+ Tính S 1 bằng cách xác định li độ x 1 , x 2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox + Trong một số trƣờng hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động đi[r]
(1)4 NÊN VÀ KHÔNG NÊN KHI Ở TRONG PHONG THI <1> KHƠNG NÊN giải tốn trắc nghiệp phƣơng pháp tự luận.
<2> NÊN xem xét kĩ phƣơng án A, B, C, D nhìn tốn từ đơn giản đến phức tạp
<3> KHÔNG NÊN dùng bút nhiều
<4> NÊN dùng máy tính Fx 570Ms máy tính tƣơng tự cách “sành điệu”
CHƢƠNG II DAO ĐỘNG CƠ
I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1 Phƣơng trình dao động điều hịa
2 Chu kì, tần số tần số góc dao động điều hòa
3 Dao động điều hòa
4 Vận tốc gia tốc vật dao động điều hòa
5 Vật VTCB vị trí biên
6 Hệ thức độc lập
7 Chiều dài quỹ đạo 2 d d CD A A
8 Các cơng thức tốn học cần nhớ
8.2 Hệ thức cung đặc biệt
8.3 Công thức cộng
8.4 Công thức nhân
8.5 Công thức hạ bậc
8.6 Công thức biến đổi tổng thành tích
II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Dạng Xác định đại lƣợng đặc trƣng dao động điều hòa
A PHƢƠNG PHÁP
B BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Dạng Viết phƣơng trình dao động điều hịa vật
A PHƢƠNG PHÁP
B BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Dạng Sự phân bố thời gian dao động điều hòa 10
A PHƢƠNG PHÁP 10
3.1 Chuyển động tròn chất điểm M đƣờng trịn bán kính r = A 10
3.2 Mối liên hệ dao động điều hòa chất điểm hình chiếu chất điểm chuyển động trịn 10
3.3 Tính khoảng thời gian ngắn (nhỏ nhất) vật dao động từ li độ x1 đến li độ x2 11
3.4 Xét khoảng thời gian đặc biệt 11
3.5 Tính khoảng thời gian dài (lớn nhất) chu kì 12
3.6 Con lắc lị xo treo thẳng đứng 13
3.7 Tính khoảng thời gian lị xo dãn nén chu kì 14
B BÀI TOÁN ÁP DỤNG 14
Dạng Thời điểm vật qua vị trí có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F) 18
A PHƢƠNG PHÁP 18
B BÀI TỐN ÁP DỤNG 20
Dạng Tính số lần (tần suất) vật qua vị trí M có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F) từ thời điểm t1 đến t2 24
(2)B BÀI TOÁN ÁP DỤNG 25
Dạng Quãng đƣờng vật đƣợc 27
A PHƢƠNG PHÁP : 27
B BÀI TOÁN ÁP DỤNG 29
Dạng Vận tốc trung bình tốc độ trung bình đoạn đƣờng s 33
PHƢƠNG PHÁP : 33 CHƢƠNG II DAO ĐỘNG CƠ
CHỦ ĐỀ ĐẠI CƢƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
* Dao động cơ, dao động tuần hòan
+ Dao động chuyển động qua lại vật quanh VTCB
+ Dao động tuần hòan dao động mà sau khoảng thời gian nhau, gọi chu kì, vật trở lại vị trí cũ theo hƣớng cũ
1 Phƣơng trình dao động điều hịa
Bài tốn: Khảo sát chuyển động vật nặng lắc lò xo nằm ngang Con lắc lò xo gồm vật nặng gắn vào đầu lị xo có khối lƣợng khơng đáng kể, đầu lò xo cố định Kéo vật nặng đoạn thả, xét vật cách VTCB khoảng x Viết phƣơng trình dao động Giải
+ Trục Ox nhƣ hình vẽ
+ Gốc O ứng với VTCB (VTCB) Tại lị xo khơng bị biến dạng
+ Li độ x khoảng cách |x| tính từ vị trí vật xét đến VTCB (x > x < 0) + Fđh: lực đàn hồi lò xo; Fđh = k|x|
+ Theo Định luật II Newton, ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ mà ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ chiếu lên trục Ox: - Fđh = ma - kx = mx" x" = đặt phƣơng trình trở thành : x" + ω2
x = (Phƣơng trình động lực học dao động hay cịn gọi Phƣơng trình vi phân) Có nghiệm : ( ) gọi Phƣơng trình dao động
Trong đó:
A biên độ dao động; đơn vị m cm; li độ cực đại vật (A xmax); A > ( t )
: pha dao động thời điểm t (rad) Ф φ (đọc phi) pha ban đầu dao động (rad)
: tần số góc (rad/s), >
* Phƣơng trình vi phân chuyển động có dạng:
''
x x
* Nghiệm tổng quát phƣơng trình : x A1sintA2cost (trong A1 A2 số)
* Nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân viết cách khác dƣới dạng “Phƣơng trình dao động điều hịa” có dạng : xAcos( t )
2 Chu kì, tần số tần số góc dao động điều hịa
Chu kì T khoảng thời gian để vật thực dao động toàn phần; đơn vị giây (s)
2
T
Tần số ƒ số dao động toàn phần thực đƣợc giây
1
f T
(3)+ Liên hệ , T ƒ: 2 f T
+ Số dao động (N) khoảng thời gian Δt : N t T
Dao động điều hòa
+ Dao động điều hòa dao động li độ vật hàm cơsin hay sin thời gian nhân với số
4 Vận tốc gia tốc vật dao động điều hòa
4.1 Vận tốc đạo hàm bậc li độ theo thời gian : v = x' = - Asin(t + ) = Acos(t + +
2
)
0
v (vật chuyển động theo chiều dƣơng)
0
v (vật chuyển động theo chiều âm)
Vận tốc vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa tần số nhƣng sớm pha
so với với li độ
+ Ở vị trí biên (vị trí giới hạn) x = A vận tốc có giá trị v = + Ở VTCB x = vận tốc có độ lớn cực đại, |vMax| = A
*Vận tốc trung bình :
2
2
tb
x x
v
t t
∆x = x2 – x1 : độ dời;
Độ dời = độ biến thiên tọa độ
= tọa độ lúc cuối – tọa độ lúc đầu
x1, x2 tọa độ chất điểm thời điểm t1 t2 tƣơng ứng ∆t = t2 – t1 : khoảng thời gian thực độ dời
*Tốc độ trung bình s
t
∆S: quãng đƣờng đƣợc ∆t: khoảng thời gian
♦ Lƣu ý: Trong trƣờng hợp chất điểm chuyển động theo chiều trục tọa độ Ox ta chọn chiều làm chiều dƣơng (+) trục tọa độ độ dời trùng với quãng đƣờng đƣợc vận tốc trung bình tốc độ trung bình
4.2 Gia tốc đạo hàm bậc vận tốc (đạo hàm bậc li độ) theo thời gian : a = v' = x" = - 2Acos(t + ) = - 2x
Gia tốc vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa tần số nhƣng ngƣợc pha với li độ (sớm pha
2
so với vận tốc)
+ Vecto gia tốc vật dao động điều hịa ln hƣớng VTCB tỉ lệ với độ lớn li độ - Ở vị trí biên x = A gia tốc có độ lớn cực đại : |aMax|= 2A
- Ở VTCB x = gia tốc - Gia tốc luôn trái dấu với li độ *Gia tốc trung bình
2
tb
v v v
a
t t t
Lƣu ý: a.v > : vật chuyển động nhanh dần a.v < : vật chuyển động chậm dần
(4)5 Vật VTCB vị trí biên VTCB (O) xCB =
0 Max
Min
v A
a
Vật vị trí biên (C, D) C
D
x A
x A
0
Min Max v
a A
Hệ thức độc lập
Khi biết li độ x vận tốc v biên độ
2
2
v
A x
Khi biết gia tốc a vận tốc v biên độ
2
a v
A
Khi biết li độ x biên độ A v A2x2 Chiều dài quỹ đạo
2
d d CD A A Các cơng thức tốn học cần nhớ
8 Các công thức tam giác * Định lí Pitago
2 2
BC AB AC
* Trong tam giác ΔABC, vuôn A sinB b
a
cosB c
a
tanB b
c
Trong tam giác ΔABC
Định lí sin :
2 sin sin sin
a b c
R C
A B
Định lí cơsin tam giác Δ ABC : 2
2 2 2
2 cos cos cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
8.2 Hệ thức cung đặc biệt
a Hai cung đối nhau: sin()sin cos()cos
b Hai cung phụ
sin cos( ) cos( )
2
)
2 sin( cos c Hai cung bù
) sin(
sin cos cos( )cos( )
d Hai cung π
sin sin( ) cos( )
2
coscos( )
8.3 Công thức cộng
b a b
a b
a ) cos cos sin sin
cos( sin(ab)sina.cosbsinb.cosa
8.4 Công thức nhân
a a
a 2sin cos
2
sin cos2a12sin2a2cos2a1
B C
A
a b
c
a
b c
A
(5)8.5 Công thức hạ bậc
2 cos
sin2a a
2 cos
cos2a a
8.6 Công thức biến đổi tổng thành tích
2 cos cos cos
cosa b ab ab cos cos 2sin sin
2
a b a b
a b
8.7 Phƣơng trình lƣợng giác đặc biệt
2 sin
2 k
k
or k
cos
2
k
or k
2
sin k cos1 k2
2
sin k cos1 k2
tan 0 k tan
4 k
tan tan :
2
k k
tan
4 k 8.8 Biểu thức chứa giá trị tuyệt đối
A, B biểu thức đại số hàm số
A A;
A A;
2
0 B
A B
A B
;
2
A B A B
0
A khi A
A
A A
; x 0 : x R;
2
A B A B
II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Dạng Xác định đại lƣợng đặc trƣng dao động điều hòa A PHƢƠNG PHÁP
* Vận dụng công thức phần kiến thức trọng tâm để tính : A, ω, T, ƒ, x, v, a, vMax, aMax…
* Nếu đầu cho phƣơng trình dao động vật dƣới dạng :x Acos( t ) ta xác định đƣợc đại lƣợng cần tìm nhƣ : A, ω, T, ƒ, x, v, a, vMax, aMax…
* Nếu đầu cho phƣơng trình dao động vật dƣới dạng khơng ta phải áp dụng phép biến đổi lƣợng giác phép đổi biến số (hoặc hai) để đƣa phƣơng trình dạng tiến hành làm nhƣ trƣờng hợp
B BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Ví dụ 1.1 Phƣơng trình dao động vật x = 6cos(4t + ) (cm), với x tính cm, t tính giây (s) Xác định li độ, vận tốc gia tốc vật t = 0,25 s
Hƣớng dẫn giải
Khi t = 0,25 s x = 6cos(4.0,25 + ) = 6cos = - (cm); v = - 6.4sin(4t + ) = - 6.4sin = 37,8 (cm/s);
a = - 2x = - (4)2 = - 820,5 (cm/s2)
6
6
6 7
3
(6)Ví dụ 1.2 Một vật nhỏ khối lƣợng 100 g dao động điều hòa quỹ đạo thẳng dài 20 cm với tần số góc rad/s Tính tốc độ cực đại gia tốc cực đại vật
Hƣớng dẫn giải Ta có: A = 20 10
2
d
cm
; |vmax| = A = 0,6 m/s; |amax| = 2A = 3,6 m/s2
Ví dụ 1.3 Một chất điểm dao động theo phƣơng trình: x = 2,5cos10t (cm) Vào thời điểm pha dao động đạt giá trị ? Lúc li độ, vận tốc, gia tốc vật bao nhiêu?
Hƣớng dẫn giải
Ta có: 10t = t = (s) Khi x = Acos = 1,25 (cm); v = - Asin = - 21,65 (cm/s); a = - 2x = - 125 cm/s2
Ví dụ 1.4 Một vật dao động điều hịa với phƣơng trình: x = 20cos(10t +
) (cm) Xác định thời điểm vật qua vị trí có li độ x = cm theo chiều ngƣợc chiều với chiều dƣơng kể từ thời điểm t =
Hƣớng dẫn giải
Ta có: x = = 20cos(10t +
) cos(10t +
) = 0,25 = cos(±0,42) Vì v < nên 10t +
2
= 0,42 + 2k t = - 0,008 + 0,2k; với k Z Nghiệm dƣơng nhỏ họ nghiệm (ứng với k = 1) 0,192 s
Ví dụ 1.5 Một vật dao động điều hịa có chu kì s, biên độ 10 cm Khi vật cách VTCB cm, tốc độ
A 18,84 cm/s B 20,08 cm/s C 25,13 cm/s D 12,56 cm/s
(Trích Đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2011)
Nhận diện dạng toán
Bài tốn cho biết biên độ A, chu kì dao động T li độ x, yêu cầu tìm tốc độ v Vậy phải nghĩ đến công thức biểu diễn mối liên hệ A, x, v (hệ thức độc lập) :
2
2
v
A x
suy tốc độ : 2
v A x
Hƣớng dẫn giải Tần số góc: 2
2
T
(rad/s) Tốc độ vật : 2 2
10 25,13( / )
v A x cm s
Chọn đáp án C Ví dụ 1.6 Lực kéo tác dụng lên chất điểm dao động điều hòa có độ lớn
A tỉ lệ với độ lớn li độ hƣớng VTCB B tỉ lệ với bình phƣơng biên độ
C khơng đổi nhƣng hƣớng thay đổi D hƣớng không đổi
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2010)
3
3
30
3
(7)Hƣớng dẫn giải
Cơng thức tính lực kéo F = - kx, độ lớn lực kéo tỉ lệ với độ lớn li độ |x|; dấu (-) cho ta biết lực kéo ngƣợc hƣớng với li độ hƣớng VTCB
Chọn đáp án A Ví dụ 1.7 Một chất điểm dao động điều hòa trục Ox Khi chất điểm qua VTCB tốc độ 20 cm/s Khi chất điểm có tốc độ 10 cm/s gia tốc có độ lớn
√ Biên độ dao động chất điểm
A 4 cm B 5 cm C 8 cm D 10 cm
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011)
Nhận diện dạng toán
Đề cho biết chất điểm qua VTCB, x = tốc độ chất điểm cực đại |νMax| ta có : |νMax| = A hay suy vMax
A
Hƣớng dẫn giải Từ công thức :
2 2
4
a v
A
, mặt khác VTCB (x = 0) tốc độ chất điểm cực đại :
Max
v A
Khi
2
2
2 2 2 2 2
40
4 /
20 10
Max
Max
a a
v v rad s
v v
Biên độ dao động 20 Max
v
A cm
Chọn đáp ánh B Dạng Viết phƣơng trình dao động điều hịa vật
A PHƢƠNG PHÁP Chọn hệ quy chiếu:
+ Trục Ox có chiều dƣơng đƣợc chọn theo yêu cầu đề tùy ý + gốc toạ độ (O) VTCB
+ gốc thời gian (t = 0) tùy theo tốn
Phƣơng trình dao động có dạng: x = Acos(t + ) Phƣơng trình vận tốc: v = - Asin(t + )
Để viết đƣợc phƣơng trình dao động điều hịa ta cần tìm đại lƣợng : A, ω, φ Xác định tần số góc (lƣu ý: > 0)
+ = 2ƒ = ; với , N: số dao động toàn phần khoảng thời gian Δt + , ( k: N/m, m: kg) - lắc lò xo
+
+ cho độ dãn lò xo VTCB Δℓ: Xác định biên độ dao động A: (A > 0)
+ A = , d: chiều dài quỹ đạo vật dao động
+ đề cho li độ x ứng với vận tốc v ta áp dụng hệ thức độc lập:
2 v
A x
T
t
T N
k m
2
v
A x
k g
k mg
m
g
2
(8)(nếu bng nhẹ, v = => A = |x|) + đề cho vận tốc ν gia tốc a A a24 v22
+ đề cho vận tốc cực đại νMax vMax
A
+ đề cho gia tốc cực đại aMax ax M a A
+ đề cho lực hồi phục cực đại FMax ax ax
M M
F
F kA A
k
+ đề cho chiều dài lớn nhỏ lò xo: + đề cho lƣợng dao động W A 2W k
Xác định pha ban đầu ( )
* Các góc pha ban đầu thƣờng gặp 0; ; ; ; ; ; ; ;
6 3
* Dựa vào cách chọn gốc thời gian để xác định pha ban đầu (giả sử li độ x vận tốc v vật biết thời điểm ban đầu t = 0)
Tổng quát:
* Biên độ tính theo hệ thức độc lập thời gian:
2 0 v A x
* Khi t =
0 0 0 cos cos ? sin ? sin x
x x A x A
v
v v A v A
A Lƣu ý:
* Phƣơng trình lƣợng giác:
cos a coscos k2
sin sin sin
2 k a k
Ví dụ: cos cos cos
2 3 k
+ Vật theo chiều dƣơng v > sinφ < => φ < + Vật theo chiều âm v < sin > => φ > TH1 : Chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB
Khi t =
0
0
0
2
cos
0 cos ?
sin sin ?
sin
k
x A
v
v v
v v A v A
A A Lƣu ý : Tốc độ VTCB |ν0| ≡ |νMax|
TH2 : Chọn gốc thời gian lúc kéo vật (nén vật) cách VTCB khoảng x0 buông nhẹ vật + bng nhẹ, v =
Khi t = 0:
0
0 cos cos 0
cos
0 sin sin 0 ( 0; ; )
x x
A
x x A x A x
A
v A k
k max
A
(9)Lƣu ý:
+ thả nhẹ (buông nhẹ) vật v = 0, A = x0
+ Khi vật theo chiều dƣơng v > (khi vật theo chiều âm v < 0)
+ Trƣớc tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tƣ thứ Áp dụng đƣờng tròn lƣợng giác
B BÀI TỐN ÁP DỤNG
Ví dụ 2.1 (Bài 1) ( SGK) Một vật dao động điều hòa với biên độ A = cm chu kì T = s a Viết phƣơng trình dao động vật, chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB theo chiều dƣơng
b Tính li độ vật thời điểm t = 5,5 s Hƣớng dẫn giải
a Tốc độ góc 2 ( / )
2 rad s
T
A cm Chọn gốc thời gian lúc vật qua VTCB theo chiều dƣơng
Khi t cos cos 2
0 sin sin
0
x A k
k
v A
Phƣơng trình dao động có dạng cos( ) ( );
x t cm
b t = 5,5 s : cos( ) cos(5,5 )
2
x t cm
Ví dụ 2.2 (Bài 3) Một vật dao động điều hịa theo phƣơng trình xAcos( t ) (cm) Khi pha dao động
3
vật có li độ cm, vận tốc v 100 cm/s Viết phƣơng trình dao động vật, chọn gốc thời gian lúc vật có li độ x5 cmvà chuyển động theo chiều dƣơng Hƣớng dẫn giải
* Đề cho pha dao động thời điểm t Ф = (ωt + φ) =
Thay vào biểu thức li độ x vận tốc v, ta có
* pha dao động
cos
5 3 10
20 /
100
sin 100
3
A
x A cm
rad s v
v A
* Tìm φ = ?
Chọn gốc thời gian lúc vật có li độ x5 cmvà chuyển động theo chiều dƣơng; Khi t =
5 3
5
2
5 cos cos cos
2
10
6
0 sin 0
sin 0
k
x A
k A
v A
Vậy, phƣơng trình dao động 10 cos(20 ) ( )
x t cm
(10)có li độ cm theo chiều âm với tốc độ 40 cm/s Lấy π = 3,14 Phƣơng trình dao động chất điểm
A x 6cos 20t (cm)
B x 6cos 20t (cm)
.
C x 4cos 20t (cm)
D x 4cos 20t (cm)
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011)
Nhận diện dạng toán
Đây dạng tập viết phƣơng trình dao động Cần lƣu ý điểm sau : + Đề cho biết số dao động toàn phần (N) khoảng thời gian Δt để từ suy chu kì T + Chất điểm chuyển động theo chiều âm với tốc độ 40 cm/s có nghĩa :
40 ( / )
v cm s
Hƣớng dẫn giải
Đề cho: Δt = 31,3 s số dao động tồn phần N = 100; chu kì dao động
31, 2
0, 314 ( ) 0,1 ( ) 20 ( / )
100 0,1
t
T s s rad s
N T
ở thời điểm t = 0: li độ chất điểm x0 = cm vận tốc chất điểm v0 40 (cm s/ )
Biên độ 02 2
0 2
( 40 3)
2
20 v
A x cm
Khi t =
1 cos
2 cos 2 2
2
3
40 20.4sin 40 3 0
sin
2
x k
k v
Phƣơng trình dao động x 4cos 20t (cm)
.
Chọn đáp án C Dạng Sự phân bố thời gian dao động điều hòa
A PHƢƠNG PHÁP
3.1 Chuyển động tròn chất điểm M đƣờng tròn bán kính r = A
Xét chất điểm M chuyển động trịn đƣờng trịn có bán kính r = A Tốc độ góc chất điểm ω (rad/s) không đổi, d
dt
Tại thời điểm ban đầu t = chất điểm vị trí M0 bán kính OM0 hợp với trục Ox góc φ
Sau khoảng thời gian t chất điểm vị trí M1 bán kính OM1 hợp với trục Ox góc Ф = ωt + φ (ωt góc qt bán kính OM)
3.2 Mối liên hệ dao động điều hòa vật hình chiếu chất điểm chuyển động trịn
* Phƣơng trình dao động điều hịa vật có dạng xA cos( t ) + Ở thời điểm t = : xA cos
+ Ở thời điểm t : xA cos( t ) * Hình chiếu chuyển động trịn đều:
+ Ở thời điểm t = : hình chiếu điểm M0 xuống trục ngang Ox P0, có độ dài đại số
0
OP OM cos A cos O
(t = 0) M0
M1
x + +A -A
ωt
P0
P1
(11)+ Ở thời điểm t : hình chiếu điểm M1 xuống trục ngang Ox P1, có độ dài đại số
1
OP OM cos( t ) A cos( t )
(Cm: xét tam giác Δ OM1P1 vng P1, góc M OP1 1 ( t ) nên
1 1
OP OM c os[ ( t )] OM cos( t ) A cos( t ), có độ dài đại số
OP A cos( t )
Kết luận: Khi ta nói hình chiếu chất điểm chuyển động tròn dao động điều hòa
* Chú ý : Úng dụng hình chiếu chuyển động trịn vào dao động điều hịa cơng cụ mạnh" dạng toán liên quan đến quãng đƣờng thời gian dao động điều hịa Khơng giới hạn phạm vi chƣơng Dao động học mà chƣơng Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều gặp lại ứng dụng Và việc hiểu để áp dụng đƣợc yêu cầu cần thiết giúp giải nhanh tốn
3.3 Tính khoảng thời gian ngắn (nhỏ nhất) vật dao động từ li độ x1 đến li độ x2 Cách : Ta dùng mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động tròn
+ Khi vật dao động điều hòa từ li độ x1 đến li độ x2 tƣơng ứng với chất điểm chuyển động tròn từ M1 đến M2 (chú ý x1 x2 hình chiếu vng góc M1 M2 lên trục Ox)
+ Thời gian ngắn vật dao động từ x1 đến x2 thời gian chất điểm chuyển động tròn từ M1 đến M2
+ Vật chuyển động càng gần VTCB tốc độ lớn nên khoảng thời gian nhỏ + Góc quét
1
M M t
+ Khoảng thời gian ngắn
1 2
M M
M OM M OM
t t T
2
Trong đó, góc quét M OM1 x M O x M O1 2 với
1
x sin(x M O)
A
2
x sin(x M O)
A
Lƣu ý :
+ Chất điểm chuyển động theo chiều ngƣợc với chiều kim đồng hồ + Vật chuyển động theo chiều dƣơng : hai điểm M1 M2 nằm dƣới + Vật chuyển động theo chiều âm : hai điểm M1 M2 nằm + x M O, x M O1 2
2
3.4 Xét khoảng thời gian đặc biệt
3.4.1 Khi vật từ VTCB x = đến x A
khoảng thời gian T 12
Chứng minh : Xác định khoảng thời gian theo li độ x; vật từ VTCB x1 = đến li độ
2
A
x (đến 2
A
x làm tƣơng tự)
Trong đó, góc quét M OM1 x M O x M O1 2 với
x2 O x1
M1
M2
x + +A -A
(12)1
1 1
x
sin(x M O) x M O
A A
2
2 2
A
x 2
sin(x M O) x M O
A A
Khoảng thời gian ngắn
1
1 M M
M OM 6 T
t t T T
2 12
3.4.2 Khi vật từ đến x= A khoảng thời gian T 3.4.3 Khi vật từ x = đến x A
2
khoảng thời gian T 3.4.4 Khi vật từ x A
2
đến x= A khoảng thời gian T * Trục phân bố khoảng thời gian đặc biệt
O A
- A
T 12
T A
2 A
2 T
8
T T
6
T 12 A
2
T T
2
Biên dương Biên
âm
Lƣu ý:
+ Phân bố khoảng thời gian biên âm tƣơng tự
3.5 Tính khoảng thời gian dài (lớn nhất) chu kì
+ Khi vật dao động điều hịa từ li độ x1 đến li độ x2 tƣơng ứng với chất điểm chuyển động tròn từ N1 đến N2
+ Thời gian dài vật dao động từ x1 đến x2 thời gian chất điểm chuyển động tròn từ N1 đến N2 + Vật chuyển động càng gần vị trí biên (càng xa VTCB) tốc độ nhỏ nên khoảng thời gian lớn
+ Góc quét
1
M M t
+ Khoảng thời gian dài
A
x
M1
M2
x + +A -A
x1
O ωt x2
M1
M2
x + +A -A
x1
O ωt
x2
M1
M2
x + +A -A
x1
O ωt x2
Hai vị trí li độ phía (so với VTCB O)
Hai vị trí li độ phía (so với VTCB O)
Hai vị trí li độ khác phía (so với VTCB O) M1
M2
x +
+A x1 -A
O
6
(13)1
1 2
M M
M OM M OM
t t T
2
* Dựa vào hình dạng góc quét (ωt) mà ta vận dụng công thức lƣợng giác tam giác để tính
Lƣu ý: + Phƣơng pháp áp dụng cho toán dao động học: li độ x, áp dụng cho vận tốc, gia tốc a, lực F, lƣợng
+ Phƣơng pháp áp dụng cho toán dao động điện từ: điện tích, cƣờng độ dịng điện, hiệu điện ta làm tƣơng tự
Lúc đó, biên độ giá trị cực đại (νMax, aMax, FMax…QMax, IMax….) Cách : Tính theo độ lớn hiệu hai góc lệch pha
2
t
với
1
2 cos cos
x A x
A
và (0 1, 2 )
Cách : Tính hiệu thời điểm vật dao động từ li độ x1 đến li độ x2
1
1
1
1
2 2
2
cos( ) cos( )
cos( )
, cos( )
cos( ) cos( )
x x
t t arc
x A t A A
t t
x A t x x
t t arc
A A
khoảng thời gian ∆t = t2 – t1, 0 t1, t2
3.6 Con lắc lò xo treo thẳng đứng
Bài toán: Khảo sát chuyển động vật nặng lắc lò xo treo thẳng đứng Con lắc lò xo gồm vật nặng gắn vào đầu lị xo có khối lƣợng khơng đáng kể, đầu lò xo cố định Kéo vật nặng đoạn thả, xét vật cách VTCB khoảng x Viết phƣơng trình dao động
Giải
Phƣơng trình dao động có dạng xAcos( t )
Theo định luật II Newton, ta có : vật cân F0 P ma, VTCB a = nên F0 P
chiếu lên trục Ox F0 P F0 P k mg Độ biến dạng lò xo vật VTCB
mg k
Các đại lƣợng thƣờng dùng dao động Tần số góc : g
Chu kì dao động : T 2 g
Tần số dao động : f g
2
+ Chiều dài lò xo VTCB: ℓCB = ℓ0 + ℓ (ℓ0 chiều dài tự nhiên)
+ Chiều dài cực tiểu (khi vật vị trí cao nhất): ℓMin = ℓ0 + ℓ – A
+ Chiều dài cực đại (khi vật vị trí thấp nhất): ℓMax = ℓ0 + ℓ + A
Cách tính khác :
2
Max Min
CB
2
Max Min
(14)3.7 Tính khoảng thời gian lị xo dãn nén chu kì
a Tính khoảng thời gian lị xo nén chu kì Khi A >ℓ (Ox có chiều dương hướng xuống)
- Trong chu kì, thời gian lị xo nén lần thời gian ngắn để vật từ vị trí x1 = -ℓ đến x2 = -A
- Trong chu kì, thời gian lị xo dãn lần thời gian ngắn để vật từ vị trí x1 = -ℓ đến x2 = A
Lƣu ý: Trong dao động toàn phần (một chu kì) lị xo nén lần dãn lần (Áp dụng đƣờng tròn lƣợng giác)
+ Trong chu kì, vật dao động từ tọa độ - Δℓ đến tọa độ - A trở lại khoảng thời gian lị xo nén
Khi bán kính OM1 qt đƣợc góc
nén nén
M OM
.t M OM t
Trong đó, cos(M OM1 2)
2 A
b Tính khoảng thời gian lị xo dãn chu kì (Áp dụng đƣờng tròn lƣợng giác)
+ Khoảng thời gian lị xo dãn chu kì tdãn = T - tnén
B BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Ví dụ 3.1 (Bài 1) Xét vật dao động điều hịa theo phƣơng trình x Acos( t ) Tính khoảng thời gian ngắn vật từ VTCB đến li độ
2
A
x Lập tỉ số khoảng thời gian vật từ VTCB đến li độ
2
A
x với khoảng thời gian vật từ li độ
A
x đến biên độ A Nhận diện dạng tốn
Đề cho vị trí li độ điểm đặc biệt, ta có nhiều cách giải; sử dụng Trục phân bố khoảng thời gian nhanh
Hƣớng dẫn giải
Khi vật từ x = đến x A
khoảng thời gian T 12 Khi vật từ x A
2
đến x= + A khoảng thời gian T Tỉ số khoảng thời gian:
T
T 2
12
Ví dụ 3.2 (Bài 4) Một vật dao động điều hịa theo phƣơng trình cos(10 ) ( )
x t cm Tính khoảng thời gian ngắn vật từ li độ x = cm đến li độ x = - cm
Hƣớng dẫn giải
Vật dao động từ vị trí có li độ x1 = cm đến vị trí x2 = - cm tƣơng đƣơng với chất điểm di chuyển từ vị trí M1 đến M2 đƣờng trịn có bán kính r = A = cm
O M1
x + +A - A
M2
- Δℓ
Dãn
(15)Chu kì dao động T 2 1s
10
Trong đó, góc quét M OM1 x M O x M O1 2 với
1
1 1
x
sin(x M O) x M O 0,167 rad
A
2
2 2
x
sin(x M O) x M O 0,340 rad
A
Khoảng thời gian ngắn
1 M M
M OM 0,167 0,340
t t T 0, 016s
2
Ví dụ 3.3 (Bài 6) Một lắc lò xo dao động quỹ đạo có độ dài 16 cm, chu kì 0,2 s a Trong chu kì, tính khoảng thời gian ngắn vật từ vị trí có li độ x = - cm đến vị trí có li độ x = cm
b Trong chu kì, tính khoảng thời gian dài vật từ vị trí có li độ x = - cm đến vị trí có li độ x = cm
Hƣớng dẫn giải
Đề cho A = cm T = 0,2 s
a Làm tƣơng tự nhƣ ví dụ 3.2 ta có x M O1 1 rad
x M O2 2 0, 253rad
- 8 + 8
Δt
- 4 O 2
Khoảng thời gian ngắn
1
1 M M
0, 253
M OM 6
t t T 0, 0, 025s
2
b Khoảng thời gian dài vật đƣợc đoạng đƣờng nhƣ hình (vật qua biên)
- 8 + 8
Δt
- 4 O 2
1
( )
( ) ( )
A A
A t
t t t t
Dựa vào khoảng thời gian đặc biệt tính thêm khoảng thời gian Δt2 vật từ VTCB đến x = cm (với
2
A x ) Trong đó,
5
0, 083
6 12
T T T
t s
Δt2 = 0, 012 s Tổng thời gian t t1 t2 0, 083 0, 012 0, 095s
M1
M2
x + +6 -6
x1= 1
O x2 = -2
ωt
(16)Ví dụ 3.4 (ĐH2010): Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T Trong khoảng thời gian ngắn từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí
2
A
x , chất điểm có tốc độ trung bình
A 6A
T B
9
A
T C
3
A
T D
4
A T
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2010)
Hƣớng dẫn giải
- A O + A
Δt
2
2 A
x x1
+ Theo trục thời gian đặc biệt ta khảo sát, khoảng thời gian lắc từ biên dƣơng A đến VTCB
4
T
và từ VTCB đến vị trí
2
A x
12
T
Tổng thời gian
4 12
T T T
t
+ Quãng đƣờng vật đƣợc khoảng thời gian ngắn S= A + A/2 = 3A/2 + Tốc độ trung bình
3
2
A
S A
v
T
t T
Chọn đáp án B Ví dụ 3.5 Bài (ĐH2010): Một lắc lò xo dao động điều hịa với chu kì T biên độ cm Biết chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ lắc có độ lớn gia tốc khơng vƣợt 100 cm/s2
3 T
Lấy 2=10 Tần số dao động vật
A Hz B Hz C.1 Hz D Hz
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2010)
Hƣớng dẫn giải
Δt O a
+
Max
a
Max
a
T
100 - 100
Δt
Δt Δt
Giá trị độ lớn gia tốc cực đại aMax 2A
Gọi khoảng thời gian vật nhỏ tăng gia tốc từ a = đến a = 100 cm/s2 Δt Theo hình ta có t T t T
3 12
Vậy, vị trí gia tốc đạt giá trị ±100 cm/s2 nằm trung điểm từ a = đến aMax Hay
Max
2
Max a
a 100 cm / s a 200 cm / s
2
Mặt khác Max 2
2 Max
a 200 200 200
A 200 40 10 rad / s
A
a A
Tần số dao động vật
2 10
f 1Hz
2 2
Ví dụ 3.6 : Xác định khoảng thời gian theo lực
(17)gian t = vật qua vị trí cân theo chiều dƣơng Lấy gia tốc rơi tự g = 10 m/s2 2
= 10 Thời gian ngắn kẻ từ t = đến lực đàn hồi lị xo có độ lớn cực tiểu A s
15 B.
7 s
30 C
3 s
10 D
1 s 30
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2008)
Hƣớng dẫn giải
Con lắc lò xo treo thẳng đứng có độ dãn lị xo VTCB
2
2
gT 10.0,
T 0, 04 m cm
g 4
Biên độ A = cm > Δℓ nên lắc lò xo có lực đàn hồi cực tiểu vị trí có li độ x = - Δℓ = - cm (lúc lị xo khơng bị dãn nén) Lúc t = vật qua vị trí cân theo chiều dƣơng nên x = v >
Thời gian ngắn mà vật từ x = đến x = - cm t 2T T 7T 7.0, s
4 12 12 12 30
- 8 + 8
- 4 O x
+
Ví dụ 3.7 Khoảng thời gian lò xo dãn nén chu kì
(Bài 1) Con lắc lị xo dao động điều hồ theo phƣơng thẳng đứng với phƣơng trình x 5cos(20 t )
3
(x tính theo cm; t tính theo s) Tính thời gian lị xo dãn chu kì Hƣớng dẫn giải
2
g g 10
0, 025 m 2,5cm 20
+ ĐK biên độ A = cm > Δℓ = 2,5 (thỏa)
+ Trong chu kì, vật dao động từ tọa độ - Δℓ đến tọa độ - A trở lại vị trí cũ khoảng thời gian lị xo nén
Khi bán kính OM1 qt đƣợc góc
nén nén
M OM
.t M OM t
Trong đó, 2
1 2,5
M OM M OM
cos( ) M OM
2 A 2 3
1 nén
2
M OM 3
t s
20 30
Thời gian lò xo bị dãn dãn nén
2 1
t T t s
20 30 15
Ví dụ 3.8 (ĐH2012) : Một chất điểm dao động điều hịa với chu kì T Gọi vTB tốc độ trung bình chất điểm chu kì, v tốc độ tức thời chất điểm Trong chu kì, khoảng thời gian mà
4 TB
v v A
6
T
B
T
C
T
D
T
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2012)
(18)νTB : tốc độ trung bình chất điểm
Max
A
v A
T
O
v +
Max
v
Max
v
TB
v
Δt
Δt
TB
v
Δt
Δt
Theo đề ta có
4
4 2 2
Max Max Max
TB
v v v
A A A
v v v v v v v
T T T
Lúc toán đƣợc chuyển sang ĐK
2
Max Max
v v
v v
Khoảng thời gian Δt vật tăng tốc tính từ trung điểm
Max v
đến v = vMax T
6 Dựa vào hình ta có khoảng thời gian thỏa ĐK : t t 4T 2Ts
6
Chọn đáp án B Dạng Thời điểm vật qua vị trí có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F)
A PHƢƠNG PHÁP
4.1 Tính thời điểm vật qua vị trí có li độ x0 (Phƣơng pháp đại số)
Phƣơng trình dao động có dạng x = Acos(t + ) Phƣơng trình vận tốc v = -Asin(t + )
a Thời điểm vật qua vị trí có li độ x0 đƣợc xác định nhƣ sau
0
k2 x
x A cos( t ) x cos( t ) cos t
k2 A
với 2;
*Nếu vật qua vị trí có li độ x0 theo chiều dƣơng (v > 0)
Vận tốc v Asin( t ) sin( t ) ( t ) thời gian t >
k2
t k2 t kT
Với kN* (N
*
= 1, ,3 ) *Nếu vật qua vị trí có li độ x0 theo chiều âm (v < 0)
Vận tốc v Asin( t ) sin( t ) ( t ) thời gian t >
k2
t k2 t kT
Với kN (N = 0, 1, 2, )
k : số dao động qua vị trí theo chiều xác định (Với điều kiện t > 0; k số nguyên, T chu kì dao động)
b Thời điểm vật qua vị trí có vận tốc ν0 đƣợc xác định nhƣ sau
0
k2 v
v A sin( t ) v sin( t ) sin t
k2 A
với 2;
k2
t kT
k2
t kT
kN 0
(19)kN* 0
(Với điều kiện t > 0; k số nguyên, T chu kì dao động)
4.2 Thời điểm vật qua vị trí có li độ x0 (hoặc v, a, Wđ, Wt, F ) lần thứ m (Phƣơng pháp đƣờng tròn lƣợng giác)
a Thời điểm vật qua vị trí có li độ x0 (hoặc v, a, Wđ, Wt, F ) lần thứ m Bƣớc : Trong chu kì, vật qua vị trí M có li độ x0 lần
+ Tính chu kì dao động T
+ Xác định li độ x vận tốc v lúc ban đầu t =
Sử dụng trục thời gian : tổng thời gian vật qua vị trí có li độ x0 lần thứ m
1 t t t Bƣớc :
*Số dao động m = 2n + (số lẻ)
Δt1 : tính từ lúc ban đầu (t = 0) đến qua vị trí x0 lần đầu
Δt2 : thực đƣợc (n) dao động tồn phần cịn lại x0 lần thứ m *Số dao động m = 2n + (số chẵn)
Δt1 : tính từ lúc ban đầu (t = 0) đến qua vị trí x0 lần thứ 2;
Δt2 : thực đƣợc (n) dao động tồn phần cịn lại qua x0 lần thứ m Lƣu ý: Vật chƣa thực hết dao động qua x0 sử dụng phƣơng pháp : Mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động trịn để tính khoảng thời gian Δt1 Δt2 = Sơ đồ thời gian:
Δt2 = nT
Δt1
2n lần
t = 0
m = 2n + lần
t1 tm
t2 tm
Δt2 = nT
Δt1
2n lần
t = 0
m = 2n + lần
b Thời điểm vật qua vị trí có vận tốc v (hoặc a, Wđ, Wt, F ) lần thứ m Nhận xét :
+ Trong chu kì, vật đạt vận tốc ν lần hai vị trí đối xứng qua VTCB
O v
+
Max
v
Max
v
- v v + v
+ Trong chu kì, vật đạt gia tốc a lần hai vị trí đối xứng qua VTCB
O M1
x + +A - A
M2
(20)B BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Ví dụ 4.1 Một vật dao động điều hịa theo phƣơng trình x Acos(2 t ) cm
Tính thời điểm vật qua VTCB theo chiều âm
Hƣớng dẫn giải
Khi vật qua VTCB theo chiều âm li độ vận tốc vật
x A cos(2 t ) cos 0 cos(2 t ) (2 t ) k2
3 3
2 t k2
3
v A sin(2 t ) sin(2 t ) (2 t )
3 3
5
2 t k2 t k (s), k 0,1,
3 12
Ví dụ 4.2 Một chất điểm dao động điều hồ theo phƣơng trình x4cos2 t (x tính cm; t tính s) Tính thời điểm lần thứ vật qua VTCB
Hƣớng dẫn giải Cách :
Chu kì dao động T 2 1s
Tại thời điểm ban đầu t = chất điểm có li độ vận tốc x cos cos cm v 4sin 0
Vật vị trí biên qua VTCB lần thứ nên chƣa hết chu kì (n = 0, n số dao động tồn phần Δt2 = nT = 0)
Áp dụng mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động trịn để tính khoảng thời gian vật qua vị trí li độ x = cm lần : t T T T 0, 25s
2 4
Thời điểm vật qua vị trí li độ x0 = cm : t t1 t2 0, 25s
t1 tm
Δt2 = nT =
Δt1
lần
t = 0
m = lần
O M1
x + +4 M0
- 4 x0 = 0
T
Cách :
(21)Tại thời điểm ban đầu t = chất điểm có li độ vận tốc x cos cos cm v 4sin 0
Vật vị trí biên qua VTCB lần thứ nên chuyển động theo chiều âm
Vận tốc v Asin( t ) sin( t ) sin(2 t) 0 t thời gian t > 0;
chọn nghiệm *
2 t k2 t k; k N
2
Qua VTCB lần thứ theo chiều âm, nên k = : t 0, 25s
Ví dụ 4.3 (ĐH2011): Một chất điểm dao động điều hồ theo phƣơng trình x 4cos2 t
(x tính cm; t tính s) Kể từ t = 0, chất điểm qua vị trí có li độ x = - cm lần thứ 2011 thời điểm
A 3016 s B.3015 s C.6030 s D 6031 s
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2011)
Cách :
Nhận diện dạng tốn
Chu kì dao động T 2 3s
3
Tại thời điểm ban đầu t = chất điểm có li độ vận tốc
2
x cos cos cm
2
v 4sin 0
3
Vật vị trí biên dƣơng, hết chu kì vật qua vị trí x = - cm hai lần Khoảng thời gian mà chất điểm qua vị trí x = -2 cm lần thứ 2011 2011T 2011.3 3015,5s
2
+ Biết m =2011 (là số lẻ) = 2n +
+ Khoảng thời gian vật từ x = cm đến x = - cm Δt1
+ Khoảng thời gian vật từ x = - cm đến x = -2 cm sau 2n lần Δt2 = nT
+ Tổng thời gian vật qua vị trí x = - cm tính từ lúc t = 0: t = Δt1 + Δt2 = Δt1 + nT
- 4 Δt1 + 4
- 2 ΔtO = nT
x +
Hƣớng dẫn giải
Vật bắt đầu xuất phát vị trí li độ x = cm
Vật qua vị trí x = - cm lần chu kì
Sau 2n = 2011-1 = 2010 (số chẵn) lần vật qua vị trí x = - cm khoảng thời gian
2011
t nT 3015s
2
(22)Δt2 = nT = 1005T
Δt1
2n = 2010 lần
t = 0
m = 2.1005 + lần
t1 t2011
Áp dụng mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động trịn để tính khoảng thời gian để vật qua vị trí li độ x = - cm lần
x1
O M1
x + +4 ω.Δt1
M0
- 4
M2
Δt1
x2 = - 2
1
T T T
t 1s
4 12 3
; (bao gồm khoảng thời gian từ vị trí biên x1 = A = cm đến VTCB T
4 từ VTCB đến vị trí li độ A
x cm
2
T 12)
Thời điểm vật qua vị trí li độ x = - cm t t t1 t2 3015 3016s
Chọn đáp án A Cách :
Vật qua vị trí x = - cm nên
2 2 2
x 4cos t cos t cos t k2
3 3
Tại thời điểm ban đầu t = chất điểm có li độ vận tốc
2
x cos cos cm
2
v 4sin 0
3
Vật vị trí biên dƣơng, hết chu kì vật qua vị trí x = - cm hai lần
Vật vị trí biên dƣơng qua vị trí x = - cm lần thứ nên chuyển động theo chiều âm qua điểm 2010 lần vật trở lại chiều âm (tƣơng ứng k 2010 1005
2
lần vật dao động qua vị trí x = -2 cm theo chiều âm)
Vận tốc v A sin( t ) sin( t ) sin(2 t) t
3
thời gian t > :
chọn nghiệm 2 *
t k2 t 3k; k N
3
Thời điểm vật qua vị trí li độ x = - cm t 1 3k 3.1005 3016s (k = 1005) Ví dụ 4.4 Một chất điểm dao động điều hồ theo phƣơng trình x 4cos2 t
3
(x tính cm; t tính s) Kể từ t = 0, chất điểm qua vị trí có li độ x = - cm lần thứ 2012 thời điểm
(23)Chu kì dao động T 2 3s
3
Tại thời điểm ban đầu t = chất điểm có li độ vận tốc
2
x cos cos cm
2
v 4sin 0
3
Δt2 = nT = 1005T
Δt1
2n = 2010 lần
t = 0
m = 2.1005 + lần
t2 t2012
Khoảng thời gian từ vị trí biên x = A = cm đến vị trí biên âm T
2 từ vị trí biên đến li độ A
x cm
2
(lần 2) T
- 4 + 4
- 2 O x
+ T
2
T
1
T T 2T 2.3
t 2s
2 3
Vật qua vị trí x = - cm lần chu kì
Sau 2n = 2010 (số chẵn) lần vật qua vị trí x = - cm khoảng thời gian
2010
t nT 3015s
2
Thời điểm vật qua vị trí li độ x = - cm : t t1 t2 30153017s
Chọn đáp án B Ví dụ 4.5 Một chất điểm dao động điều hồ theo phƣơng trình x 4cos2 t
3
(x tính cm; t tính s) Kể từ t = 0, chất điểm qua vị trí có li độ x = cm lần thứ 2012 thời điểm
A 3016 s B 3015 s C 6017 s D 6018 s Hƣớng dẫn giải
Chu kì dao động T 2 3s
3
Tại thời điểm ban đầu t = chất điểm có li độ vận tốc
2
x cos cos cm
2
v 4sin 0
3
(24)Δt2 = nT
Δt1
2n = 2012 lần
+4 +4
+4
Vì vật trở lại vị trí xuất phát nên khoảng thời gian Δt1 =
2012
t nT 3016s
2
Thời điểm vật qua vị trí li độ x = cm : t t1 t2 3016s
Chọn đáp án A Ví dụ 4.6 (CĐ2010): Một vật dao động điều hịa với chu kì T Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng, vận tốc vật lần thời điểm
A
2 T
B
8 T
C
6 T
D.
4 T
(học sinh tự làm)
Ví dụ 4.7 Cho vật dao động điều hịa với phƣơng trình x 10 cos 20 t
(x tính cm t tính giây)
a Xác định thời điểm thứ 2012 vật cách vị trí cân 5cm b Xác định thời điểm thứ 2016 vật có gia tốc
c Xác định thời điểm thứ 2013 vật chuyển động theo chiều dƣơng có động
d Xác định thời điểm thứ 2015 vật chuyển động phía biên có động
Dạng Tính số lần (tần suất) vật qua vị trí M có li độ x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F) từ thời điểm t1 đến t2
A PHƢƠNG PHÁP
5.1 Phần nguyên – phần lẻ số thực x
Cho số thự x, ta phân tích đƣợc số thực thành hai phần : phần nguyên phần lẻ
x x x
*Phần nguyên x: số ngun lớn khơng vƣợt q x Kí hiệu x
x 1 x x
Ví dụ : 30 5, 4, 7 5, 7 7, 0, 470 *Phần lẻ x hiệu số x - x Kí hiệu x
Ví dụ : 3,870,87, 5, 25 5, 25 5, 25 5, 25 ( 6) 0, 75, 3,140,14,
25 24 1
2
12 12 12 12
5.2 Tính số lần (tần suất) vật qua vị trí biết x (hoặc v, a, Wđ, Wt, F) từ thời điểm t1 đến t2 Cách : Phƣơng pháp đại số
Giải phƣơng trình xA cos( t ) x0 cos( t ) cos t k2 t ? Kết hợp với điều kiện t1 ≤ t ≤ t2 đếm giá trị số nguyên k
Cách : Phƣơng pháp Phần nguyên – phần lẻ Bƣớc :
(25)Bƣớc : Lập tỉ sỗ khoảng thời gian chu kì :
2
t t
t t t t t
t T T
T T T T T
Trong đó,
1
t
t T
T
t T
: phần lẻ;
2
t
t T nT
T
t n
T
: phần nguyên (cho biết số dao động toàn phần)
Bƣớc : Áp dụng mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động tròn để tính số lần vật qua vị trí có li độ x khoảng thời gian t1 t T
T
Sử dụng phƣơng pháp loại suy
khi so sánh khoảng thời gian đặc biệt với giá trị Δt1 Giả sử số lần n'
Δt2 = nT
Δt1
2n lần n'
t = 0
m = 2n + n' lần
t tm
Bƣớc :
Trong chu kì, có lần vật qua vị trí có li độ x
Số lần vật qua vị trí có li độ x khoảng thời gian Δt2 2n lần Bƣớc Tổng số lần qua vị trí có li độ x m = 2n + n' (lần)
Ví dụ : Tính phần nguyên, phần lẻ t = s, T = s t 2,5
T
2 1
2
t t
t t
t
2,5 2,5 0,5 t 2,5 2,5 2.2 0,5.2
T
B BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Ví dụ 5.1 (ĐH2008): Một chất điểm dao động điều hịa theo phƣơng trình x 3cos t
(x tính cm t tính giây) Trong giây từ thời điểm t = 0, chất điểm qua vị trí có li độ x = + cm
A lần B lần C lần D lần
(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2008)
Hƣớng dẫn giải
Chu kì dao động T 2 0, 4s
Tại thời điểm ban đầu t = chất điểm có li độ vận tốc
3
x 3cos( ) 1, 5cm
3
15
v 3sin( )
3
(26)B1 : Trong giây : t = s; t 2, T 0, 4
B2 : Tỉ số :
2
2 t t
t t
t
2, 2, t 2, 0, 2, 0, 2.0, 0, 5.0,
T
Phần nguyên n t 2,5 T
(cũng số dao động)
B3 : Số lần vật qua vị trí có li độ x khoảng thời gian Δt2 2n2.24 lần
B4 : Áp dụng mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động tròn để tính số lần vật qua vị trí có li độ x khoảng thời gian t1 t T 0,5.0, 0, 2s
T
O
x + +3 - 3
1,5
1 T
6 T
2
Thời gian vật từ vị trí x = 1,5 cm theo chiều dƣơng đến vị trí x = - cm (lần I) khoảng thời gian t ' T T 2T 2.0, 0, 267 s 0, 2s
6 3
Vậy vật qua vị trí x = cm thêm n' = lần
Tổng số lần qua vị trí x = cm m = + = lần
Chọn đáp án D Ví dụ 5.2 Một lắc dao động điều hịa với phƣơng trình x 3cos(4 t )
3
(x tính cm t tính giây) Xác định số lần vật qua li độ x = 1,5 cm 1,2 s đầu
Hƣớng dẫn giải
Cách : Phƣơng pháp đại số Khi vật qua vị trí x = 1,5 cm, ta có
1 k 2t 1,5
3cos(4 t ) 1,5 cos(4 t ) cos t k2 3; k Z
3 3 3
k 2t
Trong khoảng thời gian 1,2 s đầu tức ≤ t ≤ 1,2 ta có
1 k
1
0 1,
k 0,1, k 2,
6
3
k 0,1, k
0 k 2, 1,
2
Ứng với giá trị k lần vật qua vị trí
x = 1,5 cm lần
Vậy 1,2 s đầu có lần qua x Cách :
B1
Khoảng thời gian t = 1,2 s
Chu kì dao động T 2 1s
4
(27)B2: tỉ số t 1, 2, 0,
T 0,5 Vậy, số dao động toàn phần
t
n
T
B3 Khi t =
3 x 3cos( ) 1,
3
v
Trong khoảng thời gian t1 t T 0, 4.0,5 0, 2s T
có số lần qua vị trí x = 1,5 cm lần
O
x + +3 - 3
1,5 T T
2
(Biết t T T 2T 2.0,5 0,3 0, 2s
6 3
)
Tồng số lần vật qua vị x = 1,5 cm m = 2.2 +1 +1 = lần
Lƣu ý: vị trí xuất phát (t = 0) trùng với vị trí khảo sát, ta phải cộng THÊM 1lần qua vị trí vào tồng số lần tính
Dạng Quãng đƣờng vật đƣợc A PHƢƠNG PHÁP
Dạng tốn nói dễ nhƣng cho học sinh làm khơng dễ chút
6.1 Khi vật xuất phát từ VTCB (x = 0) vị trí biên (x = + A x = - A) (pha ban đầu tƣơng ứng = /2; 0; )
+ quãng đƣờng đƣợc từ thời điểm t = đến thời điểm t = T A + quãng đƣờng đƣợc từ thời điểm t = đến thời điểm t = nT
4 nA 6.2 Khi vật xuất phát từ vị trí (tức 0; ; /2)
+ quãng đƣờng đƣợc từ thời điểm t = đến thời điểm t = nT
2 (n số tự nhiên) S = n.2A
6.3 Quãng đƣờng vật đƣợc từ thời điểm t1 đến t2 a Nếu t2 – t1 = nT
2 với n số tự nhiên quãng đƣờng đƣợc S = n.2A b Trƣờng hợp tổng quát
Cách :PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ t12
BƢỚC : Xác định li độ x vận tốc v hai thời điểm t1 t2
1 2
1
1 2
x Acos( t ) x Acos( t )
t : t :
v Asin( t ) v A sin( t )
(v1 v2 cần xác định dấu)
BƢỚC :
(28)+ Lập tỉ số khoảng thời gian chu kì : t T
+ Tính phần nguyên phần lẻ tỉ số t t t t t T t T nT t
T T T T T
+ Trong đó, n t T
: phần nguyên (cho biết số dao động toàn phần); (n N; ≤ t < T) Khoảng thời gian lẻ : t t T
T
+ Quãng đƣờng đƣợc khoảng thời gian lẻ t S1 Tính S1 theo cách sau :
* Nếu v1v2 ≥
2
2
T
t S x x
2 T
t S 4A x x
2
* Nếu v1v2 <
1 2
1 2
v S 2A x x
v S 2A x x
+ Quãng đƣờng đƣợc thời gian nT S2 = n.4A BƢỚC : Quãng đƣờng tổng cộng St = S1 + S2 Lƣu ý :
+ Tính S1 cách xác định li độ x1, x2 chiều chuyển động vật trục Ox + Trong số trƣờng hợp giải tốn cách sử dụng mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động tròn đơn giản
+ Tốc độ trung bình vật từ thời điểm t1 đến t2 t TB
2
S v
t t
với St quãng đƣờng tính nhƣ
Cách : PHƢƠNG PHÁP “QUÉT ĐƢỜNG”
Phƣơng pháp “Qt Đƣờng: tìm góc qt tìm qng đƣờng vật! BƢỚC : Vẽ đƣờng tròn lƣợng giác, xác đị li độ vận tốc lúc đầu t1
BƢỚC : Xác định góc quét Δφ = ωt
với t = t2 – t1 = nT + t (n N; ≤ t < T) (phân tích t nhƣ Cách 1 làm) Phân tích góc qt (phân tích thành tích số ngun 2π)
t
t (nT t) n.2
T
Trong đó, n t
T
: phần nguyên (cho biết số dao động tồn phần) BƢỚC : Tính qng đƣờng đƣợc dựa vào góc quét
Góc quét 1 t T
tƣơng ứng với quãng đƣờng S1 dựa vào đƣờng trịn lƣợng giác để tìm (độ dài hình chiếu hai vị trí P1 P2)
Góc quét 2 n.2 tƣơng ứng với quãng đƣờng S2 = n.4A BƢỚC : Quãng đƣờng tổng cộng St = S1 + S2
6.4 Tính quãng đƣờng lớn nhỏ vật đƣợc khoảng thời gian Δt Biết < t < T/2
(29)*Sử dụng mối liên hệ dao động điều hòa chuyển đƣờng tròn : Bƣớc : tính góc qt = t
Bƣớc 2: + Quãng đƣờng lớn vật từ P1 đến P2 đối xứng qua trục sin max
S 2A sin
O
+A
- A cos
M1
M2
P1
P2
Δφ ||
||
x + sin
2
+ Quãng đƣờng nhỏ vật từ P1 đến P2 đối xứng qua trục cos
S 2A(1 cos )
2
O
+A
- A cos
M1
M2
P x
+ sin
2
Lƣu ý:
+ Trong trƣờng hợp biết t > T/2 Tách t nT t '
2
n N ;0* t ' T + Trong khoảng thời gian nT
2 quãng đƣờng 2nA
+ Trong khoảng thời gian t' quãng đƣờng lớn nhất, nhỏ tính nhƣ + Tốc độ trung bình lớn nhỏ khoảng thời gian t:
ax ax
M TBM
S v
t
TBMin Min
S v
t
với SMax; SMin tính nhƣ
B BÀI TỐN ÁP DỤNG
Ví dụ 6.1 Một lắc lò xo dao động điều hòa với phƣơng trình x 12 cos(50t )
(x tính cm t tính giây) Quãng đƣờng vật đƣợc khoảng thời gian t s
12
kể từ
(30)A cm B 90 cm C 102 cm D 54 cm Hƣớng dẫn giải
Cách : PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ t12
BƢỚC : Xác định li độ x vận tốc v hai thời điểm t1 t2
Tại thời điểm t1 :
x 12 cos( )
v 50.12sin( )
Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dƣơng
Tại thời điểm t2 s 12
:
x 12 cos(50 ) 12
v 50.12sin(50 )
12
Vật qua vị trí có li độ x cm theo
chiều dƣơng BƢỚC :
+ khoảng thời gian : t t2 t1 s 12
+ chu kì dao động T s
50 25
+ Lập tỉ sỗ khoảng thời gian chu kì : t 12 25
T 12 12
25
+ Phân tích thành Phần nguyên – phần lẻ : t 2 t 2T T
T 12 12 12 12
Trong đó, n t T
: phần nguyên (cho biết số dao động toàn phần); (n N; ≤ t < T)
+ Quãng đƣờng đƣợc khoảng thời gian t T 25
12 12 300
S1
1
v v
S x x 6 cm
T t
2
x +
- 12 x1 +12
O
A
x2 v v
+ Quãng đƣờng đƣợc khoảng thời gian nT = 2T S2 = 2.4A = 8.12= 96 cm
BƢỚC : Quãng đƣờng tổng cộng vật đƣợc St S1 + S2 + 96 102 cm
Chọn đáp án C Cách : PHƢƠNG PHÁP QUÉT ĐƢỜNG
(31)Tại thời điểm t1 :
x 12 cos( )
v 50.12sin( )
Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dƣơng
BƢỚC : Xác định góc quét Δφ = ωt + khoảng thời gian : t t2 t1 s
12 + chu kì dao động T s
50 25
+ Lập tỉ sỗ khoảng thời gian chu kì : t 12 25
T 12 12
25
+ Phân tích thành Phần nguyên – phần lẻ : t 2 t 2T T
T 12 12 12 12
Trong đó, n t T
: phần nguyên (cho biết số dao động toàn phần); (n N; ≤ t < T)
+ Góc quét đƣợc khoảng thời gian t t n2 2.2
12
BƢỚC : Tính qng đƣờng đƣợc dựa vào góc qt
Góc quét 1 t
T
tƣơng ứng với quãng đƣờng S1 dựa vào đƣờng trịn lƣợng giác để
tìm Ta có 1
1
x x S
sin( ) sin S A sin 12 cm
6 A A
M1
M2
x + -12 x1 O +12
6
A
x2
Góc quét 2 n.2 tƣơng ứng với quãng đƣờng S2 = n.4A = 2.4.12 = 96 cm BƢỚC : Quãng đƣờng tổng cộng St = S1 + S2 = + 96 = 102 cm
Ví dụ 6.3 : Một lắc lò xo dao động điều hịa với phƣơng trình x cos(2 t )
(x tính cm t tính giây) Quãng đƣờng vật đƣợc khoảng thời gian t = 3,75 s kể từ thời điểm ban đầu (t 0)
A 36,5 cm B 61,46 cm C 68 cm D 50,54 cm Hƣớng dẫn giải
Cách : PHƢƠNG PHÁP ĐẠI SỐ t12
(32)Tại thời điểm t1 :
x cos( )
v 4sin( )
Vật bắt đầu dao động từ vị trí li độ x = cm theo
chiều âm
Tại thời điểm t2 = 3,75 s :
x cos(2 3, 75 ) 3, 46
v 4sin(2 3, 75 )
Vật qua vị trí biên x 3,464 cm BƢỚC :
+ khoảng thời gian : t t2 t1 3, 75s + chu kì dao động T 1s
2
+ Lập tỉ sỗ khoảng thời gian chu kì : t 3, 75 3, 75 T
+ Phân tích thành Phần nguyên – phần lẻ : t 0, 75 t 3T 0, 75T
T
Trong đó, n t T
: phần nguyên (cho biết số dao động toàn phần); (n N; ≤ t < T)
+ Quãng đƣờng đƣợc khoảng thời gian t 0, 75T0, 75.1 0, 75s S1
1
1
v v
S 2A x x 2.4 3, 46 13, 46 cm v
x +
- 4 + 4
x1
O x2
v
v
t 0, 75T
+ Quãng đƣờng đƣợc khoảng thời gian nT = 3T S2 = 3.4A = 3.4.4= 48 cm BƢỚC : Quãng đƣờng tổng cộng vật đƣợc St S1 + S2 13,46 + 48 61,46 cm
Chọn đáp án C Cách : PHƢƠNG PHÁP QUÉT ĐƢỜNG
Các liệu li độ vận tốc ban đầu lấy
BƢỚC : Tính qng đƣờng đƣợc dựa vào góc qt Góc quét
t
2 0, 75.2
T
tƣơng ứng với quãng đƣờng S1 Dựa vào đƣờng tròn lƣợng giác để tìm
O + 4
- 4
M1
M2
P1
P2
Δφ
||
||
x +
3
6
||
(33)1
1
S 2A OP OP 2A A sin A sin 2.4 4 10 cm
6 2
Góc quét 2 n.2 3.2 tƣơng ứng với quãng đƣờng S2 = 3.4A = 3.4.4 = 48 cm BƢỚC : Quãng đƣờng tổng cộng St = S1 + S2 = 10 48 61.46cm
Ví dụ 6.2 (ĐH2012) Một lắc lò xo dao động điều hòa theo phƣơng ngang với dao động J lực đàn hồi cực đại 10 N Mốc vị trí cân Gọi Q đầu cố định lò xo, khoảng thời gian ngắn lần liên tiếp Q chịu tác dụng lực kéo lị xo có độ lớn 3N 0,1 s Quãng đƣờng lớn mà vật nhỏ lắc đƣợc 0,4 s
A 40 cm B 60 cm C 80 cm D 115 cm
Dạng Vận tốc trung bình tốc độ trung bình đoạn đƣờng s A PHƢƠNG PHÁP
*Vận tốc trung bình :
2
2
tb
x x
v
t t
∆x = x2 – x1 : độ dời;
Độ dời = độ biến thiên tọa độ
= tọa độ lúc cuối – tọa độ lúc đầu
x1, x2 tọa độ chất điểm thời điểm t1 t2 tƣơng ứng ∆t = t2 – t1 : khoảng thời gian thực độ dời
*Tốc độ trung bình vtb s t
∆S: quãng đƣờng đƣợc ∆t: khoảng thời gian