- Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba - Chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba - Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai [r]
(1)TỔNG HỢP KIẾN THỨC
VÀ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để thức có nghĩa
A có nghĩa A ≥
2 Các công thức biến đổi thức a
A = A b AB = A B (A≥0;B≥0)
c A A (A 0;B 0)
B = B ≥ > d
2 ( 0)
A B= A B B≥
e
( 0; 0)
A B = A B A≥ B≥ e
( 0; 0)
A B = − A B A< B≥ f A AB (AB 0;B 0)
B = B ≥ ≠ g ( 0)
A A B
B B
B = >
h
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A B
A±B = − ≥ ≠
∓
i C C( A 2B) (A 0;B 0;A B ) A B
A± B = − ≥ ≥ ≠
∓
3 Hàm số y = ax + b (a ≠≠≠≠ 0) - Tính chất:
+ Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị:
Đồ thị đường thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hàm số y = ax2 (a ≠≠≠≠ 0)
- Tính chất:
+ Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị:
Đồ thị đường cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh
+ Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh Vị trí tương đối hai đường thẳng
Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt ⇔ a ≠ a'
(d) // (d') ⇔ a = a' b ≠ b' (d) ≡ (d') ⇔ a = a' b = b'
6 Vị trí tương đối đường thẳng đường cong Xét đường thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P)
(d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm
(2)7 Phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn
∆ = b2 - 4ac
Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a b x
2
∆ + −
= ;
a b x
2
∆ − − =
Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép : a
b x x
2
− = =
Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm
∆' = b'2 - ac với b = 2b'
- Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a b x
' '
∆ + −
= ;
a b x
' '
∆ − − =
- Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép:
a b x
x
'
1
− = =
- Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm Hệ thức Viet ứng dụng
- Hệ thức Viet:
Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) thì:
1
b
S x x
a c P x x
a
− = + =
= =
- Một số ứng dụng:
+ Tìm hai số u v biết u + v = S; u.v = P ta giải phương trình: x2 - Sx + P =
(Điều kiện S2 - 4P ≥ 0)
+ Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm:
x1 = ; x2 = c a Nếu a - b + c = phương trình có hai nghiệm:
x1 = -1 ; x2 = c a
−
9 Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình
Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình
(3)B CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Bài toán: Rút gọn biểu thức A
Để rút gọn biểu thức A ta thực bước sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có)
- Đưa bớt thừa số ngồi thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có)
- Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng
Dạng 2: Bài tốn tính tốn
Bài tốn 1: Tính giá trị biểu thức A
Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với tốn Rút gọn biểu thức A
Bài tốn 2: Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a
Cách giải:
- Rút gọn biểu thức A(x)
- Thay x = a vào biểu thức rút gọn
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B
Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A = B ⇔ A - B =
- Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B
- Phương pháp 3: Phương pháp so sánh A = A1 = A2 = = C B = B1 = B2 = = C
- Phương pháp 4: Phương pháp tương đương A = B ⇔ A' = B' ⇔ A" = B" ⇔ ⇔ (*) (*) A = B
- Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp
- Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B
Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi:
n
n n a a a a n
a a
a a
3
2
1+ + + + ≥ (với . . 0
3
1a a an ≥
a )
Dấu “=” xảy khi: a1=a2 =a3= =an
- Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:
Với số a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn
(a1b1+a2b2+a3b3+ +anbn)2≤(a12+a22+a32+ +an2)(b12+b22+b32+ +bn2) Dấu “=” xảy khi:
n n b a b
a b a b a
= = =
=
3 2 1
(4)
Một số phương pháp chứng minh: - Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa
A > B ⇔ A - B > - Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp
A = A1 = A2 = = B + M2 > B M ≠ - Phương pháp 3: Phương pháp tương đương
A > B ⇔ A' > B' ⇔ A" > B" ⇔ ⇔ (*) (*) A > B
- Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B → A > B
- Phương pháp 5: Phương pháp phản chứng
Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vơ lí ta kết luận A > B
- Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết - Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp
- Phương pháp 8: Phương pháp dùng biểu thức phụ
Dạng 5: Bài toán liên quan tới phương trình bậc hai
Bài tốn 1: Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠≠≠≠0)
Các phương pháp giải:
- Phương pháp 1: Phân tích đưa phương trình tích - Phương pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai
x2 = a → x = ± a
- Phương pháp 3: Dùng cơng thức nghiệm Ta có ∆ = b2 - 4ac
+ Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ∆ + − = ; a b x 2 ∆ − − =
+ Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép a b x x 2 − = =
+ Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm
- Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta có ∆' = b'2 - ac với b = 2b' + Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
a b x ' ' ∆ + − = ; a b x ' ' ∆ − − =
+ Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép a b x x ' − = =
+ Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm
- Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et
Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) thì:
= − = + a c x x a b x x 2
(5)Bài tốn 2: Biện luận theo m có nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m )
Xét hệ số a: Có thể có khả
a Trường hợp a = với vài giá trị m Giả sử a = ⇔ m = m0 ta có:
(*) trở thành phương trình bậc ax + c = (**) + Nếu b ≠ với m = m0: (**)có nghiệm x = -c/b
+ Nếu b = c = với m = m0: (**) vô định ⇔ (*) vô định + Nếu b = c ≠ với m = m0: (**) vô nghiệm ⇔ (*)vô nghiệm b Trường hợp a ≠ 0: Tính ∆ ∆'
+ Tính ∆ = b2 - 4ac
Nếu ∆ > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ∆ + − = ; a b x 2 ∆ − − =
Nếu ∆ = : Phương trình có nghiệm kép :
a b x x 2 − = = Nếu ∆ < : Phương trình vơ nghiệm
+ Tính ∆' = b'2 - ac với b = 2b'
Nếu ∆' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ' ' ∆ + − = ; a b x ' ' ∆ − − =
Nếu ∆' = : Phương trình có nghiệm kép:
a b x x ' − = =
Nếu ∆' < : Phương trình vơ nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận
Bài tốn 3: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm
Có hai khả để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm: Hoặc a = 0, b ≠
2 Hoặc a ≠ 0, ∆≥ ∆' ≥
Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mãn điều kiện điều kiện
Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm phân biệt
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt > ∆ ≠ 0 a > ∆ ≠ 0 ' a
Bài tốn 5: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm
Điều kiện có nghiệm:
(6)Bài tốn 6: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép
Điều kiện có nghiệm kép: = ∆ ≠ 0 a = ∆ ≠ 0 ' a
Bài tốn 7: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) vơ nghiệm
Điều kiện có nghiệm: < ∆ ≠ 0 a < ∆ ≠ 0 ' a
Bài tốn 8: Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm
Điều kiện có nghiệm: ≠ = 0 b a = ∆ ≠ 0 a = ∆ ≠ 0 ' a
Bài tốn : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm dấu
Điều kiện có hai nghiệm dấu: > = ≥ ∆ 0 a c
P
> = ≥ ∆ 0 ' a c P
Bài tốn 10 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm dương
Điều kiện có hai nghiệm dương:
> − = > = ≥ ∆ 0 a b S a c
P
> − = > = ≥ ∆ 0 ' a b S a c P
Bài tốn 11 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm âm
Điều kiện có hai nghiệm âm:
< − = > = ≥ ∆ 0 a b S a c
P
< − = > = ≥ ∆ 0 ' a b S a c P
Bài toán 12 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm trái dấu
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu
Bài toán 13 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x = x1
Cách giải:
- Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có:ax12 + bx1 + c = → m - Thay giá trị m vào (*) → x1, x2
- Hoặc tính x2 = S - x1 x2 =
(7)Bài tốn 14 : Tìm điều kiện tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x1, x2 thoả mãn
điều kiện:
a αx1+βx2=γ b x +x =k 2
c n
x x1+ 2 =
1
d x12+x22 ≥h e x13+x23=t
Điều kiện chung: ∆≥ ∆' ≥ (*) Theo định lí Viet ta có:
= =
= − = +
) (
) (
1
P a c x x
S a
b x x
a Trường hợp: αx1 + βx2 = γ Giải hệ
= +
− = +
γ β α 1 2
2
x x
a b x x
Thay x1, x2 vào (2) → m
Chọn giá trị m thoả mãn (*) b Trường hợp: x +x =k ↔ x +x 2− x1x2=k
2
2
1 ( )
Thay x1 + x2 = S = a
b
−
x1.x2 = P = a c
vào ta có:
S2 - 2P = k → Tìm giá trị m thoả mãn (*)
c Trường hợp: n x x nx x b nc
x
x1 + 2 = ↔ 1+ = ↔− =
1
Giải phương trình - b = nc tìm m thoả mãn (*) d Trường hợp: x12+x22≥h ↔S2−2P−h≥0
Giải bất phương trình S2 - 2P - h ≥ chọn m thoả mãn (*) e Trường hợp: x13+x23=t ↔ S3−3PS =t
Giải phương trình S3−3PS=t chọn m thoả mãn (*)
Bài toán 15: Tìm hai số u v biết tổng u + v = S tích u.v = Pcủa chúng Ta có u v nghiệm phương trình:
x2 - Sx + P = (*) (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0)
(8)Nội dung 6:
Giải phương trình phương pháp đặt ẩn số phụ Bài tốn1: Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c =
Đặt t = x2 (t≥0) ta có phương trình at2 + bt + c =
Giải phương trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x
Bảng tóm tắt
at2 + bt + c = ax4 + bx2 + c =
vô nghiệm vô nghiệm
2 nghiệm âm vô nghiệm
nghiệm kép âm vô nghiệm
1 nghiệm dương nghiệm đối
2 nghiệm dương nghiệm
2 cặp nghiệm đối
Bài tốn 2: Giải phương trình ( 2+ 12)+ ( + 1)+C=0 x
x B x x A
Đặt x
x + = t ⇔ x2 - tx + = Suy t2 = (
x
x + )2 = 2+ 12 +2 x
x ⇔ 2
2 2+ =t −
x x Thay vào phương trình ta có:
A(t2 - 2) + Bt + C = ⇔ At2 + Bt + C - 2A = Giải phương trình ẩn t sau vào
x
x + = t giải tìm x Bài tốn 3: Giải phương trình ( 2+ 12)+ ( − )+C=0
x x B x x A
Đặt x
x − = t ⇔ x2 - tx - = Suy t2 = (
x
x − )2 = 2+ 12 −2 x
x ⇔ 2+ 12 =t2+2 x
x Thay vào phương trình ta có:
A(t2 + 2) + Bt + C = ⇔ At2 + Bt + C + 2A = Giải phương trình ẩn t sau vào
x
x − = t giải tìm x Bài tốn 4: Giải phương trình bậc cao
Dùng phép biến đổi đưa phương trình bậc cao dạng: + Phương trình tích
(9)Nội dung 7:
Giải hệ phương trình Bài tốn: Giải hệ phương trình
= + = + ' ' 'x b y c a c by ax
Các phương pháp giải: + Phương pháp đồ thị + Phương pháp cộng + Phương pháp
+ Phương pháp đặt ẩn phụ
Nội dung 7:
Giải phương trình vơ tỉ Bài tốn 1: Giải phương trình dạng f(x)= g(x) (1)
Ta có
( ) (2)
( ) ( )
( ) ( ) (3)
g x
f x g x
f x g x
≥ = ⇔ =
Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp → nghiệm (1) Bài tốn 2: Giải phương trình dạng f(x)+ h(x)= g(x)
Điều kiện có nghĩa phương trình
≥ ≥ ≥ ) ( ) ( ) ( x g x h x f
Với điều kiện thoả mãn ta bình phương hai vế để giải tìm x
Nội dung 8:
Giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối Bài tốn: Giải phương trình dạng f ( x) = g (x )
Phương pháp 1: f (x ) = g ( x) ⇔
[ ] [ ] = ≥ 2 ) ( ) ( ) ( x g x f x g
Phương pháp 2: Xét f(x) ≥ → f(x) = g(x) Xét f(x) < → - f(x) = g(x)
Phương pháp 3: Với g(x) ≥ ta có f(x) = ± g(x)
Nội dung 9:
Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
Bài tốn: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x)
Phương pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho:
y = M - [g(x)]2n ,n ∈Z → y ≤ M Do ymax = M g(x) =
- Biến đổi hàm số y = f(x) cho:
y = m + [h(x)]2k k∈Z → y ≥ m Do ymin = m h(x) =
Phương pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm
(10)
Nội dung 10:
Các toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đường - đường qua điểm
Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(xA;yA)
Hỏi (C) có qua A không?
Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm phương trình (C) A∈(C) ⇔ yA = f(xA)
Dó tính f(xA)
Nếu f(xA) = yA (C) qua A
Nếu f(xA) ≠ yA (C) khơng qua A * Sự tương giao hai đồ thị
Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x)
Hãy khảo sát tương giao hai đồ thị
Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
- Nếu (*) vơ nghiệm (C) (L) khơng có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiếp xúc - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung * Lập phương trình đường thẳng
Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k
Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k
- Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b → b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình (D)
Bài tốn 2: Lập phương trình đường thẳng (D) qua hai điểm A(xA;yA); B(xB;yB)
Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = ax + b (D) qua A B nên ta có:
+ =
+ =
b ax y
b ax y
B B
A A
Giải hệ ta tìm a b suy phương trình (D)
Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)
Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b
Phương trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép
Từ điều kiện ta tìm b suy phương trình (D)
Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng (D) qua điểm A(xA;yA)
tiếp xúc với đường cong (C): y = f(x)
Phương trình tổng quát đường thẳng (D) : y = kx + b
Phương trình hồnh độ giao điểm (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép
(11)A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Hệ thức lượng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac'
h2 = b'c' ah = bc a2 = b2 + c2
12 12 12 c b
h = +
2 Tỉ số lượng giác góc nhọn
0 < sinα < < cossα <
α α α
cos sin =
tg
α α α
sin cos
cotg = sin2α + cos2α = tgα.cotgα =
α
α 2
2
cos
1+tg =
α
α 2
2 sin
1 cot
1+ g =
3 Hệ thức cạnh góc tam giác vuông
b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B
4 Đường trịn
- Cách xác định: Qua ba điểm khơng thẳng hàng ta vẽ đường tròn
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường trịn có tâm đối xứng; có vơ số trục đối xứng
- Quan hệ vng góc đường kính dây Trong đường trịn
+ Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây
+ Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây
PHẦN II: HÌNH HỌC
a b' c'
b c
h
H B
C A
b a c
C B
(12)- Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đường trịn:
+ Hai dây cách tâm
+ Hai dây cách tâm
+ Dây lớn dây gần tâm
+ Dây gần tâm dây lớn
- Liên hệ cung dây:
Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau:
+ Hai cung căng hai dây
+ Hai dây căng hai cung
+ Cung lớn căng dây lớn
+ Dây lớn căng cung lớn
- Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn:
Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R - Đường thẳng đường tròn cắt
2 d < R
- Đường thẳng đường tròn tiếp xúc
1 d = R
- Đường thẳng đường tròn khơng giao
(13)- Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn:
Vị trí tương đối Số điểm chung
Hệ thức liên hệ d R
- Hai đường tròn cắt
2 R - r < OO' < R + r
- Hai đường tròn tiếp xúc + Tiếp xúc
+ Tiếp xúc
1
OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai đường trịn khơng giao + (O) (O') ngồi
+ (O) đựng (O')
+ (O) (O') đồng tâm
0
OO' > R + r
OO' < R - r
OO' =
5 Tiếp tuyến đường trịn
- Tính chất tiếp tuyến:Tiếp tuyến vng góc với bán kính qua tiếp điểm - Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đường thẳng đường trịn có điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính
+ Đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm
- Tính chất tiếp tuyến cắt MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì:
+ MA = MB
+ MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB
B O A
(14)- Tiếp tuyến chung hai đường tròn: đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn đó:
Tiếp tuyến chung ngồi Tiếp tuyến chung
6 Góc với đường trịn
Loại góc Hình vẽ Cơng thức tính số đo
1 Góc tâm AOB=sd AB
2 Góc nội tiếp
2 AMB= sd AB
3 Góc tạo tia tiếp tuyến
dây cung
1 xBA= sd AB
4 Góc có đỉnh bên đường tròn
1( )
2
AMB= sd AB+sd CD
5 Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn
1( )
2
AMB= sd AB−sd CD d'
d
O' O
d' d
O' O
B
A
O
M B
A
O
x
B
A
O
M
D C
B A
O
O
B A
D C
(15)Chú ý: Trong đường tròn
- Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung
- Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung
- Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng ngược lại góc vng nội tiếp chắn nửa đường trịn
- Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
7 Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn
- Độ dài đường tròn bán kính R: C = 2πR = πd - Độ dài cung trịn n0 bán kính R :
180 Rn l=π
8 Diện tích hình trịn - Diện tích hình quạt trịn - Diện tích hình trịn: S = πR2
- Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cong n0:
2
360
R n lR S =π =
9 Các loại đường tròn Đường tròn ngoại tiếp
tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn bàng tiếp tam giác
Tâm đường tròn giao ba đường trung trực
của tam giác
Tâm đường tròn giao ba đường phân giác
tam giác
Tâm đường tròn bàng tiếp góc A giao điểm hai đường phân
giác góc ngồi B C giao điểm đường phân giác góc A
và đường phân giác B (hoặc C)
10 Các loại hình khơng gian a Hình trụ
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrh - Diện tích tồn phần: Stp = 2πrh + πr2 - Thể tích hình trụ: V = Sh = πr2h b Hình nón:
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrl - Diện tích tồn phần: Stp = 2πrl + πr2 - Thể tích hình trụ: V =
r π h O
C B
A
O
C B
A
r: bán kính Trong đó
h: chiều cao
r: bán kính Trong đó l: đường sinh
(16)c Hình nón cụt:
- Diện tích xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l - Thể tích: V = 2
1 2
( )
3πh r +r +r r d Hình cầu
- Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 = πd - Thể tích hình cầu: V =
3πR 11 Tứ giác nội tiếp:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α
r1: bán kính dáy lớn Trong đó: r2: bán kính đáy nhỏ l: đường sinh h: chiều cao
R: bán kính Trong đó:
(17)B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh hai góc Cách chứng minh:
- Chứng minh hai góc góc thứ ba
- Chứng minh hai góc với hai góc khác
- Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba
- Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song v.góc - Hai góc ó le trong, so le đồng vị
- Hai góc vị trí đối đỉnh
- Hai góc mộ tam giác cân
- Hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh tương ứng hai tam giác
- Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng) - Hai cạnh bên hình thang cân
- Hai dây trương hai cung đường tròn hai đường
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba - Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau:
+ vị trí so le + vị trí so le ngồi + vị trí đồng vị
- Là hai dây chắn chúng hai cung đường tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành
Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Cách chứng minh:
- Chúng song song song song với hai đường thẳng vng góc khác - Chứng minh chúng chân đường cao tam giác
(18)Dạng 5: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Cách chứng minh:
- Chứng minh chúng ba đường cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác ngồi hai góc kia)
- Vận dụng định lí đảo định lí Talet
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác Cách chứng minh:
* Hai tam giác thường:
- Trường hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vng:
- Có cạnh huyền góc nhọn
- Có cạnh huyền cạnh góc vng - Cạnh góc vuông đôi
Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Cách chứng minh:
* Hai tam giác thường: - Có hai góc đơi
- Có góc xen hai cạnh tương ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tương ứng tỷ lệ
* Hai tam giác vng: - Có góc nhọn
- Có hai cạnh góc vng tương ứng tỷ lệ
Dạng 8: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh:
Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: ∆MAC ∼∆MDB ∆MAD ∼∆MCB
- Nếu điểm M, A, B, C, D cúng nằm đường thẳng phải chứng minh tích tích thứ ba:
MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tức ta chứng minh: ∆MAE ∼∆MFB
∆MCE ∼∆MFD → MA.MB = MC.MD
(19)Dạng 9: Chứng minh tứ giác nội tiếp Cách chứng minh:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α
Dạng 10: Chứng minh MT tiếp tuyến đường tròn (O;R) Cách chứng minh:
- Chứng minh OT ⊥ MT T ∈ (O;R)
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp
Dạng 10: Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính:
- Dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lượng giác
- Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vng - Dựa vào cơng thức tính độ dài, diện tích, thể tích
Đây số kiến thức chương trình Toán Đây số kiến thức chương trình Tốn 9Đây số kiến thức chương trình Tốn Đây số kiến thức chương trình Tốn
Để giúp em ơn tập tốt Để giúp em ôn tập tốt Để giúp em ôn tập tốt Để giúp em ôn tập tốt
Cần đọc kỹ tài liệu Xem thêm Sách giáo khoa Toán Cần đọc kỹ tài liệu Xem thêm Sách giáo khoa Toán Cần đọc kỹ tài liệu Xem thêm Sách giáo khoa Toán Cần đọc kỹ tài liệu Xem thêm Sách giáo khoa Toán