}, phải có cặp đấu với nhau, nhiên không gặp hay i nên gặp i với i Є{7; 8; 9;…;12} , vơ lý đội đấu trận Vậy có đpcm
b Kết luận khơng Chia 12 đội thành nhóm, nhóm đội Trong nhóm này, cho tất đội đôi thi đấu với Lúc rõ ràng đội đấu trận Khi xét đội bất kỳ, phải có đội thuộc nhóm, đội đấu với Ta có phản ví dụ
Có thể giải quyết đơn giản cho câu a sau:
(67)THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2012 - 2013
Mơn thi: Tốn chung
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm trang, có bốn câu)
Câu 1: ( 2,5 điểm)
1/ Giải phương trình : a/ x4 x2 20 0 b/ x 1 x 2/ Giải hệ phương trình :
3 x y
y x
Câu 2 : ( 2,0 điểm)
Cho parabol y = x2 (P) đường thẳng y = mx (d), với m tham số.
1/ Tìm giá trị m để (P) (d) cắt điểm có tung độ
2/ Tìm giá trị m để (P) (d) cắt điểm, mà khoảng cách hai điểm Câu 3 : ( 2,0 điểm)
1/ Tính :
1
( )
2 3 3
P
2/ Chứng minh : a5b5 a b3 2a b2 3, biết a b 0 Câu 4 : (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH, đường trịn cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E
1/ Chứng minh tứ giác BDEC tứ giác nội tiếp đường tròn 2/ Chứng minh điểm D, O, E thẳng hàng
3/ Cho biết AB = cm, BC = cm Tính diện tích tứ giác BDEC
(68)THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Tốn ( mơn chun)
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm trang, có năm câu)
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho phương trình x416x232 0 ( với x R )
Chứng minh x 2 2 2 nghiệm phương trình cho Câu 2 (2,5 điểm)
Giải hệ phương trình
2 ( 1)( 1)
2 ( 1)( 1) yx x x y xy
y y x
( với x R y R , ).
Câu 3.(1,5 điểm)
Cho tam giác MNP có cạnh cm Lấy n điểm thuộc cạnh phía tam giác MNP cho khoảng cách giửa hai điểm tuỳ ý lớn cm ( với n số nguyên dương) Tìm n lớn thoả mãn điều kiện cho
Câu 4 (1 điểm)
Chứng minh 10 số nguyên dương liên tiếp khơng tồn hai số có ước chung lớn Câu 5 (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC không tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D,E,F tiếp điểm BC, CA, AB với đường tròn (I) Gọi M giao điểm đường thẳng EF đường thẳng BC, biết AD cắt đường trịn (I) điểm N (N khơng trùng với D), giọi K giao điểm AI EF
1) Chứng minh điểm I, D, N, K thuộc đường tròn 2) Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn (I)
(69)
GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10
CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2012 – 2013
Mơn: Tốn chung -Câu 1: ( 2,5 điểm)
1/ Giải phương trình :
a/ x4 x2 20 0 (*) Đặt x2 t t;( 0) (*) t2 – t – 20 = (t
1 = (nhận) v t2 = - ( loại)); Với t = => x2 = x =
Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = - b/ x 1 x 1 ( điều kiện x1)
2 2
( x1) (x1) x 1 x 2x 1 x 3x0 x(x-3) = x = ( loại) v x = ( nhận)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2/ Giải hệ phương trình :
3 x y
y x
Từ y x 3 y 3x y 0 y y
1
3 2
3 3
2 x
x y x y x y x
y x y x y x y x
y
(nhận)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y):
1 7
( ; ),( ; ) 2 2 Câu 2 : ( 2,0 điểm)
1/ P.trình hồnh độ giao điểm (P) (d) :
1
2
0 ( ) x
x mx x x m
x m
Vì giao điểm ( ) :P y x y m Với y = => m2 = (m = v m = -3)
Vậy với m3 (P) (d) cắt điểm có tung độ 9.
(70)Khi giao điểm thứ gốc toạ độ O ( x = 0; y = 0), giao điểm thứ điểm A có ( x = m; y = m2).
Khoảng cách hai giao điểm : AO = m2m4 m4m2 0 (1) Đặt t m t 2;( 0) (1) t2 t 0 (t1 = ( nhận ) v t2 = - ( loại))
Với t1 = m2 = , m ( nhận)
Vậy với m 3 (P) cắt (d) hai điểm có khoảng cách 6. Câu 3 : ( 2,0 điểm)
1/ Tính:
1 3 3
( )
4
2 3 3 3( 1)
P
2/ Ta có:
5 2 5 2 3 2 2 3 2
2 2
0 ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
a b a b a b a b a b a b a a b b a b a b a b a b a b a b ab
Vì : (a b )2 0 (với a, b R).
a b ( theo giả thiết)
2 0
a b ab ( với a, bR )
Nên bất đằng thức cuối Vậya5b5 a b3 2a b2 3 với a b 0 (đpcm) Câu 4 : (3,5 điểm)
E
D
O
H C
B
A
1/ Nối H với E
+ HEA900 ( AH đường kính), AHC900 ( AH đường cao) => AHEACB (cùng phụ với EHC) (1) + ADEAHE ( góc nội tiếp chắn cung AE) (2)
Từ (1) (2) => ADE = ACB =>Tứ giác BDEC nội tiếp đường trịn ( có góc đối góc kề bù góc đối)
2/ Vì DAE900 => DE đường kính => D, O, E thẳng hàng (đpcm). 3/ Ta có SBDEC SABC SADE
+ABC vng có AH đường cao:
2 4
AC BC AB cm =>
6 ABC
AB AC
s
(cm2)
12
5 AB AC DE AH
BC
(71) 2 ABC AED AED ABC S DE S DE S
S BC BC
+ 2
2 2
12
(1 ) 6(1 )
5
BDEC ABC ADE ABC
DE
S S S S
BC
= 4,6176 (cm2)
-HẾT -GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10
CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2012 – 2013
Mơn: Tốn chun
-Câu 1: Phương trình cho : x416x232 0 ( với x R ) (x2 8)2 32 0 (1) Với x 2 2 2 x 2 2 2 2
=> x2 8 2 3 2 Thế x vào vế phải (1) ta có:
2 2
(x 8) 32 (8 2 3 2 8) 32 4(2 3) 12(2 3) 32 =8 24 12 32 0 ( vế phải vế trái)
Vậy x 2 2 2 nghiệm phương trình cho ( đpcm)
Câu 2: Hệ pt cho
2 ( 1)( 1)
2 ( 1)( 1) yx x x y xy
y y x
(1) (2)
2 ( 1)( 1)
2 ( 1)( 1)
x x y xy
y y x xy
Thay x = 0, y = hệ khơng thoả Thay x = -1 y = -1 vào, hệ không thoả => ( ; ) (0;0);x y xy0;x 1 0;y 1 6 xy0 (*) - Chia vế hai phương trình cho : =>
6
( ) 6( )
6
x xy
xy x y x y y xy
Thay x = y, hệ pt có vế phải nhau, vế trái khác (không thoả) =>x y 0) (**) =>
6(x y) xy
x y
(3) - Cộng vế (1) (2) hệ ta pt: 2(x+y)(x+1)(y+1) + 2xy = (4) (x + y) ( x + y + xy + 1) + xy =
6( ) 6( )
(x y x y)( x y ) x y x y x y
(72)
6( 1)
(x y x y)( x y ) x y
6 (x y x y)( 1)(1 )
x y x y x y x y
- Với x + y = x = - y Thế vào hệ => -2y2 = (y = v x = 0) không thoả (*)
- Với x + y +1 =0 x = -y - vào phương trình (1) hệ ta : 2y33y2 y (y2)(2y2 y3) 0
2
2 0( )
y y
y y vn
Với y = - => x = 1.Thế vào hệ thoả, có nghiệm 1: (x; y) = (1; - 2) - Với
6
1 x y x y
x y
Thế x = y -6 vào pt (2) hệ : (2) 2y3 7y216y 0
2
2
2
(2 1)( 6)
4
y
y y y
y y
y2 - 4y - =
1 2 10 10 y y
2y +1 = y3 =
1
Từ ba giá trị y ta tìm ba giá trị x tương ứng: 10 10 13 x x x Thế giá trị (x; y) tìm vào hệ (thoả)
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x;y): (1; -2), (
13 10; 10),( 10; 10),( ; )
2
Câu 3 (Cách 1)
Tam giác có cạnh cm diện tích 3cm2 , tam giác có cạnh cm diện
tích
4 cm2 Nếu tam giác có cạnh > 1cm diện tích >
3 cm2
Gọi t số tam giác có cạnh > 1cm chứa tam giác có cạnh cm: 1 t 4 ( với t số nguyên dương) => tmax = 3.
Theo nguyên lý Drichen có t tam giác có cạnh > 1cm chứa tối đa điểm thoả mãn khoảng cách hai điểm > cm
(73)Nếu ta chọn điểm đỉnh tam giác cạnh cm vẽ đường trịn đường kính cm, đường tròn tiếp xúc với trung điểm cạnh tam giác => Các điểm khác tam giác cách đỉnh > 1cm nằm phần diện tích cịn lại tam giác (ngồi phần diện tích bị ba hinh trịn che phủ), giới hạn cung tròn bán kinh cm
Vì dây cung đường trung bình tam giác có độ dài cm => khoảng cách giửa hai điểm nằm phần diện tích cịn lại tam giác ln 1 cm.
=> phần diện tích lấy điểm mà khoảng cách đến đỉnh tam giác > cm Vậy số điểm lớn thoả mãn khoảng cách hai điểm > 1cm :
nmax = + = điểm
Câu 4 Gọi a b hai số 10 số nguyên dương liên tiếp với a > b ( a; b nguyên dương)
1 a b
Gọi n ước chung a b, : a = n.x b = n.y ( n, x, y số nguyên dương) Vì a > b => x > y => x y 1
1
1 n x n y x y
n n
n
n
Vậy 10 số nguyên dương liên tiếp khơng tồn hai số có ước chung lớn Câu 5
D K
F
N E
M
I
C B
A
1)Nối N F, D F
- Xét ANF AFD có: AFN = ADF ( AF tt) FAD chung =>ANF∽AFD (g.g) =>
AF
AF
AF AN
AN AD AD
(1)
- Xét AFI có: AFIF ( AF tiếp tuyến, FI bán kính) FK AI ( AF AE tt chung AI nối tâm) => AFI vng F có FK đường cao) => AK.AI = AF2 (2)
(74)+ IAD chung
+ Từ (1) (2) => AN.AD = AK.AI =>
AN AI AK AD
=>ANK∽AID (c.g.c) =>NKA = IDN (3) - Từ (3) => tứ giác DIKN nội tiếp đt (vì có góc đối góc kề bù góc đối)
=> điểm I,D,N,K thuộc đường tròn (đpcm)
2) Ta có IDDM ( DM tiếp tuyến, DI bán kính) IKKM ( câu 1) => tứ giác DIKM nội tiếp đường tròn đường kính MI Vì điểm D, I, K, N thuộc đường tròn ( câu 1) => hai đường tròn ngoại tiếp DIK => hai đường tròn trùng => N nằm đường tròn đường kính MI => INM = 900
Vì IN bán kính đường trịn (I), MN IN => MN tiếp tuyến đường tròn (I) tiếp điểm N (đpcm).
(75)GỢI Ý GIẢI: Câu 1c C =
Câu 2a ( 2;1) ; Câu 2b b = - Câu 3a a =
Câu 3b A ( -1 ; ) ; B (2 ; )
Câu 4a1 12 0 ; nên pt có nghiệm phân biệt với x
Câu a2 => x1 + x2 = - ; x1x2 =
Câu 4b
Gọi x ( km/h) vt xe II => vt xe I x + 10 ( km/h ) ; x>
Th gian xe I hết qđg : 100
x (h) Th gian xe II hết qđg :
100 10 x (h) PT
100 x -
100 10 x =
1
2 => x = 40 KL
Câu : a
1 MH = 20 ( cm ) ; ME = 12 ( cm) NPFE h thang cân
b ) b1
(76)Tam giác ABC vuông A có AH đg cao => AB2 = BH.BC (1)
Tam giác BHE đg dạng với tam giác BDC => BH BE
BH BC BD BE BD BC (2) Từ (1) (2) => AB2 = BD BE
Câu 1 (2 điểm) Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 + 2mx – 2m – = (1)
a) Giải phương trình (1) với m = -1
b) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 cho x1
+x22 nhỏ Tìm nghiệm phương trình (1) ứng với m vừa tìm
Câu 2 (2,5 điểm)
1 Cho biểu thức A= ( 6x+4 3√3x3−8−
√3x
3x+2√3x+4)(
1+3√3x3
1+√3x −√3x)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Giải phương trình: √x+√1− x+√x(1− x)=1
Câu 3 (1,5 điểm) Một người xe đạp từ A tới B, quãng đường AB dài 24 km Khi từ B trở A người tăng vận tốc thêm km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A tới B
Câu 4 (3 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp (O) Giả sử M điểm thuộc đoạn thẳng AB (MA, B); N điểm thuộc tia đối tia CA cho MN cắt BC I I trung điểm MN Đường tròn ngoại tiếp
AMN cắt (O) điểm P khác A
1 C MR tứ giác BMIP CNPI nội tiếp Giả sử PB = PC Chứng minh ABC cân
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUNMơn thi: TỐN
Ngày thi: 26 / / 2012
Thời gian làm bài: 120 phút
(77)Câu 5 (1 điểm) Cho x; y R , thỏa mãn x2 + y2 = Tìm GTLN : P= x
y+√2 HƯỚNG DẪN GIẢI:
2) Giải pt : √x+√1− x+√x(1− x)=1 ĐK : 0≤ x ≤1 Đặt √x=a ≥0;√1− x=b ≥0
Ta
¿
a+b+ab=1(∗)
a2
+b2=1(**) ¿{
¿
Từ tìm nghiệm pt x = Câu :
Từ x2
+y2=1⇒−1≤ x , y ≤1⇒√2−1≤ y+√2≤1+√2 Vì P= x
y+√2⇒x=P(y+√2) thay vào x
2
+y2=1 Đưa pt: (P2+1)y2+2√2P2y+2P2−1=0
Dùng điều kiện có nghiệm pt bậc hai
⇒P ≤1
2
2
Max
x P
y
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 - THPT
TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC: 2012 – 2013
MƠN: TỐN
Thời gian: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Câu I: (2,5 điểm)
1 Thực phép tính:
2
3 3
a) 10 36 64 b) 2 3 2
2 Cho biểu thức: P =
3
2a 4 1 1
1 a 1 a 1 a
a) Tìm điều kiện a để P xác định b) Rút gọn biểu thức P Câu II: (1,5 điểm)
1 Cho hai hàm số bậc y = -x + y = (m+3)x + Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho là: a) Hai đường thẳng cắt
b) Hai đường thẳng song song
2 Tìm giá trị a để đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) qua điểm M(-1; 2).
Câu III: (1,5 điểm)
1 Giải phương trình x 2 – 7x – = 0
2 Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm
x1; x2 thỏa mãn điều kiện
3
1 2
x x x x 6 Câu IV: (1,5 điểm)
(78)1 Giải hệ phương trình
3x 2y 1 . x 3y 2
2 Tìm m để hệ phương trình
2x y m 1 3x y 4m 1
có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.
Câu V: (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B)
a) Chứng minh AMOC tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AMDE tứ giác nội tiếp đường trịn c) Chứng ADE ACO
- Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu I: (2,5 điểm)
1 Thực phép tính:
3
a) 10 36 64 8 100 2 1012
2 3
b) 2 3 2 5 2 3 2 3 2 2 5 2
2 Cho biểu thức: P =
3
2a 4 1 1
1 a 1 a 1 a
a) Tìm điều kiện a để P xác định: P xác định a a 1 b) Rút gọn biểu thức P
P =
3
2a 4 1 1
1 a 1 a 1 a
=
2 2
2
2a 4 1 a a a 1 1 a a a 1
1 a a a 1
=
2 2
2
2a 4 a a a a a a a a a a a a a
1 a a a 1
=
2
2 2a
1 a a a 1
=
2 a a 1
Vậy với a a 1 P =
2 a a 1
Câu II: (1,5 điểm)
1 Cho hai hàm số bậc y = -x + y = (m+3)x + Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho là: a) Để hàm số y = (m+3)x + hàm số bậc m + suy m -3.
Đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng cắt a a’ -1 m+3 m -4
Vậy với m -3 m -4 đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng cắt nhau. b) Đồ thị hàm số cho Hai đường thẳng song song
a a ' 1 m 3
m 4
b b' 2 4
thỏa mãn điều kiện m -3
(79)2 Tìm giá trị a để đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) qua điểm M(-1; 2).
Vì đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) qua điểm M(-1; 2) nên ta thay x = -1 y = vào hàm số ta có phương trình
2 = a.(-1)2 suy a = (thỏa mãn điều kiện a 0)
Vậy với a = đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) qua điểm M(-1; 2).
Câu III: (1,5 điểm)
1 Giải phương trình x 2 – 7x – = có a – b + c = + – = suy x
1= -1 x2=
2 Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm
x1; x2 thỏa mãn điều kiện
3
1 2
x x x x 6.
Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 ’ – m + m
Theo viet ta có: x1+ x2 =2 (1) x1 x2 = m – (2)
Theo đầu bài:
3
1 2
x x x x 6 x x x1 2 1x22 2x x1 2= (3)
Thế (1) (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2)2 – 2(m-3)=6 2m =12 m = Không thỏa mãn điều kiện m vậy
khơng có giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
3
1 2
x x x x 6. Câu IV: (1,5 điểm)
1 Giải hệ phương trình
3x 2y 1 . x 3y 2
3 3y 2 2y 1 7y 7 y 1
x 3y 2 x 1
x 3y 2
2 Tìm m để hệ phương trình
2x y m 1 3x y 4m 1
có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.
2x y m 1 5x 5m x m x m
3x y 4m 1 2x y m 1 2m y m 1 y m 1
Mà x + y > suy m + m + > 2m > m >
Vậy với m > hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y >
Câu V: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B)
a) Chứng minh AMCO tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AMDE tứ giác nội tiếp đường trịn c) Chứng ADE ACO
Giải
a) MAO MCO 90 nên tứ giác AMCO nội tiếp b) MEA MDA 90 Tứ giác AMDE có
D, E nhìn AM góc 900
Nên AMDE nội tiếp
c) Vì AMDE nội tiếp nên ADE AMEcùng chan cung AE Vì AMCO nội tiếp nên ACO AME chan cung AO Suy ADE ACO
(80)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI
Đề thức
Ngày thi: 26/6/2012
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN Năm học 2012 – 2013
Mơn thi: Tốn (khơng chun) Thời gian làm bài: 120 phút
Câu (2,0 điểm)
Cho biểu thức
x x
Q x x
x x x
, với x0, x1
a. Rút gọn biểu thức Q
b. Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên Câu (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 2(m 1)x m 2 0, với x ẩn số, mR a. Giải phương trình cho m –
b. Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà
không phụ thuộc vào m Câu (2,0 điểm)
(81)Cho hệ phương trình
(m 1)x (m 1)y 4m x (m 2)y
, với mR
a. Giải hệ cho m –3
b. Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm Câu (2,0 điểm)
Cho hàm số yx2 có đồ thị (P) Gọi d đường thẳng qua điểm M(0;1) có hệ số góc k a. Viết phương trình đường thẳng d
b. Tìm điều kiện k để đt d cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt Câu (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC (DAC, EAB)
a. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn
b. Gọi I điểm đối xứng với A qua O J trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, J, I thẳng hàng
c. Gọi K, M giao điểm AI với ED BD Chứng minh 2
1 1
DK DA DM HƯỚNG DẪN GIẢI:
Câu 1.
a.
x x
Q x x
x x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
x 1 x 1
x
x x
1
1 x
x x
1 x
x x
x x
x
x
2 x x
x
2x x Vậy
2x Q
x b.
Q nhận giá trị nguyên
2x 2x 2
Q
x x x
Q
x chia hết cho x 1
x 1
x
x x x
x đối chiếu điều kiện x x Câu 2. Cho pt x2 2(m 1)x m 2 0, với x ẩn số, mR a. Giải phương trình cho m –
(82)2
x 2x 0 x 2x 5 2
x 5
x
x x
x x
Vậy phương trinh có hai nghiệm x 1 5 x 1 b.
Theo Vi-et, ta có
1 2
x x 2m (1)
x x m (2)
2
x x 2m
m x x
1 2
x x x x 2
m x x
Suy x1x2 2 x x 222 x1x2 2x x1 2 0
Câu 3. Cho hệ phương trình
(m 1)x (m 1)y 4m x (m 2)y
, với mR
a.Giải hệ cho m –3 Ta hệ phương trình
2x 2y 12
x 5y
x y
x 5y x y Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y với 7;1
b.Điều kiện có nghiệm phương trình m 1
m
1 m
m m 2 m 1 m m 2 m 1
m m 1 0 m
m m m
Vậy phương trình có nghiệm m1 m 1 Giải hệ phương trình
(m 1)x (m 1)y 4m x (m 2)y
m m
(m 1)x (m 1)y 4m x (m 2)y
4m x y m x (m 2)y
4m x y m y m 4m x m y
m . Vậy hệ có nghiệm (x; y) với
4m 2
; m m Câu 4.
a.Viết phương trình đường thẳng d
Đường thẳng d với hệ số góc k có dạng y kx b
Đường thẳng d qua điểm M(0; 1) nên k.0 b b 1 Vậy d : y kx 1
b.
Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d
x kx
(83)2
k 0 k2 4 k2 22 k 2
k
k
Câu 5.
a. BCDE nội tiếp
BEC BDC 90
Suy BCDE nội tiếp đường trịn đường kính BC
b. H, J, I thẳng hàng
IB AB; CE AB (CH AB) Suy IB // CH
IC AC; BD AC (BH AC) Suy BH // IC
Như tứ giác BHCI hình bình hành J trung điểm BC J trung điểm IH Vậy H, J, I thẳng hàng
c.
1
ACB AIB AB
2
ACB DEA bù với góc DEB tứ giác nội tiếp BCDE
BAI AIB 90 ABI vng B
Suy BAI AED 90 0 , hay EAK AEK 90 Suy AEK vuông K
Xét ADM vuông M (suy từ giả thiết)
DK AM (suy từ chứng minh trên)www.VNMATH
Như 2
1 1
DK DA DM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
THANH HÓA NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi : Tốn
Thời gian : 120 phút khơng kể thời gian giao đề
Ngày thi 29 tháng năm 2012
Bài 1: (2.0 điểm) 1- Giải phương trình sau : a) x - = b) x2 - 3x + = 0
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(84)2- Giải hệ phương trình : {2xx − y+y==27
Bài 2: (2.0 điểm) Cho biẻu thức : A =
2+2√a +
2−2√a
-a2+1 1− a2 1- Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A
2- Tìm giá trị a ; biết A < 13
Bài 3: (2.0 điểm)
1- Chođường thẳng (d) : y = ax + b Tìm a; b để đường thẳng (d) qua điểm A( -1 ; 3) song song với đường thẳng (d’) : y = 5x + 3
2- Cho phương trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + = ( x ẩn số ) Tìm a để phươmg trình
cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 =
Bài 4: (3.0 điểm) Cho tam tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ ( M không trùng B ; C; H ) Từ M kẻ MP ; MQ vng góc với cạnh AB ; AC ( P thuộc AB ; Q thuộc AC)
1- Chứng minh :Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn
2- Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH PQ
3- Chứng minh : MP +MQ = AH
Bài 5: (1.0 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b a > 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 8a2+b
4a +b
2
(85)(86)(87)(88)(89)(90)-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013
MƠN: TỐN(Dùng cho thí sinh dự thi) Ngày thi: 28/6/2012
Thời gian làm bài: 120 phút ( Kh ô ng kể t hời g i a n g i a o đ ề ) (Đề thi có 01 trang)
C
â u I (2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức sau: a) A =
1
2 18
2 b) B =
1
1
1 x
x x với x 0, x 1 Giải hệ phương trình:
2x
2
y x y
Câu II (2,0 điểm)
Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – = (*)
1 Giải phương trình (*) với a =
2 Chứng minh phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với giá trị a Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (*) Tìm giá trị a để biểu thức: N= x12 (x12)(x22)x22 có giá trị nhỏ nhất.
C
â u I II (2,0 điểm)Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình.
Quãng đường sông AB dài 78 km Một thuyền máy từ A phía B Sau giờ, ca nơ từ B phía A Thuyền ca nô gặp C cách B 36 km Tính thời gian thuyền, thời gian ca nô từ lúc khởi hành đến gặp nhau, biết vận
tốc ca nô lớn vận tốc thuyền km/h C
â u I V (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AC lấy điểm D (D ≠ A, D ≠ C) Đường trịn (O) Đường kính DC cắt BC E (E ≠ C)
1 Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp
2 Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh ED tia phân giác góc AEI Giả sử tg ABC 2Tìm vị trí D AC để EA tiếp tuyến đường trịn đường kính DC C
â u V (0.5 điểm) Giải phương trình:
7 2 x x (2 x) 7 x HƯỚNG DẪN GIẢI: C©u IV :
c Để EA tiếp tuyến Đ.Tròn, Đ kính CD góc E1 = góc C1 (1)
Mà tứ giác ABED nội tiếp nên góc E1 = góc B1 (2)
Tõ (1) vµ (2) gãc C1 = gãc B1 ta lại có góc BAD chung nên
ABD ACB AB AC=
AD
AB AB2 = AC.AD AD = AB
2
AC ( I )
Theo bµi ta cã : tan (ABC) = AC
AB = √2 nªn
AB AC
1
√2 ( II )
Tõ (I) vµ (II) AD = AB
√2
(91)VËy AD = AB
2 EA tiếp tuyến ĐT, Đkính CD
C©u V:
Giải phương trình: 2 x x (2 x) x
Đặt 7 x=t ; √x=v §K v, t ≥
t2+2v=(2+v).t (t − v)(t −2)=0 t=v hc t=2 NÕu t= th× √7− x=2 x = (TM)
(92)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
KHÁNH HỊA NĂM HỌC 2011 - 2012
Mơn thi: TOÁN
Ngày thi : 21/06/2011 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1( điểm)
1) Đơn giản biểu thức: A
2
2
2) Cho biểu thức:
1
( );( 1)
1
P a a
a a a a
Rút gọn P chứng tỏ P 0 Bài 2( điểm)
1) Cho phương trình bậc hai x2 + 5x + = có hai nghiệm x
1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai
nghiệm (x12 + ) ( x22 + 1)
2) Giải hệ phương trình
2 4 1 x y x y Bài 3( điểm)
Quãng đường từ A đến B dài 50km.Một người dự định xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi giờ,người dừng lại 30 phút để nghỉ.Muốn đến B thời gian định,người phải tăng vận tốc thêm km/h qng đường cịn lại.Tính vận tốc ban đầu người xe đạp
Bài 4( điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn H trực tâm.Vẽ hình bình hành BHCD.Đường thẳng qua D song song BC cắt đường thẳng AH E
1) Chứng minh A,B,C,D,E thuộc đường tròn 2) Chứng minh BAEDAC
3) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M trung điểm BC,đường thẳng AM cắt OH G.Chứng minh G trọng tâm tam giácABC
4) Giả sử OD = a.Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 3) A
2 ( 4)(1 2)
1
2 4
4)
1
( );
1
2 1 1; :
( 1) 0;
a a a a
P a a
a a
a a a a vi a
P a a
Bài x2 + 5x + = 0
25 12 13
(93)Nên pt ln có nghiệm phân biệt x1+ x2 = - ; x1x2 =
Do S = x12 + + x22 + = (x1+ x2)2 - x1x2 + = 25 – + = 21
Và P = (x12 + 1) (x22 + 1) = (x1x2)2 + (x1+ x2)2 - x1x2 + = + 20 = 29
Vậy phương trình cần lập x2 – 21x + 29 = 0
2) ĐK x0;y2
2 4 14
2
2
3
2
12 4
3 2
2
x
x
x y x
y y x y x y
Vậy HPT có nghiệm ( x ;y) = ( ;3) Bài :
Gọi x(km/h) vtốc dự định; x > ; có 30 phút = ½ (h) Th gian dự định :
50 ( )h x
Quãng đường sau 2h : 2x (km) Quãng đường lại : 50 – 2x (km)
Vận tốc quãng đường lại : x + ( km/h) Th gian quãng đường lại :
50 ( ) x h x
Theo đề ta có PT:
1 50 50
2 2 x x x Giải ta : x = 10 (thỏa ĐK toán) Vậy Vận tốc dự định : 10 km/h
Bài :
Giải câu c)
Vì BHCD HBH nên H,M,D thẳng hàng
Tam giác AHD có OM ĐTBình => AH = OM Và AH // OM
2 tam giác AHG MOG có HAG OMG slt AGH MGO
(đ đ)
( )
2 AHG MOG G G
AH AG MO MG
Hay AG = 2MG
Tam giác ABC có AM trung tuyến; G AM Do G trọng tâm tam giác ABC
d) BHC BDC( BHCD HBH) có B ;D ;C nội tiếp (O) bán kính a
Nên tam giác BHC nội tiếp (K) có bán kính a Do C (K) = 2a( ĐVĐD)
(94)SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM 2012
BÌNH ĐỊNH Khóa ngày 29 tháng năm 2012
Mơn thi: TỐN Ngày thi: 30/6/2012
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(3, điểm)
Học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi a) Giải phương trình: 2x – =
b) Giải hệ phương trình:
y x 5x 3y 10
c) Rút gọn biểu thức
2
5 a 3 a a a
A
a
a a
với a 0,a 4
d) Tính giá trị biểu thức B 3 3 Bài 2:(2, điểm)
Cho parabol (P) đường thẳng (d) có phương trình y mx
2
y m x m
(m tham số, m 0).
a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
b) Chứng minh với m 0 đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt. Bài 3:(2, điểm)
Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km Cùng lúc, xe máy khởi hành từ Quy Nhơn Bồng Sơn xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn Quy Nhơn Sau hai xe gặp nhau, xe máy 30 phút đến Bồng Sơn Biết vận tốc hai xe không thay đổi suốt quãng đường vận tốc xe máy vận tốc xe ô tô 20 km/h Tính vận tốc xe
Bài 4:(3, điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, qua C kẻ dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN
a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AK.AH = R2
c) Trên KN lấy điểm I cho KI = KM, chứng minh NI = KB HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1:
a) 2x – =
5
2 5
2 x x x
b)
y x 5x 5y 10 2y 20 y 10
5x 3y 10 5x 3y 10 y x x
c)
(95) 2 2
5 a a a a a a
5 a 3 a a a
A
a
a a a a
a 8a 16
5a 10 a a 3a a a a a a 8a 16
a a a a a a
a
a 4 a
a
d)
2
B 3 3 1 2 1 2 2 3 Bài 2:
a) Với m1 P d trở thành yx2; y x 2.
Lúc phương trình hồnh độ giao điểm P d là: x2 x 2 x2 x 0 có 1
a b c nên có hai nghiệm x1 1; x2 2. Với x1 1 y1 1
Với x2 2 y2 4
Vậy tọa độ giao điểm P d 1; 1 2; 4 b) Phương trình hồnh độ giao điểm P d là:
2 2 1 2 1 *
mx m x m mx m x m Với m0 * phương trình bậc hai ẩn x có
m 22 4m m 1 m2 4m 4m2 4m 5m2
với m Suy * có hai nghiệm phân biệt với m Hay với m 0 đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt.
Bài 3:
Đổi 30h ' 1,5h Đặt địa điểm :
- Quy Nhơn A - Hai xe gặp C - Bồng Sơn B
Gọi vận tốc xe máy x km h / ĐK : x0. Suy :
Vận tốc ô tô x20km h/ Quãng đường BC : 1,5x km Quãng đường AC : 100 1,5 x km
Thời gian xe máy từ A đến C : 100 1,5x
h x
Thời gian ô tô máy từ B đến C : 1,5
20 x
h x
Vì hai xe khởi hành lúc, nên ta có phương trình :
100 1,5 1,5 20 x x x x 100-1,5x 1,5x
(96)Giải pt :
2
2
100 1,5 1,5
100 1,5 20 1,5 100 2000 1,5 30 1,5
20
3 70 2000
x x
x x x x x x x
x x x x
' 35 3.2000 1225 6000 7225 ' 7225 85
Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
35 85 40
x
(thỏa mãn ĐK)
35 85 50
3
x
(không thỏa mãn ĐK) Vậy vận tốc xe máy 40km h/
Vận tốc ô tô 40 20 60 km h/ Bài 4:
a) Tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp
Ta có : AKB900 (góc nội tiếp chắn đường tròn)
hay
0
90 ; 90
HKB HCB gt
Tứ giác BCHK có HKB HCB 9009001800 tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp.
b) AK AH R2
Dễ thấy
2
ΔACH ΔAKB
2
AC AH R
g g AK AH AC AB R R
AK AB
∽
c) NI KB OAM
có OA OM R gt OAM cân O 1 OAM
có MC đường cao đồng thời đường trung tuyến (gt) OAM cân M 2 1 & OAM
tam giác MOA 600 MON 1200 MKI 600 KMI
tam giác cân (KI = KM) có MKI 600 nên tam giác MI MK 3 . Dễ thấy BMK cân B có
1 1200 600
2
MBN MON
nên tam giác MN MB 4 Gọi E giao điểm AK MI
Dễ thấy 0 60 60 NKB NMB NKB MIK MIK
KB // MI (vì có cặp góc vị trí so le nhau) mặt khác AK KB cmt nên AK MI E HME 900 MHE
Ta có :
0 90 90 dd HAC AHC
HME MHE cmt HAC HME AHC MHE
mặt khác HACKMB (cùng chắn KB )
HME KMB
hay NMI KMB 5
3 , & IMN KMB c g c NI KB
(97)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012
ĐỒNG NAI Khóa ngày : 29 , 30 / / 2012
Mơn thi : TỐN HỌC Thời gian làm : 120 phút
( Đề có trang , câu ) Câu : ( 1,5 điểm )
1 / Giải phương trình : 7x2 – 8x – = .
2 / Giải hệ phương trình :
3x + 2y =1 4x +5y = 6
Câu : ( 2,0 điểm )
1 / Rút gọn biểu thức :
12 +3 3 2
M ; N
3 2 1
2 / Cho x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x2 – x – =
Tính :
1 + 1
x x
Câu : ( 1,5 điểm )
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hàm số :
y = 3x2 có đồ thị ( P ) ; y = 2x – có đồ thị ( d ) ; y = kx + n có đồ thị ( d
1 ) với k n số thực
1 / Vẽ đồ thị ( P )
2 / Tìm k n biết ( d1 ) qua điểm T( ; ) ( d1 ) // ( d )
Câu : ( 1,5 điểm )
Một đất hình chữ nhật có chu vi 198 m , diện tích 2430 m2 Tính chiều dài chiều
rộng đất hình chữ nhật cho Câu : ( 3,5 điểm )
Cho hình vng ABCD Lấy điểm E thuộc cạnh BC , với E không trùng B E không trùng C Vẽ EF vng góc với AE , với F thuộc CD Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC G Vẽ đường thẳng a qua điểm A vuông góc với AE , đường thẳng a cắt đường thẳng DE điểm H
1 / Chứng minh
AE CD AF DE
2 / Chứng minh tứ giác AEGH tứ giác nội tiếp đường tròn
3 / Gọi b tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE E , biết b cắt đường trung trực đoạn thẳng EG điểm K Chứng minh KG tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE
HƯỚNG DẪN GIẢI:
(98)Câu : ( 1,5 điểm )
1 / Giải phương trình : 7x2 – 8x – = ( x 1,2 =
4 79
7
) / Giải hệ phương trình :
3x + 2y =1 4x +5y = 6
( x ; y ) = (–1 ; ) Câu : ( 2,0 điểm )
1 / Rút gọn biểu thức :
12 +3 3
M 2 3
3 3
2 12
3 2
N 2 1
2 1 2 1
2 / Cho x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x2 – x – =
S = b 1a ; P =
c 1 a Nên :
1 2
1 1
x x 1 + 1
x x x x
Câu : ( 1,5 điểm )
1 / Vẽ đồ thị ( P )
2 / ( d1 ) // ( d ) nên k = ; n –3 qua điểm T( ; ) nên x = ; y = Ta có phương trình : =
1.2 + n n = Câu : ( 1,5 điểm )
Gọi x ( m ) chiều dài đất hình chữ nhật ( 49,5 < x < 99 ) Chiều rộng đất hình chữ nhật : 99 – x ( m )
Theo đề ta có phương trình : x ( x – 99 ) = 2430 Giải : x1 = 54 ( nhận ) ; x2 = 45 ( loại )
Vậy chiều dài đất hình chữ nhật 54 ( m )
Chiều rộng đất hình chữ nhật : 99 – 54 = 45 ( m ) Câu : ( 3,5 điểm )
1 / Chứng minh tứ giác AEFD nội tiếp
1
A D
AEF DCE ( g – g )
AE AF=
DC DE
AE DC=
AF DE
2 / Ta có A phụ với A 1 Ta có E 1 phụ với D Mà A 1D
(99)Suy tứ giác AEFD nội tiếp đường trịn đường kính HE
Gọi I trung điểm HE I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFD đường tròn ngoại tiếp
ΔAHE
I nằm đường trung trực EG IE = IG Vì K nằm đường trung trực EG KE = KG Suy IEK =IGK ( c-c-c )
IGK IEK 90
KG IG
tại G đường tròn ngoại tiếp ΔAHE KG tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếpΔAHE
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT BẮC GIANG NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi : Toán
Thời gian : 120 phút không kể thời gian giao đề Ngày thi 30 tháng năm 2012 Câu (2 điểm)
1.Tính
2 1-
Xác định giá trị a,biết đồ thị hàm số y = ax - qua điểm M(1;5) Câu 2: (3 điểm)
1.Rút gọn biểu thức:
1
( ).( 1)
2 2
a a
A
a a a a
- +
= - +
- - - với a>0,a¹ 4
2.Giải hệ pt:
2
3
x y x y
ì - =
ïï
íï + = ïỵ
Chứng minh pt: x2+mx m+ - =1 ln có nghiệm với giá trị m Giả sử x1,x2 nghiệm pt cho,tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
1 4.( 2) B=x +x - x +x Câu 3: (1,5 điểm)
Một ôtô tải từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau 30 phút ơtơ taxi xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h đến B lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng đường AB
Câu 4:(3 điểm)
Cho đường tròn (O) điểm A cho OA=3R Qua A kẻ tiếp tuyến AP AQ đường tròn (O),với P Q tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) cho PM song song với AQ.Gọi N giao điểm thứ đường thẳng AM đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ K
1.Chứng minh APOQ tứ giác nội tiếp 2.Chứng minh KA2=KN.KP
3.Kẻ đường kính QS đường trịn (O).Chứng minh tia NS tia phân giác gócPNM Gọi G giao điểm đường thẳng AO PK Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R Câu 5: (0,5điểm)
Cho a,b,c số thực khác không thoả mãn:
(100)
2 2
2013 2013 2013
( ) ( ) ( )
1
a b c b c a c a b abc
a b c
ìï + + + + + + =
ïí
ï + + =
ïỵ
Hãy tính giá trị biểu thức 2013 2013 2013
1 1
Q
a b c
= + +
HƯỚNG DẪN CHẤM (tham khảo)
Câu Ý Nội dung Điểm
1 1
2
1 2
2 2 2
2 ( 1).( 1) ( 2) 1)
+ +
- = - = - = + - =
- - +
-KL:
1
2 Do đồ thị hàm số y = ax-1 qua M(1;5) nên ta có a.1-1=5Û a=6 KL:
1
2 1 2 ( 1).( 2)
( ).( 1)
( 2) ( 2)
2
( ).( 1)
( 2)
a a a
A
a a a a a
a
a a
a a a
- -= - + = - - -= - + = = -KL: 0,5 0,5 2
2 9
3 15 25 17 34
x y x y x y y
x y x y x x
ì - = ì - = ì - = ì =-ï ï ï ï ï Û ï Û ï Û ï í í í í ï + = ï + = ï = ï = ï ï ï ï ỵ ỵ ỵ ỵ KL: 1 3
Xét Pt: x2+mx m+ - =1 0
2 2
Δ=m - 4(m- 1)=m - 4m+ =4 (m- 2) ³ Vậy pt ln có nghiệm với m
Theo hệ thức Viet ta có
1 2
x x m
x x m
ì + =-ïï
íï =
-ïỵ Theo đề bài
2 2
1 2 2
2 2
2
4.( ) ( ) 2 4.( )
2( 1) 4( ) 2 2 4 2 1 1
( 1) 1 1
B x x x x x x x x x x
m m m m m m m m
m
= + - + = + - - +
= - - - - = - + + = + + +
= + + ³
Vậy minB=1 m = -1 KL:
0,25
0,25
0,5
3 Gọi độ dài quãmg đường AB x (km) x>0 Thời gian xe tải từ A đến B 40
(101)Do xe tải xuất phát trước 2h30phút =
2 nên ta có pt
5
40 60
3 300
300 x x
x x x
- =
Û - =
Û =
Giá trị x = 300 có thoả mãn ĐK Vậy độ dài quãng đường AB 300 km.
0,25 0,25
0,25
4 1
Xét tứ giác APOQ có 900
APO= (Do AP tiếp tuyến (O) P)
900
AQO= (Do AQ tiếp tuyến (O) Q)
1800
APO AQO
Þ + = ,mà hai góc góc đối nên tứ giác APOQ tứ giác nội
tiếp
0,75
2 Xét ΔAKN ΔPAK có AKP góc chung APN=AMP
( Góc nt……cùng chắn cung NP) Mà NAK =AMP(so le PM //AQ
ΔAKN ~ ΔPKA (gg)
2 .
AK NK
AK NK KP PK AK
Þ = Þ =
(đpcm)
0,75
3 Kẻ đường kính QS đường trịn (O) Ta có AQ^QS (AQ tt (O) Q) Mà PM//AQ (gt) nên PM^QS
Đường kính QS ^PM nên QS qua điểm cung PM nhỏ
sd PS=sd SM Þ PNS=SNM
(hai góc nt chắn cung nhau) Hay NS tia phân giác góc PNM
0,75
4 Chứng minh ΔAQO vng Q, có QG^AO(theo Tính chất tiếp tuyến cắt nhau)
Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có 2
2 .
3
1
3
3
OQ R
OQ OI OA OI R
OA R AI OA OI R R R
= Þ = = =
Þ = - = - =
Do ΔKNQ ~ΔKQP (gg)Þ KQ2=KN KP mà AK2=NK KP nên AK=KQ
0,75
G K
N
S
M I
Q P
A
(102)Vậy ΔAPQ có trung tuyến AI PK cắt G nên G trọng tâm
2 16
3 3
AG AI R R
Þ = = =
5 Ta có:
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) (2 )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ).( ).( )
a b c b c a c a b abc a b a c b c b a c a c b abc
a b b a c a c b abc b c a c ab a b c a b c a b
a b ab c ac bc a b a c b c
+ + + + + + = Û + + + + + + = Û + + + + + + = Û + + + + + = Û + + + + = Û + + + =
*TH1: a+ b=0
Ta có 2013 2013 2013 1
a b a b
c
a b c
ì =- ì
=-ï ï
ï Û ï
í í
ï + + = ï =ïỵ
ïỵ ta có 2013 2013 2013
1 1
1 Q
a b c
= + + =
Các trường hợp lại xét tương tự Vậy 2013 2013 2013
1 1
1 Q
a b c
= + + =
0,25
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2012 - 2013
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày 23/6/2012
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1: (2,0 điểm)
1 Cho hàm số y = x + (1) a Tính giá trị y x = b Vẽ đồ thị hàm số (1)
2 Giải phương trình: 4x − 7x + = Câu 2: (2,0 điểm)
Cho biểu thức M = + −
1 Tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa Rút gọn biểu thức M Tìm giá trị x để M >
Câu 3: (2,0 điểm)
Một đội thợ mỏ phải khai thác 260 than thời hạn định Trên thực tế, ngày đội khai thác vượt định mức tấn, họ khai thác 261 than xong trước thời hạn ngày Hỏi theo kế hoạch ngày đội thợ phải khai thác than?
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 12 cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tia tiếp tuyến Ax, By M điểm thuộc nửa đường trịn (O), M khơng trùng với A B AM cắt By D, BM cắt Ax C E trung điểm đoạn thẳng BD
1 Chứng minh: AC BD = AB
2 Chứng minh: EM tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O
3 Kéo dài EM cắt Ax F Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn tâm O cho diện tích tứ giác AFEB đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ
Câu 5: (1,0 điểm)
Tính giá trị biểu thức T = x + y + z − biết:
x + y + z = + + + 45
(103)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚ 10 THPT LÂM ĐỒNG Khóa ngày : 26 tháng năm 2012
MƠN THI : TỐN
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm : 120 phút Câu 1: (0,75đ) Tính : 18 2 32
Câu 2: (0,75đ) Giải hệ phương trình :
2
4 11
x y x y
Câu 3: (0,75đ) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 9cm, Ch = 16cm Tính độ dài đoạn thẳng AH, BH, AC
Câu 4: (0,75đ) Cho hai đường thẳng (d) : y = (m-3)x + 16 (m3) (d’): y = x + m2.
Tìm m để (d) (d’) cắt điểm trục tung
Câu 5: (0,75đ) Cho AB dây cung đường trịn tâm O bán kính 12cm Biết AB = 12cm Tính diện tích hình quạt tạo hai bán kính OA, OB cung nhỏ AB
Câu 6: (1đ) Cho hàm số y = ax2 (a 0) có đồ thị (P).
a) Tìm a biết (P) qua điểm A(2;4)
b) Tìm k để đường thẳng (d) : y = 2x + k cắt (P) điểm phân biệt
Câu 7: (0,75đ) Hình nón thể tích 320cm3, bán kính đường trịn 8cm Tính diện tích tồn
phần hình nón
Câu 8: (1đ) Cho đường trịn (O) đường kính AB, M trung điểm OA Qua M vẽ dây cung CD vuông góc với OA
a) Chứng minh tứ giác ACOD hình thoi
b) Tia CO cắt BD I Chứng minh tứ giác DIOM nội tiếp
Câu 9: (1đ) Hai đội công nhân đào mương Nếu họ làm xong việc Nếu họ làm riêng đội A hồn thành cơng việc nhanh đội B 12 Hỏi làm riêng đội phải làm xong việc
Câu 10: (0,75đ) Rút gọn : 37 20 3 37 20 3
Câu 11: (1đ) Cho phương trình : x2 – 2(m-2)x - 3m2 +2 = (x ẩn, m tham số )
Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa : x1(2-x2) +x2(2-x1) = -2
Câu 12: (0,75đ) Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với đường trịn , M điểm cung AB, N điểm thuộc đoạn OA
(104)(105)(106)(107)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 QUẢNG NGÃI Môn thi: Tốn (khơng chun)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm)
1/ Thực phép tính: 1 1 2/ Giải hệ phương trình:
1
2
x y x y
3/ Giải phương trình: 9x2 8x 0 Bài 2: (2,0 điểm)
Cho parapol P :yx2 đường thẳng d :y2x m 1 (m tham số)
1/ Xác định tất giá trị m để d song song với đường thẳng d' :y2m x m2 m 2/ Chứng minh với m, d cắt P hai điểm phân biệt A B
3/ Ký hiệu x xA; B hoành độ điểm A điểm B Tìm m cho
2 14
A B
x x . Bài 3: (2,0 điểm)
Hai xe ô tô từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh, xe thứ hai đến sớm xe thứ Lúc trở xe thứ tăng vận tốc thêm km giờ, xe thứ hai giữ nguyên vận tốc dừng lại nghỉ điểm đường hết 40 phút, sau đến cảng Dung Quất lúc với xe thứ Tìm vận tốc ban đầu xe, biết chiều dài quãng đường từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh 120 km hay hai xe xuất phát lúc
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R C điểm nằm đường tròn cho CA > CB Gọi I trung điểm OA Vẽ đường thẳng d vng góc với AB I, cắt tia BC M cắt đoạn AC P; AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K
1/ Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp đường tròn 2/ Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng
3/ Các tiếp tuyến A C đường tròn (O) cắt Q Tính diện tích tứ giác QAIM theo R BC = R
Bài 5: (1,0 điểm)
Cho x0,y0 thỏa mãn x2 y2 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
xy A
xy
. HẾT
-HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1:
1/ 2
2 1 1 2 1
2/
1 3 10
2 7 1
x y x y x x
x y x y x y y
3/ Phương trình 9x2 8x1 0 có a b c 9 0 nên có hai nghiệm là: 1;
9 x x
Bài 2:
1/ Đường thẳng d :y2x m 1 song song với đường thẳng d' :y 2m x m2 m
(108)2
2
1
2
1 1 1 m m m m m m
m m m
m
2/ Phương trình hồnh độ giao điểm d P x2 2x m 1 x2 2x m 0 phương trình bậc hai có acm2 0 với m nên ln có hai nghiệm phân biệt với m Do d ln cắt
P
hai điểm phân biệt A B với m.
3/ Cách 1: Ký hiệu x xA; B hoành độ điểm A điểm B x xA; B nghiệm phương trình 2 1 0
x x m .
Giải phương trình x2 2x m 0 .
2 2
' m m ' m
Phương trình có hai nghiệm xA 1 m2 2; xB 1 m2 2 Do
2 2
2 2 2 2
2 2
14 2 14 2 2 2 14
2 14
A B
x x m m m m m m
m m m m
Cách 2: Ký hiệu x xA; B hoành độ điểm A điểm B x xA; B nghiệm phương trình 2 1 0
x x m Áp dụng hệ thức Viet ta có: 2
A B
A B S x x P x x m
đó
2
2 14 2 14 22 2 1 14 4 2 2 14 2
A B A B A B
x x x x x x m m m
Bài 3:
Gọi vận tốc ban đầu xe thứ x (km/h), xe thứ hai y (km/h) ĐK: x > 0; y > 0. Thời gian xe thứ từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh
120 h x . Thời gian xe thứ hai từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh
120 h y .
Vì xe thứ hai đến sớm xe thứ nên ta có phương trình: 120 120
1 x y Vận tốc lúc xe thứ x+ (km/h)
Thời gian xe thứ từ khu du lịch Sa Huỳnh đến cảng Dung Quất 120
5 h x . Thời gian xe thứ hai từ khu du lịch Sa Huỳnh đến cảng Dung Quất
120 h y . Vì xe thứ hai dừng lại nghỉ hết
2 40
3 ph h
, sau đến cảng Dung Quất lúc với xe thứ nên ta
có phương trình:
120 120
2
5
(109)Từ (1) (2) ta có hpt:
120 120
120 120
5 x y x y Giải hpt:
120 120
120 120
360 360 5 1800
120 120
5
x y
x x x x x x
x x x y
25 4.1800 7225 85
. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
5 85 40
x
(thỏa mãn ĐK)
5 85 45
x
(không thỏa mãn ĐK) Thay x40 vào pt (1) ta được:
120 120 120
1 60
40 y y y (thỏa mãn ĐK). Vậy vận tốc ban đầu xe thứ 40 km/h, xe thứ hai 60 km/h
Bài 4:(Bài giải vắn tắt)
a) Tứ giác BCPI nội tiếp (hs tự cm)
b) Dễ thấy MI AC hai đường cao MAB P trực tâm MAB BP đường cao thứ ba BPMA 1 .
Mặt khác AKB900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) BK MA 2 . Từ (1) (2) suy ba điểm B, P, Q thẳng hàng
c) AC AB2 BC2 4R2 R2 R
Khi BC = R dễ thấy tam giác OBC tam giác suy CBA 600
Mà QAC CBA (góc tạo tia tiếp tuyến góc nội tiếp chắn AC) QAC 600
Dễ thấy tam giác QAC cân Q (QA = QC) có QAC 600 nên tam giác AQACR Dễ thấy
3 ;
2
R R
AI IB
Trong tam giác vuông 90 IBM I
ta có
0 3
.tan tan 60
2
R R
IM IB BIB
Ta chứng minh tứ giác QAIM hình thang vng
0 / / ; 90 AQ IM I
Do
2
1 3 5
3
2 2
QAIM
R R R R R
S AQ IM AI R
(đvdt).
Bài 5:
Cách 1: Ta có
2 1 1
1 2
xy xy xy
A A
xy xy A xy xy
Vì
1
0, 0 0
x y A A
A
ax
(110)Mặt khác
2 2 2
0 2 1
2
x y x y xy xy
xy
(vì 2xy0) Do
1
1
2
A
Dấu “ = ” xảy xy.
Từ 2
0,
2
x y
x y x y
x y Lúc 2 A Vậy A 2 x y
Cách 2: Với x0, y 0 ta có
2 1 3 1 2 2 4
1
2 2 3
x y
xy xy xy
xy xy
Do
2
2
1 3
xy A xy xy .
Dấu “=” xảy xy
Từ 2
0,
2
x y
x y x y
x y Vậy A 2 x y
Cách 3:
Vớix0, y0 x2 y2 1
Ta có
2 2
2 2
2 2 2
0
3 3 3
x y xy x y
xy xy xy
A A
xy xy xy xy
Dấu “=” xảy
2 x y
Vậy A 2 x y
2
2
2
0; 0 a 2
1 2 2
a a xy
A b a xy bxy a x y b a xy
b b xy
a
b a a
a x y xy b a
(111)Bài 1(2,0điểm)
1) Tìm giá trị x để biểu thức có nghĩa: 3x 2 ;
4 2x1 2) Rút gọn biểu thức:
(2 3) 3
A
Bài 2(2,0 điểm)
Cho phương trình: mx2 – (4m -2)x + 3m – = (1) ( m tham số).
1) Giải phương trình (1) m =
2) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m 3) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm nghiệm nguyên Bài (2,0 điểm)
Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m Nếu tăng thêm chiều dài 3m chiều rộng 2m diện tích tăng thêm 45m2 Hãy tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn.
Bài (3,0 điểm)
Cho đường tròn O Từ A điểm nằm (O) kẻ tiếp tuyến AM AN với (O) ( M; N tiếp điểm )
1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính AO
2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B C (B nằm A C ) Gọi I trung điểm BC Chứng minh I thuộc đường trịn đường kính AO
3) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK.AI = AB.AC Bài (1,0 điểm)
Cho số x,y thỏa mãn x 0; y 0 x + y = 1. Tìm giả trị lớn nhỏ A = x2 + y2.
- Hết
-Câu 1:
a) 3x 2 có nghĩa 3x –
2
0
3
x x
UBND tØnh b¾c ninh
Sở giáo dục đào tạo đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thptNăm học 2012 - 2013
Mơn thi: Tốn (Dành cho tất thí sinh) Thời gian: 120 phút(Khơng kể thời gian giao )
Ngày thi: 30 tháng 06 năm 2012
(112)4
2x1 có nghĩa
1
2
2
x x x
b)
2 2
2
(2 3) (2 3)
(2 3) (2 3)(2 3)
1
2 (2 3)(2 3)
A
Câu 2: mx2 (4m 2)x3m (1)
1.Thay m = vào pt ta có:
2
(1) 2x 6x 4 x 3x 2
Ta thấy: – +2 = nên pt có nghiệm: x10; x2 2 * Nếu m = (1) 2x 0 x1
Suy ra: Pt ln có nghiệm với m=0
*Nếu m ph (1) pt bậc ẩn x
Ta có: ' (2m1)2 m m(3 2) 4 m2 4m 1 3m22m(m1)2 0 m0 Kết luận: Kết hợp trường hợp ta có: pt ln có nghiệm với m (đpcm) * Nếu m = (1) 2x 0 x1 nguyên
Suy ra: Với m = pt có nghiệm ngun
* Nếu m # ph (1) pt bậc ẩn x Từ ý ta có: pt có nghiệm:
2
2 1
1
2 1
m m
x
m
m m m
x m m Để pt (1) có nghiệm ngun nghiệm x2 phải nguyên
3 2
3 ( 0)
m
Z Z m m
m m
hay m ước m = {-2; -1; 1; 2}
Kết luận: Với m = { 1; 2;0} pt có nghiệm nguyên Câu 3:
Gọi chiều dài hcn x (m); chiều rộng y (m) (0 < x, y < 17) Theo ta có hpt :
34 : 17 12
( 3)( 2) 45
x y x
x y xy y
(thỏa mãn đk)
Vậy : chiều dài = 12m, chiều rộng = 5m Câu :
1 Theo tính chất tiếp tuyến vng góc với bán kính tiếp điểm ta có : AMOANO90O
AMO
vng M A, M , O thuộc đường trịn đường kính AO ( Vì AO cạnh huyền)
ANO
vuông N A, N, O thuộc đường trịn đường kính AO (Vì AO cạnh huyền)
Vậy: A, M, N, O thuộc đường trịn đường kính AO Hay tứ giác AMNO nội tiếp đường trịn đường kính AO
2 Vì I trung điểm BC (theo gt) OI BC (tc)
AIO
(113)Vậy I thuộc đường trịn đường kính AO (đpcm) Nối M với B, C
Xét AMB&AMC có MAC chung
2 MCB AMB
sđMB ~
AMB ACM
(g.g)
2
AB AM
AB AC AM AM AC
(1) Xét AKM &AIM có MAK chung
AIM AMK (Vì: AIM ANM chắn AM AMK ANM )
~
AMK AIM
(g.g)
2
AK AM
AK AI AM AM AI
(2) Từ (1) (2) ta có: AK.AI = AB.AC (đpcm)
Câu 5: * Tìm Min A Cách 1:
Ta có:
2 2 2
2 2
2
2
x y x xy y x y x xy y
Cộng vế với vế ta có:
2 2 1
2
2
x y x y A
Vậy Min A =
2 Dấu “=” xảy x = y = Cách 2
Từ x y 1 x 1 y Thay vào A ta có : 1 2 2 2 1 2( 1)2 1
2 2
A y y y y y y
Dấu « = » xảy : x = y = Vậy Min A =
1
2 Dấu “=” xảy x = y = * Tìm Max A
Từ giả thiết suy
2 2 1
x x x
x y x y
y y y
Vậy : Max A = x = 0, y
GIẢI CÂU 05
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN BẮC NINH 2012-2013
===================================== CÂU 05 :
Cho số x ; y thoả mãn x 0; y ≥0 x+ y =
(114)I- TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CÁCH 01 :
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta có x + y = nên y = - x + thay vào A = x2 + y2 ta có :
x2 + ( -x + 1)2 - A = hay 2x2 - 2x + ( 1- A) = (*)
do để biểu thức A tồn giá trị nhỏ giá trị lớn phương trình (*) có nghiệm hay
Δ' ≥0⇔1−2(1− A)≥0⇔2A −1≥0⇔A ≥1
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A
2 phương trình (*) có nghiệm kép hay x = 12 mà x + y = y = 12 Vậy Min A = 1/2 x = y = 1/2 ( t/m) b) Tìm giá trị lớn biểu thức A
CÁCH 02 :
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có = x + y hay 1= (x + y)2 2(x2+y2)⇔x2+y2≥1
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x = y mà x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m)
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A CÁCH 03 :
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Khơng tính tổng qt ta đặt
¿
x=1− m
y=m ¿{
¿
với 0≤ m≤1
Mà A= x2 + y2 Do A = ( 1- m)2 + m2 hay A= 2m2 - 2m +1
hay 2A = (4m2 - 4m + 1) + hay 2A = (2m- 1)2 + hay A=(2m−1)
2 + 2≥
1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 m= 1/2 hay x = y = 1/2
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A CÁCH 04 :
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta có A = x2 + y2 = ( x+ y)2 - 2xy = -2xy ( x + y =1 )
mà xy (x+y)
2
4 ⇔xy≤
4⇒−2 xy≥
−1
2 ⇔1−2 xy≥ 2⇒A ≥
1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x = y = 1/2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức A
CÁCH 05 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Xét tốn phụ sau : Với a , b c ; d > ta ln có :
a2
c + b2
d ≥
(a+b)2
c+d (*) , dấu “=” xảy
a c=
b d
Thật : có (√x2
+√y2)[( a
√x)
2
+( b
√y)
2
]≥(a+b)2⇔ a
2
x+ b2
y ≥
(a+b)2
x+y (ĐPCM) ÁP DỤNG
Cho a = x b = y ,từ (*) có : A= x2 + y2 = x2+ y2≥(x+y)
(115)Nên A 12 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x = y = 1/2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức A
CÁCH 06 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Ta có A = x2 + y2 hay xy = 1− A
2 (*) mà x + y =1 (**)
Vậy từ (*) ;(**) có hệ phương trình
¿
x+y=1 xy=1− A
2 ¿{
¿
,hệ có nghiệm
x ≥0; y ≥0⇔1−2(1− A)≥0⇔A ≥1
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x+ y =1 x2 + y2 = 12 hay x = y = 1/2
b) Tìm giá trị lớn biểu thức A CÁCH 07 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta có A = x2 + y2 = x2 + y2 + - mà x + y =1 nên A = x2 + y2 - x - y -1
Hay A = (x2− x+1 4)+(y
2
− y+1 4)+
1 2≥
1
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x = y = 1/2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức A
CÁCH 08 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Ta có A= x2 + y2 = x
2
+y2 =
x2
+y2
x+y =
x2
x+y+
y2
x+y≥
(x+y)2 2(x+y)=
x+y
Mà x + y =1 nên A 12 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x = y = 1/2 b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
CÁCH 09 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta có x + y = đường thẳng , x2 + y2 = A đường trịn có tâm gốc toạ độ O bán kín
√A mà x 0; y ≥0⇒ thuộc góc phần tư thứ đường trịn Do để tồn cực trị khoảng cách từ O đến đường thẳng x + y =1 phải nhỏ hay bán kín đường trịn hay A
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x =y = 1/2
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A CÁCH 10 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Ta có x + y =1 ⇔x+y −1
2=
2 Vậy để chứng minh A với A = x2 + y2 ta cần chứng minh x2+y2≥ x+y −1
2 Thật :
(116)Hay (x −1
2)
2
+(y −1 2)
2
≥0 ( ) Vậy A
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x = y =1/2
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A CÁCH 11 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Không tính tổng quát ta đặt
¿
x=2− m
y=m−1 ⇒1≤m ≤2
¿{ ¿
.Do A = x2 + y2 hay (2-m)2 + (m-1)2 - A =0 hay 2m2 - 6m +5 = A
Hay A=(2m−3)
2
2 + 2≥
1
Vậy giá trị nhỏ A 1/2 x = y = 1/2 b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
CÁCH 12 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Khơng tính tổng quát ta đặt
¿
x=3−m
y=m−2 ⇒2≤m ≤3
¿{ ¿
.Do A = x2 + y2 hay (3-m)2 + (m-2)2 - A =0 hay 2m2 - 10m +13 = A
Hay A=(2m−5)
2
2 + 2≥
1
Vậy giá trị nhỏ A 1/2 x = y = 1/2 b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
CÁCH 13 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta có x + y =1 hay (x+1) + (y +1) = mà A = x2 + y2 hay
A = (x2 + 2x + 1) + ( y2 + 2y +1) - hay A = (x+1)2 + ( y+1)2 - 4
,do ta đặt ¿
a=x+1
b=y+1 ⇒ ¿a≥1
b ≥1 ¿{
¿
Khi ta có tốn sau :
Cho hai số a , b thoả mãn a ≥1;b ≥1 a + b =3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a2 + b2 - 4
Thật : Ta có A = a2 + b2 - = (a+b)2 - 2ab - = - 2ab ( a+b=3)
Mặt khác theo cơsi có : ab≤(a+b)
2
4 =
4 A
2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x = y = 1/2
b)Tìm giá trị lớn biểu thức A CÁCH 14 :
(117)Khơng tính tổng qt ta đặt
¿
x=a − m
y=m− b ⇒b ≤ m≤ a
¿{ ¿ ( với a > b a - b =1 hay a = b+ hay a > b ) Do A = x2 + y2 hay (a-m)2 + (m-b)2 - A =0 hay
2m2 - 2m (a+b) +(a2 + b2) = A hay
Hay 2A=[2m−(a+b)]2+2(a2+b2)−(a+b)2⇔A=[2m−(a+b)]
2
2 +
1 2≥
1 (Vì a - b= 1)
Vậy giá trị nhỏ A 1/2 x = y = 1/2 b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
CÁCH 15 :
a)Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Ta có x + y =1 hay y = - x mà y 0⇔0≤ x ≤1 Do x2 + y2 - A = hay x2 - 2x +( - A ) =
Khi ta có tốn sau :
Tìm A để phương trình x2 - 2x +( - A ) = (*) có nghiệm 0≤ x
1≤ x2≤1
Với x1 ; x2 nghiệm phương trình (*)
(118)0≤ x1≤ x2≤1⇔ ¿
x2≥ x1≥0
x1≤ x2≤1
⇔ ¿x1≥0
x2≥0 ¿x1≤1
x2≤1 ¿
no
¿⇔ ¿S ≥0
P≥0 ¿S ≤2
P ≤1 ¿
no
¿⇔ ¿Δ' ≥0
S ≥0
P≥0 ¿Δ' ≥0
S ≤2
P ≤1 ¿
no
¿⇔1
2≤ A ≤1 ¿ ¿{ {
{ { ¿{ { ¿{
{ ¿ ¿
¿ ¿{
¿
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x =y = 1/2 b)Tìm giá trị lớn biểu thức A
Vậy theo ta có giá trị lớn biểu thức A x = y = x= y =
II- TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CÁCH 01 :
Vậy theo ta có giá trị lớn biểu thức A x = y = x= y =
CÁCH 02 :
Ta có A = x2 + y2 hay xy = 1− A
(119)CÁCH 03 :
Khơng tính tổng qt ta đặt
¿
x=sin2α ≥0
y=cos2α ≥0 ¿{
¿
Do A = sin4α+cos4α=1−2(sinα cosα)2≤1 Vậy giá trị lớn biểu thức A
(120)(121)(122)(123)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP THPT BÌNH DƯƠNG Năm học 2012 – 2013
Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài (1 điểm): Cho biểu thức: A =
2
50
5 x x 1/ Rút gọn biểu thức A
2/ Tính giá trị x A = Bài (1,5 điểm):
1/ Vẽ đồ thị (P) hàm số y = 2 x
2/ Xác định m để đường thẳng (d): y = x – m cắt (P) điểm A có hồnh độ Tìm tung độ điểm A Bài (2 điểm):
1/ Giải hệ phương trình:
2
3
x y x y
2/ Giải phương trình: x4 + x2 – = 0
Bài (2 điểm): Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – = (m tham số)
1/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m 2/ Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ (x
1; x2 hai nghiệm phương trình)
Bài (3,5 điểm): Cho đường tròn (O) điểm M ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MPQ (MP < MQ) Gọi I trung điểm dây PQ, E giao điểm thứ đường thẳng BI đường tròn (O) Chứng minh:
1/ Tứ giác BOIM nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác 2/ BOM = BEA
3/ AE // PQ
4/ Ba điểm O; I; K thẳng hàng, với K trung điểm EA HƯỚNG DẪN GIẢI:
Nội dung Bài (1 điểm):
1/ ĐKXĐ: x 0 A =
2
50
5 x x =
2
25.2 4.2
5 x x
(124)=
3
2 2
2
x x
=
2 x
Vậy với x thi A =
2
2 x
2/ Khi A =
2 x = 1 2x = 2x =
x = (Thỏa điều kiện xác định) Vậy A = giá trị x =
Bài (1,5 điểm):
1/ Vẽ đồ thị (P) hàm số y = 2 x
-Bảng giá trị
x -4 -2
y = 2 x
8 2
-Đồ thị (P) đường parabol đỉnh O(0; 0) nằm phía trục hồnh, nhận trục tung làm trục đối xứng qua điểm có tọa độ cho bảng
2/ Cách
Vì (d) cắt (P) điểm A có hồnh độ nên x = thỏa mãn công thức hàm số (P) => Tung độ điểm A là: yA =
2
2 =
A(1;
1
2) (d) nên
2 = – m
m = –
1 2 =
1 Vậy với m =
1
2 (d): y = x – m cắt P điểm A có hồnh độ Khi tung độ yA = Cách 2
(125)2 x
= x – m x2 – 2x + 2m = (*)
Để (d) cắt (P) điểm A có hồnh độ phương trình (*) có nghiệm
12 – 2.1 + 2m = m =
1 Vậy với m =
1
2 (d): y = x – m cắt P điểm A có hồnh độ Khi tung độ yA =
2 = Bài (2 điểm):
1/ Giải hệ phương trình
2 3 x y x y 3 x x y 3.( 1) x y x y Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1; -6) 2/ Giải phương trình
x4 + x2 – = (1)
Đặt x2 = t (t 0)
Phương trình (1) trở thành: t2 + t – = (2)
Ta có = 12 – 4.1.(-6) = 25
Phương trình (2) có hai nghiệm t1 =
1 25
2.1
= (nhận) ; t2 =
1 25
2.1
= -3 (loại) Với t = t1 = => x2 = x =
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = 2; x2 = -
Bài (2 điểm): Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – = (m tham số)
1/ Ta có ’ = (-m)2 – (-2m – 5)
= m2 + 2m + 5
= (m + 1)2 +
Vì (m + 1)2 với m
(m + 1)2 + > với m
Hay ’ > với m
Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với m 2/ Vì phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với m
1 2
2
x x m x x m
(theo định lý Vi-et) Đặt A = x1 x2
A2 = ( x1 x2
)2 = x
12 – 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 A2 = (2m)2 – 4(-2m – 5) = (2m)2 + 8m + 20
= (2m)2 + 2m + + 16 = (2m + 2)2 + 16 16 Giá trị nhỏ A2 = 16
Giá trị nhỏ A 2m + = m = -1
Vậy với m = -1 x1 x2 đạt giá trị nhỏ 4 Bài (3,5 điểm):
1/ Ta có MB tiếp tuyến (O) (gt)
(126) OBM = 900
B thuộc đường tròn đường kính OM (1)
Ta có IQ = IP (gt)
OI QP (Tính chất liên hệ đường kính dây cung) OIM = 900
I thuộc đường trịn đường kính OM (2)
Từ (1) (2) => BOIM nội tiếp đường trịn đường kính OM 2/ Ta có BOM = AOM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
BOM =
1 2BOA mà BOA = SđAB
BOM =
1
2SđAB Ta lại có BEA =
1
2SđAB (Định lý góc nội tiếp)
BOM = BEA
3/ Ta có: Tứ giác BOIM nội tiếp (Chứng minh trên)
BOM = BIM (Cùng chắn BM)
mà BOM = BEA (Chứng minh trên)
BIM = BEA
Mặt khắc BIM BEA hai góc vị trí đồng vị
AE // PQ
4/ Ta có OI QP AE // PQ (chứng minh trên);
OI AE (3)
mà KE = KA (gt)
OK AE (tính chất liên hệ đường kính dây cung) (4)
Từ (3) (4), ta thấy qua điểm O có hai đường thẳng OI OK song song với AE
OI OK phải trùng
(127)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút,khơng kể thời gian giao đề
Bài 1.(2,0 điểm)
1) Tính:
1
A
5
2) Cho biểu thức:
2(x 4) x
B
x x x x
với x ≥ 0, x ≠ 16.
a Rút gọn B
b Tìm x để giá trị B số nguyên
Bài 2.(2,0 điểm)
Cho phương trình: x2 – 4x + m + = (m tham số).
1) Giải phương trình với m =
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu (x1 < < x2) Khi nghiệm có giá
trị tuyệt đối lớn hơn?
Bài 3.(2,0 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = -x2 đường thẳng (d): y = mx + (m
tham số)
1) Tìm m để (d) cắt (P) điểm
2) Cho hai điểm A(-2; m) B(1; n) Tìm m, n để A thuộc (P) B thuộc (d)
3) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến (d) Tìm m để độ dài đoạn OH lớn
Bài 4.(3,5 điểm)
Cho đường trịn (O), dây cung BC (BC khơng đường kính) Điểm A di động cung nhỏ BC (A khác B C; độ dài đoạn AB khác AC) Kẻ đường kính AA’ đường trịn (O), D chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Hai điểm E, F chân đường vng góc kẻ từ B, C đến AA’ Chứng minh rằng:
1) Bốn điểm A, B, D, E nằm đường tròn 2) BD.AC = AD.A’C
3) DE vng góc với AC
4) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác DEF điểm cố định
Bài 5.(0,5 điểm):
Giải hệ phương trình:
4
2 2
x x 3x 4y
x 4y x 2xy 4y
x 2y
2
(128)Nội dung Điểm 1.
(0,5đ) A 5 45 ( 2)2 5
0,5
2.
(1,5đ)
a (1 đ)
Với x ≥ 0, x ≠ 16, thì: B
2(x 4) x 2x x( x 4) 8( x 1)
( x 1)( x 4) x x ( x 1)( x 4)
0,25
2x x x x 3x 12 x ( x 1)( x 4) ( x 1)( x 4)
0,25
3 x( x 4) x ( x 1)( x 4) x
0,25
Vậy
3 x B
x
với x ≥ 0, x ≠ 16. 0,25
b (0,5 đ)
Dễ thấy B ≥ (vì x 0).
Lại có:
3
B 3
x
(vì
0 x 0, x 16) x 1 .
Suy ra: ≤ B < B {0; 1; 2} (vì B Z)
0,25
- Với B = x = 0; - Với B =
3 x
1 x x x
4 x 1
- Với B =
3 x
2 x 2( x 1) x
x 1
Vậy để B Z x {0;
1 ; 4}.
0,25
Bài 2
Nội dung Điểm
1.
(1,0đ)
m = 2, phương trình cho thành: x2 – 4x + = 0.
Phương trình có a + b + c = – + = nên có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 0,5
Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = 0,5 2.
(1,0đ)
Phương trình cho có hai nghiệm trái dấu ac < m + < m < -1 0,5 Theo định lí Vi-et, ta có:
1
1
x x
x x m
Xét hiệu: |x1| - |x2| = -x1 – x2 = -4 < (vì x1 < < x2) |x1| < |x2|
(129)Bài 3.(2,0 điểm):
Nội dung Điểm
1.
(0,75đ)
(d) cắt (P) điểm Phương trình hồnh độ (d) (P): -x2 = mx +
x2 + mx + = có nghiệm 0,25 = m2 – = m = ± 2 0,25 Vậy giá trị m cần tìm m = ± 2 0,25
2.
(0,75đ)
2
A (P) m ( 2) m
n
B (d) n m
0,5
Vậy m = -4, n = -2 0,25
3.
(0,5đ)
- Nếu m = (d) thành: y = khoảng cách từ O đến (d) = OH = (Hình 1)
0,25
- Nếu m ≠ (d) cắt trục tung điểm A(0; 2) cắt trục hoành điểm B(
2 ; m
0) (Hình 2) OA = OB =
2
m |m|
OAB vng O có OH AB
2
2 2
1 1 m m
OH OA OB 4
2
2 OH
m
Vì m2 + >
m ≠ m2 1 OH < So sánh hai trường hợp, ta có OHmax = m =
0,25
Bài 4.(3,5 điểm)
Nội dung Điểm
1.
(0,5đ) Vì
ADB AEB 90 bốn điểm A, B, D, E thuộc đường trịn đường kính
(130)2.
(1,0đ)
Xét ADB ACA’ có:
ADB ACB 90 (ACB 90 0 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);
ABD AA 'C (hai góc nội tiếp chắn cung AC)
ADB ~ ACA’ (g.g)
0,5
AD BD
ACA 'C BD.AC = AD.A’C (đpcm).
0,5
3.
(1,25đ
Gọi H giao điểm DE với AC
Tứ giác AEDB nội tiếp HDC BAE BAA '. 0,25
BAA ' BCA hai góc nội tiếp (O) nên:
BAA ' sđBA ' ; BCA sđBA
2
0,25
BAA ' BCA sđBA ' sđBA sđABA ' 90
2 2
(do AA’ đường kính) 0,25 Suy ra: HDC HCD BAA ' BCA 90 CHD vng H. 0,25
Do đó: DE AC
4.
(0,5đ Gọi I trung điểm BC, K giao điểm OI với DA’, M giao điểm EI với CF, N điểm đối xứng với D qua I
Ta có: OI BC OI // AD (vì BC) OK // AD ADA’ có: OA = OA’ (gt), OK // AD KD = KA’
DNA’ có ID = IN, KD = KA’ IK // NA’; mà IK BC (do OI BC) NA’ BC
Tứ giác BENA’ có BEA ' BNA ' 90 0 nên nội tiếp đường tròn
EA 'B ENB
Ta lại có: EA 'B AA 'B ACB (hai góc nội tiếp chắn cung AB (O)).
ENB ACB NE // AC (vì có hai góc vị trí đồng vị nhau)
Mà DE AC, nên DE EN (1)
Xét IBE ICM có:
(131)
EIB CIM (đối đỉnh)
IB = IC (cách dựng)
IBEICM (so le trong, BE // CF (vì AA’))
IBE = ICM (g.c.g) IE = IM EFM vuông F, IE = IM = IF
Tứ giác DENM có IE = IM, ID = IN nên hình bình hành (2) Từ (1) (3) suy DENM hình chữ nhật IE = ID = IN = IM ID = IE = IF Suy I tâm đường tròn ngoại tiếp DEF I trung điểm BC nên I cố định
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF điểm cố định
0,25
Bài 5.(0,5 điểm):
Nội dung Điểm
Từ (2) suy x + 2y ≥
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2 2 2 2
2(x 4y ) (1 1 )[x (2y) ] (x 2y)
2 2
x 4y (x 2y) x 2y
2
(3) Dấu xảy x = 2y
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được:
2
x 2xy 4y x 2y
3
(4) Thật vậy,
2 2 2
x 2xy 4y x 2y x 2xy 4y (x 2y)
3
(do hai vế ≥ 0)
4(x2 + 2xy + 4y2) ≥ 3(x2 + 4xy + 4y2) (x – 2y)2 ≥ (luôn x, y) Dấu xảy x = 2y
0,25
Từ (3) (4) suy ra:
2 2
x 4y x 2xy 4y x 2y
2
Dấu xảy x = 2y
Do (2) x = 2y ≥ (vì x + 2y ≥ 0)
Khi đó, (1) trở thành: x4 – x3 + 3x2 – 2x – =
(x – 1)(x3 + 3x + 1) =
(132) x = (vì x3 + 3x + ≥ > x ≥ 0)
1 y
2
Vậy nghiệm hệ cho (x = 1; y =
1 2).
(133)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
KIÊN GIANG Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1:(1,5 điểm)
a) Tính: 12 75 48
b) Tính giá trị biểu thức A = (10 11)(3 11 10) Câu 2:(1,5 điểm)
Cho hàm số y = (2 – m)x – m + (1) a) Vẽ đồ thị (d) hàm số m =
b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) đồng biến Câu 3:(1 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
3
x y
x y
Câu 4:(2,5 điểm)
a) Phương trình x2 – x – = có nghiệm x
1, x2 Tính giá trị X =
3
1 2 21
x x x x
b) Một phòng họp dự định có 120 người dự họp, họp có 160 người tham dự nẹn phải kê thêm dãy ghế phải kê them ghế vừa đủ Tính số dãy ghế dự định lúc đầu Biết số dãy ghế lúc đầu phòng nhiều 20 dãy ghế số ghế dãy
Câu 5:(1 điểm)
Cho ABC vuông A, đường cao AH Tính chu vi tam giác ABC biết: AC = 5cm HC = 25 13 cm. Câu 4:(2,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với (O) Lấy E nửa đường tròn, qua E vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax D, cắt By C
a) Chứng minh: Tứ giác OADE nội tiếp nội tiếp đường tròn b) Nối AC cắt BD F > Chứng minh: EF song song với AD
(134)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
QUẢNG BÌNH Mơn thi: TỐN
Mã đề: 201 (thí sinh ghi mã đề vào sau chữ làm)
Thời gian làm bài: 120 phút
C©u 1: (1.5 ®iĨm): Cho biĨu thøc:: 2
1 1
:
1
m P
m
m m m m
víi m 0 ,m ±1
a)Rót gän biĨu thøc P
b) Tính giá trị biểu thức P x=
1
Câu 2:(1,5điểm): Cho ba đờng thẳng(d1): y= 2x+1; (d2): y=3; (d3): y=kx+5
a) Xác định toạ độ giao điểm hai đờng thẳng d1 d2
b) Tìm k để ba ng thng trờn ng quy
Câu 3:(2.5 điểm) Cho phơng trình bậc hai ẩn x: x2-2(m-1)x+2m-4=0 (m tham số) (1)
a) Giải phơng trình (1) m =
b)Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m c) Gọi x1,x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
A = x12+x22
Câu 4: (3,5 điểm): Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB=2R Gọi M điểm đờng trịn( M khơng trùng với A, B) Vẽ tiếp tuyến Ax, By, Mz đờng tròn Đờng thẳng Mz cắt Ax, By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D
a) Chứng minh tứ giác AOMN nội tiếp đợc đờng tròn b) Chứng minh N trung điểm AD, P trung điểm BC
c) Chøng minh AD.BC = 4R2
C©u 5: : (1,0điểm) Cho a, b, c số dơng Chøng minh r»ng :
25a b+c+
16b a+c+
c
a+b>8
(135)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
Mơn thi: TỐN(Khơng chun) Ngày thi : 02 tháng 7 năm 2012
Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Câu 1 : (1điểm) Thực phép tính
a) A b) B 5 20 Câu 2 : (1 điểm) Giải phương trình: x2 2x 0 .
Câu 3 : (1 điểm) Giải hệ phương trình:
2
3 10
x y x y
.
Câu 4 : (1 điểm) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: a)
1
x b) 4 x2
Câu 5 : (1 điểm) Vẽ đồ thị hàm số y x
Câu 6 : (1 điểm) Cho phương trình x2 m 1 xm2 3 a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình cho, tìm giá trị nhỏ biểu thức
1 2
Ax x x x .
Câu 7 : (1 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số y3xm 1 cắt trục tung điểm có tung độ
Câu 8 : (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Cho biết AB 3cm , AC 4cm Hãy tìm độ dài đường cao AH
Câu 9 : (1 điểm) Cho tam giác ABC vng A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F Chứng minh tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp
Câu 10: (1 điểm) Trên đường tròn (O) dựng dây cung AB có chiều dài khơng đổi bé đường kính Xác định vị trí điểm M cung lớn AB cho chu vi tam giác AMB có giá trị lớn
BÀI GIẢI Câu 1 : (1điểm) Thực phép tính
a) A 16 4
b) B 5 20 5 5 Câu 2 : (1 điểm) Giải phương trình
2 2 8 0
x x .
2
' 1
, ' 9 3 .
1
(136)Vậy S = 4; 2
Câu 3 : (1 điểm) Giải hệ phương trình
2 5 15 3
3 10 10 10
x y x x x
x y x y y y
.
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 3;1 Câu 4 : (1 điểm) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
a)
9
x có nghĩa x2 0 x2 9 x3. b) 4 x2 có nghĩa 4 x2 0 x2 4 2 x 2. Câu 5 : (1 điểm) Vẽ đồ thị hàm số y x
BGT
x 2 1 0 2
2
y x 1
Câu 6 : (1 điểm)
2 2 m 1 m2 3 0
x x .
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
2 2
' m 1 m m 2m m 2m
Phương trình có nghiệm ' 0 2m 0 m 1 . b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ax1x2x x1 2.
Điều kiện m 1
Theo Vi-ét ta có : x1x2 2m 2 ;
2
1 m
x x .
2
2
1 2
Ax x x x 2m m 3 m 2m 5 m 1 4 4. Amin 4 m 0 m1 (loại khơng thỏa điều kiện m 1 ).
Mặt khác :
2
A m 1 4 1 4 (vì m 1 ) A 8 . Amin 8 m 1 .
Kết luận : Khi m 1 A đạt giá trị nhỏ Amin 8.
(137)Theo Vi-ét ta có : x1x2 2m 2 ;
2
1 m
x x .
2
1 2
Ax x x x 2m m 3 m 2m 5 Vì m 1 nên A m 22m 1 2 2.1 5 hay A 8 Vậy Amin 8 m 1 .
Câu 7 : (1 điểm)
Đồ thị hàm số y3xm 1 cắt trục tung điểm có tung độ m
m 5 . Vậy m 5 giá trị cần tìm. Câu 8 : (1 điểm)
Ta có:
2 2
BC AB AC 4 5 cm
AH.BC AB.AC
AB.AC 3.4
AH 2, cm
BC
Cách 2:
2
1 1
AH AB AC
2 2 2
2
2 2 2
AB AC 4 AH
AB AC
.
3.4
AH 2, cm
Câu 9 : (1 điểm)
GT ABC, A 90 0, nửa
AB O;
2
cắt BC D, E AD , BE cắt AC F. KL CDEF tứ giác nội tiếp
Ta có :
1 1 C sđAmB sđAED sđADB sđAED sđBD
2 2
(C góc có đỉnh ngồi đường trịn) Mặt khác
BED sđBD
2
(BED góc nội tiếp)
BED C sđBD
(138)GT O , dây AB không đổi, AB 2R ,
M AB (cung lớn)
KL Tìm vị trí M cung lớn AB để chu vitam giác AMB có giá trị lớn nhất.
Gọi P chu vi MAB Ta có P = MA + MB + AB. Do AB không đổi nên Pmax MA + MBmax.
Do dây AB không đổi nên AmB không đổi Đặt sđAmB (không đổi). Trên tia đối tia MA lấy điểm C cho MB = MC
MBC
cân M M 12C (góc ngồi đỉnh MBC cân)
1 1 1 1
C M sđAmB sđAmB
2 2 4
(khơng đổi) Điểm C nhìn đoạn AB cố định góc khơng đổi
1 4. C thuộc cung chứa góc
1
4 dựng đoạn AB cố định. MA + MB = MA + MC = AC (vì MB = MC).
MA + MBmax ACmax AC đường kính cung chứa góc nói trên.
ABC 90
0
1
0 1
B B 90 C A 90
A 1B 2 (do B 1C 1) AMB cân M.
MA = MB
MA MB M điểm AB (cung lớn)
(139)