Một số dạng toán nguyên hàm, tích phân hàm ẩn

1 Phần MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm trước kì thi tốt nghiệp THPT, dạng tốn gây khơng khó khăn cho thí sinh tốn tìm nguyên hàm tích phân liên quan đến hàm ẩn Với tốn trắc nghiệm tìm ngun hàm, tính tích phân đơn thuần, học sinh sử dụng máy tính cầm tay để tìm nhanh kết mà không cần biết chất vấn đề Như việc đánh giá hiểu biết người học nội dung khơng tồn diện Việc xuất khái niệm “hàm ẩn” tốn tìm ngun hàm hay tính tích phân giúp việc kiểm tra kiến thức người học tốn trắc nghiệm xác Tuy nhiên dạng tốn gây khơng khó khăn cho bạn đồng nghiệp em học sinh tiếp cận, sách giáo khoa giải tích 12 khơng đề cập tài liệu viết dạng tốn dành cho học sinh THPT cịn hạn chế Bản chất tốn gì? Liệu có xa vời với kiến thức trình bày sách giáo khoa giải tích 12 hay khơng? Và kì thi tốt nghiệp THPT năm gần đây, có dạng tốn liên quan? Xuất phát từ câu hỏi vậy, mạnh dạn tìm hiểu viết lên sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng nguyên hàm – tích phân hàm ẩn” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hướng tiếp cận đơn giản hiệu đến dạng toán “mới lạ” Rèn luyện kỹ thực hành, hoạt động nhóm cho học sinh Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học cho thân, qua tăng khả xử lí tình giảng dạy đời sống ngày 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Quá trình dạy học chương III – Giải tích 12 trường THPT Bá Thước Các phương pháp kỹ thuật dạy học theo hướng phát triển lực, kỹ thực hành vận dụng kiến thức học tập liên hệ thực tiễn mơn Tốn 2 Là giáo viên dạy Toán trường THPT Bá Thước, học sinh trường THPT Bá Thước Đối tượng sử dụng đề tài: Học sinh THPT giáo viên dạy môn Toán THPT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các tài liệu lí luận dạy học, phương pháp kĩ thuật dạy học theo hướng phát triển lực môn Tốn Nghiên cứu thực trạng dạy học mơn Tốn trường THPT Bá Thước Liệt kê số dạng tốn ngun hàm – tích phân liên quan đến hàm ẩn Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu sở lí luận việc đổi chương trình giáo dục mơn Tốn Nghiên cứu chương trình chuẩn kiến thức, kĩ năng, mục tiêu chương trình mơn Tốn THPT để xây dựng hệ thống “Bài tốn ngun hàm, tích phân hàm ẩn” phát huy tính tích cực, chủ động tư duy, kĩ thực hành cho học sinh nhằm tăng hứng thú, say mê học tập môn Nghiên cứu trình dạy học mơn Tốn trường THPT Bá Thước Phần NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Kiến thức nguyên hàm, tích phân 2.1.1 Kiến thức nguyên hàm 2.1.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định D Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm ( x) = f ( x) với x thuộc D f ( x) D F � 2.1.1.2 Định lý: Giả sử hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) D �� Khi đó:  Với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm f ( x) D  Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) D nguyên hàm f ( x) D có dạng F ( x ) + C , với C số  Kí hiệu: f  x  dx  F  x   C , với C số họ tất nguyên � hàm hàm số f ( x) D 2.1.1.3 Các tính chất Tính chất 1:  �f  x  dx  � f  x  �f � x  dx  f  x   C k f  x  dx  k � f  x  dx , k số khác Tính chất 2: � � dx  � f  x  dx �� g  x  dx Tính chất 3: � �f  x  �g  x  � � 2.1.1.4 Sự tồn nguyên hàm: Mọi hàm số f ( x) liên tục K có nguyên hàm K 2.1.1.5 Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm Nguyên hàm hàm số hợp 0dx  C � dx  � 1dx  x  C � x  dx  � x 1  C   �1  1 du  u  C � u  du  � u 1  C   �1  1 dx  �  ln x  C x du  �  ln u  C u e x dx  e x  C � e u du  e u  C � ax � a dx   C   a �1 ln a au � a du   C   a �1 ln a sin xdx   cos x  C � sin udu   cos u  C � cos xdx  sin x  C � cos udu  sin u  C � x u  dx � cos x du  �  tan u  C cos u  tan x  C dx  �   cot x  C sin x du  �   cot u  C sin u 2.1.2 Kiến thức tích phân 2.1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) liên tục K a , b hai số thực thuộc K Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x) K hiệu số F ( b) – F ( a ) gọi tích phân f ( x) từ a đến b , ký hiệu b b a a f  x  dx Nếu a < b � f  x  dx gọi � tích phân f ( x) đoạn [ a ; b ] b Hiệu số F ( b) – F ( a ) ký hiệu F ( x) a Do F ( x) nguyên hàm f ( x) K b f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  � b a Vì f  x  dx � nguyên hàm f ( x) nên ta có b � � f x d x  f x d x     � � � � a � �a b Ta gọi a cận dưới, b cận trên, x biến lấy tích phân, f ( x) hàm số dấu tích phân, f  x  dx biểu thức dấu tích phân Chú ý: Tích phân phụ thuộc vào cận tích phân biểu thức dấu tích phân, khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là: b b b a a a f  x  dx  � f  t  dt  � f  u  du  F  b   F  a  � Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f ( x) liên tục không âm đoạn [ a ; b ] tích phân b f  x  dx diện tích S � hình thang cong giới hạn a đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a , x = b b f  x  dx Vậy S  � a 2.1.2.2 Tính chất Với hai hàm số f  x  , g  x  liên tục K a, b, c số thực thuộc K , ta có: a 1) � f  x  dx  ; a b a 2) � f  x  dx   � f  x  dx ; a b b c c 3) � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx ; a b b a b b a a 4) � f  x  dx �� g  x  dx ;  f  x  �g  x   dx  � a b b a a 5) � k f  x  dx  k � f  x  dx, k �� Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh tính chất sau: Nếu f  x  �0  a; b  b f  x  dx �0 � a Nếu f  x  �g  x   a; b  b b a a f  x  dx �� g  x  dx � Với hàm số f  x  liên tục số thực dương a , ta có hai tính chất sau đây: Nếu f  x  hàm số lẻ đoạn  a ; a  a �f ( x)d x  a Nếu f  x  hàm số chẵn đoạn   a ; a  a a a f ( x)dx �f ( x)dx  2� 2.1.2.3 Một số toán thường gặp hàm ẩn cách giải nhanh 6  x   kf  x   k �� � f  x   Cekx + f� f� k  x  dx  x g  f  x   k  x � �  x  g  f  x   dx  � + f� + f�  x  g  x f  x  k  x � e  � e G x  f  x G x  f�  x  g  x e G x  f  x  k  x e G x  k  x  e   dx � f  x   e   � k  x  e   dx  � k  x  e   � e   f  x   � G x G x G x G x G x (trong G ( x) nguyên hàm g ( x) ) 2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Với lượng kiến thức trên, việc tiếp thu ghi nhớ khơng q khó với học sinh Nhưng vấn đề đặt vận dụng kiến thức việc giải toán? Đặc biệt tốn liên quan đến hàm ẩn khơng phải lúc dễ dàng 2.3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 2.3.1 Giải pháp Từ vấn đề nêu trên, thấy việc tìm nguyên hàm tính tích phân túy khơng cịn dạng tốn phổ biến kì thi trắc nghiệm, thí sinh tắt đến đáp án việc sử dụng máy tính điện tử bỏ túi Ngược lại tốn ngun hàm, tích phân hàm ẩn máy tính bỏ túi đơn cơng cụ hỗ trợ, học sinh khơng hiểu chất việc vượt qua dạng tốn vơ khó khăn Để giúp bạn đọc có nhìn tổng qt số dạng tốn tìm ngun hàm hay tính tích phân hàm ẩn, sau xin nêu vài dạng để tìm hiểu xây dựng 2.3.2 Phân loại dạng tốn 2.3.2.1 Dùng định nghĩa, tính chất tích phân Ví dụ (Đề tham khảo THPTQG 2019) Cho 1 0 f  x  dx  � g  x  dx  � � dx Tính tích phân � �f  x   g  x  � � Lời giải 1 0 g  x  dx  � 2� g  x  dx  10 � � g  x  dx  10 Ta có � 1 0 � dx  � f  x  dx  � g  x  dx   10  8 Xét � �f  x   g  x  � � �� 0; Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn � thỏa mãn � 2� �    0 � f '  x  sin xdx  , � f  x  cos xdx  1 Tính I  � � �f  x  sin x � �dx � Lời giải  � Ta có: I  �f  x  sin x � � �dx �   0 � f�  x  sin xdx +  f � x  sin x + f  x  cos x  dx  �  f  x  cos xdx    �  x  Ví dụ Cho hàm số f  x  xác định �\  2 thỏa mãn f � , x2 f  1  133 , f  3  313 Tính P  f    f   Lời giải ln  x    C1 x  � � � f x  f x d x  d x      Ta có : � � � x2 ln   x   C2 x  � ln  x    313 x  � � C  313 �f  3  313 � � � �1 � f  x  � � C2  133 ln   x   133 x  � �f  1  133 � Vậy P  f    f    ln  313  ln  133  180 Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn f    f  1  Biết � ex � dx  ae  b Tính a 2021  b 2021 ?  x � �f  x   f � � Lời giải � �x x x � � � � e � f x  f x � d x  e f x d x  e f x  � � Ta có ��   �  � �   �0  ef  1  f    e  1 0 2021 Suy a  1, b  1 Do a  b 2021  Ví dụ (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f  x  thoả mãn 2 f     f � x  2x � f x �    � � với x �� Tính giá trị f  1 Lời giải f�  x  2x � f �  x  dx  xdx � � Ta có f  x   x � 2 � � �f  x  � � �f  x  � � � � �f  x  � � �  x2  C f  x � f  x   x C 2 �C  Theo giả thiết: f     �    9 4C 2 f  x   � f  1   Vậy x  2.3.2.2 Dùng phương pháp đổi biến số Ví dụ (Đề tham khảo lần - BGD&ĐT năm 2017) Cho hàm số f  x  liên tục � thoả mãn f  x   f   x    2cos x , x �� Tính I  3 �f  x  dx  3 Lời giải Đặt x  t Khi I 3 3 3 3 0  3 3 3  f   x   f  x   dx  �2  2cos xdx  �2   cos x  dx � 3 �4cos 3 3 � dx �f  x   f   x  � � �f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  � 3 3  0  � �f  x  dx  �f  t  d  t    �f   x  dx  �f   x  dx  3 0  3  xdx  � 2cos xdx  2cos xdx  � Ví dụ Cho hàm số f  x  �0 , liên tục đoạn  1;2 thỏa mãn f (1)  x f � ( x)    x  f ( x) với x � 1;2 Tính tích phân I  � f ( x )dx f� ( x)  x  , biểu thức vế trái có dạng f ( x) x2 Nhận xét: Từ giả thiết ta có � u� � �   � � Từ ta có lời giải u2 � u � Lời giải � � � f� ( x)  x Ta có x f � ( x)    x  f ( x ) �  ��  � x  f ( x) x2 f ( x ) � � 1 1 �1 � � � dx �     x  c , f (1)  � c  �2  2� f ( x) f ( x) x �x � 2x2  x  � f ( x)  Nên ta có f ( x) x 2x  Khi 2 2 x d (1  x ) 1 I � f ( x )dx  � dx  �  ln  x   2ln  ln 3  ln  2x 1  2x 4 1 2 Ví dụ Cho hàm số f ( x) liên tục, không âm � thỏa mãn f ( x) f � ( x)  x f ( x)   với x �� f (0)  f ( x )dx Tính tích phân I  � Nhận xét: Từ giả thiết ta có uu� u2    f ( x) f � ( x) f ( x)   x , biểu thức vế trái có dạng  � u2  Lời giải f ( x) f � ( x) ( x)  x f ( x)   �  2x � Ta có f ( x) f � f ( x)  � f ( x)   � xdx �   � f ( x)   x f ( x)   x  c Do f (0)  � c  nên ta có f ( x)   x  � f ( x)    x  1 � f ( x)  x  x   � f ( x)  x x  2 (vì f  x  khơng âm �) 10 1 f ( x)dx  � x x  2dx  � x x  2dx Khi I  � 0 1  1  �x  2d( x  2)  � x2  2 x2  �  3  2  � 20 3�  Ví dụ Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;4 thỏa mãn f  1  g  1  9e f  x    x g �  x  ; g  x   x2 f �  x  , x � 1;4 f  x  g  x dx � x Tính tích phân Lời giải g� , x � 1;4  x  f �  x � Từ giả thiết ta có h  x   f  x   g  x    x � � � h�  x    � h�  x  dx   dx � ln h x   C � h  x    x h�  x �   � �x h x x2 h x x x  9e � C �  , nên h  x   9.e x � h  x   e C �mà h  1  9e � e.C � f  x  g  x 1x dx  �2 e dx  e  e Khi � x x 1   Ví dụ Cho hàm số y  f  x  đồng biến, có đạo hàm cấp hai đoạn  0;2 2 x � 0;2 Biết � thỏa mãn  f ( x)   f ( x ) f � ( x)   f � ( x)   với (2 x  1) f ( x)dx f (0)  1, f (2)  e , Tính tích I  � 2 Nhận xét: Từ giả thiết ta có � f ( x) f � ( x)   f � ( x)  f ( x)  2  , biểu thức vế trái có dạng � �f � ( x) � �f ( x) � Từ ta có lời giải � � y  f  x Do đồng f (0) ��� f ( x� ) f (2) Lời giải đoạn biến f ( x) e � ( x)   f � ( x)   � Ta có  f ( x)   f ( x) f � 2  0;2 nên x � 0;2 � f ( x) f � ( x)   f � ( x)   f ( x)  2 � �f � ( x) � f� ( x) f� ( x) ��  �  2d x  x  c � dx  �  x  c  dx � � � f ( x) f ( x) �f ( x) � 2 11 � ln f ( x)  x  cx  c1 Mà �f ( x) �e6 nên ta có ln f ( x)  x  cx  c1 c1  c 1 �f (0)  � � x2  x � � � ln f ( x )  x  x � f ( x )  e Do � � � c1   2c  c1  � � �f (2)  e 0 (2 x  1) f ( x)dx  � (2 x  1).e Khi I  � 2 2 x2  x dx  � d(e x x )  ex x 2 2   e2 2.3.2.3 Dùng phương pháp nguyên hàm phần Ví dụ (Đề tham khảo lần - BGD&ĐT năm 2017) Cho hàm số f  x  thỏa mãn 1 0 f  x  dx  x  1 f �  x  dx  10 f  1  f    Tính � � Lời giải u  x 1 du  dx � � �� f  x  dx Đặt � Khi I   x  1 f  x   � � d v  f x d x v  f x     � � 1 0 f  x  dx � � f  x  dx  10   8 Suy 10  f  1  f    � Vậy f  x  dx  8 � Ví dụ Cho hàm số y  f  x thỏa mãn  sin x f  x  dx  , � biết  I � cos x f �  x  dx  Tính f   Lời giải � u  f  x  � du  f �  x  dx Đặt � dv  sin x dx � v   cos x �    �� sin x f  x  dx    cos x f  x    � cos x f �  x  dx 0  � � �   cos f � � cos f   �   f   � f    �2 � Ví dụ Cho  3x  1 f �  x  dx  2019, f  1  f    2020 Tính � f  x  dx � 0 12 Lời giải  3x  1 �f �  x  dx  2019 Xét J  � u  3x  du  3dx � � �� Đặt � dv  f �  x  dx �v  f  x  � f  x  dx  2019 Do J   x  1 f  x   3� 1 1 0 � f  1  f    3� f  x  dx  2019 � 2020  3� f  x  dx  2019 � � f  x  dx  Xét I  f  x  dx � Đặt x  t � dt  3dx � dx  dt ; Đổi cận: x t 1 1 1 f  t  dt  � f  x  dx   Vậy: I  � 30 30 3 e x f '  x  dx  Ví dụ Cho hàm số f  x  thỏa e f  1  f    10 � e x f  x  dx Tính tích phân I  � Lời giải e x f '  x  dx  Ta có � 1 � � u  ex du  e x dx � � x x �� �� e f '  x  dx  � e f  x � � e x f  x  dx Đặt � � � dv  f '  x  dx � v  f  x 0 � �� e x f  x  dx  e x f  x    � e f  1  eo f   � � �  10   0 1  1 13 � � 0; Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục � thỏa mãn � 2� �   2 ,  , f � � Tính �� � cos x f  x  dx   x � �f � �dx  � � �2 � 0 Lời giải � u  f  x � du  f �  x  dx �� Đặt � dv  cos x dx � v  sin x � Khi    f  x  dx �   0 cos x f  x  dx  � sin x f  x  � sin x f � sin x f �  x  dx   �  x  dx � �� �  �� sin x f �  x  dx        0 2 Ta có �f � � sin x f � sin x dx  x �  x  dx  � �  x   sin x � �dx  � �f � �dx  � �        2�  � sin x dx    � sin x dx 4     1�   �2    �  cos x  dx    �x  sin x �     02 2� 4 �0 � 0; �� f �  x   sin x  �  x    sin x � f  x   cos x  C Suy f � � � 2� � � Vì f � � nên C  �2 � Vậy   0  f  x  dx  � cos x dx  sin x 02  � 2.3.2.4 Bài tập áp dụng Câu (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho F  x   hàm số nguyên hàm x2 f  x  x  ln x Tìm nguyên hàm hàm số f � x 14 � ln x C f�  x  ln xdx    C B � � 2x � x x ln x � ln x f� f�  x  ln xdx   �  x  ln xdx    C C � D � �  � C x � x 2x �x Câu (Mã đề 103 BGD&ĐT năm 2018) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  2   x   x3 � f  x � f � với x �� Giá trị f  1  � � 25 1 41 391 A  B  C  D  400 10 400 40 Câu (Đề minh họa BGD&ĐT năm 2020) Cho hàm số f ( x) liên tục � Biết cos 2x nguyên hàm hàm số f ( x)e x , họ tất nguyên hàm ( x )e x hàm số y  f � A  sin x  cos x  C B 2sin x  cos x  C C 2sin x  cos x  C D 2sin x  cos x  C Câu Cho hai hàm số y  f  x  ; y  g  x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;4  x  ; g  x    xf �  x  Tích phân thỏa mãn f  1  g  1  f  x    xg � A �ln x f�  x  ln xdx   � � �x  � dx �f  x   g  x  � � � A 8ln B 3ln C 6ln D 4ln  f�  x   0, x � 0;1 liên tục Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y�  0;1 thỏa mãn f    f  x    f �  x   , x � 0;1 Tính f  x  dx � 19 19 B C D 12 ĐÁP ÁN: 1A; 2B; 3C; 4A; 5B 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Qua hai năm học 2019 - 2020; 2020 - 2021, giáo viên môn Toán trường THPT Bá Thước sau tiếp cận với sáng kiến khơng cịn thấy khó khăn việc giảng dạy cho học sinh dạng toán này.Về phía học sinh, thời gian đầu tiếp cận mơ hồ dạng toán, nhiên với nổ lực thân hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo tổ mơn, kết thu tích cực, cụ thể sau: * Năm học: 2019 - 2020: A Lớp chưa triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A2 12A6 Sĩ số 36 37 Giỏi (%) 2.8 2.7 Khá (%) Trung bình ( %) 10 27.8 25 69.4 10 27.0 25 67.6 Yếu (%) 0.0 00 01 2.7 Khá (%) Yếu (%) Lớp triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp Sĩ số Giỏi (%) Trung bình ( %) 15 12A1 12A8 41 37 12.2 25 10.8 17 61 11 45.9 16 26.8 54.1 0.0 0.0 0.0 0.0 * Năm học: 2020 - 2021: Lớp chưa triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A3 12A5 Sĩ số 41 38 Giỏi (%) 00 0.0 00 0.0 Khá (%) Trung bình ( %) 21.9 26 63.4 21.1 21 55.3 Yếu (%) 14.6 23.7 Lớp triển khai dạy chi tiết dạng toán Lớp 12A1 12A9 Sĩ số 38 30 Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) 05 13.2 16 42.1 17 44.7 08 26.7 10 33.3 12 40 Yếu (%) 0 01 3.3 Phần KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Nguyên hàm, tích phân ứng dụng nội dung kiến thức vô quan trọng, chiếm tỉ trọng lớn chương trình tốn THPT Việc viết sáng kiến kinh nghiệm góp phần khơng nhỏ việc làm vững thêm tảng kiến thức giảng dạy giáo viên học tập học sinh, từ làm tăng kĩ giải tốn thực hành tốn học Tuy nhiên khn khổ viết cịn nhỏ nên chưa thể bao quát hết tất dạng tốn Vì tơi mong đóng góp chân thành từ thầy giáo, bạn đồng nghiệp đọc giả khác Và sau nhận ý kiến đóng góp, tơi tiếp tục hoàn thiện phát triển mở rộng đề tài 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Đối với nhà trường Nhà trường trang bị thêm tài liệu giảng dạy học tập toán Trang bị thêm thiết bị dạy học Tổ chức buổi trao đổi, thảo luận phương pháp dạy học 3.2.2 Đối với Sở Giáo dục đào tạo Thanh Hóa Cấp thêm thiết bị cho trường Tổ chức chuyên đề, hội thảo để giáo viên có điều kiện trao đổi học tập chuyên môn - nghiệp vụ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Bá Thước, ngày 20 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép người khác NGƯỜI VIẾT Nguyễn Bá Hiệp 16 Phần TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa giải tích 12 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên)  2 Các đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2017, 2018, 2019; 2020 đề minh họa thi TN THPT mơn Tốn năm 2021  3 Facebook: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Admin: Nguyễn Văn Quý THPT Chuyên Bắc Ninh, tỉnh Bắc Ninh  4 Facebook: TỐN THPT THANH HĨA Admin: Trần Đức Nội - THPT Đơng Sơn 1, tỉnh Thanh Hóa  5 Facebook: Tổ - Strong Team Admin: Nguyễn Việt Hải - THPT Chuyên Quang Trung, tỉnh Bình Phước  6 Nguồn Internet khác 17 ... Giả sử hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) D �� Khi đó:  Với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm f ( x) D  Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) D nguyên hàm f ( x) D có dạng F... biến lấy tích phân, f ( x) hàm số dấu tích phân, f  x  dx biểu thức dấu tích phân Chú ý: Tích phân phụ thuộc vào cận tích phân biểu thức dấu tích phân, khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân, ... CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Kiến thức nguyên hàm, tích phân 2.1.1 Kiến thức nguyên hàm 2.1.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định D Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm ( x) = f ( x) với x thuộc D f